專題01 截長(zhǎng)補(bǔ)短模型（解析版）（人教版）

專題01截長(zhǎng)補(bǔ)短模型【基本模型】【例題精講】例1．（基本模型）(1)閱讀理解：?jiǎn)栴}：如圖1，在四邊形中，對(duì)角線平分，．求證：．思考：“角平分線+對(duì)角互補(bǔ)”可以通過“截長(zhǎng)、補(bǔ)短”等構(gòu)造全等去解決問題．方法1：在上截取，連接，得到全等三角形，進(jìn)而解決問題；方法2：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，連接，得到全等三角形，進(jìn)而解決問題．結(jié)合圖1，在方法1和方法2中任選一種，添加輔助線并完成證明．(2)問題解決：如圖2，在(1)的條件下，連接，當(dāng)時(shí)，探究線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)問題拓展：如圖3，在四邊形中，，，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，請(qǐng)寫出線段、、之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由．【答案】（1）見解析；（2），見解析；（3），見解析【分析】（1）在上截取，連接，證明，得出，，進(jìn)而得出，則，等量代換即可得證；（2），，之間的數(shù)量關(guān)系為．方法1：在上截取，連接，由知，得出，為等邊三角形，證明，得出，進(jìn)而即可得證；方法：延長(zhǎng)到，使，連接，由知，則，是等邊三角形，證明，得出，進(jìn)而即可得證；（3）線段、、之間的數(shù)量關(guān)系為，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，證明，和，得出，進(jìn)而即可得證．【詳解】解：（1）方法1：在上截取，連接，平分，，在和中，，，，，，，，，；方法：延長(zhǎng)到，使，連接，平分，，在和中，，，，，，，，，；（2），，之間的數(shù)量關(guān)系為．理由如下：如圖，在上截取，連接，由知，，，，，為等邊三角形，，，，為等邊三角形，，，，，，．（3）線段、、之間的數(shù)量關(guān)系為．連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，，，，在和中，，，，，在和中，，，，，，【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．例2．（培優(yōu)1）如圖①，四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB與BC上，且∠EDF=45°，易證：AE+CF=EF（不用證明）．（1）如圖②，在四邊形ABCD中，∠ADC=120°，DA=DC，∠DAB=∠BCD=90°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB與BC上，且∠EDF=60°．猜想AE，CF與EF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（2）如圖③，在四邊形ABCD中，∠ADC=2α，DA=DC，∠DAB與∠BCD互補(bǔ)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB與BC上，且∠EDF=α，請(qǐng)直接寫出AE，CF與EF之間的數(shù)量關(guān)系，不用證明．【答案】（1）AE+CF=EF，證明見解析；（2），理由見解析.【分析】（1）由題干中截長(zhǎng)補(bǔ)短的提示，再結(jié)合第（1）問的證明結(jié)論，在第二問可以用截長(zhǎng)補(bǔ)短的方法來構(gòu)造全等，從而達(dá)到證明結(jié)果．（2）同理作輔助線，同理進(jìn)行證明即可，直接寫出猜想，并證明．【詳解】（1）圖2猜想：AE+CF=EF，證明：在BC的延長(zhǎng)線上截取CA'=AE，連接A'D，∵∠DAB=∠BCD=90°，∴∠DAB=∠DCA'=90°，又∵AD=CD，AE=A'C，∴△DAE≌△DCA'（SAS），∴ED=A'D，∠ADE=∠A'DC，∵∠ADC=120°，∴∠EDA'=120°，∵∠EDF=60°，∴∠EDF=∠A'DF=60°，又DF=DF，∴△EDF≌△A'DF（SAS），則EF=A'F=FC+CA'=FC+AE；（2）如圖3，AE+CF=EF，證明：在BC的延長(zhǎng)線上截取CA'=AE，連接A'D，∵∠DAB與∠BCD互補(bǔ)，∠BCD+∠DCA'=180°∴∠DAB=∠DCA'，又∵AD=CD，AE=A'C，∴△DAE≌△DCA'（SAS），∴ED=A'D，∠ADE=∠A'DC，∵∠ADC=2α，∴∠EDA'=2α，∵∠EDF=α，∴∠EDF=∠A'DF=α又DF=DF，∴△EDF≌△A'DF（SAS），則EF=A'F=FC+CA'=FC+AE．