第二章2 3二次與冪函數(shù)

高考數(shù)學(xué)

(山東專用)§2.3二次函數(shù)與冪函數(shù)考點(diǎn)一二次函數(shù)課標(biāo)卷、其他自主命題省(區(qū)、市)卷題組1.(2017浙江,5,4分)若函數(shù)f(x)=x2+ax+b在區(qū)間[0,1]上的最大值是M,最小值是m,則M-m

()A.與a有關(guān),且與b有關(guān)B.與a有關(guān),但與b無關(guān)C.與a無關(guān),且與b無關(guān)D.與a無關(guān),但與b有關(guān)五年高考答案

B本題考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,二次函數(shù)的圖象,考查數(shù)形結(jié)合思想和分類

討論思想.解法一:令g(x)=x2+ax,則M-m=g(x)max-g(x)min.故M-m與b無關(guān).又a=1時(shí),g(x)max-g(x)min=2,a=2時(shí),g(x)max-g(x)min=3,故M-m與a有關(guān).故選B.解法二:(1)當(dāng)-

≥1,即a≤-2時(shí),f(x)在[0,1]上為減函數(shù),∴M-m=f(0)-f(1)=-a-1.(2)當(dāng)

≤-

<1,即-2<a≤-1時(shí),M=f(0),m=f

,從而M-m=f(0)-f

=b-

=

a2.(3)當(dāng)0<-

<

,即-1<a<0時(shí),M=f(1),m=f

,從而M-m=f(1)-f

=

a2+a+1.(4)當(dāng)-

≤0,即a≥0時(shí),f(x)在[0,1]上為增函數(shù),∴M-m=f(1)-f(0)=a+1.即有M-m=

∴M-m與a有關(guān),與b無關(guān).故選B.2.(2015陜西,12,5分)對二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a為非零

),四位同學(xué)分別給出下列結(jié)論,其中有且只有一個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的,則錯(cuò)誤的結(jié)論是

()A.-1是f(x)的零點(diǎn)

B.1是f(x)的極值點(diǎn)C.3是f(x)的極值

D.點(diǎn)(2,8)在曲線y=f(x)上答案

A由已知得,f'(x)=2ax+b,則f(x)只有一個(gè)極值點(diǎn),若A、B正確,則有

解得b=-2a,c=-3a,則f(x)=ax2-2ax-3a.由于a為非零整數(shù),所以f(1)=-4a≠3,則C錯(cuò).而f(2)=-3a≠8,則D也錯(cuò),與題意不符,故A、B中有一個(gè)錯(cuò)誤,C、D都正確.若A、C、D正確,則有

由①②得

代入③中并整理得9a2-4a+

=0,又a為非零整數(shù),則9a2-4a為整數(shù),故方程9a2-4a+

=0無整數(shù)解,故A錯(cuò).若B、C、D正確,則有

解得a=5,b=-10,c=8,則f(x)=5x2-10x+8,此時(shí)f(-1)=23≠0,符合題意.故選A.3.(2015四川,9,5分)如果函數(shù)f(x)=

(m-2)x2+(n-8)x+1(m≥0,n≥0)在區(qū)間

上單調(diào)遞減,那么mn的最大值為()A.16

B.18

C.25

D.

答案

B當(dāng)m=2時(shí),f(x)=(n-8)x+1在區(qū)間

上單調(diào)遞減,則n-8<0?n<8,于是mn<16,則mn無最大值.當(dāng)m∈[0,2)時(shí),f(x)的圖象開口向下,要使f(x)在區(qū)間

上單調(diào)遞減,需-

≤

,即2n+m≤18,又n≥0,則mn≤m

=-

m2+9m.而g(m)=-

m2+9m在[0,2)上為增函數(shù),∴m∈[0,2)時(shí),g(m)<g(2)=16,故m∈[0,2)時(shí),mn無最大值.當(dāng)m>2時(shí),f(x)的圖象開口向上,要使f(x)在區(qū)間

上單調(diào)遞減,需-

≥2,即2m+n≤12,而2m+n≥2

,∴mn≤18,當(dāng)且僅當(dāng)

