大學(xué)物理-馬文蔚-第五版-下冊-第十四章-課后答案

第十四章相對論14－1以下說法中(1)兩個相互作用的粒子系統(tǒng)對某一慣性系滿足動量守恒，對另一個慣性系來說，其動量不一定守恒；(2)在真空中，光的速度與光的頻率、光源的運動狀態(tài)無關(guān)；(3)在任何慣性系中，光在真空中沿任何方向的傳播速率都相同.其中哪些說法是正確的？()(A)只有(1)、(2)是正確的(B)只有(1)、(3)是正確的(C)只有(2)、(3)是正確的(D)三種說法都是正確的分析與解物理相對性原理和光速不變原理是相對論的根底.前者是理論根底，后者是實驗根底.按照這兩個原理，任何物理規(guī)律(含題述動量守恒定律)對某一慣性系成立，對另一慣性系也同樣成立.而光在真空中的速度與光源頻率和運動狀態(tài)無關(guān)，從任何慣性系(相對光源靜止還是運動)測得光速均為3×108m·s14－2按照相對論的時空觀，判斷以下表達中正確的選項是()(A)在一個慣性系中兩個同時的事件，在另一慣性系中一定是同時事件(B)在一個慣性系中兩個同時的事件，在另一慣性系中一定是不同時事件(C)在一個慣性系中兩個同時又同地的事件，在另一慣性系中一定是同時同地事件(D)在一個慣性系中兩個同時不同地的事件，在另一慣性系中只可能同時不同地(Ｅ)在一個慣性系中兩個同時不同地事件，在另一慣性系中只可能同地不同時分析與解設(shè)在慣性系Ｓ中發(fā)生兩個事件，其時間和空間間隔分別為Δt和Δx，按照洛倫茲坐標變換，在Ｓ′系中測得兩事件時間和空間間隔分別為和討論上述兩式，可對題述幾種說法的正確性予以判斷：說法(A)(B)是不正確的，這是因為在一個慣性系(如Ｓ系)發(fā)生的同時(Δt＝0)事件，在另一個慣性系(如Ｓ′系)中是否同時有兩種可能，這取決于那兩個事件在Ｓ系中發(fā)生的地點是同地(Δx＝0)還是不同地(Δx≠0).說法(D)(Ｅ)也是不正確的，由上述兩式可知：在Ｓ系發(fā)生兩個同時(Δt＝0)不同地(Δx≠0)事件，在Ｓ′系中一定是既不同時(Δt′≠0)也不同地(Δx′≠0)，但是在Ｓ系中的兩個同時同地事件，在Ｓ′系中一定是同時同地的，故只有說法(C)正確.有興趣的讀者，可對上述兩式詳加討論，以增加對相對論時空觀的深入理解.14－3有一細棒固定在Ｓ′系中，它與Ox′軸的夾角θ′＝60°，如果Ｓ′系以速度u沿Ox方向相對于Ｓ系運動，Ｓ系中觀察者測得細棒與Ox軸的夾角()(A)等于60°(B)大于60°(C)小于60°(D)當(dāng)Ｓ′系沿Ox正方向運動時大于60°，而當(dāng)Ｓ′系沿Ox負方向運動時小于60°分析與解按照相對論的長度收縮效應(yīng)，靜止于Ｓ′系的細棒在運動方向的分量(即Ox軸方向)相對Ｓ系觀察者來說將會縮短，而在垂直于運動方向上的分量不變，因此Ｓ系中觀察者測得細棒與Ox軸夾角將會大于60°，此結(jié)論與Ｓ′系相對Ｓ系沿Ox軸正向還是負向運動無關(guān).由此可見應(yīng)選(C).14－4一飛船的固有長度為L，相對于地面以速度v1作勻速直線運動，從飛船中的后端向飛船中的前端的一個靶子發(fā)射一顆相對于飛船的速度為v2的子彈.在飛船上測得子彈從射出到擊中靶的時間間隔是()(c表示真空中光速)(A)(B)(C)(D)分析與解固有長度是指相對測量對象靜止的觀察者所測，那么題中L、v2以及所求時間間隔均為同一參考系(此處指飛船)中的三個相關(guān)物理量，求解時與相對論的時空觀無關(guān).