函數(shù)思想在方程中的應(yīng)用

函數(shù)思想在方程中的應(yīng)用

函數(shù)思維是指分析、轉(zhuǎn)換和解決問(wèn)題，用函數(shù)的概念和性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題。函數(shù)思想是數(shù)學(xué)思想的重要組成部分,在高中數(shù)學(xué)中起到橫向聯(lián)系和紐帶聯(lián)結(jié)的主干作用。函數(shù)思想的運(yùn)用,就是根據(jù)提出問(wèn)題的數(shù)學(xué)特征,構(gòu)建一個(gè)相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系型的數(shù)學(xué)模型,用函數(shù)知識(shí)去解決問(wèn)題。下面簡(jiǎn)單介紹一下運(yùn)用函數(shù)思想來(lái)解決方程、不等式、數(shù)列、參數(shù)的取值范圍等問(wèn)題。一、單元類(lèi)型a型函數(shù)與方程既是兩個(gè)不同的概念,又存在著密切的聯(lián)系。一個(gè)函數(shù)若能用一個(gè)解析式表達(dá),則這個(gè)表達(dá)式就可看成一個(gè)方程;一個(gè)二元方程的兩個(gè)未知數(shù)間存在著對(duì)應(yīng)關(guān)系,如果這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系是單值的,那么這個(gè)方程也可以看成一個(gè)函數(shù)。一個(gè)方程的兩端可以分別看成函數(shù),方程的解就是這兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。因此,許多有關(guān)方程的問(wèn)題都可用函數(shù)思想來(lái)解決。【例1】求證:不論a取什么實(shí)數(shù),方程x2-(a2+a)x+a-2=0必有兩個(gè)不相等的實(shí)根。分析:此題若用常規(guī)解法,求出判別式△是一個(gè)關(guān)于a的一元四次多項(xiàng)式,符號(hào)不易判斷。若用函數(shù)思想去分析題意,即設(shè)函數(shù)f(x)=x2-(a2+a)x+a-2,要證明命題成立,只需證明函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn),由于它的開(kāi)口向上,只要找到一個(gè)實(shí)數(shù)x0,使f(x0)<0即可。比如f(1)=1-(a2+a)+a-2=-a2-1<0。故函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn),因此命題成立?！纠?】已知關(guān)于x的實(shí)系數(shù)二次方程x2+ax+b=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根α、β,證明:(I)如果|α|<2,|β|<2,那么2|a|<4+b且|b|<4;(II)如果2|a|<4+b且|b|<4,那么|α|<2,|β|<2;(93年全國(guó)理)分析:本題表面上看是方程問(wèn)題,方程的根的分布與參數(shù)a,b之間滿足的關(guān)系式,如果用純方程理論處理則十分繁瑣,如果用函數(shù)思想來(lái)分析,將方程根的分布問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)問(wèn)題,就可輕易解決。解:本題(I)(II)的結(jié)果是可設(shè)函數(shù)f(x)=x2+ax+b(I)由二次函數(shù)的圖像知且│b│=│α·β│<4(Ⅱ)由可知α、β在(-2,2)之內(nèi)或在(-2,2)之外,若α,β在(-2,2)之外,則|αβ|=b>4,這與|b|<4相矛盾,故α,β∈(-2,2)。二、函數(shù)有界性分析【例4】已知a、b、x、y都是實(shí)數(shù),且a2+b2=1,x2+y2=1,求證:ax+by≤1分析:已知條件中有平方和等于1,可聯(lián)想正、余弦之間的平方關(guān)系,利用函數(shù)的有界性進(jìn)行證明。證明:∵a2+b2=1,x2+y2=1∴可設(shè)a=sinα,b=cosα,x=sinβ,y=cosβ則有ax+by=sinαsinβ+cosαcosβ=cos(α-β)≤1∴ax+by≤1三、生成目標(biāo)函數(shù)數(shù)列可以看作是一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集N*(或它的有限子集{1,2......n})的函數(shù)當(dāng)自變量從小到大依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值,而數(shù)列的通項(xiàng)公式也就是相應(yīng)函數(shù)的解析式。因此,有些數(shù)列的問(wèn)題可用函數(shù)思想來(lái)解決。【例5】在等差數(shù)列中,前n項(xiàng)為Sn,已知Sp=q,Sq=p(p、q∈N*且p≠q),求Sp+q分析:本題的常規(guī)解法是用求和公式建立方程組,求出a1和d,進(jìn)而求出Sp+q,但計(jì)算十分繁瑣。若考慮到等差數(shù)列的前n項(xiàng)和是關(guān)于n的二次函數(shù),且無(wú)常數(shù)項(xiàng)。故可考慮建立目標(biāo)函數(shù)Sn=an2+bn(a,b為待定系數(shù)),可優(yōu)化解題過(guò)程。解:設(shè)Sn=an2+bn(a,b為待定系數(shù)),則(1)-(2)整理得(p-q)[a(p+q)+b)]=-(p-q)∵p≠q即p-q≠0∴a(p+q)+b=-1又∵Sp+q=a(p+q)2+b(p+q)=(p+q)[a(p+q)+b]=-(p+q)∴Sp+q=-(p+q)四、參數(shù)或變量的范圍用函數(shù)思想來(lái)確定(一)x的解析問(wèn)題【例6】若不等式2x-1>m(x2-1)對(duì)|m|≤2的所有m均成立,求x的取值范圍。分析:由于思維定勢(shì),易把它看成關(guān)于x的不等式進(jìn)行討論,問(wèn)題就比較復(fù)雜。然而,若變換一個(gè)角度,以m為變量,構(gòu)造關(guān)于m的一次函數(shù)f(m)=m(x2-1)-2x+1在[-2,2]上f(m)<0恒成立,問(wèn)題就簡(jiǎn)單得多。解:構(gòu)造關(guān)于m的一次函數(shù)f(m)=m(x2-1)-2x+1,則由f(m)<0對(duì)m∈[-2,2]恒成立得∴x的取值范圍是(二)bx0222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222【例7】已知實(shí)數(shù)a,b,c,d,滿足a+b+c+d=5,a2+b2+c2+d2=7,求a的取值范圍。解:構(gòu)造關(guān)于x的二次函數(shù)f(x)=(x-b)2+(x-c)2+(x-d)2=3x2-2(b+c+d)x+(b2+c2+d2)∵f(x)≥0∴△≤0即4(b+c+d)2-12(b2+c2+d2)≤0,亦即4(5-a)2-12(7-a2)≤0∴2a2-5a+2≤0∴1/2≤a≤2∴a的取值范圍為[1/2,2]總之,函數(shù)知識(shí)涉及的知識(shí)點(diǎn)多、面廣,在概念性、理解性、應(yīng)用性都有一定的要求,在解題時(shí),要善于對(duì)所給的問(wèn)題仔細(xì)觀察、深入分析,挖掘題目中的隱含條件,構(gòu)造出函數(shù)解析式和妙用函數(shù)的性質(zhì)去解決問(wèn)題。【例3】設(shè)a,b