【2023春】人教版九年級數(shù)學中考壓軸試題（含答案解析）

【精品】人教版九年級數(shù)學中考壓軸試題

(含答案)

1.(7分)在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=-x2+mx+n經(jīng)過點A

(-1,0)和B(0,3).

(1)求拋物線的表達式；

(2)拋物線與x軸的正半軸交于點C,連接BC.設拋物線的頂點P

關于直線y=t的對稱點為點Q,若點Q落在AOBC的內(nèi)部，求t的

取值范圍.

【分析】(1)利用待定系數(shù)法即可解決問題；

(2)分別求出點Q落在直線BC和x軸上時的t的值即可判斷；

【解答】解：(1):?拋物線y=-x2+mx+n經(jīng)過點A(-1,0)和B(0,

3),

?[T-ro+n=0

1n=3

解得信

...拋物線的解析式為y=-X2+2X+3.

(2)如圖，易知拋物線的頂點坐標為(1,4).

觀察圖象可知當點P關于直線y=t的對稱點為點Q中直線BC上時，

t=3,

當點P關于直線y=t的對稱點為點Q在x軸上時，t=2,

，滿足條件的t的值為2<t<3.

【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、待定系數(shù)法、軸對稱等知識，解

題的關鍵是熟練掌握基本知識，學會尋找特殊點解決問題，屬于中考

?？碱}型.

2.(7分)在正方形ABCD中，點P在射線AC上，作點P關于直線CD

的對稱點Q,作射線BQ交射線DC于點E,連接BP.

(1)當點P在線段AC上時，如圖1.

①依題意補全圖1；

②若EQ=BP,則NPBE的度數(shù)為45°,并證明；

(2)當點P在線段AC的延長線上時，如圖2.若EQ=BP,正方形ABCD

的邊長為1,請寫出求BE長的思路.(可以不寫出計算結(jié)果)

【分析】（1）①作點P關于直線CD的對稱點Q,作射線BQ交射線DC

于點E,連接BP；②依據(jù)題意得到DP=EP,再根據(jù)四邊形內(nèi)角和求得

ZBPE=90°,根據(jù)BP=EP,即可得到NPBE=45°；

（2）連接PD,PE,依據(jù)4CPD之ZiCPB,可得DP=BP,Z1=Z2,根據(jù)

DP=EP,可得N3=N1,進而得到NPEB=45°,Z3=Z4=22.5°,ABCE

中，已知N4=22.5°,BC=1,可求BE長.

【解答】解：（1）①作圖如下：

②如圖，連接PD,PE,易證△CPD0Z\CPB,

.*.DP=BP,ZCDP=ZCBP,

VP>Q關于直線CD對稱，

，EQ=EP,

VEQ=BP,

.,.DP=EP,

.*.ZCDP=ZDEP,

VZCEP+ZDEP=180°,

：.ZCEP+ZCBP=180°,

VZBCD=90°,

：.ZBPE=90°,

VBP=EP,

AZPBE=45°,

故答案為：45°；

(2)思路：如圖，連接PD,PE,

易證△CPDZ/iCPB,

.\DP=BP,Z1=Z2,

VP>Q關于直線CD對稱,

.*.EQ=EP,Z3=Z4,

VEQ=BP,

.,.DP=EP,

.*.Z3=Z1,

.*.Z3=Z2,

.?.Z5=ZBCE=90°,

VBP=EP,

ZPEB=45°,

.,.Z3=Z4=22.5°,

在4BCE中，已知N4=22.5°,BC=1,可求BE長.

【點評】此題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)、軸對稱的

性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識的綜合運用，解決本題的關鍵

是熟記全等三角形的性質(zhì)定理和判定定理.

3.（8分）在平面直角坐標系xOy中，點P的坐標為（xi,y）點Q

的坐標為（X2,丫2）,且治羊注，1羊丫2,若PQ為某個等腰三角形的腰，

且該等腰三角形的底邊與x軸平行，則稱該等腰三角形為點P,Q的

“相關等腰三角形”.下圖為點P,Q的“相關等腰三角形”的示意

圖.

