2018年中考數(shù)學(xué)真題分類匯編(第一期)專題22等腰三角形試題(含解析)

PAGEPAGE24等腰三角形一、選擇題1．（2018?山東棗莊?3分）如圖是由8個(gè)全等的矩形組成的大正方形，線段AB的端點(diǎn)都在小矩形的頂點(diǎn)上，如果點(diǎn)P是某個(gè)小矩形的頂點(diǎn)，連接PA、PB，那么使△ABP為等腰直角三角形的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【分析】根據(jù)等腰直角三角形的判定即可得到結(jié)論．【解答】解：如圖所示，使△ABP為等腰直角三角形的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是3，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰直角三角形的判定，正確的找出符合條件的點(diǎn)P是解題的關(guān)鍵．2（2018?山東棗莊?3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D，AF平分∠CAB，交CD于點(diǎn)E，交CB于點(diǎn)F．若AC=3，AB=5，則CE的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，根據(jù)角平分線和對(duì)頂角相等得出∠CEF=∠CFE，即可得出EC=FC，再利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出答案．【解答】解：過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AB于點(diǎn)G，∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠CDA=90°，∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，∵AF平分∠CAB，∴∠CAF=∠FAD，∴∠CFA=∠AED=∠CEF，∴CE=CF，∵AF平分∠CAB，∠ACF=∠AGF=90°，∴FC=FG，∵∠B=∠B，∠FGB=∠ACB=90°，∴△BFG∽△BAC，∴=，∵AC=3，AB=5，∠ACB=90°，∴BC=4，∴=，∵FC=FG，∴=，解得：FC=，即CE的長(zhǎng)為．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，關(guān)鍵是推出∠CEF=∠CFE．3.（2018?山東淄博?4分）如圖，P為等邊三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且P到三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C的距離分別為3，4，5，則△ABC的面積為（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】R2：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；KK：等邊三角形的性質(zhì)；KS：勾股定理的逆定理．【分析】將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△BEA，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，則△BPE為等邊三角形，得到PE=PB=4，∠BPE=60°，在△AEP中，AE=5，延長(zhǎng)BP，作AF⊥BP于點(diǎn)FAP=3，PE=4，根據(jù)勾股定理的逆定理可得到△APE為直角三角形，且∠APE=90°，即可得到∠APB的度數(shù)，在直角△APF中利用三角函數(shù)求得AF和PF的長(zhǎng)，則在直角△ABF中利用勾股定理求得AB的長(zhǎng)，進(jìn)而求得三角形ABC的面積．【解答】解：∵△ABC為等邊三角形，∴BA=BC，可將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△BEA，連EP，且延長(zhǎng)BP，作AF⊥BP于點(diǎn)F．如圖，∴BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，∴△BPE為等邊三角形，∴PE=PB=4，∠BPE=60°，在△AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，∴AE2=PE2+PA2，∴△APE為直角三角形，且∠APE=90°，∴∠APB=90°+60°=150°．∴∠APF=30°，∴在直角△APF中，AF=AP=，PF=AP=．∴在直角△ABF中，AB2=BF2+AF2=（4+）2+（）2=25+12．則△ABC的面積是?AB2=?（25+12）=．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理的逆定理以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)圖形全等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等．4.（2018?江蘇揚(yáng)州?3分）如圖，點(diǎn)A在線段BD上，在BD的同側(cè)做等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，CD與BE、AE分別交于點(diǎn)P，M．對(duì)于下列結(jié)論：①△BAE∽△CAD；②MP?MD=MA?ME；③2CB2=CP?CM．其中正確的是（）A．①②③ B．① C．①② D．②③【分析】（1）由等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE三邊份數(shù)關(guān)系可證；（2）通過(guò)等積式倒推可知，證明△PAM∽△EMD即可；（3）2CB2轉(zhuǎn)化為AC2，證明△ACP∽△MCA，問(wèn)題可證．【解答】解：由已知：AC=AB，AD=AE∴∵∠BAC=∠EAD∴∠BAE=∠CAD∴△BAE∽△CAD所以①正確∵△BAE∽△CAD∴∠BEA=∠CDA∵∠PME=∠AMD∴△PME∽△AMD∴∴MP?MD=MA?ME所以②正確∵∠BEA=∠CDA∠PME=∠AMD∴P、E、D、A四點(diǎn)共圓∴∠APD=∠EAD=90°∵∠CAE=180°﹣∠BAC﹣∠EAD=90°∴△CAP∽△CMA∴AC2=CP?CM∵AC=AB∴2CB2=CP?CM所以③正確故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判斷．