即

時(shí),取“=”,此時(shí)滿足m>2.故(mn)max=18.故選B.4.(2019浙江,16,4分)已知a∈R,函數(shù)f(x)=ax3-x.若存在t∈R,使得|f(t+2)-f(t)|≤

,則實(shí)數(shù)a的最大值是

.答案

解析本題考查絕對值不等式的解法及二次函數(shù)的最值等相關(guān)知識;以三次函數(shù)為背景,對不

等式化簡變形,考查學(xué)生運(yùn)算求解能力,將不等式有解問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域(最值)問題,考查學(xué)

生的化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想;突出考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).|f(t+2)-f(t)|≤

?|a(t+2)3-(t+2)-(at3-t)|≤

?|6at2+12at+8a-2|≤

?|3at2+6at+4a-1|≤

?-

≤3at2+6at+4a-1≤

?

≤a(3t2+6t+4)≤

,∵3t2+6t+4=3(t+1)2+1≥1,∴若存在t∈R,使不等式成立,則需a>0,故a(3t2+6t+4)∈[a,+∞),∴只需[a,+∞)∩

≠?即可,∴0<a≤

,故a的最大值為

.疑難突破

能夠?qū)⒃^對值不等式化繁為簡,將問題簡化為一元二次不等式有解問題,再進(jìn)一

步轉(zhuǎn)化為值域交集非空是求解本題的關(guān)鍵.5.(2017北京文,11,5分)已知x≥0,y≥0,且x+y=1,則x2+y2的取值范圍是

.答案

解析解法一:由題意知,y=1-x,∵y≥0,x≥0,∴0≤x≤1,則x2+y2=x2+(1-x)2=2x2-2x+1=2

+

.當(dāng)x=

時(shí),x2+y2取最小值

,當(dāng)x=0或x=1時(shí),x2+y2取最大值1,∴x2+y2∈

.解法二:由題意可知,點(diǎn)(x,y)在線段AB上(如圖),x2+y2表示點(diǎn)(x,y)與原點(diǎn)的距離的平方.x2+y2的最小值為原點(diǎn)到直線x+y-1=0的距離的平方,即

=

,又易知(x2+y2)max=1,∴x2+y2∈

.考點(diǎn)二冪函數(shù)1.(2016課標(biāo)全國Ⅲ文,7,5分)已知a=

,b=

,c=2

,則

()A.b<a<c

B.a<b<c

C.b<c<a

D.c<a<b答案

A解法一:a=

=

,c=2

=

,而函數(shù)y=

在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以

<

<

,即b<a<c,故選A.解法二:a=

=1

,b=

=

,而函數(shù)y=

是單調(diào)遞增函數(shù),知c=2

>1

=a>

=b,所以c>a>b,故選A.2.(2018上海,7,5分)已知α∈

.若冪函數(shù)f(x)=xα為奇函數(shù),且在(0,+∞)上遞減,則α=

.答案-1規(guī)律方法冪函數(shù)y=xα(α∈R)的性質(zhì)及圖象特征:①所有的冪函數(shù)在(0,+∞)上都有定義,并且圖象都過點(diǎn)(1,1);②若α>0,則冪函數(shù)的圖象過原點(diǎn),并且在區(qū)間[0,+∞)上為增函數(shù);③若α<0,則冪函數(shù)的圖象在區(qū)間(0,+∞)上為減函數(shù);④當(dāng)α為奇數(shù)時(shí),冪函數(shù)為奇函數(shù);當(dāng)α為偶數(shù)時(shí),冪函數(shù)為偶函數(shù).解析

本題主要考查冪函數(shù)的性質(zhì).∵冪函數(shù)f(x)=xα為奇函數(shù),∴α可取-1,1,3,又f(x)=xα在(0,+∞)上遞減,∴α<0,故α=-1.1.(2015廣東文,21,14分)設(shè)a為實(shí)數(shù),函數(shù)f(x)=(x-a)2+|x-a|-a(a-1).(1)若f(0)≤1,求a的取值范圍;(2)討論f(x)的單調(diào)性;(3)當(dāng)a≥2時(shí),討論f(x)+