【點(diǎn)睛】本題是常規(guī)的角含半角的模型，解決這類問題的通法：旋轉(zhuǎn)（截長(zhǎng)補(bǔ)短）構(gòu)造全等即可，題目所給例題的思路，為解決此題做了較好的鋪墊．例3．（培優(yōu)2）思維探索：在正方形ABCD中，AB＝4，∠EAF的兩邊分別交射線CB，DC于點(diǎn)E，F(xiàn)，∠EAF＝45°．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段BC，CD上時(shí)，△CEF的周長(zhǎng)是；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別在CB，DC的延長(zhǎng)線上，CF＝2時(shí)，求△CEF的周長(zhǎng)；拓展提升：如圖3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，過點(diǎn)B作BD⊥BC，連接AD，在BC的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E，使∠EDA＝30°，連接AE，當(dāng)BD＝2，∠EAD＝45°時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段CE的長(zhǎng)度．【答案】思維探索：（1）8；（2）12；拓展提升：CE＝﹣1．【分析】思維探索：（1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，證明△AGE≌△AFE即可；（2）把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到AD，交CD于點(diǎn)G，證明△AEF≌△AGF即可求得EF＝DF﹣BE；拓展提升：如圖3，過A作AG⊥BD交BD的延長(zhǎng)線于G，推出四邊形ACBG是矩形，得到矩形ACBG是正方形，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AC＝AG，∠CAG＝90°，在BG上截取GF＝CE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AE＝AF，∠EAC＝∠FAG，∠ADF＝∠ADE＝30°，解直角三角形得到DE＝DF＝4，BE＝2，設(shè)CE＝x，則GF＝CE＝x，BC＝BG＝2﹣x，根據(jù)線段的和差即可得到結(jié)論．【詳解】思維探索：（1）如圖1，將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，∴GB＝DF，AF＝AG，∠BAG＝∠DAF，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠BAD＝90°，∵∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠DAF＝45°，∴∠BAG+∠BAE＝45°＝∠EAF，在△AGE和△AFE中∴△AGE≌△AFE（SAS），∴GE＝EF，∵GE＝GB+BE＝BE+DF，∴EF＝BE+DF，∴△CEF的周長(zhǎng)＝CE+CF+EF＝CE+BE+DF+CF＝BC+CD＝8，故答案為：8；（2）如，2，把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到AD，交CD于點(diǎn)G，同（1）可證得△AEF≌△AGF，∴EF＝GF，且DG＝BE，∴EF＝DF﹣DG＝DF﹣BE，∴△CEF的周長(zhǎng)＝CE+CF+EF＝CE+CF+DF﹣BE＝BC+DF+CF＝4+4+2+2＝12；拓展提升：如圖3，過A作AG⊥BD交BD的延長(zhǎng)線于G，∵BD⊥BC，∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠CBG＝∠G＝90°，∴四邊形ACBG是矩形，∵AC＝BC，∴矩形ACBG是正方形，∴AC＝AG，∠CAG＝90°，在BG上截取GF＝CE，∴△AEC≌△AGF（SAS），∴AE＝AF，∠EAC＝∠FAG，∵∠EAD＝∠BAC＝∠GAB＝45°，∴∠DAF＝∠DAE＝45°，∵AD＝AD，∴△ADE≌△ADF（SAS），∴∠ADF＝∠ADE＝30°，∴∠BDE＝60°，∵∠DBE＝90°，BD＝2，∴DE＝DF＝4，BE＝2，設(shè)CE＝x，則GF＝CE＝x，BC＝BG＝2﹣x，∴DG＝2+2﹣x，∴DG﹣FG＝DF，即2+2﹣x﹣x＝4，∴x＝﹣1，∴CE＝﹣1．