（1）已知點A的坐標為（0,1）,點B的坐標為（?后，0），則點A,

B的“相關等腰三角形”的頂角為120°；

（2）若點C的坐標為（0,炳），點D在直線y=4蟲上，且C,D的“相

關等腰三角形”為等邊三角形，求直線CD的表達式；

（3）。。的半徑為近，點N在雙曲線y=一旦上.若在。0上存在一

X

點M,使得點MN的“相關等腰三角形”為直角三角形，直接寫出

點N的橫坐標XN的取值范圍.

【分析】(1)畫出圖形求出NBAO的度數(shù)即可解決問題；

(2)利用等邊三角形的性質(zhì)求出點D坐標即可解決問題；

(3)因為點M、N的“相關等腰三角形”為直角三角形，推出直線

MN與x軸的夾角為45°,可以假設直線MN的解析式為y=-x+b,當

直線與。。相切于點M時，求出直線MN的解析式，利用方程組求出

點N的坐標，觀察圖象即可解決問題.

.?.點A,B的“相關等腰三角形"Z^ABC的當C（V3,0）或（-273,

1）,

,.?tanNBAo[=G

；?NBA0=NCA0=60°，

.*.ZBAC=ZABC/=120°,

故答案為120.

(2)如圖2中，設直線y=4正交y軸于F(0,4?),

\\F//

\?

、/

\?

\/

\/

C1f

圖2

VC(0,技，

.?.CF=3?,

?.?且C,D的“相關等腰三角形”為等邊三角形，

.*.ZCDF=ZCD/F=60°,

.*.DF=FD/=3V3*tan30°=3,

AD(3,4?),Dz(-3,4折，

直線CD的解析式為v=Mx+M，或y=-V3X+V3.

(3)如圖3中,

?.?點MN的“相關等腰三角形”為直角三角形,

，直線MN與x軸的夾角為45°,

可以假設直線MN的解析式為y=-x+b,

當直線與。。相切于點M時，易知b=±2,

直線MN的解析式為y=-x+2或y=-x-2,

由解得卜:1或［x=3

”1產(chǎn)3ly=-l

AN(-b3),N'(3,1),

由［尸;2解得［x=l或

y=-ly=-3{y=l

AN,(-3,1),N2(1,-3),

觀察圖象可知滿足條件的點N的橫坐標的取值范圍為：-3WXNW-1

或1WXNW3.

【點評】本題考查反比例函數(shù)綜合題、一次函數(shù)的應用、等邊三角形

的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、“相關等腰三角形”的定義等知識,

解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題，屬于中考壓軸

題.

4.(5分)如圖所示，某小組同學為了測量對面樓AB的高度，分工

合作，有的組員測得兩樓間距離為40米，有的組員在教室窗戶處測

得樓頂端A的仰角為30°,底端B的俯角為10°,請你根據(jù)以上數(shù)

據(jù)，求出樓AB的高度.（精確到0.1米）

（參考數(shù)據(jù)：sinl0°-0.17,cosl0°-0.98,tanl0°-0.18,M

^1.41,屋1.73)

【分析】過點D作DE±AB于點E,在RtAADE中tanNl=普，Zl=30°,

可得AE=DEXtanNl,代入相應數(shù)據(jù)可得AE長，在RtZXDEB中，

tan/2=黑，代入相應數(shù)據(jù)可得EB長，進而可得AB=AE+BE的長,

【解答】解：過點D作DE_LAB于點E,

在RtAADE中，ZAED=90°，tanZl=#,Zl=30°，

DE

AAE=DEXtanZ1=40Xtan30°=40義中心40*1.73X923.1

3J

在Rtz^DEB中，NDEB=90°，tan/2=瞿，Z2=10°，

Dt

ABE=DEXtanZ2=40Xtanl0°^40X0.18=7.2,

，AB=AE+BEg23.1+7.2=30.3米.