在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).教師專用題組解析(1)f(0)=a2+|a|-a(a-1)=|a|+a.當(dāng)a≤0時(shí),f(0)=0≤1對于任意的a≤0恒成立;當(dāng)a>0時(shí),f(0)=2a,令2a≤1,解得0<a≤

.綜上,a的取值范圍是

.(2)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)R.由已知得,f(x)=

則f'(x)=

當(dāng)x≤a時(shí),f'(x)=2x-(2a+1)=2(x-a)-1<0,所以f(x)在區(qū)間(-∞,a]上單調(diào)遞減;當(dāng)x>a時(shí),f'(x)=2x-(2a-1)=2(x-a)+1>0,所以f(x)在區(qū)間(a,+∞)上單調(diào)遞增.(3)令h(x)=f(x)+

,由(2)得,h(x)=

則h'(x)=

當(dāng)0<x≤a時(shí),h'(x)=2x-(2a+1)-

=2(x-a)-1-

<0,所以h(x)在區(qū)間(0,a]上單調(diào)遞減;當(dāng)x>a時(shí),因?yàn)閍≥2,所以x>2,即0<

<1,所以h'(x)=2(x-a)+

>0,所以h(x)在區(qū)間(a,+∞)上單調(diào)遞增.h(1)=4>0,h(2a)=2a+

>0,①若a=2,則h(a)=-a2+a+

=-4+2+2=0,此時(shí)h(x)在(0,+∞)上有唯一一個(gè)零點(diǎn);②若a>2,則h(a)=-a2+a+

=-

=-

<0,此時(shí)h(x)在區(qū)間(0,a)上和(a,+∞)上各有一個(gè)零點(diǎn),共兩個(gè)零點(diǎn).綜上,當(dāng)a=2時(shí),f(x)+

在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn);當(dāng)a>2時(shí),f(x)+

在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn).2.(2015浙江,18,15分)已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b(a,b∈R),記M(a,b)是|f(x)|在區(qū)間[-1,1]上的最大值.(1)證明:當(dāng)|a|≥2時(shí),M(a,b)≥2;(2)當(dāng)a,b滿足M(a,b)≤2時(shí),求|a|+|b|的最大值.解析(1)證明:由f(x)=

+b-

,得圖象的對稱軸為直線x=-

.由|a|≥2,得

≥1,故f(x)在[-1,1]上單調(diào),所以M(a,b)=max{|f(1)|,|f(-1)|}.當(dāng)a≥2時(shí),由f(1)-f(-1)=2a≥4,得max{f(1),-f(-1)}≥2,即M(a,b)≥2.當(dāng)a≤-2時(shí),由f(-1)-f(1)=-2a≥4,得max{f(-1),-f(1)}≥2,即M(a,b)≥2.綜上,當(dāng)|a|≥2時(shí),M(a,b)≥2.(2)由M(a,b)≤2得|1+a+b|=|f(1)|≤2,|1-a+b|=|f(-1)|≤2,故|a+b|≤3,|a-b|≤3,由|a|+|b|=

得|a|+|b|≤3.當(dāng)a=2,b=-1時(shí),|a|+|b|=3,|f(x)|=|x2+2x-1|,此時(shí)易知|f(x)|在[-1,1]上的最大值為2,即M(2,-1)=2.所以|a|+|b|的最大值為3.考點(diǎn)一二次函數(shù)三年模擬A組2017—2019年高考模擬·考點(diǎn)基礎(chǔ)題組1.(2018河南安陽模擬,5)已知函數(shù)f(x)=-x2+4x+a,x∈[0,1],若f(x)有最小值-2,則f(x)的最大值為

()A.1

B.0

C.-1

D.2答案

A∵f(x)=-x2+4x+a=-(x-2)2+a+4,∴函數(shù)f(x)=-x2+4x+a在[0,1]上單調(diào)遞增,∴當(dāng)x=0時(shí),f(x)取得最小值,當(dāng)x=1時(shí),f(x)取得最大值,∴f(0)=a=-2,f(1)=3+a=3-2=1,故選A.2.(2018山東鄒城第一中學(xué)期中,10)定義運(yùn)算