在等積式和比例式的證明中應(yīng)注意應(yīng)用倒推的方法尋找相似三角形進(jìn)行證明，進(jìn)而得到答案．5．（2018·湖南省常德·3分）如圖，已知BD是△ABC的角平分線，ED是BC的垂直平分線，∠BAC=90°，AD=3，則CE的長(zhǎng)為（）A．6 B．5 C．4 D．3【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DB=DC，根據(jù)角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理求出∠C=∠DBC=∠ABD=30°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)解答．【解答】解：∵ED是BC的垂直平分線，∴DB=DC，∴∠C=∠DBC，∵BD是△ABC的角平分線，∴∠ABD=∠DBC，∴∠C=∠DBC=∠ABD=30°，∴BD=2AD=6，∴CE=CD×cos∠C=3，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，掌握線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．6.（2018·臺(tái)灣·分）如圖，銳角三角形ABC中，BC＞AB＞AC，甲、乙兩人想找一點(diǎn)P，使得∠BPC與∠A互補(bǔ)，其作法分別如下：（甲）以A為圓心，AC長(zhǎng)為半徑畫弧交AB于P點(diǎn)，則P即為所求；（乙）作過(guò)B點(diǎn)且與AB垂直的直線l，作過(guò)C點(diǎn)且與AC垂直的直線，交l于P點(diǎn)，則P即為所求對(duì)于甲、乙兩人的作法，下列敘述何者正確？（）A．兩人皆正確 B．兩人皆錯(cuò)誤C．甲正確，乙錯(cuò)誤 D．甲錯(cuò)誤，乙正確【分析】甲：根據(jù)作圖可得AC=AP，利用等邊對(duì)等角得：∠APC=∠ACP，由平角的定義可知：∠BPC+∠APC=180°，根據(jù)等量代換可作判斷；乙：根據(jù)四邊形的內(nèi)角和可得：∠BPC+∠A=180°．【解答】解：甲：如圖1，∵AC=AP，∴∠APC=∠ACP，∵∠BPC+∠APC=180°∴∠BPC+∠ACP=180°，∴甲錯(cuò)誤；乙：如圖2，∵AB⊥PB，AC⊥PC，∴∠ABP=∠ACP=90°，∴∠BPC+∠A=180°，∴乙正確，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂線的定義、四邊形的內(nèi)角和定理、等腰三角形的性質(zhì)，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．7．（2018?湖北荊門?3分）如圖，等腰Rt△ABC中，斜邊AB的長(zhǎng)為2，O為AB的中點(diǎn)，P為AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，OQ⊥OP交BC于點(diǎn)Q，M為PQ的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)M所經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)為（）A． B． C．1 D．2【分析】連接OC，作PE⊥AB于E，MH⊥AB于H，QF⊥AB于F，如圖，利用等腰直角三角形的性質(zhì)得AC=BC=，∠A=∠B=45°，OC⊥AB，OC=OA=OB=1，∠OCB=45°，再證明Rt△AOP≌△COQ得到AP=CQ，接著利用△APE和△BFQ都為等腰直角三角形得到PE=AP=CQ，QF=BQ，所以PE+QF=BC=1，然后證明MH為梯形PEFQ的中位線得到MH=，即可判定點(diǎn)M到AB的距離為，從而得到點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路線為△ABC的中位線，最后利用三角形中位線性質(zhì)得到點(diǎn)M所經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)．【解答】解：連接OC，作PE⊥AB于E，MH⊥AB于H，QF⊥AB于F，如圖，∵△ACB為到等腰直角三角形，∴AC=BC=AB=，∠A=∠B=45°，∵O為AB的中點(diǎn)，∴OC⊥AB，OC平分∠ACB，OC=OA=OB=1，∴∠OCB=45°，∵∠POQ=90°，∠COA=90°，∴∠AOP=∠COQ，在Rt△AOP和△COQ中，∴Rt△AOP≌△COQ，∴AP=CQ，易得△APE和△BFQ都為等腰直角三角形，∴PE=AP=CQ，QF=BQ，∴PE+QF=（CQ+BQ）=BC=×=1，∵M(jìn)點(diǎn)為PQ的中點(diǎn)，∴MH為梯形PEFQ的中位線，∴MH=（PE+QF）=，即點(diǎn)M到AB的距離為，而CO=1，∴點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路線為△ABC的中位線，∴當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)M所經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)=AB=1．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軌跡：通過(guò)計(jì)算確定動(dòng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不變的量，從而得到運(yùn)動(dòng)的軌跡．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)．8.（2018?河北?3分）已知：如圖4，點(diǎn)在線段外，且.求證：點(diǎn)在線段的垂直平分線上.在證明該結(jié)論時(shí)，需添加輔助線，則作法不正確的是（）A．作的平分線交于點(diǎn)B．過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)且C.取中點(diǎn)，連接D．過(guò)點(diǎn)作，垂足為9.(2018四川省綿陽(yáng)市)如圖，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ACB的頂點(diǎn)A在△ECD的斜邊DE上，若AE=，AD=，則兩個(gè)三角形重疊部分的面積為（

