高等數(shù)學(xué)知識點(diǎn)

sin一.xfi=xx112．lim1=e；lim1=edtf1x，f2x0公式nunfiufi2y1sin一.xfi=xx112．lim1=e；lim1=edtf1x，f2x0公式nunfiufi2y1vfi（ xf2x-2xnxf=e當(dāng)xfi0時 =1+x + xsinx=x-x+x +! 2x4xx cosx=1-+ ln1 （3））l1f(x)g(x)是等價無窮小，記n 35x+)-2narctanx=x++-xfi0時2nan1-(x2nnx01-cosx~1x2-1~，，0型0fA（或￥g則limf(x)A（或￥，則nfi（2）xn+1xn（n為正整數(shù)）xn￡M（ngx)不能得出limf(x)不存在且不是無窮大量情形）￥，則nfi（￥1g則limf(x)A（或￥g則limf(x)A（或￥小值m。得=f[如00Dxfi0存在1nkf1fx基本公式[如果存在nfi￥nkn0f異號，則在(ab)內(nèi)至少存在一個點(diǎn)x與x0是函00=￠x)=dsinx=cos axa-實(shí)常數(shù)dcosx=-sin==sec2dtanx=sec2=-csc2dcotx=-csc2dsecx=secxtandcscx=-cscxcot1adlogxaxlndlnx=1區(qū)間[ab]上連續(xù)，則在這個區(qū)間上一定存在和xx￠axdax=axlnadx(a>0,a?2=x)￠= 1-xdex=exdarcsinx= dx1-xdy=y 1-x 1-x￠darccosx=ddy=x)￠= 1-xdex=exdarcsinx= dx1-xdy=y 1-x 1-x￠darccosx=ddyddy tftft)d2 1+x 1+x===darctanxdx dxdarccotx==221+1+yf(x)xg(y)[x+a=￠ x2+a22lnxlnxlnxlnx+a2= dxxx2+a = 則-a2￠= xx2-ad1fx-a1= 1 22二階gx2-agx￠ fg2(x)= 在對應(yīng)點(diǎn)u處可導(dǎo)，則復(fù)合yfx處可導(dǎo)，y變量dy=dy=f du3f(x這樣就可以直接用復(fù)合函數(shù)運(yùn)算法則進(jìn)行y8.9.求n階導(dǎo)數(shù)（n2，正整數(shù)f(x這樣就可以直接用復(fù)合函數(shù)運(yùn)算法則進(jìn)行y8.9.求n階導(dǎo)數(shù)（n2，正整數(shù)fb-（1）y=+npsin（3）y=sin2np cosx（4）y=cos2推論2．若f(x)g(x)(ab)內(nèi)皆可導(dǎo)(5)y=lnnx)]=C k(k xxnk其中=，n（1）在閉區(qū)間[ab=（殊情形g(xx時，柯西中值定理就是拉格朗日中值定四．泰勒定理（泰勒公式（數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)二（2）在開區(qū)間(ab)內(nèi)可導(dǎo)fx 2n000+000 4的一個極小值，0xx)n00R=nxfix-xn00的一個極小值，0xx)n00R=nxfix-xn00同情形取適當(dāng)?shù)膎，所以對常用的初等函數(shù)如2（拉格朗日n階泰勒公式fx)x-x)+Lx-x)+Rf2nx-d內(nèi)可 x-x(0000n( 0000fRn 如果在(x0dx0)內(nèi)的任x處，間x0n階泰勒公式。當(dāng) 如果在(x0dx0內(nèi)的任一x處，nfi003如果在(xdx內(nèi)與(xxd00000005求曲yf(x)的拐點(diǎn)的方法步驟是首先f(x)(ab)內(nèi)所有駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)第一步：求出二階導(dǎo)數(shù)f求曲yf(x)的拐點(diǎn)的方法步驟是首先f(x)(ab)內(nèi)所有駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)第一步：求出二階導(dǎo)數(shù)f1k1kx1x2xk其中xfixfi-x+ +212f 2ff211212xfi22xxfifxfi-xxfi-（上）面yf(x)是凸（凹）yfx)，它在點(diǎn)M(xy)處的曲率yk1k2如果在(ab)內(nèi)的x，恒xa(a1，實(shí)常數(shù)1．