應(yīng)選(C).討論從地面測得的上述時間間隔為多少？建議讀者自己求解.注意此處要用到相對論時空觀方面的規(guī)律了.14－5設(shè)Ｓ′系以速率v＝0.60c相對于Ｓ系沿xx′軸運動，且在t＝t′＝0時，x＝x′＝0.(1)假設(shè)有一事件，在Ｓ系中發(fā)生于t＝2.0×10－7ｓ，x＝50m處，該事件在Ｓ′系中發(fā)生于何時刻？(2)如有另一事件發(fā)生于Ｓ系中t＝3.0×10-7ｓ，x＝10m分析在相對論中，可用一組時空坐標(x，y，z，t)表示一個事件.因此，此題可直接利用洛倫茲變換把兩事件從Ｓ系變換到Ｓ′系中.解(1)由洛倫茲變換可得Ｓ′系的觀察者測得第一事件發(fā)生的時刻為(2)同理，第二個事件發(fā)生的時刻為所以，在Ｓ′系中兩事件的時間間隔為14－6設(shè)有兩個參考系Ｓ和Ｓ′，它們的原點在t＝0和t′＝0時重合在一起.有一事件，在Ｓ′系中發(fā)生在t′＝8.0×10－8s，x′＝60m，y′＝0，z′＝0處假設(shè)Ｓ′系相對于Ｓ系以速率v＝0.6c沿分析此題可直接由洛倫茲逆變換將該事件從Ｓ′系轉(zhuǎn)換到Ｓ系.解由洛倫茲逆變換得該事件在Ｓ系的時空坐標分別為y＝y(tǒng)′＝0z＝z′＝014－7一列火車長0.30km(火車上觀察者測得)，以100km·h-1的速度行駛，地面上觀察者發(fā)現(xiàn)有兩個閃電同時擊中火車的前后兩端.問火車上的觀察者測得兩閃電擊中火車前后兩端的時間間隔為多少？分析首先應(yīng)確定參考系，如設(shè)地面為Ｓ系，火車為Ｓ′系，把兩閃電擊中火車前后端視為兩個事件(即兩組不同的時空坐標).地面觀察者看到兩閃電同時擊中，即兩閃電在Ｓ系中的時間間隔Δt＝t2－t1＝0.火車的長度是相對火車靜止的觀察者測得的長度(注：物體長度在不指明觀察者的情況下，均指相對其靜止參考系測得的長度)，即兩事件在Ｓ′系中的空間間隔Δx′＝x′2－x′1＝0.30×103(1)(2)將條件代入式(1)可直接解得結(jié)果.也可利用式(2)求解，此時應(yīng)注意，式中為地面觀察者測得兩事件的空間間隔，即Ｓ系中測得的火車長度，而不是火車原長.根據(jù)相對論，運動物體(火車)有長度收縮效應(yīng)，即.考慮這一關(guān)系方可利用式(2)求解.解1根據(jù)分析，由式(1)可得火車(Ｓ′系)上的觀察者測得兩閃電擊中火車前后端的時間間隔為負號說明火車上的觀察者測得閃電先擊中車頭x′2處.解2根據(jù)分析，把關(guān)系式代入式(2)亦可得與解1相同的結(jié)果.相比之下解1較簡便，這是因為解1中直接利用了＝0.30km這一條件.14－8在慣性系Ｓ中，某事件A發(fā)生在x1處，經(jīng)過2.0×10－6ｓ后，另一事件B發(fā)生在x2處，x2－x1＝300m.問：(1)能否找到一個相對Ｓ系作勻速直線運動的參考系Ｓ′，在Ｓ′系中，兩事件發(fā)生在同一地點？(2)在Ｓ′系中，上述兩事件的時間間隔為多少？分析在相對論中，從不同慣性系測得兩事件的空間間隔和時間間隔有可能是不同的.它與兩慣性系之間的相對速度有關(guān).