湖南省湘東九校2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（原卷版）

湖南省2024屆高三九校聯(lián)盟第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號?考場號?座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知集合，則滿足條件的實(shí)數(shù)的個(gè)數(shù)是（）A.0 B.1 C.2 D.32.如果復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，是虛數(shù)單位，則（）A.且 B.C D.或3.已知，則（）A. B. C. D.4.某農(nóng)機(jī)合作社于今年初用98萬元購進(jìn)一臺大型聯(lián)合收割機(jī)，并立即投入生產(chǎn).預(yù)計(jì)該機(jī)第一年（今年）的維修保養(yǎng)費(fèi)是12萬元，從第二年起，該機(jī)每年的維修保養(yǎng)費(fèi)均比上一年增加4萬元.若當(dāng)該機(jī)的年平均耗費(fèi)最小時(shí)將這臺收割機(jī)報(bào)廢，則這臺收割機(jī)的使用年限是（）A.6年 B.7年 C.8年 D.9年5.設(shè)函數(shù)，若函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱，則當(dāng)時(shí)，的最大值為（）A. B. C. D.06.將一個(gè)棱長為4的正四面體同一側(cè)面上的各棱中點(diǎn)兩兩連接，得到一多面體，則這個(gè)多面體的內(nèi)切球體積為（）A. B. C. D.7.在中，點(diǎn)滿足為重心，設(shè)，則可表示為（）A. B.C. D.8.如圖，已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，，過的直線與分別在第一?二象限交于兩點(diǎn)，內(nèi)切圓半徑為，若，則的離心率為（）A. B. C. D.二?多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9.下列說法正確的是（）A.已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布：，設(shè)，則的方差B.數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為9C.若樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為2，則的平均數(shù)為8D.用簡單隨機(jī)抽樣的方法從51個(gè)個(gè)體中抽取2個(gè)個(gè)體，則每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都是10.已知，則（）A.與均有公共點(diǎn)的直線斜率最大為B.與均有公共點(diǎn)的圓的半徑最大為4C.向引切線，切線長相等的點(diǎn)的軌跡是圓D.向引兩切線的夾角與向引兩切線的夾角相等的點(diǎn)的軌跡是圓11.已知函數(shù)，則（）A.的圖象關(guān)于直線軸對稱B.的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱C.的所有零點(diǎn)為D.是以為周期的函數(shù)12.英國著名物理學(xué)家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)零點(diǎn).如圖，在橫坐標(biāo)為的點(diǎn)處作的切線，切線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為；用代替重復(fù)上面的過程得到；一直下去，得到數(shù)列，叫作牛頓數(shù)列.若函數(shù)且，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列說法正確的是（）A. B.數(shù)列是遞減數(shù)列C.數(shù)列是等比數(shù)列 D.三?填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知函數(shù)是偶函數(shù)，則_________．14.已知第一象限內(nèi)的點(diǎn)在直線上，則的最大值是______.15.把個(gè)位?十位?百位上的數(shù)依次成等差數(shù)列（公差小于0）的三位數(shù)稱為“下階梯數(shù)”，則所有的“下階梯數(shù)”共有__________個(gè).16.如圖所示，有兩個(gè)相同的直三棱柱，高為，底面三角形的三邊長分別為3a，4a，．用它們拼成一個(gè)三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面積最小的是一個(gè)四棱柱，則a的取值范圍是________．四?解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟）17.在中，角所對邊分別為，已知.（1）求的大?。唬?）若，直線分別交于兩點(diǎn)，且把的面積分成相等的兩部分，求的最小值.18.如圖，四棱柱的底面是正方形，平面.（1）求點(diǎn)到平面的距離；（2）若是線段上一點(diǎn)，平面與平面夾角的余弦值為時(shí)，求的值.19.已知數(shù)列的前項(xiàng)積為，且.（1）證明：等差數(shù)列；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，定義為不超過的最大整數(shù)，例如，，求的前項(xiàng)和.20.從今年起，我國將于每年5月第四周開展“全國城市生活垃圾分類宣傳周”活動，首屆全國城市生活垃圾分類宣傳周時(shí)間為2023年5月22日至28日，宣傳主題為“讓垃圾分類成為新時(shí)尚”，在此宣傳周期間，某社區(qū)舉行了一次生活垃圾分類知識比賽.要求每個(gè)家庭派出一名代表參賽，每位參賽者需測試A，B，C三個(gè)項(xiàng)目，三個(gè)測試項(xiàng)目相互不受影響.（1）若某居民甲在測試過程中，第一項(xiàng)測試是等可能的從三個(gè)項(xiàng)目中選一項(xiàng)測試，且他測試三個(gè)項(xiàng)目“通過”的概率分別為.已知他第一項(xiàng)測試“通過”，求他第一項(xiàng)測試選擇的項(xiàng)目是的概率；（2）現(xiàn)規(guī)定：三個(gè)項(xiàng)目全部通過獲得一等獎(jiǎng)，只通過兩項(xiàng)獲得二等獎(jiǎng)，只通過一項(xiàng)獲得三等獎(jiǎng)，三項(xiàng)都沒有通過不獲獎(jiǎng).已知居民乙選擇的順序參加測試，且他前兩項(xiàng)通過的概率均為，第三項(xiàng)通過的概率為.若他獲得一等獎(jiǎng)的概率為，求他獲得二等獎(jiǎng)的概率的最小值.21.已知拋物線為拋物線外一點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為（在軸兩側(cè)），與分別交軸于.（1）若點(diǎn)在直線上，證明直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)；（2）