xdx=a+1+a612．xdx=ln+3．a(chǎn)xdx=1ax+lnexdx=ex+cosxdx=sinx+sinxdx=-cos12．xdx=ln+3．a(chǎn)xdx=1ax+lnexdx=ex+cosxdx=sinx+sinxdx=-cosx+a6．sec2xdx= dx=tanx+cos2x7．csc2xdx= dx=-cotx+111（4）f =-f sin2tanxsecxdx=secx+cotxcscxdx=-cscx+2xxx（5）f(x=2f(xd(xxaaada10.tanxdx=-lncos+ln11.cotxdx=lnsin+secxdx=lnsecx+tancscxdx=lncscx-cot++14． =arcsinx+Caa2-x15． =1arctanx+Ca2+x a 1 a+ +a- 2a-17． =lnx+x2–a2+x2–a1-x)arccos1-x)dx=-f)arccosxarccos令u1+xu+ff1+x7Al)2然后再作下列三種三角替換之一1farctanx011 f d=1+xxx（）lnxlnxAl)2然后再作下列三種三角替換之一1farctanx011 f d=1+xxx（）lnxlnxdlnx+a x22x2+a（）lnxlnxdx2-a2x2-a3．分部積f2．第二換元積分設(shè)xf(t可導(dǎo)，且，若或使用分部積分法時被積函數(shù)中誰看作u(x誰看作ftdtGff（1）P xnnnax+ 或cx+由ex構(gòu)成的代數(shù)式的根式，例aexb等只要令根 narcsinxarctanx為u(x)，用分部積分法一次，被積數(shù)的形式發(fā)生變化，再考慮其它方法第二類：被積函數(shù)含有Ax2Bx么這樣變量替換不行，要作特殊處理，將A0時先化eaxsinbx，eaxcosbx情形，進(jìn)行二次分部積法后要移項(xiàng)，合并比較復(fù)雜的被積函數(shù)使用分部積分法，要)–l]22A<時，先化08根式的所作替a2-xx=asina2+xx=atanx2-ax=asec分法，使盡量多的因子和湊xxa,)定理（xx在aab f)dx=-fbaax在a, （2）f上連續(xù)Faa3）（bfbbf+kfdx= fdx+ f2k112分法，使盡量多的因子和湊xxa,)定理（xx在aab f)dx=-fbaax在a, （2）f上連續(xù)Faa3）（bfbbf+kfdx= fdx+ f2k112112aaadt212bcb1xdx（a（4）fxdx=fxaac之外bbfdx￡xaabb-mabb則 bb￡ff（7）設(shè)abaaaabab-baaaafdx x0bb fxaaTfdx=fxa0設(shè)bbbx)-uuxxdx=xxvxaaaxbbbaaaa9定積分的應(yīng)一．平面圖形的面1．直角坐b模型 S1=y-yx21a二．平面曲線的弧長（數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)二d=定積分的應(yīng)一．平面圖形的面1．直角坐b模型 S1=y-yx21a二．平面曲線的弧長（數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)二d=x2y-1．直角坐bc弧長S a2．構(gòu)坐標(biāo)2．構(gòu)坐標(biāo)b1有連續(xù)導(dǎo)數(shù)=22模型 b弧長S= 2+=bar-rq22模型II22123．參數(shù)方程所表曲線的弧a設(shè)光滑曲y=tb曲線C的弧長S 3．參數(shù)形式表出的曲線所圍成的面a三．特殊的空間圖形的體積（一般體積要用二重積分1．已知平行截面面積的立體體設(shè)空間一個立體由一個曲面和垂直于z軸兩平面設(shè)曲線 的參數(shù)方，dV=S則曲邊梯形面積（曲線C與直xaxbx軸所c成2．繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體bbS=ydx=ytftdtaax軸旋轉(zhuǎn)一周的體bdV=py2xV=2pyxxacy軸旋轉(zhuǎn)一周的bVy=2pxa四．繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面的面積（數(shù)學(xué)一和數(shù)二˙設(shè)平面曲線C 位于x軸上方，它繞x軸一周ydyy軸旋轉(zhuǎn)一bdV=py2xV=2pyxxacy軸旋轉(zhuǎn)一周的bVy=2pxa四．繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面的面積（數(shù)學(xué)一和數(shù)二˙設(shè)平面曲線C 位于x軸上方，它繞x軸一周ydyy軸旋轉(zhuǎn)一周的dV=px2yycx軸旋轉(zhuǎn)一周的體˙1． 它的一個原函數(shù)，而任意常數(shù)另外再加bS2px)+2（2）方程形式：a˙2． 通解bM21a2．變量可分離方程的推廣形˙3． 的參數(shù)方程為x=x(t)，y=y(tfy（1）齊次方 x bt2t2S2pya =u則=u+xdu=f常微分二．變量可分離方程及其推1．變量可分離的方（1）方程形式 =+c=ln|x|=f-x 令axbycu=a+bf則令代入方程求出 =dx=x+ca+bfu) 令axbycu=a+bf則令代入方程求出 =dx=x+ca+bfu)（3）dy=fa1x+b1y+ a2x+b2y+c2ab11 ①當(dāng)D形，先求出 a1x+b1y+c1=x+by+c= 1令ux-vy= v+ dx11f=則 a2u+b2v v+ uab0情形②當(dāng)D四．全微分方程及其推廣（數(shù)學(xué)一22 = fa1x+b1y+= 令ua1xb1yu+=a1+b1dx=a1+b1flu+2它也是變量可分離方程，通解公y（c為任意常數(shù)（1）xdx+ydy=；2（2）xdx-ydy=dx-y ；2（3）ydx+xdy=dydx+xdx+x2+yxdx-x-y)22= x,dx+x2-yx,200x,y00xy=x,yx,y=dy+dx+x,xdy-x000xy00x 第三種：不定積由（3）ydx+xdy=dydx+xdx+x2+yxdx-x-y)22= x,dx+x2-yx,200x,y00xy=x,yx,y=dy+dx+x,xdy-x000xy00x 第三種：不定積由xydx- = yy xydx-x2+y=dy ydx+=xdy-=dy xx+yx-yydx-= ；x2-y2x+2．全微分方程的推廣（約當(dāng)因子法xdy- x+y= ；x2+y2x-xdx+ =d不滿 222x+ xdx- =d；-y2222x-微分方1x+y)；22= 1+x+y222=也即滿xdx-)=d 22x-按全微分方程解法仍可第二種：特殊路徑積分法（因?yàn)榉e分與路徑無關(guān)任意常數(shù)）仍為同方程的解，特別地，當(dāng)y1(x)ly2任意常數(shù)）仍為同方程的解，特別地，當(dāng)y1(x)ly2 y(x)為對應(yīng)的二階齊次線性方程的任意特解，則y(x)+y(x)為此二階非齊次線性方程的一個特解 （C1C2為獨(dú)立的任意常數(shù)）1212特征方程l2plq式（1）當(dāng)Dp24q0實(shí)根l112 y￠py￠p￠，原方程pg(xC1)，y￠=dp=dpdy=pdp dydx y￠，y￠的表達(dá)式代入原方程， xC 1ll2則方程的通解為y= +C21齊次線性方程的一個特解y如何求？我們根據(jù)f(x)的形式，先確y的形式，其中（2）當(dāng)Dp24q0C1+C2el（3）當(dāng)Dll2則方程的通解為y= +C21齊次線性方程的一個特解y如何求？我們根據(jù)f(x)的形式，先確y的形式，其中（2）當(dāng)Dp24q0C1+C2el（3）當(dāng)Dp24q0a–ib若 不是特征根，則（1y=Rn(x)=a0x+axn-+L+ x+ ++y￠+py=12ni（2）若0yxRn（3）若0yx2Rnn+n-2+l+pl+l+p=12n2．f=P xnn（1）若特征方程有n個不同的實(shí)根l1l2,L,yRnl則方程通解y=C ++L+112nyxRn（2）若l0k重實(shí)根(k￡CCx+ k)fx=x sinb3．或n（3）aib為特征方程k重共軛復(fù)根f=Px cosbnPn(x)n次多項(xiàng)式，a,b皆為實(shí)常（1）若aib不是特征根，則令eC D+Dx+L+D sinbC+Cx+Lcosbx k k +axn-1+L+x+n01ni +bxn-1+L+x+n01 （2）若aib是特征根，則˙a,b3．?dāng)?shù)量積aba 五．