設(shè)慣性系Ｓ′以速度v相對Ｓ系沿x軸正向運動，因在Ｓ系中兩事件的時空坐標，由洛倫茲時空變換式，可得(1)(2)兩事件在Ｓ′系中發(fā)生在同一地點，即x′2－x′1＝0，代入式(1)可求出v值以此作勻速直線運動的Ｓ′系，即為所尋找的參考系.然后由式(2)可得兩事件在Ｓ′系中的時間間隔.對于此題第二問，也可從相對論時間延緩效應(yīng)來分析.因為如果兩事件在Ｓ′系中發(fā)生在同一地點，那么Δt′為固有時間間隔(原時)，由時間延緩效應(yīng)關(guān)系式可直接求得結(jié)果.解(1)令x′2－x′1＝0，由式(1)可得(2)將v值代入式(2)，可得這說明在Ｓ′系中事件A先發(fā)生.14－9設(shè)在正負電子對撞機中，電子和正電子以速度0.90c分析設(shè)對撞機為Ｓ系，沿x軸正向飛行的正電子為Ｓ′系.Ｓ′系相對Ｓ系的速度v＝0.90c，那么另一電子相對Ｓ系速度ux＝－0.90c，該電子相對Ｓ′系(即沿x軸正向飛行的電子)的速度u′解按分析中所選參考系，電子相對Ｓ′系的速度為式中負號表示該電子沿x′軸負向飛行，正好與正電子相向飛行.討論假設(shè)按照伽利略速度變換，它們之間的相對速度為多少？14－10設(shè)想有一粒子以0.050c的速率相對實驗室參考系運動.此粒子衰變時發(fā)射一個電子，電子的速率為分析這是相對論的速度變換問題.取實驗室為Ｓ系，運動粒子為Ｓ′系，那么Ｓ′系相對Ｓ系的速度v＝0.050c.題中所給的電子速率是電子相對衰變粒子的速率，故u′x＝0.80解根據(jù)分析，由洛倫茲速度逆變換式可得電子相對Ｓ系的速度為14－11設(shè)在宇航飛船中的觀察者測得脫離它而去的航天器相對它的速度為1.2×108m·ｓ-1i.同時，航天器發(fā)射一枚空間火箭，航天器中的觀察者測得此火箭相對它的速度為1.0×108m分析該題仍是相對論速度變換問題.(2)中用激光束來替代火箭，其區(qū)別在于激光束是以光速c相對航天器運動，因此其速度變換結(jié)果應(yīng)該與光速不變原理相一致.解設(shè)宇航飛船為Ｓ系，航天器為Ｓ′系，那么Ｓ′系相對Ｓ系的速度v＝1.2×108m·ｓ－1，空間火箭相對航天器的速度為u′x＝1.0×108m·ｓ(1)空間火箭相對Ｓ系的速度為(2)激光束相對Ｓ系的速度為即激光束相對宇航飛船的速度仍為光速c，這是光速不變原理所預(yù)料的.如用伽利略變換，那么有ux＝c＋v＞c.這說明對伽利略變換而言，運動物體沒有極限速度，但對相對論的洛倫茲變換來說，光速是運動物體的極限速度.14－12以速度v沿x方向運動的粒子，在y方向上發(fā)射一光子，求地面觀察者所測得光子的速度.分析設(shè)地面為Ｓ系，運動粒子為Ｓ′系.與上題不同之處在于，光子的運動方向與粒子運動方向不一致，因此應(yīng)先求出光子相對Ｓ系速度u的分量ux、uy和uz，然后才能求u的大小和方向.根據(jù)所設(shè)參考系，光子相對Ｓ′系的速度分量分別為u′x＝0，u′y＝c，u′z＝0.解由洛倫茲速度的逆變換式可得光子相對Ｓ系的速度分量分別為所以，光子相對Ｓ系速度u的大小為速度u與x軸的夾角為討論地面觀察者所測得光子的速度仍為c，這也是光速不變原理的必然結(jié)果.