=ad-bc,若函數(shù)f(x)=

在(-∞,m)上單調(diào)遞減,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

()A.(-∞,-5]

B.(-∞,-5)C.[-5,+∞)

D.(-5,+∞)答案

A

f(x)=(x+1)(x+3)-(-2)×3x=x2+10x+3,所以-

≥m?m≤-5,故選A.3.(2018湖北荊州模擬,8)二次函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=f(-x+2),且f(0)=3,f(2)=1,若在[0,m]上有最大值

3,最小值1,則m的取值范圍是

()A.(0,+∞)

B.[2,+∞)

C.(0,2]

D.[2,4]答案

D∵二次函數(shù)f(x)滿足f(2+x)=f(2-x),∴其圖象的對稱軸是x=2,又f(0)=3,∴f(4)=3,又f(2)

<f(0),∴f(x)的圖象開口向上,∵f(0)=3,f(2)=1,f(4)=3,f(x)在[0,m]上的最大值為3,最小值為1,∴

由二次函數(shù)的性質(zhì)知2≤m≤4.故選D.4.(2017天津紅橋期中,14)若函數(shù)f(x)=ax2+2x-3在區(qū)間(-∞,4)上是單調(diào)遞增的,則實(shí)數(shù)a的取值范

圍是

.答案

解析①當(dāng)a=0時(shí),f(x)=2x-3在(-∞,4)上單調(diào)遞增,滿足題意;②當(dāng)a≠0時(shí),要使函數(shù)f(x)=ax2+2x-3在區(qū)間(-∞,4)上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)a滿足

解得-

≤a<0.綜上,-

≤a≤0.5.(2017江西九江七校聯(lián)考,19)已知二次函數(shù)f(x)圖象的對稱軸為直線x=-2,f(x)的圖象截x軸所

得的線段長為2

,且滿足f(0)=1.(1)求f(x)的解析式;(2)若f

>k對x∈[-1,1]恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.解析

(1)由題意可設(shè)f(x)=a(x+2+

)(x+2-

)(a≠0),由f(0)=1得a=1,∴f(x)=(x+2+

)(x+2-

)=x2+4x+1.(2)當(dāng)x∈[-1,1]時(shí),令t=

,則t∈

,由(1)知f(x)的圖象開口向上,對稱軸為直線x=-2,∴f(t)在t∈

上單調(diào)遞增.∴f(t)min=f

=

.∴實(shí)數(shù)k的取值范圍是

.1.(2018陜西西安檢測,3)函數(shù)y=

的圖象大致是

()

考點(diǎn)二冪函數(shù)答案

C

y=

=

,其定義域?yàn)閤∈R,排除A,B.又0<

<1,圖象在第一象限為上凸的,排除D,故選C.2.(2018湖北宜昌月考,4)函數(shù)f(x)=(m2-m-1)·

是冪函數(shù),且在x∈(0,+∞)上是減函數(shù),則實(shí)數(shù)m的值為()A.2

B.3

C.4

D.5答案

A由題意知m2-m-1=1,解得m=2或m=-1.當(dāng)m=2時(shí),m2-2m-3=-3,f(x)=x-3符合題意;當(dāng)m=-1時(shí),m2-2m-3=0,f(x)=x0不合題意,綜上,m=2.3.(2018河南洛陽二模,7)已知點(diǎn)

在冪函數(shù)f(x)=(a-1)xb的圖象上,則函數(shù)f(x)是

()A.奇函數(shù)

B.偶函數(shù)C.定義域內(nèi)的減函數(shù)

D.定義域內(nèi)的增函數(shù)答案

A∵點(diǎn)

在冪函數(shù)f(x)=(a-1)xb的圖象上,∴a-1=1,解得a=2,且2b=

,∴b=-1,∴f(x)=x-1,∴函數(shù)f(x)在定義域(-∞,0)∪(0,+∞)上是奇函數(shù),且在每一個(gè)區(qū)間內(nèi)是減函數(shù).故選A.4.(2018山東濰坊三模,8)已知a=