【點(diǎn)睛】本題以正方形為背景，結(jié)合旋轉(zhuǎn)，三角形全等，解直角三角形進(jìn)行綜合性考查，熟知常見的全等模型，旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，三角形的判定及性質(zhì)，正方形，矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例4．（培優(yōu)3）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=α，點(diǎn)D在邊AC上（不與點(diǎn)A，C重合）連接BD，點(diǎn)K為線段BD的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，連結(jié)CK，EK，CE，將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度（旋轉(zhuǎn)角小于90°）（1）如圖1，若α=45°，則△ECK的形狀為______；（2）在（1）的條件下，若將圖1中的△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使得D，E，B三點(diǎn)共線，點(diǎn)K為線段BD的中點(diǎn)，如圖2所示，求證：BE-AE=2CK；【答案】（1）△ECK是等腰直角三角形；（2）見解析；（3）BE-AE?tanα=2CK．理由見解析．【分析】（1）利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)及等腰直角三角形的性質(zhì)證明EK=KC，∠EKC=90°即可；（2）在BD上截取BG=DE，連接CG，設(shè)AC交BF于Q，結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)利用SAS可證△AEC≌△BGC，由全等三角形對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)易證△ECG是等腰直角三角形，由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可得CK=EK=KG，等量代換可得結(jié)論.【詳解】（1）解：結(jié)論：△ECK是等腰直角三角形．理由：如圖1中，∵∠A=45°，∠ACB=90°，∴∠A=∠CBA=45°，∴CA=CB，∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∵DK=KB，∴EK=KB=DK=BD，∴∠KEB=∠KBE，∴∠EKD=∠KBE+∠KEB=2∠KBE，∵∠DCB=90°，DK=KB，∴CK=KB=KD=BD，∴∠KCB=∠KBC，EK=KC，∴∠DKC=∠KBC+∠KCB=2∠KBC，∴∠EKC=∠EKD+∠DKC=2（∠KBE+∠KBC）=2∠ABC=90°，∴△ECK是等腰直角三角形．（2）證明：如圖2中，在BD上截取BG=DE，連接CG，設(shè)AC交BF于Q．∵∠α=45°，DE⊥AE，∴∠AED=90°，∠DAE=45°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴DE=AE=BG，∵∠1+∠3=∠2+∠4=90°，∠1=∠2，∴∠3=∠4，∵AC=BC，∴△AEC≌△BGC（SAS），∴CE=CG，∠5=∠BCG，∴∠ECG=∠ACB=90°，∴△ECG是等腰直角三角形，∵KD=KB，DE=BG，∴KE=KG，∴CK=EK=KG，∴BE-AE=BE-BG=EG=EK+KG=2CK．【變式訓(xùn)練】1．在四邊形中，點(diǎn)C是邊的中點(diǎn)．(1)如圖①，平分，，寫出線段，，間的數(shù)量關(guān)系及理由；(2)如圖②，平分，平分，，寫出線段，，，間的數(shù)量關(guān)系及理由．【答案】(1)，見解析(2)，理由見解析【分析】（1）在上取一點(diǎn)F，使，可以得出，就可以得出，，就可以得出．就可以得出結(jié)論；（2）在上取點(diǎn)F，使，連接，在上取點(diǎn)G，使，連接．可以求得，是等邊三角形，就有，進(jìn)而得出結(jié)論；【詳解】（1），理由如下：在上取一點(diǎn)F，使，連接．∵平分，∴，在和中∴．∴，，∵C是邊的中點(diǎn)．∴，∴．∵，∴，∴．在和中∴．∴．∵，∴．（2），理由如下：在上取，，連接，．與（1）同理，可得，．∴，，，．∵，∴．∵，∴．∴為等邊三角形．∴．∵，∴．