但在不同慣性參考系中其速度的方向卻發(fā)生了變化.14－13設(shè)想地球上有一觀察者測得一宇宙飛船以0.60c的速率向東飛行，5.0ｓ后該飛船將與一個以0.80分析(1)這是一個相對論速度變換問題.取地球為Ｓ系，飛船為Ｓ′系，向東為x軸正向.那么Ｓ′系相對Ｓ系的速度v＝0.60c，彗星相對Ｓ系的速度ux＝－0.(2)可從下面兩個角度考慮：ａ.以地球為Ｓ系，飛船為Ｓ′系.設(shè)x0＝x′0＝0時t0＝t′0＝0，飛船與彗星相碰這一事件在Ｓ系中的時空坐標為t＝5.0ｓ，x＝vt.利用洛倫茲時空變換式可求出t′，那么Δt′＝t′－t′0表示飛船與彗星相碰所經(jīng)歷的時間.ｂ.把t0＝t′0＝0時的飛船狀態(tài)視為一個事件，把飛船與彗星相碰視為第二個事件.這兩個事件都發(fā)生在Ｓ′系中的同一地點(即飛船上)，飛船上的觀察者測得這兩個事件的時間間隔Δt′為固有時，而地面觀察者所測得上述兩事件的時間間隔Δt＝5.0ｓ比固有時要長，根據(jù)時間延緩效應(yīng)可求出Δt′.解(1)由洛倫茲速度變換得彗星相對Ｓ′系的速度為即彗星以0.946c(2)飛船與彗星相碰這一事件在Ｓ′系中的時刻為即在飛船上看，飛船與彗星相碰發(fā)生在時刻t′＝4.0ｓ.也可以根據(jù)時間延緩效應(yīng)，解得Δt′＝4.0ｓ，即從飛船上的鐘來看，尚有4.0ｓ時間允許它離開原來的航線.14－14在慣性系Ｓ中觀察到有兩個事件發(fā)生在同一地點，其時間間隔為4.0s，從另一慣性系Ｓ′中觀察到這兩個事件的時間間隔為6.0s，試問從Ｓ′系測量到這兩個事件的空間間隔是多少？設(shè)Ｓ′系以恒定速率相對Ｓ系沿xx′軸運動.分析這是相對論中同地不同時的兩事件的時空轉(zhuǎn)換問題.可以根據(jù)時間延緩效應(yīng)的關(guān)系式先求出Ｓ′系相對Ｓ系的運動速度v，進而得到兩事件在Ｓ′系中的空間間隔Δx′＝vΔt′(由洛倫茲時空變換同樣可得到此結(jié)果).解由題意知在Ｓ系中的時間間隔為固有的，即Δt＝4.0ｓ，而Δt′＝6.0s.根據(jù)時間延緩效應(yīng)的關(guān)系式，可得Ｓ′系相對Ｓ系的速度為兩事件在Ｓ′系中的空間間隔為14－15在慣性系Ｓ中，有兩個事件同時發(fā)生在xx′軸上相距為1.0×103m的兩處，從慣性系Ｓ′觀測到這兩個事件相距為2.0×103分析這是同時不同地的兩事件之間的時空轉(zhuǎn)換問題.由于此題未給出Ｓ′系相對Ｓ系的速度v，故可由不同參考系中兩事件空間間隔之間的關(guān)系求得v，再由兩事件時間間隔的關(guān)系求出兩事件在Ｓ′系中的時間間隔.解設(shè)此兩事件在Ｓ系中的時空坐標為(x1，0，0，t1)和(x2，0，0，t2)，且有x2－x1＝1.0×103m，t2－t1＝0.而在Ｓ′系中，此兩事件的時空坐標為(x′1，0，0，t′1)和(x′2，0，0，t′2)，且|x′2－x′1|＝2.0×(1)(2)由式(1)可得將v值代入式(2)，可得14－16有一固有長度為l0的棒在Ｓ系中沿x軸放置，并以速率u沿xx′軸運動.假設(shè)有一Ｓ′系以速率v相對Ｓ系沿xx′軸運動，試問從Ｓ′系測得此棒的長度為多少？分析當(dāng)棒相對觀察者(為Ｓ′系)存在相對運動時，觀察者測得棒的長度要比棒的固有長度l0短，即.式中u′是棒相對觀察者的速度，而不要誤認為一定是Ｓ′系和Ｓ系之間的相對速度v.