浙江省金華市第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

金華一中2023學(xué)年第一學(xué)期期中考試高一數(shù)學(xué)試題卷一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分）1.已知，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由集合M中元素的特征，對元素進行判斷.【詳解】且，則；且，則，所以.故選：A2.王昌齡是盛唐著名的邊塞詩人，被譽為“七絕圣手”，其《從軍行》傳誦至今，“青海長云暗雪山，孤城遙望玉門關(guān).黃沙百戰(zhàn)穿金甲，不破樓蘭終不還”，由此推斷，其中最后一句“攻破樓蘭”是“返回家鄉(xiāng)”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可求解.【詳解】根據(jù)詩意，作者想表達的思想感情是“返回家鄉(xiāng)”就一定要“攻破樓蘭”，但是并沒有表明“攻破樓蘭”后就會“返回家鄉(xiāng)”，所以“攻破樓蘭”是“返回家鄉(xiāng)”的必要不充分條件.故選：B.3.已知命題“，使”是假命題，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意可得，解不等式即可求出答案.【詳解】因為命題“，使”是假命題，所以恒成立，所以，解得，故實數(shù)取值范圍是．故選：B．4.若函數(shù)和分別由下表給出，滿足的值是（）1234234112342143A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】從外到內(nèi)逐步求值．【詳解】由，則，則.故選：D5.某同學(xué)到長城旅游，他租自行車由賓館騎行前往長城，前進了akm，覺得有點累，休息后沿原路返回bkm（）.想起“不到長城非好漢”，便調(diào)轉(zhuǎn)車頭繼續(xù)前進.則該同學(xué)離起點的距離s與時間t的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)該同學(xué)在行進過程中的前進方式的不同確定函數(shù)圖象即可．【詳解】第一段時間，該生騎車為直線方程形式，單調(diào)遞增．第二段實際休息，此時距離起點的距離不變，此時休息期間為常數(shù)，然后原路返回，此時距離減小，為遞減函數(shù)，然后調(diào)轉(zhuǎn)車頭繼續(xù)前進，此時距離逐步增加，所以圖象C合適．故選：C．6.某食品加工廠生產(chǎn)某種食品，第一個月產(chǎn)量為，第二個月的增長率為a，第三個月的增長率為b，這兩個月的平均增長率為x，（均大于零），則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】計算出兩種方式增長的第三年的產(chǎn)量，從而構(gòu)建的等式，再利用基本不等式計算的不等關(guān)系.【詳解】第二個月的增長率為a，第三個月的增長率為b，則第三個月的產(chǎn)量為這兩個月的平均增長率為x，則第三個月的產(chǎn)量為所以，計算可得又所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號.故選：B.7.已知函數(shù)滿足：且．A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】B【解析】【詳解】可設(shè)，則f（x）滿足題意.易知但1＞?5,排除A.但2＜3,排除C.排除D.故選B.8.用C(A)表示非空集合A中的元素個數(shù)，定義A*B＝若A＝{1，2}，B＝{x|(x2＋ax)·(x2＋ax＋2)＝0}，且A*B＝1，設(shè)實數(shù)a的所有可能取值組成的集合是S，則C(S)等于（）A.1 B.3 C.5 D.7【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意可得或，進而討論a的范圍，確定出，最后得到答案.【詳解】因為，，所以或，由，得，關(guān)于x的方程，當(dāng)時，即時，易知，符合題意；當(dāng)時，即或時，易知0，a不是方程的根，故，不符合題意；當(dāng)時，即時，方程無實根，若a=0，則B={0}，，符合題意，若或，則，不符合題意.所以，故.故選：B.【點睛】對于新定義的問題，一定要讀懂題意，一般理解起來不難，它一般和平常所學(xué)知識和方法有很大關(guān)聯(lián)；另外當(dāng)時，容易遺漏a=0時的情況，注意仔細(xì)分析題目.二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分）9.下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)的性質(zhì)，逐項判斷即可得出結(jié)果.【詳解】根據(jù)對數(shù)的性質(zhì)可知，，，，，故ABC正確；D錯誤.故選：ABC.10.下列命題中，正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，那么D已知，則【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)不等式性質(zhì)逐項判斷，或取特值驗證即可.