【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，等邊三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵．2．如圖，在△ABC中，，D是三角形外一點(diǎn)，且，．求證：【答案】見解析【分析】首先延長(zhǎng)BD至E，使CD＝DE，連接AE，AD，由BD＋DC＝AB，易得△ABE是等邊三角形，繼而證得△ACD≌△ADE，則可證得：∠ACD＝∠E＝60°．【詳解】延長(zhǎng)BD至E，使，連接AE，AD，∵，，∴，∵，∴△ABE是等邊三角形，∴，，在△ACD和△ADE中，，∴△ACD≌△ADE（SSS），∴．【點(diǎn)睛】此題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．3．如圖，在△ABC中，，，P、Q分別在BC、CA上，并且AP、BQ分別是∠BAC、∠ABC的角平分線．求證：（1）；（2）．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）由三角形的內(nèi)角和就可以得出∠ABC＝80°，再由角平分線的性質(zhì)就可以得出∠QBC＝40°，就有∠QBC＝∠C而得出結(jié)論；（2）延長(zhǎng)AB至M，使得BM＝BP，連結(jié)MP，根據(jù)條件就可以得出∠M＝∠C，進(jìn)而證明△AMP≌△ACP就可以得出結(jié)論．【詳解】（1）∵BQ是的角平分線，∴．∵，且，，∴，∴，∴，∴；（2）延長(zhǎng)AB至M，使得，連結(jié)MP．∴，∵△ABC中，，∴，∵BQ平分，∴，∴，∵，∴，∵AP平分，∴，在△AMP和△ACP中，∵，∴△AMP≌△ACP，∴，∵，，∴【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握判定兩個(gè)三角形全等的一般方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．4．如圖1，在中，是直角，，、分別是、的平分線，、相交于點(diǎn)．（1）求出的度數(shù)；（2）判斷與之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由．（提示：在上截取，連接．）（3）如圖2，在△中，如果不是直角，而（1）中的其它條件不變，試判斷線段、與之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由．【答案】（1）∠AFC＝120°；（2）FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系為：DF＝EF．理由見解析；（3）AC＝AE+CD．理由見解析．【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和性質(zhì)只要求出∠FAC，∠ACF即可解決問題;（2）根據(jù)在圖2的AC上截取CG=CD，證得△CFG≌△CFD(SAS),得出DF=GF；再根據(jù)ASA證明△AFG≌△AFE，得EF=FG，故得出EF=FD；（3）根據(jù)(2)的證明方法，在圖3的AC上截取AG=AE，證得△EAF≌△GAF(SAS)得出∠EFA=∠GFA；再根據(jù)ASA證明△FDC≌△FGC，得CD=CG即可解決問題．【詳解】（1）解：∵∠ACB＝90°，∠B＝60°，∴∠BAC＝90°﹣60°＝30°，∵AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，∴∠FAC＝15°，∠FCA＝45°，∴∠AFC＝180°﹣（∠FAC+∠ACF）＝120°（2）解：FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系為：DF＝EF．理由：如圖2，在AC上截取CG＝CD，∵CE是∠BCA的平分線，∴∠DCF＝∠GCF，在△CFG和△CFD中，，∴△CFG≌△CFD（SAS），∴DF＝GF．∠CFD＝∠CFG由（1）∠AFC＝120°得，∴∠CFD＝∠CFG＝∠AFE＝60°，∴∠AFG＝60°，又∵∠AFE＝∠CFD＝60°，∴∠AFE＝∠AFG，在△AFG和△AFE中，，∴△AFG≌△AFE（ASA），∴EF＝GF，∴DF＝EF；（3）結(jié)論：AC＝AE+CD．理由：如圖3，在AC上截取AG＝AE，同（2）可得，△EAF≌△GAF（SAS），∴∠EFA＝∠GFA，AG＝AE∵∠BAC+∠BCA=180°-∠B=180°-60°=120°∴∠AFC＝180°﹣(∠FAC+∠FCA)＝180°-(∠BAC+∠BCA)=180°-×120°=120°，∴∠EFA＝∠GFA＝180°﹣120°＝60°＝∠DFC，∴∠CFG＝∠CFD＝60°，同（2）可得，△FDC≌△FGC（ASA），∴CD＝CG，∴AC＝AG+CG＝AE+CD．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定和性質(zhì)是證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形．【課后訓(xùn)練】1．如圖所示，，，分別是，的平分線，點(diǎn)E在上，求證：．