在此題中，棒并非靜止于Ｓ系，因而Ｓ′系與Ｓ系之間的相對速度v并不是棒與Ｓ′系之間的相對速度u′.所以此題應(yīng)首先根據(jù)洛倫茲速度變換式求u′，再代入長度收縮公式求l.解根據(jù)分析，有(1)(2)解上述兩式，可得14－17假設(shè)從一慣性系中測得宇宙飛船的長度為其固有長度的一半，試問宇宙飛船相對此慣性系的速度為多少？(以光速c表示)解設(shè)宇宙飛船的固有長度為l0，它相對于慣性系的速率為v，而從此慣性系測得宇宙飛船的長度為，根據(jù)洛倫茲長度收縮公式，有可解得v＝0.86614－18一固有長度為4.0m的物體，假設(shè)以速率0.60c沿x解由洛倫茲長度收縮公式*14－19設(shè)一宇航飛船以a＝9.8m·ｓ－2的恒加速度，沿地球徑向背離地球而去，試估計由于譜線的紅移，經(jīng)多少時間，飛船的宇航員用肉眼觀察不到地球上的霓虹燈發(fā)出的紅色信號.分析霓虹燈發(fā)出的紅色信號所對應(yīng)的紅光波長范圍一般為620nm～760nm，當(dāng)飛船遠離地球而去時，由光的多普勒效應(yīng)可知，宇航員肉眼觀察到的信號頻率ν＜ν0，即λ＞λ0，其中ν0和λ0為霓虹燈的發(fā)光頻率和波長.很顯然，當(dāng)λ0＝620nm，而對應(yīng)的紅限波長λ＝760nm時，霓虹燈發(fā)出的紅色信號，其波長剛好全部進入非可見光范圍，即宇航員用肉眼觀察不到紅色信號.因此，將上述波長的臨界值代入多普勒頻移公式，即可求得宇航員觀察不到紅色信號時飛船的最小速率v，再由運動學(xué)關(guān)系，可求得飛船到達此速率所需的時間t.解當(dāng)光源和觀察者背向運動時，由光的多普勒效應(yīng)頻率公式得波長公式式中v為飛船相對地球的速率.令λ0＝620nm，λ＝760nm，得宇航員用肉眼觀察不到地球上紅色信號時飛船的最小速率為飛船達此速率所需的時間為14－20假設(shè)一電子的總能量為5.0MeV，求該電子的靜能、動能、動量和速率.分析粒子靜能E0是指粒子在相對靜止的參考系中的能量，，式中為粒子在相對靜止的參考系中的質(zhì)量.就確定粒子來說，E0和m0均為常數(shù)(對于電子，有m0＝9.1×10－31ｋｇ，E0＝0.512MeV).此題中由于電子總能量E＞E0，因此，該電子相對觀察者所在的參考系還應(yīng)具有動能，也就具有相應(yīng)的動量和速率.由相對論動能定義、動量與能量關(guān)系式以及質(zhì)能關(guān)系式，即可解出結(jié)果.解電子靜能為電子動能為EK＝E－E0＝4.488MeV由，得電子動量為由可得電子速率為14－21一被加速器加速的電子，其能量為3.00×109eV.試問：(1)這個電子的質(zhì)量是其靜質(zhì)量的多少倍？(2)這個電子的速率為多少？解(1)由相對論質(zhì)能關(guān)系和可得電子的動質(zhì)量m與靜質(zhì)量m0之比為(2)由相對論質(zhì)速關(guān)系式可解得可見此時的電子速率已十分接近光速了.14－22在電子偶的湮沒過程中，一個電子和一個正電子相碰撞而消失，并產(chǎn)生電磁輻射.假定正負電子在湮沒前均靜止，由此估算輻射的總能量E.分析在相對論中，粒子的相互作用過程仍滿足能量守恒定律，因此輻射總能量應(yīng)等于電子偶湮沒前兩電子總能之和.按題意電子