【點評】此題主要考查了解直角三角形的應用，關鍵是讀懂題意，把

實際問題劃歸為直角三角形中邊角關系問題加以解決.

5.（6分）已知：如圖，AB為。。的直徑，CELAB于E,BF/70C,連

接BC,CF.

求證：ZOCF=ZECB.

【分析】延長CE交。0于點G,利用圓周角的性質(zhì)進行解答即可.

【解答】證明：延長CE交。。于點G.

?；AB為。。的直徑,CE_LAB于E,

/.BC=BG,

.*.ZG=Z2,

VBF/70C,

.\Z1=ZF,

又?.?NG=NF,

.\Z1=Z2.

即NOCF=NECB.

【點評】此題考查圓周角定理，關鍵是根據(jù)圓周角定理解答.

6.(6分)如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y=x-2與雙曲線

y=-(k#0)相交于A,B兩點，且點A的橫坐標是3.

X

(1)求k的值；

(2)過點P(0,n)作直線，使直線與x軸平行，直線與直線y=x

-2交于點M,與雙曲線y言(kWO)交于點N,若點M在N右邊,

【分析】(1)把A橫坐標代入一次函數(shù)解析式求出縱坐標，確定出A

坐標，代入反比例解析式求出k的值即可；

(2)根據(jù)題意畫出直線，根據(jù)圖象確定出點M在N右邊時n的取值

范圍即可.

【解答】解：(1)令x=3,代入y=x-2,則y=l,

AA(3,1),

?:點A(3,1)在雙曲線y=k(kWO)上，

X

.,.k=3；

'y=x-2

(2)聯(lián)立得：kv3，

解得：行可或『二一；，即B(7,-3),

Iy=lIy=-3

如圖所示：

當點M在N右邊時，n的取值范圍是n>l或-3<nV0.

【點評】此題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，利用了數(shù)形

結(jié)合的思想，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關鍵.

7.（7分）已知：如圖，在aABC中，AB=AC,以AC為直徑作。。交

BC于點D,過點D作。0的切線交AB于點E,交AC的延長線于點F.

(1)求證：DE±AB；

(2)若tan/BDE*,CF=3,求DF的長.

【分析】（1）連接0D,由EF為圓0的切線，利用切線的性質(zhì)得到0D

與EF垂直，又OD=OC,利用等邊對等角得到一對角相等，再由AB=AC,

根據(jù)等邊對等角得到另一對角相等，等量代換可得出一對同位角相等,

根據(jù)同位角相等兩直線平行可得出0D與AB平行，由與平行線中的一

條直線垂直，與另一條也垂直，即可得證；

（2）連接AD,根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)解答即可.

【解答】證明：（1）連接0D,

???EF切。0于點D,

.\OD1EF,

又,.，OD=OC,

...ZODC=ZOCD,

VAB=AC,

，ZABC=ZOCD,

，ZABC=ZODC,

AAB/ZOD,

ADE±AB；

(2)連接AD,

〈AC為。。的直徑，

AZADB=90°,

ZB+ZBDE=90°,ZB+Z1=9O°,

：.ZBDE=Z1,

VAB=AC,

AZ1=Z2.

又?.?NBDE=N3,

.?.Z2=Z3.

.,.△FCD^AFDA,

.FCCD

"FD^DA，

VtanZBDE=y,

tanZ2=y,

.CD_1

??瓦W，

.K__l_

,?而W，

VCF=3,

.,.FD=6.

【點評】此題考查了切線的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關

鍵.

8.（7分）綜合實踐課上，某小組同學將直角三角形紙片放到橫線紙

上（所有橫線都平行，且相鄰兩條平行線的距離為1）,使直角三角

形紙片的頂點恰巧在橫線上，發(fā)現(xiàn)這樣能求出三角形的邊長.

