吉林省公主嶺市2023-2024學年數(shù)學高一上期末聯(lián)考模擬試題含解析

吉林省公主嶺市2023-2024學年數(shù)學高一上期末聯(lián)考模擬試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1．函數(shù)的最大值是（）A. B.1C. D.22．若是定義在(－∞，＋∞)上的偶函數(shù)，∈[0，＋∞)且（），則()A. B.C. D.3．已知正方體，則異面直線與所成的角的余弦值為A. B.C. D.4．已知，，則（）A. B.C. D.5．定義在上的函數(shù)滿足下列三個條件：①；②對任意，都有；③的圖像關于軸對稱．則下列結論中正確的是AB.C.D.6．以點為圓心，且與軸相切的圓的標準方程為（）A. B.C. D.7．我國南宋時期著名的數(shù)學家秦九韶在其著作《數(shù)書九章》中獨立提出了一種求三角形面積的方法“三斜求積術”，即的面積，其中分別為的內角的對邊，若，且，則的面積的最大值為（）A. B.C. D.8．若冪函數(shù)的圖像經過點，則A.1 B.2C.3 D.49．在某種新型材料的研制中，實驗人員獲得了下列一組實驗數(shù)據(jù)，現(xiàn)準備用下列四個函數(shù)中的一個近似表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，其中最合適的是（）x1.992345.156.126y1.514.047.5112.0318.01A. B.C. D.10．在平行四邊形ABCD中，E是CD中點，F(xiàn)是BE中點，若+=m+n，則（）A.， B.，C.， D.，11．工藝扇面是中國書面一種常見的表現(xiàn)形式.某班級想用布料制作一面如圖所示的扇面.已知扇面展開的中心角為，外圓半徑為，內圓半徑為.則制作這樣一面扇面需要的布料為（）.A. B.C. D.12．若一個三角形采用斜二測畫法作直觀圖，則其直觀圖的面積是原來三角形面積的（）倍.A B.C. D.2二、填空題（本大題共4小題，共20分）13．函數(shù)中角的終邊經過點，若時，的最小值為.（1）求函數(shù)的解析式；（2）求函數(shù)的單調遞增區(qū)間.14．函數(shù)的圖象為，以下結論中正確的是______（寫出所有正確結論的編號）.①圖象關于直線對稱；②圖象關于點對稱；③由的圖象向右平移個單位長度可以得到圖象；④函數(shù)在區(qū)間內是增函數(shù).15．已知直線過兩直線和的交點，且原點到該直線的距離為，則該直線的方程為_____.16．已知函數(shù)，若，不等式恒成立，則的取值范圍是___________.三、解答題（本大題共6小題，共70分）17．某快遞公司在某市的貨物轉運中心，擬引進智能機器人分揀系統(tǒng)，以提高分揀效率和降低物流成本，已知購買x臺機器人的總成本萬元.（1）若使每臺機器人的平均成本最低，問應買多少臺？（2）現(xiàn)按（1）中的數(shù)量購買機器人，需要安排m人將郵件放在機器人上，機器人將郵件送達指定落袋格口完成分揀，經實驗知，每臺機器人的日平均分揀量（單位：件），已知傳統(tǒng)人工分揀每人每日的平均分揀量為1200件，問引進機器人后，日平均分揀量達最大值時，用人數(shù)量比引進機器人前的用人數(shù)量最多可減少多少？18．已知函數(shù)為奇函數(shù)（1）求的值；（2）當時，關于的方程有零點，求實數(shù)的取值范圍19．某企業(yè)生產A，B兩種產品，根據(jù)市場調查與預測，A產品的利潤y與投資x成正比，其關系如圖（1）所示；B產品的利潤y與投資x的算術平方根成正比，其關系如圖（2）所示（注：利潤y與投資x的單位均為萬元）（1）分別求A，B兩種產品的利潤y關于投資x的函數(shù)解析式；（2）已知該企業(yè)已籌集到200萬元資金，并將全部投入A，B兩種產品的生產①若將200萬元資金平均投入兩種產品的生產，可獲得總利潤多少萬元？②如果你是廠長，怎樣分配這200萬元資金，可使該企業(yè)獲得總利潤最大？其最大利潤為多少萬元？20．已知函數(shù)，（1）若函數(shù)在區(qū)間上存在零點，求正實數(shù)的取值范圍；（2）若，，使得成立，求正實數(shù)的取值范圍21．已知函數(shù)的最小值正周期是（1）求的值；（2）求函數(shù)的最大值，并且求使取得最大值的x的集合22．某中學有初中學生1800人，高中學生1200人，為了解全校學生本學期開學以來（60天）的課外閱讀時間，學校采用分層抽樣方法，從中抽取100名學生進行問卷調查.將樣本中的“初中學生”和“高中學生”按學生的課外閱讀時間（單位：時）各分為5組[0，10）、[10，20）、[20，30）、[30，40）、[40，50]，得到頻率分布直方圖如圖所示.（1）估計全校學生中課外閱讀時間在[30，40）小時內的總人數(shù)是多少；（2）從課外閱讀時間不足10小時的樣本學生中隨機抽取3人，求至少有2個初中生的概率；（3）國家規(guī)定，初中學生平均每人每天課外閱讀時間不少于半個小時.若該校初中學生課外閱讀時間小于國家標準，則學校應適當增加課外閱讀時間，根據(jù)以上抽樣調查數(shù)據(jù)，該校是否需要增加初中學生的課外閱讀時間？并說明理由.