）

A.

B.

C.

D.【答案】D【考點(diǎn)】三角形的面積，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形【解析】【解答】解：連接BD，作CH⊥DE，

∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，

∴∠ACB=∠ECD=90°,∠ADC=∠CAB=45°,

即∠ACD+∠DCB=∠ACD+∠ACE=90°，

∴∠DCB=∠ACE，

在△DCB和△ECA中，

,

∴△DCB≌△ECA，

∴DB=EA=,∠CDB=∠E=45°,

∴∠CDB+∠ADC=∠ADB=90°，

在Rt△ABD中，

∴AB==2，

在Rt△ABC中，

∴2AC2=AB2=8，

∴AC=BC=2，

在Rt△ECD中，

∴2CD2=DE2=，

∴CD=CE=+1，

∵∠ACO=∠DCA，∠CAO=∠CDA，

∴△CAO∽△CDA，

∴：===4-2，

又∵=CE=DE·CH，

∴CH==，

∴=AD·CH=××=，

∴=（4-2）×=3-.

即兩個(gè)三角形重疊部分的面積為3-.

故答案為：D.

【分析】解：連接BD，作CH⊥DE，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠ACB=∠ECD=90°,∠ADC=∠CAB=45°,再由同角的余角相等可得∠DCB=∠ACE；由SAS得△DCB≌△ECA，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)知DB=EA=,∠CDB=∠E=45°,從而得∠ADB=90°，在Rt△ABD中，根據(jù)勾股定理得AB=2，同理可得AC=BC=2，CD=CE=+1；由相似三角形的判定得△CAO∽△CDA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)：面積比等于相似比的平方從而得出兩個(gè)三角形重疊部分的面積.二.填空題1．（2018四川省瀘州市3分）如圖，等腰△ABC的底邊BC=20，面積為120，點(diǎn)F在邊BC上，且BF=3FC，EG是腰AC的垂直平分線，若點(diǎn)D在EG上運(yùn)動(dòng)，則△CDF周長(zhǎng)的最小值為18．【分析】如圖作AH⊥BC于H，連接AD．由EG垂直平分線段AC，推出DA=DC，推出DF+DC=AD+DF，可得當(dāng)A、D、F共線時(shí)，DF+DC的值最小，最小值就是線段AF的長(zhǎng)；【解答】解：如圖作AH⊥BC于H，連接AD．∵EG垂直平分線段AC，∴DA=DC，∴DF+DC=AD+DF，∴當(dāng)A、D、F共線時(shí)，DF+DC的值最小，最小值就是線段AF的長(zhǎng)，∵?BC?AH=120，∴AH=12，∵AB=AC，AH⊥BC，∴BH=CH=10，∵BF=3FC，∴CF=FH=5，∴AF===13，∴DF+DC的最小值為13．∴△CDF周長(zhǎng)的最小值為13+5=18；故答案為18．【點(diǎn)評(píng)】本題考查軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃虇?wèn)題、線段的垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用軸對(duì)稱，解決最短問(wèn)題，屬于中考常考題型．2.（2018?廣西桂林?3分）如圖，在ΔABC中，∠A=36°,AB=AC,BD平分∠ABC，則圖中等腰三角形的個(gè)數(shù)是__________【答案】3詳解：∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形．∵∠A=36°，∴∠C=∠ABC=72°．BD平分∠ABC交AC于D，∴∠ABD=∠DBC=36°，∵∠A=∠ABD=36°，∴△ABD是等腰三角形．∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°=∠C，∴△BDC是等腰三角形．∴共有3個(gè)等腰三角形．故答案為：3．點(diǎn)睛：本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理；求得角的度數(shù)是正確解答本題的關(guān)鍵．3.（2018·新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團(tuán)·5分）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接正三角形，⊙O的半徑為2，則圖中陰影部的面積是．【分析】根據(jù)等邊三角形性質(zhì)及圓周角定理可得扇形對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)，再根據(jù)扇形面積公式計(jì)算即可．