【詳解】A選項：由可知，所以，故，即，A正確；B選項：當(dāng)時，，所以，即，B錯誤；C選項：取，滿足，但，即，C錯誤；D選項：由不等式可加性可知D正確.故選：AD11.某食品的保鮮時間（單位：小時）與儲存溫度（單位：℃）滿足函數(shù)關(guān)系（，、為常數(shù)）.若該食品在0℃的保鮮時間是120小時，在20℃的保鮮時間是30小時，則（）A.B.儲存溫度越高保鮮時間越長C.在10℃的保鮮時間是60小時D.在30℃的保鮮時間是15小時【答案】ACD【解析】【分析】由題意可知，，求得，進而可得，可判斷A；利用單調(diào)性可判斷B；計算可判斷C；計算可判斷D.【詳解】對于A，由題可知，，則，故，所以，則，A正確；對于B，由A可知，在上是減函數(shù)，且在上是增函數(shù)，所以在上是減函數(shù)，則儲存溫度越高保鮮時間越短，B錯誤；對于C，由A可知，小時，C正確；對于D，由A可知，小時，D正確.故選：ACD.12.已知函數(shù)滿足對任意恒成立，則（）A. B.C. D.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱【答案】ACD【解析】【分析】通過賦值法得到等的值，進而得到函數(shù)的性質(zhì)，逐一判斷即可【詳解】對于A：令，得，則，所以A正確；對于B：令，則，令，得，即，所以B錯誤；對于C：令，得，即，所以為偶函數(shù)，令，得，令，得，又為偶函數(shù)，所以，C正確；對于D：由C可知為偶函數(shù)，所以為向右平移3個單位得到，此時關(guān)于直線對稱，D正確，故選：ACD三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.若，則實數(shù)x的值為________．【答案】1【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)的運算可得解.【詳解】由，可得，，解得.故答案為：1.14.已知正實數(shù)x，y滿足：，則的最大值為______.【答案】【解析】【分析】利用不等式，直接計算即可.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取得等號；故的最大值為；故答案為：.15.若，且不等式的解集中有且僅有四個整數(shù)，則a的取值范圍是_______．【答案】【解析】【分析】分類討論求出含參一元二次不等式的解集，然后根據(jù)題意得到不等式組，進而求出結(jié)果.【詳解】不等式，當(dāng)時，，不等式的解集為，若不等式解集中有且僅有四個整數(shù)，則這四個整數(shù)為，則，此時，與矛盾；當(dāng)時，，不等式的解集為，不符合題意；當(dāng)時，，不等式的解集為，若不等式解集中有且僅有四個整數(shù)，則這四個整數(shù)可能為或，當(dāng)這四個整數(shù)為時，則且，無解，當(dāng)這四個整數(shù)為時，則且，解得，綜上可知，實數(shù)的取值范圍是．故答案為：．16.已知，函數(shù)在區(qū)間[1,4]上的最大值是5，則a的取值范圍是__________【答案】【解析】【詳解】，分類討論：①當(dāng)時，，函數(shù)的最大值，舍去；②當(dāng)時，，此時命題成立；③當(dāng)時，，則：或，解得：或綜上可得，實數(shù)的取值范圍是．【名師點睛】本題利用基本不等式，由，得，通過對解析式中絕對值符號的處理，進行有效的分類討論：①；②；③，問題的難點在于對分界點的確認(rèn)及討論上，屬于難題．解題時，應(yīng)仔細(xì)對各種情況逐一進行討論．四、解答題（本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.設(shè)集合，非空集合.（1）若，求實數(shù)a的值；（2）若，求實數(shù)a取值范圍.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）由，代入后解方程并檢驗是否滿足題意．（2）由得，再根據(jù)集合包含關(guān)系分類求解．【小問1詳解】由題意得，，即化簡得：解得：或，檢驗：當(dāng)，，滿足當(dāng)，，滿足，或【小問2詳解】，故，①當(dāng)為單元素集，則，即，得或，當(dāng)，不含題意，舍；當(dāng)，符合.②當(dāng)為雙元素集，則，則有，無解，綜上：實數(shù)的取值范圍為18.化簡或計算下列各式：（1）（2）已知，用a，b表示（3）已知，求的值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】(1)由指數(shù)冪的運算性質(zhì)直接求得答案；(2)利用對數(shù)的運算性質(zhì)以及換底公式將化為和表示的形式，則答案可得；(3)先求，再求，最后利用平方差公式求的結(jié)果.【小問1詳解】；【小問2詳解】，又，所以；【小問3詳解】，所以，，所以，.19.已知函數(shù)（1）解不等式；（2）求在區(qū)間上的值域；（3）對任意，總存在，使得成立，求a的取值范圍【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可；（2）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求值域；（3）由題意轉(zhuǎn)化為的值域包含的值域，根據(jù)二次函數(shù)分類討論求解即可.