參考答案一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1、C【解析】利用正余弦的差角公式展開化簡即可求最值.【詳解】，∵，∴函數(shù)的最大值是.故選：C.2、B【解析】，有當時函數(shù)為減函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)即故選3、A【解析】將平移到,則異面直線與所成的角等于,連接在根據(jù)余弦定理易得【詳解】設正方體邊長為1，將平移到,則異面直線與所成的角等于，連接．則，所以為等邊三角形，所以故選A【點睛】此題考查立體幾何正方體異面直線問題，異面直線求夾角，將其中一條直線平移到與另外一條直線相交形成的夾角即為異面直線夾角，屬于簡單題目4、C【解析】詳解】分析：求解出集合，得到，即可得到答案詳解：由題意集合，，則，所以，故選C點睛：本題考查了集合的混合運算，其中正確求解集合是解答的關鍵，著重考查了學生的推理與運算能力5、D【解析】先由，得函數(shù)周期為6，得到f（7）=f（1）；再利用y=f（x+3）的圖象關于y軸對稱得到y(tǒng)=f（x）的圖象關于x=3軸對稱，進而得到f（1）=f（5）；最后利用條件（2）得出結論因為，所以；即函數(shù)周期為6，故；又因為的圖象關于y軸對稱，所以的圖象關于x=3對稱，所以；又對任意，都有；所以故選:D考點：函數(shù)的奇偶性和單調性；函數(shù)的周期性.6、C【解析】根據(jù)題中條件，得到圓的半徑，進而可得圓的方程.【詳解】以點為圓心且與軸相切的圓的半徑為，故圓的標準方程是.故選：C.7、A【解析】先根據(jù)求出關系，代入面積公式，利用二次函數(shù)的知識求解最值.【詳解】因為，所以，即；由正弦定理可得，所以；當時，取到最大值.故選：A.8、B【解析】由題意可設，將點代入可得，則，故選B.9、B【解析】由題中表格可知函數(shù)在上是增函數(shù)，且y的變化隨x的增大而增大得越來越快，逐一判斷，選擇與實際數(shù)據(jù)接近的函數(shù)得選項.【詳解】解：由題中表格可知函數(shù)在上是增函數(shù)，且y的變化隨x的增大而增大得越來越快，對于A，函數(shù)是線性增加的函數(shù)，與表中的數(shù)據(jù)增加趨勢不符合，故A不正確；對于C，函數(shù)，當，與表中數(shù)據(jù)7.5的誤差很大，不符合要求，故C不正確；對于D，函數(shù)，當，與表中數(shù)據(jù)4.04的誤差很大，不符合要求，故D不正確；對于B，當，與表中數(shù)據(jù)1.51接近，當，與表中數(shù)據(jù)4.04接近，當，與表中數(shù)據(jù)7.51接近，所以，B選項的函數(shù)是最接近實際的一個函數(shù)，故選：B10、B【解析】通過向量之間的關系將轉化到平行四邊形邊上即可【詳解】由題意可得,同理：,所以所以，故選B.【點睛】本題考查向量的線性運算，重點利用向量的加減進行轉化，同時，利用向量平行進行代換11、B【解析】由扇形的面積公式，可得制作這樣一面扇面需要的布料.【詳解】解：根據(jù)題意，由扇形的面積公式可得：制作這樣一面扇面需要的布料為.故選：B.【點睛】本題考查扇形的面積公式，考查學生的計算能力，屬于基礎題.12、A【解析】以三角形的一邊為x軸，高所在的直線為y軸，由斜二測畫法看三角形底邊長和高的變化即可【詳解】以三角形的一邊為x軸，高所在的直線為y軸，由斜二測畫法知，三角形的底長度不變，高所在的直線為y′軸，長度減半，故三角形的高變?yōu)樵瓉淼?，故直觀圖中三角形面積是原三角形面積的.故選：A.【點睛】本題考查平面圖形的直觀圖，由斜二測畫法看三角形底邊長和高的變化即可，屬于基礎題.二、填空題（本大題共4小題，共20分）13、（1）（2），【解析】（1）根據(jù)角的終邊經過點求，再由題意得周期求即可；（2）根據(jù)正弦函數(shù)的單調性求單調區(qū)間即可.【小問1詳解】因為角的終邊經過點，所以，若時，的最小值為可知，∴【小問2詳解】令，解得故單調遞增區(qū)間為：，14、①②④【解析】利用整體代入的方式求出對稱中心和對稱軸，分析單調區(qū)間，利用函數(shù)的平移方式檢驗平移后的圖象.【詳解】由題意，，令，，當時，即函數(shù)的一條對稱軸，所以①正確；令，，當時，，所以是函數(shù)的一個對稱中心，所以②正確；當，，在區(qū)間內是增函數(shù)，所以④正確；的圖象向右平移個單位長度得到，與函數(shù)不相等，所以③錯誤.