【答案】見解析【分析】運(yùn)用截長(zhǎng)補(bǔ)短的方法，在上取點(diǎn)F，使，由角平分線定義得，，可證，得，結(jié)合平行線的性質(zhì)可證，進(jìn)一步證得，所以，得證結(jié)論．【詳解】在上取點(diǎn)F，使

∵，分別是，的平分線∴，∵∴在和中∴∴∴∵∴在和中，∴∴∵∴．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)；運(yùn)用截長(zhǎng)補(bǔ)短的方法構(gòu)造全等三角形求證線段相等是解題的關(guān)鍵．2．如圖，，，平分，且是中點(diǎn)試問：、和之間有何關(guān)系？并說明理由.【答案】詳見解析【分析】AD+BC=AB，理由如下：如圖，在AB上截取，證明，可得BF=BC，繼而可得答案.【詳解】AD+BC=AB，理由如下：如圖，在AB上截取，平分，，，，，，∴∠BFE=90°，，，，是中點(diǎn)，，，又，，，.【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用角平分線這一條件，在角兩邊截取相等線段構(gòu)建全等三角形，實(shí)現(xiàn)截長(zhǎng)補(bǔ)短見是解題的關(guān)鍵.3．如圖，在中，，、分別平分、，、交于點(diǎn)，求證：.【答案】詳見解析【分析】在上截取，再通過證明三角形全等，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等證明CF=CD即可.【詳解】在上截取，連接OF，、分別平分、，，，，，，，，，，又，，，，∴.【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，關(guān)鍵是利用角平分線這一條件，在角兩邊截取相等線段構(gòu)建全等三角形，實(shí)現(xiàn)截長(zhǎng)補(bǔ)短，證明線段和的問題.4．如圖，△ABC是等邊三角形，△BDC是頂角∠BDC=120°的等腰三角形，M是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，N是CA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且∠MDN=60°．試探BM，MN，CN之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明．【答案】CN=MN+BM，見解析【分析】采用“截長(zhǎng)補(bǔ)短”法，在CN上截取點(diǎn)E，使CE=BM，連接DE，結(jié)合等邊及等腰三角形的性質(zhì)利用SAS可證△MBD≌△ECD，繼而可證△MND≌△END，由全等的性質(zhì)可得結(jié)論.【詳解】解：CN=MN+BM．證明：如圖，在CN上截取點(diǎn)E，使CE=BM，連接DE，∵△ABC為等邊三角形，∴∠ACB=∠ABC=60°．又∵△BDC為等腰三角形，且∠BDC=120°，∴BD=CD，∠DBC=∠BCD=30°．∴∠ABD=∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠BCD=∠ECD=90°．在△MBD和△ECD中，∴△MBD≌△ECD（SAS）．∴MD=ED，∠MDB=∠EDC．又∵∠MDN=60°，∠BDC=120°，∴∠EDN=∠BDC-（∠BDN+∠EDC）=∠BDC-（∠BDN+∠MDB）=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°．∴∠MDN=∠EDN．在△MND與△END中，∴△MND≌△END（SAS）．∴MN=NE．∴CN=NE+CE=MN+BM．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊及等腰三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定和性質(zhì)，并采用了截長(zhǎng)補(bǔ)短法，靈活利用已知條件證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.5．閱讀與理解：折紙，常常能為證明一個(gè)命題提供思路和方法．例如，在中，（如圖），怎樣證明呢？