2015東北三省三校一模聯(lián)考數(shù)學（理）試題

東北三省三校2015年高三第一次聯(lián)合模擬考試理科數(shù)學試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1、已知集合，，則（）A．B．C．D．2、復數(shù)（）A．B．C．D．3、點到拋物線準線的距離為，則的值為（）A．B．C．或D．或4、設(shè)是公差不為零的等差數(shù)列的前項和，且，若，則當最大時，（）A．B．C．D．5、執(zhí)行如圖所示的程序框圖，要使輸出的值小于，則輸入的值不能是下面的（）A．B．C．D．6、下列命題中正確命題的個數(shù)是（）=1\*GB3①對于命題，使得，則，均有=2\*GB3②是的必要不充分條件，則是的充分不必要條件=3\*GB3③命題“若，則”的逆否命題為真命題=4\*GB3④“”是“直線與直線垂直”的充要條件A．個B．個C．個D．個7、如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為，若粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為（）A．B．C．D．8、設(shè)雙曲線的一個焦點為，虛軸的一個端點為，焦點到一條漸近線的距離為，若，則雙曲線離心率的取值范圍是（）A．B．C．D．9、不等式組表示的點集記為，不等式組表示的點集記為，在中任取一點，則的概率為（）A．B．C．D．10、設(shè)二項式（）展開式的二項式系數(shù)和與各項系數(shù)和分別為，，則（）A．B．C．D．11、已知數(shù)列滿足，若數(shù)列的最小項為，則的值為（）A．B．C．D．12、已知函數(shù)，若函數(shù)有且只有兩個零點，則的取值范圍為（）A．B．C．D．二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．）13、向量，滿足，，，則向量與的夾角為．14、三棱柱各頂點都在一個球面上，側(cè)棱與底面垂直，，，，則這個球的表面積為．15、某校高一開設(shè)4門選修課，有4名同學，每人只選一門，恰有2門課程沒有同學選修，共有種不同選課方案（用數(shù)字作答）．16、已知函數(shù)（）的圖象關(guān)于直線對稱，則．三、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17、（本小題滿分12分）已知的面積為，且滿足，設(shè)和的夾角為．求的取值范圍；求函數(shù)的取值范圍．18、（本小題滿分12分）為調(diào)查市民對汽車品牌的認可度，在秋季車展上，從有意購車的500名市民中，隨機抽樣100名市民，按年齡情況進行統(tǒng)計的頻率分布表1和頻率分布直方圖2．頻率分布表中的=1\*GB3①=2\*GB3②位置應填什么數(shù)？并補全頻率分布直方圖，再根據(jù)頻率分布直方圖估計這500名市民的平均年齡；在抽出的100名市民中，按分層抽樣法抽取20人參加宣傳活動，從這20人中選取2名市民擔任主要發(fā)言人，設(shè)這2名市民中“年齡低于30歲”的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望．19、（本小題滿分12分）如圖，四棱錐的底面是邊長為1的正方形，底面，、分別為、的中點．求證：平面；若，試問在線段上是否存在點，使得二面角的余弦值為？若存在，確定點的位置；若不存在，請說明理由．20、（本小題滿分12分）已知橢圓（）的左、右焦點為、，點在橢圓上，且與軸垂直．求橢圓的方程；過作直線與橢圓交于另外一點，求面積的最大值．21、（本小題滿分12分）已知是實常數(shù)，函數(shù)．若曲線在處的切線過點，求實數(shù)的值；若有兩個極值點，（），求證：；求證：．請考生在第22、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分．22、（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講如圖，在中，，以為直徑的圓交于點，點是邊的中點，連接交圓于點．求證：是圓的切線；求證：．23、（本小題滿分10分）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程已知曲線的極坐標方程是，以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為軸的正半軸，建立平面直角坐標系，直線的參數(shù)方程是（為參數(shù)）．求曲線的直角坐標方程與直線的普通方程；設(shè)點，若直線與曲線交于，兩點，且，求實數(shù)的值．24、（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講設(shè)函數(shù)．解不等式；若，使得，求實數(shù)的取值范圍．

東北三省三校2015年三校第一次聯(lián)合模擬考試理科數(shù)學試題參考答案選擇題：1.B2.C3.C4.B5.A6.B7.C8.A9.A10.C11.B12.C填空題：13.90014.6415.8416.三．解答題：17.解：（Ⅰ）設(shè)中角的對邊分別為，則由已知：，，分可得，所以：．分（Ⅱ）．分，，．即當時，；當時，．所以：函數(shù)的取值范圍是分年齡(歲)0.010.020.030.040.050.06年齡(歲)0.010.020.030.040.050.060.070.080.0920253035404550頻率組距分平均年齡估值為:（歲）分(2)由表知:抽取的20人中,年齡低于30歲的有5人,的可能取值為0,1,2分的分布列為012分期望（人）分19.證明:(Ⅰ)取中點,連接,在△中,為的中點,,正方形中為中點,,故：為平行四邊形分又平面,平面平面分(Ⅱ)如圖：以點為坐標原點建立空間直角坐標系:由題易知平面的法向量為，分假設(shè)存在滿足條件：設(shè),設(shè)平面的法向量為,分由已知：解得：所以：滿足條件的存在，是中點。分20.（1）有已知：，故橢圓方程為分(2)當斜率不存在時：分當斜率存在時:設(shè)其方程為：由得由已知：即：分到直線的距離：分此時綜上所求：當斜率不存在或斜率為零時：面積取最大值為分21.解(1)由已知:,切點分切線方程:,把代入得:分(2)(Ⅰ)依題意:有兩個不等實根設(shè)則:①當時:,所以是增函數(shù),不符合題意;分②當時:由得:列表如下:0↗極大值↘依題意:,解得:綜上所求:得證;分(Ⅱ)由(Ⅰ)知:變化如下:0+0↘↗↘由表可知:在上為增函數(shù),所以:分又,故由(Ⅰ)知:,設(shè),則成立,所以單調(diào)遞減,故:,也就是綜上所證:成立.分22.選修4-1:幾何證明選講證明：（Ⅰ）連結(jié).∵點是的中點，點是的中點，∴，∴.∵，∴，∴.分在和中，∵，，，∴≌，∴，即.∵是圓上一點，∴是圓的切線.分（Ⅱ）延長交圓于點.∵≌，∴.∵點是的中點，∴.∵是圓的切線，∴.∴.分∵，∴.∵是圓的切線，是圓的割線，∴，∴分23.選修4-4:坐標系與參數(shù)方程解：（Ⅰ）由，得：，∴，即，∴曲線的直角坐標方程為.分由，得，即，∴直線的普通方程為.分（Ⅱ）將代入，得：，整理得：，由，即，解得：.設(shè)是上述方程的兩實根，則，分又直線過點，由上式及的幾何意義得，解得：或，都符合，因此實數(shù)的值為或或.