歐拉方程（數(shù)學(xué)一˙其中ab為向abn(nn-1)x +p +L+y=0 ab為數(shù)量也稱點(diǎn)a（2）若aib是特征根，則˙a,b3．?dāng)?shù)量積aba 五．歐拉方程（數(shù)學(xué)一˙其中ab為向abn(nn-1)x +p +L+y=0 ab為數(shù)量也稱點(diǎn)ab0表示向a在向量b上的投影，1npi(i1,2,Ln)為常數(shù)稱n階歐拉方程。令 =Prjb4．向a·b也稱為叉乘dy=dydy=1dyxdy=dy ˙absina,ba· = x d2dtddydyd2a·b的方向按右手法則垂直于ab所在平面d=dtdt=-=dxdxdtdxdtijk1d2dya·b=-， dt22b123d2 d2xdx dt2-=鄰邊的平行四邊形的面積5合積(abc)(a·bc，坐標(biāo)公式a=a1i+a2j+a3k={a1,a2,a3cb=b1i+b2j+b3k={b1,b2,b3c=c1i+c2j+c3k={c1,c2,c3cc123(ab,c)表示以abc為棱的平行大面的體積四．兩向量間的關(guān)1．加法ab{a1b1a2b2a3b3減法ab{ababab 向量的加、減和數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱線性運(yùn)算向量表向量坐標(biāo)表ab間角cosf=a a與b垂ab=a1b1+a2b2+b3b3=ab設(shè)直 的般方程A1x+B1y+C1z+D1=x+By+Cz+D=222為k(Ax+By+Cz+D)+k(Ax+By設(shè)直 的般方程A1x+B1y+C1z+D1=x+By+Cz+D=222為k(Ax+By+Cz+D)+k(Ax+By+Cz+D)= 11 2221.法（線）向量，法（線）122.點(diǎn)法式方程已知平面M(x0y0z0p:Ax+By+Cz+D= 111p2:A2x+B2y+C2z+D2=000或其中r0{x0y0z0}r{xyAx+By+Cz+D=的的方程為AxByCzD0，而點(diǎn)設(shè)平面M(x1y1z1MdAxByCz0Ax1+By1+Cz1+dA2+B2+C,,, x- y- z-==lmnx-x1x2-y-y1y2-z-z1z2-=x-y-z- p1與p2夾角cosf= A1A2+B1B2+C1C2 A2+B2+C2 A2+B2+C2 A1A2+B1B2+C1C2= C2 D2A1=B1=C1=D1 a與b平a·b=a1=a2= x=x0+Ax+By+Cz+D=L的方程為y=y+0z=z+0x- y- z-==4．兩lmn AB的直線方程x-y-x=x0+Ax+By+Cz+D=L的方程為y=y+0z=z+0x- y- z-==4．兩lmn AB的直線方程x-y-z-111==x2- y2- z2-5．一般式方程（作為兩平面的交線A1x+B1y+C1z+D1=，方向向量x+By+Cz+D=222多元函數(shù)微多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微四．方向?qū)?shù)與梯度（數(shù)學(xué)一S={A,B,C}·{A,B,C 6．有關(guān)直線的問兩直線1．平面情:x-y-z-L==1z(xy在平面上過點(diǎn)Py)lmn111 :x- y-z-=l(cosacosb的方向?qū)=2lmn222=ttfifx,y)fx,y0000,而方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系四．平面與直線相互關(guān))00 =多元函數(shù)微一．復(fù)合函數(shù)微分法——鎖鏈公平面的方程為L1L2間夾 l2+m2+ l2+m2+ 垂直條l1l2+m1m2+n1n2=平行條l1=m1=n1 L 間夾（sina= Al+Bm+Cn A2+B2+C2 l2+m2+n2L與垂直條l=m=n L與平行條Al+Bm+Cn=L與重合條Al+Bm+Cn=L上有一點(diǎn)在F￠?z=?z?u+?z?v；?z=?z?u+?z ?u ?v ?u x（2）xy,y = Fx￠ ￠z= = Fy￠ F￠?z=?z?u+?z?v；?z=?z?u+?z ?u ?v ?u x（2）xy,y = Fx￠ ￠z= = Fy￠ f￠=f =f￠+f￠第一步求出駐點(diǎn) y第二步令=f,Dk k若Dk0f(xkyk若Dk討論若Dk0f(xkyk=f￠?uf￠uvffu￠￠=二．