全稱量詞和存在量詞

邏輯聯(lián)結(jié)詞：“且”、“或”、“非”簡(jiǎn)單命題：不含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題.常用小寫拉丁字母p，q，r，s，…表示.復(fù)合命題:由簡(jiǎn)單命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題.構(gòu)成形式：p且q；

p或q；非p.注意：簡(jiǎn)單命題與復(fù)合命題區(qū)別：是否有邏輯聯(lián)結(jié)詞．

分別記作：p∧q；

p∨q；?

p.高中數(shù)學(xué)選修2-1

1.4全稱量詞與存在量詞思考?下列語句是命題嗎?(1)與(3)之間,(2)(4)之間有什么關(guān)系?(1);(2)2x+1是整數(shù);(3)對(duì)所有的(4)對(duì)任意一個(gè)2x+1是整數(shù).常見的全稱量詞還有:“所有的”,“任意一個(gè)”,“一切”,“每一個(gè)”,“任給”,“凡是”等.

短語“對(duì)所有的”“對(duì)任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱量詞,并用符號(hào)“”表示.含有全稱量詞的命題,叫做全稱命題.符號(hào)

全稱命題“對(duì)M中任意一個(gè)x有,p(x)成立”可用符號(hào)簡(jiǎn)記為讀作“對(duì)任意x屬于M,有p(x)成立”.【分析】要判定一個(gè)全稱命題是真命題，需要對(duì)集合M中每一個(gè)元素x,證明p(x)成立；如果在集合M中找到一個(gè)元素x0,使得p(x0)不成立，那么這個(gè)全稱命題就是假命題.解:（1）2是素?cái)?shù)，所以全稱命題“所有的素?cái)?shù)都是奇數(shù)”是假命題；（2）總有所以全稱命題“”是真命題；（3）是無理數(shù)，但是有理數(shù)，所以全稱命題“對(duì)每一個(gè)無理數(shù)x,x2也是無理數(shù).

”是假命題；但2不是奇數(shù)，說明：要判斷一個(gè)全稱命題為真，必須對(duì)在給定集合的每一個(gè)元素x，使命題p(x)為真；但要判斷一個(gè)全稱命題為假時(shí)，只要在給定的集合中找到一個(gè)元素x，使命題p(x)為假。練習(xí)：判斷下列全稱命題的真假：（1）每個(gè)指數(shù)函數(shù)都是單調(diào)函數(shù)；（2）任何實(shí)數(shù)都有算數(shù)平方根；（3）{x|x是無理數(shù)}，x2是無理數(shù).真命題假命題假命題

特稱命題“存在M中的一個(gè)x,使p(x)成立”可用符號(hào)簡(jiǎn)記為讀做“存在一個(gè)x0,使p(x0)成立”.x0∈M,p(x0)，例如,命題:有的平行四邊形是菱形;有一個(gè)素?cái)?shù)不是奇數(shù);有的向量方向不定;存在一個(gè)函數(shù),既是偶函數(shù)又是奇函數(shù);有一些實(shí)數(shù)不能取對(duì)數(shù).解:（1）由于因此使的實(shí)數(shù)x不存在，所以特稱命題“有一個(gè)實(shí)數(shù)x0,使x02+2x0+3=0

”是假命題.（2）由于垂直于同一條直線的平面是互相平行的，因此不存在兩個(gè)相交平面垂直于同一條直線，（3）由于存在整數(shù)3只有兩個(gè)正因數(shù)1和3，所以特稱命題“存在兩個(gè)相交平面垂直于同一條直線

”是假命題.所以特稱命題“有些整數(shù)只有兩個(gè)正因數(shù)

”是真命題.說明：要判斷一個(gè)特稱命題為真，只要在給定的集合中找到一個(gè)元素x，使命題p(x)為真；要判斷一個(gè)特稱命題為假，必須對(duì)在給定集合的每一個(gè)元素x，使命題p(x)為假。練習(xí)：判斷下列特稱命題的真假：（1）（2）至少有一個(gè)整數(shù),它既不是合數(shù),也不是素?cái)?shù)；是無理數(shù)}，