,b=

,c=lo

,則a,b,c的大小關(guān)系是

()A.a<b<c

B.b<a<c

C.c<a<b

D.a<c<b答案

A因?yàn)閥=

是定義域上的增函數(shù),所以

<

<1,即0<a<b<1,又c=lo

>lo

=1,所以a<b<c,故選A.5.(2018寧夏銀川月考,10)已知冪函數(shù)f(x)的圖象過點(diǎn)(2,

),則f(4)的值為

.答案2解析設(shè)冪函數(shù)f(x)=xa,∵f(x)的圖象過點(diǎn)(2,

),∴2a=

,解得a=

,∴f(4)=

=2.B組2017—2019年高考模擬·專題綜合題組時(shí)間:45分鐘分值:70分一、選擇題(每小題5分,共35分)1.(2018北京東城月考,6)已知冪函數(shù)f(x)=(n2+2n-2)·

(n∈Z)的圖象關(guān)于y軸對稱,且在(0,+∞)上是減函數(shù),則n的值為

()A.-3

B.1

C.2

D.1或2答案

B由于f(x)為冪函數(shù),所以n2+2n-2=1,解得n=1或n=-3,經(jīng)檢驗(yàn),只有n=1符合題意,故選B.2.(2019山東聊城第一中學(xué)模擬,4)已知函數(shù)f(x)是偶函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),f(x)=

,則在(-2,0)上,下列函數(shù)中與f(x)的單調(diào)性相同的是

()A.y=-x2+1

B.y=|x+1|C.y=e|x|

D.y=

答案

C由已知得f(x)在(-2,0)上單調(diào)遞減,由此可知只有選項(xiàng)C符合題意,故選C.3.(2018湖北武漢模擬,10)冪函數(shù)y=xα,當(dāng)α取不同的正數(shù)時(shí),在區(qū)間[0,1]上它們的圖象是一組美

麗的曲線(如圖),設(shè)點(diǎn)A(1,0),B(0,1),連接AB,線段AB恰好被其中的兩個(gè)冪函數(shù)y=xa,y=xb的圖象

三等分,即有BM=MN=NA,則a-

=

()

A.0

B.1

C.

D.2答案

A因?yàn)锽M=MN=NA,點(diǎn)A(1,0),B(0,1),所以M

,N

,分別代入y=xa,y=xb,得a=lo

,b=lo

,∴a-

=lo

-

=0.故選A.4.(2018湖北襄樊調(diào)研,11)設(shè)a,b是關(guān)于x的一元二次方程x2-2mx+m+6=0的兩個(gè)實(shí)根,則(a-1)2+(b-

1)2的最小值是

()A.-

B.18

C.8

D.-6答案

C∵方程x2-2mx+m+6=0的兩個(gè)根為a,b,∴

且Δ=4(m2-m-6)≥0,∴m≥3或m≤-2.令y=(a-1)2+(b-1)2=(a+b)2-2ab-2(a+b)+2=4m2-6m-10=4

-

,由二次函數(shù)的性質(zhì)知,當(dāng)m=3時(shí),函數(shù)y=4m2-6m-10取得最小值,最小值為8.故(a-1)2+(b-1)2的最小

值是8.故選C.5.(2018山東德州期中,1)已知f(x)=ax2+(b-a)x+c-b(其中a>b>c),若a+b+c=0,x1、x2為f(x)的兩個(gè)零

點(diǎn),則|x1-x2|的取值范圍為

()A.