【小問1詳解】由題意，，即可得，即，解得，即不等式的解集為.【小問2詳解】因為為增函數(shù)，所以時，，即函數(shù)的值域為.小問3詳解】由（2）知，任意，總存在，使得成立，即在上的最小值，對，①當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞增，故不成立；②當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞增，故，解得，又，故無解；③當(dāng)，即時，的對稱軸時，在上單調(diào)遞增，故，解得，故，當(dāng)對稱軸時，成立.綜上，.20.第19屆亞運會2023年9月在杭州市舉辦，本屆亞運會以“綠色、智能、節(jié)儉、文明”為辦會理念，展示杭州生態(tài)之美、文化之韻，充分發(fā)揮國際重大賽事對城市發(fā)展的牽引作用，從而促進經(jīng)濟快速發(fā)展，籌備期間，某公司帶來了一種智能設(shè)備供采購商洽談采購，并決定大量投放當(dāng)?shù)厥袌觯阎摲N設(shè)備年固定研發(fā)成本為50萬元，每生產(chǎn)一萬臺需另投入80萬元，設(shè)該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該設(shè)備萬臺且全部售完.當(dāng)時，每萬臺的年銷售收入（萬元）與年產(chǎn)量（萬臺）滿足關(guān)系式:;當(dāng)時，每萬臺的年銷售收入（萬元）與年產(chǎn)量（萬臺）滿足關(guān)系式:（1）寫出年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（萬臺）的函數(shù)解析式（利潤=銷售收入一成本）;（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬臺時，該公司獲得的年利潤最大?并求最大利潤.【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】（1）由題意，利用年銷售收入減去固定成本及可變成本即可寫出利潤y（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x(萬臺）的函數(shù)解析式.（2）利用二次函數(shù)的性質(zhì)、基本不等式分別求出、上的最值，進而確定年利潤最大時對應(yīng)生產(chǎn)的臺數(shù)及最大利潤值.【小問1詳解】由題意，當(dāng)時，年收入為，當(dāng)時，年收入為，故年利潤為，即.【小問2詳解】當(dāng)時，，由函數(shù)圖象開口向下，對稱軸方程為可知函數(shù)單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時等號成立，因為，所以當(dāng)年產(chǎn)量為29萬臺時，該公司獲得年利潤最大為1360萬元.21.已知冪函數(shù)為偶函數(shù)．（1）求函數(shù)的解析式．（2）設(shè)函數(shù)，問是否存在實數(shù)，使得在區(qū)間上是減函數(shù)，且在區(qū)間上是增函數(shù)？若存在，請求出q；若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】（1）直接根據(jù)冪函數(shù)的定義結(jié)合奇偶性即可得結(jié)果；（2）把作為一個整體，時，，時，，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性可得的值．【小問1詳解】因為為冪函數(shù)，所以，解得或，又因為為偶函數(shù)，所以，所以函數(shù)的解析式為.【小問2詳解】存在，理由如下：由（1）知.由于，因而當(dāng)時，，此時，函數(shù)單調(diào)遞減，而函數(shù)上單調(diào)遞減，則外層函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，此時，函數(shù)單調(diào)遞增，而函數(shù)在上單調(diào)遞減，則外層函數(shù)在上單調(diào)遞減.所以，即.所以存在滿足題設(shè)條件.22.已知函數(shù)，（，a為常數(shù)）．（1）討論函數(shù)的奇偶性；（2）若函數(shù)有3個零點，求實數(shù)a的取值范圍；（3）記，若與在有兩個互異的交點，且，求證：．【答案】（1）見解析（2）或（3）見解析【解析】【分析】（1）利用奇偶函數(shù)的定義分析討論即可；（2）分類討論，或時，的大致圖象，結(jié)合圖象即可得解；（3）分類討論與時，的大致圖象，從而得到，，，從而利用分析法將問題一路轉(zhuǎn)化為證，由此得解.【小問1詳解】（1），定義域為，關(guān)于原點對稱，又，故當(dāng)時，，函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時，，故函數(shù)為非奇非偶函數(shù).【小問2詳解】因為，當(dāng)，即時，，此時開口向下，對稱軸為，且，當(dāng)，即或時，，所以當(dāng)時，在，上單調(diào)遞增，且，，則的圖象如下：顯然，當(dāng)，即時，有個