【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠C=60°，根據(jù)圓周角定理可得∠AOB=2∠C=120°，∴陰影部分的面積是=π，故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查扇形面積的計(jì)算和圓周角定理，根據(jù)等邊三角形性質(zhì)和圓周角定理求得圓心角度數(shù)是解題的關(guān)鍵．4.（2018·四川宜賓·3分）劉徽是中國(guó)古代卓越的數(shù)學(xué)家之一，他在《九章算術(shù)》中提出了“割圓術(shù)”，即用內(nèi)接或外切正多邊形逐步逼近圓來(lái)近似計(jì)算圓的面積，設(shè)圓O的半徑為1，若用圓O的外切正六邊形的面積來(lái)近似估計(jì)圓O的面積，則S=2．（結(jié)果保留根號(hào)）【考點(diǎn)】MM：正多邊形和圓；1O：數(shù)學(xué)常識(shí)．【分析】根據(jù)正多邊形的定義可得出△ABO為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合OM的長(zhǎng)度可求出AB的長(zhǎng)度，再利用三角形的面積公式即可求出S的值．【解答】解：依照題意畫出圖象，如圖所示．∵六邊形ABCDEF為正六邊形，∴△ABO為等邊三角形，∵⊙O的半徑為1，∴OM=1，∴BM=AM=，∴AB=，∴S=6S△ABO=6×××1=2．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正多邊形和圓、三角形的面積以及數(shù)學(xué)常識(shí)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出正六邊形的邊長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．5.（2018·天津·3分）如圖，在邊長(zhǎng)為4的等邊中，，分別為，的中點(diǎn)，于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，連接，則的長(zhǎng)為_(kāi)_________．【答案】【解析】分析：連接DE，根據(jù)題意可得ΔDEG是直角三角形，然后根據(jù)勾股定理即可求解DG的長(zhǎng).詳解：連接DE，∵D、E分別是AB、BC的中點(diǎn)，∴DE∥AC，DE=AC∵ΔABC是等邊三角形，且BC=4∴∠DEB=60°,DE=2∵EF⊥AC，∠C=60°,EC=2∴∠FEC=30°，EF=∴∠DEG=180°-60°-30°=90°∵G是EF的中點(diǎn)，∴EG=.在RtΔDEG中，DG=故答案為：.點(diǎn)睛：本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理以及三角形中位線性質(zhì)定理，記住和熟練運(yùn)用性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.6．（2018·湖北省武漢·3分）如圖．在△ABC中，∠ACB=60°，AC=1，D是邊AB的中點(diǎn)，E是邊BC上一點(diǎn)．若DE平分△ABC的周長(zhǎng)，則DE的長(zhǎng)是．【分析】延長(zhǎng)BC至M，使CM=CA，連接AM，作CN⊥AM于N，根據(jù)題意得到ME=EB，根據(jù)三角形中位線定理得到DE=AM，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠ACN，根據(jù)正弦的概念求出AN，計(jì)算即可．【解答】解：延長(zhǎng)BC至M，使CM=CA，連接AM，作CN⊥AM于N，∵DE平分△ABC的周長(zhǎng)，∴ME=EB，又AD=DB，∴DE=AM，DE∥AM，∵∠ACB=60°，∴∠ACM=120°，∵CM=CA，∴∠ACN=60°，AN=MN，∴AN=AC?sin∠ACN=，∴AM=，∴DE=，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形中位線定理、等腰三角形的性質(zhì)、解直角三角形，掌握三角形中位線定理、正確作出輔助性是解題的關(guān)鍵．7．（2018?北京?2分）右圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，________．（填“”，“”或“”）【答案】【解析】如下圖所示，是等腰直角三角形，∴，∴．另：此題也可直接測(cè)量得到結(jié)果．【考點(diǎn)】等腰直角三角形8.（2018?江蘇鹽城?3分）如圖，在直角中，，，，、分別為邊、上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若要使是等腰三角形且是直角三角形，則________．16.【答案】或【考點(diǎn)】等腰三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)【解析】【解答】解：當(dāng)△BPQ是直角三角形時(shí)，有兩種情況：∠BPQ=90度，∠BQP=90度。在直角中，，，，則AB=10，AC：BC：AB=3:4:5.(1)當(dāng)∠BPQ=90度，則△BPQ~△BCA，則PQ：BP：BQ=AC：BC：AB=3:4:5，