分析：把沿的角平分線翻折，因?yàn)椋?，點(diǎn)落在上的點(diǎn)處，即，據(jù)以上操作，易證明，所以，又因?yàn)?，所以．感悟與應(yīng)用：（1）如圖（a），在中，，，平分，試判斷和、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）如圖（b），在四邊形中，平分，，，，①求證：；②求的長(zhǎng)．【答案】（1）BC?AC＝AD；理由詳見解析；（2）①詳見解析；②AB=14【分析】（1）在CB上截取CE＝CA，連接DE，證△ACD≌△ECD得DE＝DA，∠A＝∠CED＝60°，據(jù)此∠CED＝2∠CBA，結(jié)合∠CED＝∠CBA＋∠BDE得出∠CBA＝∠BDE，即可得DE＝BE，進(jìn)而得出答案；（2）在AB上截取AM＝AD，連接CM，先證△ADC≌△AMC，得到∠D＝∠AMC，CD＝CM，結(jié)合CD＝BC知CM＝CB，據(jù)此得∠B＝∠CMB，根據(jù)∠CMB＋∠CMA＝180°可得；【詳解】解：（1）BC?AC＝AD．理由如下：如圖（a），在CB上截取CE＝CA，連接DE，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠ECD，又CD＝CD，∴△ACD≌△ECD（SAS），∴DE＝DA，∠A＝∠CED＝60°，∴∠CED＝2∠CBA，∵∠CED＝∠CBA＋∠BDE，∴∠CBA＝∠BDE，∴DE＝BE，∴AD＝BE，∵BE＝BC?CE＝BC?AC，∴BC?AC＝AD．（2）如圖（b），在AB上截取AM＝AD，連接CM，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠MAC，∵AC＝AC，∴△ADC≌△AMC（SAS），∴∠D＝∠AMC，CD＝CM＝12，∵CD＝BC＝12，∴CM＝CB，∴∠B＝∠CMB，∵∠CMB＋∠CMA＝180°，∴∠B＋∠D＝180°；6．在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，數(shù)學(xué)老師出示了如下題目：如圖①，在四邊形中，是邊的中點(diǎn)，是的平分線，．求證：．小聰同學(xué)發(fā)現(xiàn)以下兩種方法：方法1：如圖②，延長(zhǎng)、交于點(diǎn)．方法2：如圖③，在上取一點(diǎn)，使，連接、．（1）請(qǐng)你任選一種方法寫出這道題的完整的證明過程；（2）如圖④，在四邊形中，是的平分線，是邊的中點(diǎn)，，，求證：．【答案】（1）方法1：證明見解析；方法2：證明見解析；（2）證明見解析．【分析】（1）方法1：先根據(jù)角平分線的定義、平行線的性質(zhì)得出，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)得出，然后根據(jù)線段的和差即可得證；方法2：先根據(jù)角平分線的定義得出，再根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得，然后根據(jù)線段中點(diǎn)的定義、等腰三角形的性質(zhì)可得，最后根據(jù)平行線的性質(zhì)、平角的定義可得，由等腰三角形的定義可得，由此根據(jù)線段的和差即可得證；（2）如圖（見解析），參照方法1構(gòu)造輔助線，先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出平分，從而有，再根據(jù)平行線的性質(zhì)、角的和差得出，，然后根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)即可得證．【詳解】（1）方法1：如圖②，延長(zhǎng)、交于點(diǎn)是的平分線是邊的中點(diǎn)在和中，；方法2：如圖③，在上取一點(diǎn)，使，連接、是的平分線在和中，是邊的中點(diǎn)，即，即又；（2）如圖，過點(diǎn)C作，交AE延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，延長(zhǎng)GC交AB于點(diǎn)F，連接EF由方法1可知：是等腰三角形平分，，即在和中，．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義、平行線的性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，較難的是題（2），參照方法1，通過作輔助線，構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．7．如圖，在中，，，點(diǎn)是內(nèi)部一點(diǎn)，且，證明：．【答案】見解析