故答案為：①②④.15、或【解析】先求兩直線和的交點，再分類討論，先分析所求直線斜率不存在時是否符合題意，再分析直線斜率存在時，設斜率為，再由原點到該直線的距離為，求出，得到答案.【詳解】由和，得，即交點坐標為，（1）當所求直線斜率不存在時，直線方程為，此時原點到直線的距離為，符合題意；（2）當所求直線斜率存在時，設過該點的直線方程為，化為一般式得，由原點到直線的距離為，則，解得，得所求直線的方程為.綜上可得，所求直線的方程為或故答案為：或【點睛】本題考查了求兩直線的交點坐標，由點到直線的距離求參，還考查了對直線的斜率是否存在分類討論的思想，屬于中檔題.三、16、【解析】原問題等價于時，恒成立和時，恒成立，從而即可求解.【詳解】解：由題意，因為，不等式恒成立，所以時，恒成立，即，所以；時，恒成立，即，令，則，由對勾函數(shù)的單調性知在上單調遞增，在上單調遞減，所以時，，所以；綜上，.所以的取值范圍是.故答案為：三、解答題（本大題共6小題，共70分）17、（1）300臺；（2）90人.【解析】（1）每臺機器人的平均成本為，化簡后利用基本不等式求最小值；（2）由（1）可知，引進300臺機器人，并根據(jù)分段函數(shù)求300臺機器人日分揀量的最大值，根據(jù)最大值求若人工分揀，所需人數(shù)，再與30作差求解.【詳解】（1）由總成本，可得每臺機器人的平均成本.因為.當且僅當，即時，等號成立.∴若使每臺機器人的平均成本最低，則應買300臺.（2）引進機器人后，每臺機器人的日平均分揀量為：當時，300臺機器人的日平均分揀量為∴當時，日平均分揀量有最大值144000.當時，日平均分揀量為∴300臺機器人的日平均分揀量的最大值為144000件.若傳統(tǒng)人工分揀144000件，則需要人數(shù)為（人）.∴日平均分揀量達最大值時，用人數(shù)量比引進機器人前的用人數(shù)量最多可減少（人）.【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是理解題意，根據(jù)實際問題抽象出函數(shù)關系，并會求最值，本題最關鍵的一點時會求的最大值.18、（1）（2）【解析】（1）利用函數(shù)為奇函數(shù)所以即得的值(2)方程有零點，轉化為求的值域即可得解.試題解析：（1）∵，∴，∴（2）∵，∴，∵，∴，∴，∴19、（1）A產品的利潤y關于投資x的函數(shù)解析式為：；B產品的利潤y關于投資x的函數(shù)解析式為：.（2）①萬元；②當投入B產品的資金為萬元，投入A產品的資金為萬元，該企業(yè)獲得的總利潤最大，其最大利潤為萬元.【解析】（1）利用待定系數(shù)法，結合函數(shù)圖象上特殊點，運用代入法進行求解即可；（2）①：利用代入法進行求解即可；②利用換元法，結合二次函數(shù)的單調性進行求解即可.【小問1詳解】因為A產品的利潤y與投資x成正比，所以設，由函數(shù)圖象可知，當時，，所以有，所以；因為B產品的利潤y與投資x的算術平方根成正比，所以設，由函數(shù)圖象可知：當時，，所以有，所以；【小問2詳解】①:將200萬元資金平均投入兩種產品的生產，所以A產品的利潤為，B產品的利潤為，所以獲得總利潤為萬元；②：設投入B產品的資金為萬元，則投入A產品的資金為萬元，設企業(yè)獲得的總利潤為萬元，所以，令，所以，當時，即當時，有最大值，最大值為，所以當投入B產品的資金為萬元，投入A產品的資金為萬元，該企業(yè)獲得的總利潤最大，其最大利潤為萬元.20、（1）（2）【解析】（1）結合函數(shù)的單調性及零點存在定理可得結論；（2）由題意可得在，上，，由函數(shù)的單調性求得最值，解不等式可得所求范圍【小問1詳解】函數(shù)，因為在區(qū)間上單調遞減，又，所以在區(qū)間上單調遞減，所以在區(qū)間上單調遞減，若在區(qū)間上存在零點，則.【小問2詳解】存在，，，使得成立，等價為在，上，由在，遞增，可得的最小值為，又，所以在，遞減，可得的最大值為，由，解得，所以；綜上可得，的范圍是21、（1）；（2）最大值為，此時.【解析】（1）利用二倍角公式以及輔助角公式可得，再由即可求解.（2）由（1）知，，令，即可求解.【詳解】（1）由題設，函數(shù)的最小正周期是，可得，所以；（2）由（1）知，當，即時，取得最大值1，所以函數(shù)的最大值為22、（1）720人（2）（3）需要增加，理由見解析【解析】（1）由分層抽樣的特點可分別求得抽取的初中生、高中生人數(shù)，由頻率分布直方圖的性質可知初中