求多元(n2)函數(shù)條件極值的拉格朗日乘子yy??f=fu￠￠zz?? fx 作m = = Fz￠ dF￠=f2=x,Mc關(guān)于二重積分的計算主要根I或模II把二D，如果既不符I中關(guān)D的要求，又不符合模II中關(guān)D的要求，那么dF￠=f2=x,Mc關(guān)于二重積分的計算主要根I或模II把二D，如果既不符I中關(guān)D的要求，又不符合模II中關(guān)D的要求，那么就需要把D分解成一些小區(qū)域，使得每一個小區(qū)域能夠符合模I或模II中關(guān)于反過來化為二重積求出它的積分區(qū)域D然后根據(jù)D再把二重積分化為另外一種順序的累次積分F￠=nF￠=fx, 11M n, l)是有可能的條件 k=LL求出1n多元函數(shù)積三．在極坐標(biāo)系中化二重積分為累次積在極坐標(biāo)系中一般只考慮一種順序的累次積分，也12先固定q對進(jìn)行積分，然后再對q進(jìn)行積分，由于區(qū)1212DDb2fx,y=aII：設(shè)有界閉DD12bf=gcosq,gsinqg1qaf 模：設(shè)有界閉區(qū)域12上連續(xù)12DDD其中D為閉曲面xy平面上投影區(qū)域DDD其中D為閉曲面xy平面上投影區(qū)域DDfqfgcosq,gsinq2 g0II：設(shè)有界閉2．空間曲面的面 A=1+ + D三重積二．三重積分的計算方 其連續(xù)，1．直角坐標(biāo)系中三重積分化為累次積（1）設(shè)W是空間的有界閉區(qū)域其中D是xyDDb=dq 模：設(shè)有界閉區(qū)域續(xù)，fx,y,f2dv=Dx,y,W 其連續(xù)，bWfx,y,dv= fx,y,aDD2．柱坐標(biāo)系中三重積分的計 dq 0四．二重積分在幾何上的應(yīng)WW1．空間物體的體相當(dāng)于把(xy)化為極坐標(biāo)(g,qz保持不變3．球坐標(biāo)系中三重積分的計2．參數(shù)計算公我們只討論空間情形（平面情形類似x=rsinqcosfr?y=r3．球坐標(biāo)系中三重積分的計2．參數(shù)計算公我們只討論空間情形（平面情形類似x=rsinqcosfr?y=rsinqsinf0￡q￡z=r0￡f￡2p則bdS=fttft,t,222x,y,L?樣把曲線積分化為定積分來進(jìn)行計算二．第二類曲線積分（對坐標(biāo)的曲線積分空間情形：設(shè)空間一條逐段光滑有定向LA˙BWW把L任意分成n段，DS1DS2LDSn然后再根據(jù)W把三重積分化為關(guān)于r,q,f的累一．第一類曲線積分（對弧長的曲線積分空間情形：空間一條逐段光滑曲線L上定義函數(shù)f(xyzLnz)（L的定向決定起點(diǎn)和終點(diǎn)） Dx=x-，Dy=y-，Dz=z-， (1￡k￡n)再在DSk上任意一點(diǎn)(xk,hksk考慮極DS1DS2LDSnDSk(1￡k￡n)上任取一點(diǎn)nDxk(xk,hk,sk)，如果對任意分割，任意取點(diǎn)，下列極限存在并且相l(xiāng)fi0k意取點(diǎn)，上述極限皆存在并且相等，則稱此極限值nlfi0k類曲線積分，也稱對坐標(biāo)的曲線積分，記（DSk又表示第k段曲線的弧長l=maxDSkLF則稱此極限值為f(xyz)在曲L上的第一類曲它的向量形式L其中加以說2．參數(shù)計算公˙其中 ，cosb，為曲線AB上我們只討論空間情形（平面情形類似加以說2．參數(shù)計算公˙其中 ，cosb，為曲線AB上我們只討論空間情形（平面情形類似四．格林公xy平面上有界D由一條逐段光滑閉曲L所圍成的單連通區(qū)域。當(dāng)L正定向移動D（注意：現(xiàn) 和b的大小不一定a<b）如b=Px,t,txt,t,tt+xt,t,tta慮定向dxdy=LPdx+?x-D三．兩類曲線積分之間的關(guān)1．平面情xy平面上有界D是(n1)連通區(qū)域（也L˙B平面上一個逐段光滑有定向的曲線，的定向?yàn)槟鏁r針方向，C1L,Cn定向皆為順時針方向仍符合沿L的正定向移動時區(qū)域D在它的左邊這個原其中AB方向的切線的方向余弦2．