設(shè)PQ=3x，則BP=4x，BQ=5x，AQ=AB-BQ=10-5x，

此時(shí)∠AQP為鈍角，則當(dāng)△APQ是等腰三角形時(shí)，只有AQ=PQ，

則10-5x=3x，解得x=，

則AQ=10-5x=；

（2）當(dāng)∠BQP=90度，則△BQP~△BCA，則PQ：BQ：BP=AC：BC：AB=3:4:5，

設(shè)PQ=3x，則BQ=4x，BP=5x，AQ=AB-BQ=10-4x，

此時(shí)∠AQP為直角，則當(dāng)△APQ是等腰三角形時(shí)，只有AQ=PQ，

則10-4x=3x，解得x=，

則AQ=10-4x=；

故答案為：或

【分析】要同時(shí)使是等腰三角形且是直角三角形，要先找突破口，可先確定當(dāng)△APQ是等腰三角形時(shí)，再討論△BPQ是直角三角形可能的情況；或者先確定△BPQ是直角三角形，再討論△APQ是等腰三角形的情況；此題先確定△BPQ是直角三角形容易一些：△BPQ是直角三角形有兩種情況，根據(jù)相似的判定和性質(zhì)可得到△BQP與△BCA相似，可得到△BQP三邊之比，設(shè)出未知數(shù)表示出三邊的長(zhǎng)度，再討論△APQ是等腰三角形時(shí)，是哪兩條相等，構(gòu)造方程解出未知數(shù)即可，最后求出AQ。9．（2018?四川成都?3分）等腰三角形的一個(gè)底角為，則它的頂角的度數(shù)為_(kāi)_______．【答案】80°【考點(diǎn)】三角形的面積，等腰三角形的性質(zhì)【解析】【解答】解：∵等腰三角形的一個(gè)底角為∴它的頂角的度數(shù)為：180°-50°×2=80°故答案為：80°【分析】根據(jù)等腰三角形的兩底角相等及三角形的內(nèi)角和定理，就可求得結(jié)果。三.解答題1.（2018?山東淄博?9分）（1）操作發(fā)現(xiàn)：如圖①，小明畫了一個(gè)等腰三角形ABC，其中AB=AC，在△ABC的外側(cè)分別以AB，AC為腰作了兩個(gè)等腰直角三角形ABD，ACE，分別取BD，CE，BC的中點(diǎn)M，N，G，連接GM，GN．小明發(fā)現(xiàn)了：線段GM與GN的數(shù)量關(guān)系是MG=NG；位置關(guān)系是MG⊥NG．（2）類比思考：如圖②，小明在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了深入思考．把等腰三角形ABC換為一般的銳角三角形，其中AB＞AC，其它條件不變，小明發(fā)現(xiàn)的上述結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）深入研究：如圖③，小明在（2）的基礎(chǔ)上，又作了進(jìn)一步的探究．向△ABC的內(nèi)側(cè)分別作等腰直角三角形ABD，ACE，其它條件不變，試判斷△GMN的形狀，并給與證明．【考點(diǎn)】KY：三角形綜合題．