（3）是無理數(shù).真命題真命題真命題例3.判斷下列命題是全稱命題，還是特稱命題？

（1）方程2x=5只有一解；（2）凡是質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)；（3）方程2x2＋1=0有實(shí)數(shù)根；（4）沒有一個(gè)無理數(shù)不是實(shí)數(shù)；（5）如果兩直線不相交，則這兩條直線平行；（6）集合A∩B是集合A的子集；【分析】判定命題是全稱命題還是特稱命題，主要是看命題中是否含有全稱量詞或者存在量詞，但要注意的是有些全稱命題沒有全稱量詞，這時(shí)我們要根據(jù)命題涉及的意義去判斷.解：全稱命題有（2）、（4）、（5）、（6）；特稱命題有（1）、（3）.【例4】用符號(hào)“”與“”表示下列含有量詞的命題.（1）自然數(shù)的平方大于0；（2）圓x2+y2=r2上任一點(diǎn)到圓心的距離是r；（3）存在一對(duì)整數(shù)x,y，使得2x+4y=3；（4）存在一個(gè)無理數(shù)，它的立方是有理數(shù).解：（1）（2）{P|P在圓x2+y2=r2上}，（O為圓心）；|OP|=r（3）是整數(shù)}，

（4）是無理數(shù)}，

探究x0∈M,

﹁p(x0)x0∈M,﹁p(x0)x0∈M,﹁p(x0)3)x0∈R,x02-2x0+1＜0

從命題形式上看,這三個(gè)全稱命題的否定都變成了特稱命題.

一般地,對(duì)于含有一個(gè)量詞的全稱命題的否定,有下面的結(jié)論:全稱命題p:全稱命題的否定是特稱命題.它的否定x0∈M,﹁p(x0)例5.

寫出下列全稱命題的否定,并判斷真假：(1)p:所有能被3整除的整數(shù)都是奇數(shù);(2)p:每一個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓;(3)p:對(duì)任意x∈Z,x2的個(gè)位數(shù)字不等于3.解：(1)?

p:存在一個(gè)能被3整除的整數(shù)不是奇數(shù).真命題；(2)?

p:存在一個(gè)四邊形,它的四個(gè)頂點(diǎn)不共圓.真命題；(3)?

p:的個(gè)位數(shù)字等于3.假命題.【說明】否定時(shí),不能只是簡(jiǎn)單的否定結(jié)論，全稱命題的否定變成特稱命題.探究否定:1)所有實(shí)數(shù)的絕對(duì)值都不是正數(shù);2)每一個(gè)平行四邊形都不是菱形;3)x0∈M,

p(x0)x0∈M,

p(x0)x0∈M,

p(x0)3)x0∈R,x02+1＜0

從命題形式上看,這三個(gè)特稱命題的否定都變成了全稱命題.特稱命題它的否定特稱命題的否定是全稱命題.x0∈M,

p(x0)

一般地,對(duì)于含有一個(gè)量詞的特稱命題的否定,有下面的結(jié)論:例6.

寫出下列特稱命題的否定,并判斷真假：(1)(2)p:有的三角形是等邊三角形;(3)p:有一個(gè)素?cái)?shù)含三個(gè)正因數(shù).p:x0∈R,x02+2x0+2≤0解：(1)?

p:(2)?

p:所有的三角形都不是等邊三角形.假命題；真命題；(3)?

p:每一個(gè)素?cái)?shù)都不含三個(gè)正因數(shù).真命題.【說明】否定時(shí)，不能只是簡(jiǎn)單的否定結(jié)論，特稱命題的否定變成全稱命題.

解題中會(huì)遇到省略了“所有，任何，任意”等量詞的簡(jiǎn)化形式，這種情形下時(shí)應(yīng)先將命題寫成完整形式，再依據(jù)法則來寫出其否定形式.隱蔽性否定命題的確定：例7.

寫出下列命題的否定：（1）若x2>4，則x>2；（2）若m≥0,則x2+x－m=0有實(shí)數(shù)根；（3）可以被5整除的整數(shù)，末位是0；（4）被8整除的數(shù)能被4整除；

例7.

寫出下列命題的否定：（1）若x2>4，則x>2；（2）若m≥0,則x2+x－m=0有實(shí)數(shù)根；（3）可以被5整除的整數(shù)，末位是0；（4）被8整除的數(shù)能被4整除；

解：(1)原命題完整表述：對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,若x2>4,則x>2.

它的否定：存在實(shí)數(shù)x0，滿足x02＞4，但x0≤2.(2)原命題完整表述：對(duì)任意實(shí)數(shù)m,若m≥0,則x2+x－m=0有實(shí)數(shù)根.它的否定：存在非零實(shí)數(shù)m0,使x2+x－m=0無實(shí)數(shù)根.(3)原命題完整表述：所有可以被5整除的整數(shù)，末位是0；否定：存在一個(gè)可以被5整除的整數(shù)，其