空間情˙設(shè)L 為空間一條逐段光滑有定向的曲線則 dxdy=Pdx+ yDLnn=Pdx+Qdy+Pdx+lfi0kkS dxdy=Pdx+ yDLnn=Pdx+Qdy+Pdx+lfi0kkS1D內(nèi)任意一條逐段光滑閉曲線L，都有DPdx+Qdy=L˙ 在D內(nèi)， Pdx+Qdy只依 ?zSdS=ff+ x,y,x, ˙ 于起點(diǎn)A和終點(diǎn)B，與曲線L D二．第二類曲面積分（對坐標(biāo)的曲面積分S為分塊光滑有向曲面（已指定一側(cè)為定向4．D內(nèi)處處 成立S任意分成n個小曲面DS1DS2LDSn，而 ，Q= 一．第一類曲面積分（對面積的曲面積分k面積記以(DSDS(1￡k￡n)上任取一點(diǎn)kk(xk,hk,sk)，令l是各小塊曲面直徑的最大值，考慮限n ] kx,h,sDS)+x,h,sDS)+x,h,sDSPkkkkkkklfi0kSn塊小曲面DS1DS2LDSnk kkS的面積也記以DSkl={cosa,cosb,Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=Fn0={cosa,cosb,Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=Fn0SSS設(shè)W是由分塊光滑曲面S圍成的單連通有界閉區(qū)S =Pdydz+Qdzdx+S x zWS=[Pcosa+Qcosb+RSz軸正向成銳角取S其中cosacosbcosgS在點(diǎn)(x,yz處的法類似地，曲面S的方程表示為xx(ykSS指定一側(cè)的法向量與x軸正向成銳角取正號，成鈍角取負(fù)號，如果曲面S的方程表示為0S P dv=Pdydz+Qdzdx+ SW0nPQR有些為0k=1定理L是逐段光滑有向閉SL為界的分塊光滑有向曲面，L的正向與S的側(cè)（即法向量的指向）符合右手法則，函SS其中cosacosbcosgS在點(diǎn)(xyz)處根據(jù)i?j?k????旋度rotF·FLPdx+Qdy+Rdz=S= i+ j+ -i?j?k????旋度rotF·FLPdx+Qdy+Rdz=S= i+ j+ -= dydz+ dzdx+ SFdr(rotF)n0LSn0=(cosa,cosb,cosg?cos??Pdx+Qdy+RdzLS￥￥（1）如果un和vnab設(shè)uu(xyz)算??,??￥￥￥aunbvnaun(?x?y?z?u?u?ugradu= ?x?y?zu稱為u￥ u收斂的必要條件是limu=0nnfiFF的散=￥ -度高斯公式可寫成divFdvFn0nfiSW￥￥￥1111n1滿足 =0但n=1n=1nfi￥卻是分散的。所以滿足收斂級數(shù)的必要條件limun0nfi￥￥￥如果vn收斂，則un￥￥￥如果un發(fā)散，則vn￥a1=n1-￥￥un若 =nfi￥￥￥如果vn收斂，則un￥￥￥如果un發(fā)散，則vn￥a1=n1-￥￥un若 =nfi￥n￥￥（1）當(dāng)0A￥un與vn￥np1￥1￥￥（2）A0時，若vn收斂，則unp￡1pn￥1￥￥（3）A￥時，若un收斂，則vn（p1pn =1n6n設(shè)u0，而limun+1nunfin￥若un0(n1,2,3,L則un￥（1）r1時，則un時 ￥（2）r1（r￥）時，則un（3）當(dāng)r1時，此判別法無效Sn￥unfi因此u收斂nSnn設(shè)u?0，而limn =nnnfi設(shè)c0nNcvnun0￥（1）r1時，則un￥（2）當(dāng)r1（r￥）時，則un發(fā)散￥￥11+un)un-或一定是發(fā)散的n=1n=1（3）當(dāng)r1時，此判別法無效￥設(shè)n￥ n（1）￥（2）當(dāng)r1（r￥）時，則un發(fā)散￥￥11+un)un-或一定是發(fā)散的n=1n=1（3）當(dāng)r1時，此判別法無效￥設(shè)n￥ n（1）p1￥ n（2）當(dāng)0p￡1若u0-unn￥（3）p￡0時nn一．函數(shù)項(xiàng)級數(shù)及其收斂域與和函數(shù)（數(shù)學(xué)一￥設(shè)交錯級 u-nun(x)(n1,2,3,L)皆定義在區(qū)間I上，則（1）un+1￡un(n=1,2,3,L（2）limun=￥nfi￥￥nn<￥￥￥￥若收斂，則un￥￥如果un(x0發(fā)散，則x0是un(x)的發(fā)散點(diǎn)￥￥若收斂，則稱un￥函數(shù)項(xiàng)級數(shù)n￥￥￥若un