B.(2,2

)C.(1,2)

D.(1,2

)答案

A∵a>b>c,a+b+c=0,∴a>0,c<0,b=-a-c,∴

<0,由根與系數(shù)的關(guān)系可得x1+x2=

=

=2+

,x1·x2=

=

=1+

,∴

=

-4x1x2=

-4

=

-

=

-4.∵a>b>c,a>0,∴x1+x2=

>0,x1·x2=

<0,∴2+

>0,1+

<0,∴-2<

<-

,∴

<

-4<12,∴|x1-x2|∈

,故選A.6.(2017山東菏澤一模,10)設(shè)min{m,n}表示m、n二者中較小的一個(gè),已知函數(shù)f(x)=x2+8x+14,g(x)

=min

(x>0),若?x1∈[-5,a](a≥-4),?x2∈(0,+∞),使得f(x1)=g(x2)成立,則a的最大值為

()A.-4

B.-3

C.-2

D.0答案

C當(dāng)

=log2(4x)時(shí),解得x=1,當(dāng)0<x≤1時(shí),

≥log2(4x),當(dāng)x>1時(shí),

<log2(4x),∴g(x)=min

(x>0)=

∴當(dāng)0<x≤1時(shí),g(x)的值域?yàn)?-∞,2];當(dāng)x>1時(shí),g(x)的值域?yàn)?0,2),∴g(x)的值域?yàn)?-∞,2].∵f(x)=x2+8x+14=(x+4)2-2,其圖象的對稱軸為直線x=-4,∴f(x)在[-5,-4]上為減函數(shù),在(-4,a]上為增函數(shù),∵f(-5)=-1,f(a)=a2+8a+14,∴當(dāng)-4≤a≤-3時(shí),函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇-2,-1];當(dāng)a>-3時(shí),函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇-2,a2+8a+14],∵?x1∈[-5,a](a≥-4),?x2∈(0,+∞),使得f(x1)=g(x2)成立,∴a2+8a+14≤2,解得-6≤a≤-2,∴-3<a≤-2.綜上所述,a的取值范圍為[-4,-2],∴a的最大值為-2,故選C.思路分析

根據(jù)新定義求出函數(shù)g(x)的解析式,再求出函數(shù)g(x)的值域,進(jìn)而求出f(x)的值域,由

?x1∈[-5,a](a≥-4),?x2∈(0,+∞),使得f(x1)=g(x2)成立,知f(x)的值域是g(x)的值域的子集,由此求

出實(shí)數(shù)a的取值范圍,進(jìn)而得出a的最大值.7.(2018山東平度第一中學(xué)模擬,12)已知函數(shù)f(x)=

g(x)=x2-2x-

.設(shè)b為實(shí)數(shù),若存在實(shí)數(shù)a,使得f(a)+g(b)=2成立,則實(shí)數(shù)b的取值范圍為

()A.(-1,3)

B.[-1,3]C.(-∞,-1]∪[3,+∞)

D.(-∞,-1)∪(3,+∞)答案

B當(dāng)a<-1時(shí),f(a)=

=

=

.∵a+1+

≤-2,當(dāng)且僅當(dāng)a=-2時(shí)取等號,∴f(a)的取值范圍是

.當(dāng)a≥-1時(shí),f(a)=ln(a+2).∴f(a)的取值范圍是[0,+∞).綜上,f(a)的取值范圍是

.要存在實(shí)數(shù)a,使得f(a)+g(b)=2成立,則函數(shù)g(b)=b2-2b-

≤

,解得-1≤b≤3.二、填空題(共5分)8.(2018山東菏澤第一中學(xué)第一次月考,16)已知函數(shù)f(x)=x-

,g(x)=x2-2ax+4,若對任意x1∈[0,1],存在x2∈[1,2],使f(x1)≥g(x2),則實(shí)數(shù)a的最小值是

.答案

解析由題意得,原不等式可轉(zhuǎn)化為f(x)min≥g(x)min,顯然,f(x)在區(qū)間[0,1]上是單調(diào)遞增函數(shù),所

以f(x)min=f(0)=-1,當(dāng)a<1時(shí),g(x)min=g(1)=5-2a≤-1,解得a≥3,與a<1矛盾,舍去;當(dāng)a>2時(shí),g(x)min=g(2)

=8-4a≤-1,解得a≥

,符合題意;當(dāng)1≤a≤2時(shí),g(x)min=g(a)=4-a2≤-1,解得a≥

或a≤-

,與1≤a≤2矛盾,舍去.綜上所述,a≥