【分析】（1）利用SAS判斷出△ACD≌△AEB，得出CD=BE，∠ADC=∠ABE，進(jìn)而判斷出∠BDC+∠DBH=90°，即：∠BHD=90°，最后用三角形中位線定理即可得出結(jié)論；（2）同（1）的方法即可得出結(jié)論；（3）同（1）的方法得出MG=NG，最后利用三角形中位線定理和等量代換即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）連接BE，CD相較于H，∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，∴AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°∴∠CAD=∠BAE，∴△ACD≌△AEB（SAS），∴CD=BE，∠ADC=∠ABE，∴∠BDC+∠DBH=∠BDC+∠ABD+∠ABE=∠BDC+∠ABD+∠ADC=∠ADB+∠ABD=90°，∴∠BHD=90°，∴CD⊥BE，∵點(diǎn)M，G分別是BD，BC的中點(diǎn)，∴MGCD，同理：NGBE，∴MG=NG，MG⊥NG，故答案為：MG=NG，MG⊥NG；（2）連接CD，BE，相較于H，同（1）的方法得，MG=NG，MG⊥NG；（3）連接EB，DC，延長(zhǎng)線相交于H，同（1）的方法得，MG=NG，同（1）的方法得，△ABE≌△ADC，∴∠AEB=∠ACD，∴∠CEH+∠ECH=∠AEH﹣∠AEC+180°﹣∠ACD﹣∠ACE=∠ACD﹣45°+180°﹣∠ACD﹣45°=90°，∴∠DHE=90°，同（1）的方法得，MG⊥NG．【點(diǎn)評(píng)】此題是三角形綜合題，主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，三角形的中位線定理，正確作出輔助線用類比的思想解決問(wèn)題是解本題的關(guān)鍵．2．（2018·湖北省孝感·7分）如圖，△ABC中，AB=AC，小聰同學(xué)利用直尺和圓規(guī)完成了如下操作：①作∠BAC的平分線AM交BC于點(diǎn)D；②作邊AB的垂直平分線EF，EF與AM相交于點(diǎn)P；③連接PB，PC．請(qǐng)你觀察圖形解答下列問(wèn)題：（1）線段PA，PB，PC之間的數(shù)量關(guān)系是PA=PB=PC；（2）若∠ABC=70°，求∠BPC的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)可得：PA=PB=PC；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得：∠ABC=∠ACB=70°，由三角形的內(nèi)角和得：∠BAC=180°﹣2×70°=40°，由角平分線定義得：∠BAD=∠CAD=20°，最后利用三角形外角的性質(zhì)可得結(jié)論．【解答】解：（1）如圖，PA=PB=PC，理由是：∵AB=AC，AM平分∠BAC，∴AD是BC的垂直平分線，∴PB=PC，∵EP是AB的垂直平分線，∴PA=PB，∴PA=PB=PC；故答案為：PA=PB=PC；（2）∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=