⑴如圖1,已知等腰直角三角形紙片△ABC,ZACB=90°,AC=BC,

同學們通過構(gòu)造直角三角形的辦法求出三角形三邊的長，則AB=

V26;

（2）如圖2,已知直角三角形紙片△DEF,ZDEF=90°,EF=2DE,求

出DF的長;

（3）在（2）的條件下，若橫格紙上過點E的橫線與DF相交于點G,

直接寫出EG的長.

D

【分析】(1)根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)得出AD=CE=3,BE=DC=2,

進而利用勾股定理解答即可;

(2)過點E作橫線的垂線，交L,k于點M,N,根據(jù)相似三角形的

判定和性質(zhì)解答即可;

(3)利用梯形的面積公式解答即可.

【解答】解：(1)如圖1,

VZDAC+ZACD=90°，ZACD+ZECB=90°，

：.ZDAC=ZECB,

在aADC與4BCE中，

'AC=BC

<ZADC=ZCEB=90°,

ZDAC=ZECB

AADC^ABCE,

.*.AD=CE=3,BE=DC=2,

AC=7AD2+DC2=V13?

?*-AB=7AC2+BC2=7（V13）2+（V13）2=V26;

故答案為：V26

（2）

M

II

G

I

過點E作橫線的垂線，交L,k于點M,N,

.*.ZDME=ZEDF=90o,

VZDEF=90°,

.\Z2+Z3=90o,

VZ1+Z3=9O°,

.\Z1=Z2,

.,.△DME^AENF,

.DM二ME_DE

**EN~NF~EF，

VEF=2DE,

.DM=ME_DE_1

**EN~NF~EF：：?I，

VME=2,EN=3,

/.NF=4,DM=1.5,

根據(jù)勾股定理得DE=2.5,EF=5,DF-|V5,

(3)根據(jù)(2)可得:

DM+EGEG+FNDM+FN

?EN=?MN,

2

即管Lx2+^X32羅X5,

解得：EG=2.5.

【點評】此題考查三角形綜合題，關鍵是根據(jù)全等三角形的判定和性

質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)進行解答.

9.(7分)在平面直角坐標系xOy中，拋物線懸"x2+bx經(jīng)過點A(-

y

3,4).

(1)求b的值；

(2)過點A作x軸的平行線交拋物線于另一點B,在直線AB上任取

一點P,作點A關于直線0P的對稱點C；

①當點C恰巧落在x軸時，求直線0P的表達式；

②連結(jié)BC,求BC的最小值.

【分析】(1)將點A的坐標代入二次函數(shù)解析式求得b的值；

(2)①根據(jù)對稱的性質(zhì)，結(jié)合點A的坐標求得點P的坐標，然后利

用待定系數(shù)法求得直線解析式；

③以。為圓心，0A長為半徑作。0,連接B0,交。0于點C,結(jié)合點

與坐標的性質(zhì)，點與圓的位置關系求BC的最小值.

【解答】解：⑴?.?拋物線y4x?+bx經(jīng)過點A(-3,4)

令x=-3,代入吟x2+bx,則吟X9+bX(-3),

b=-1；

(2)①如圖:

由對稱性可知OA=OC,AP=CP,

VAP//OC,

AZ1=Z2,

又，:NA0P=N2,

二.ZAOP=Z1,

.\AP=AO,

VA(-3,4),

A0=5,

，AP=5,

AP,(2,4),

同理可得P2(-8,4),

AOP的表達式為y=2x或尸總x.

②如圖：

以。為圓心，0A長為半徑作。0,連接B0,交。0于點C

VB（12,4）,

/.0B=4Vio?

ABC的最小值為4710-5.

【點評】考查了二次函數(shù)綜合題.掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次

函數(shù)解析式，對稱是性質(zhì)的應用，點的坐標與圖形的性質(zhì)以及點與圓

的位置關系等知識點，綜合性比較強，難度較大.

10.（5分）如圖，建筑物的高CD為17.32米，在其樓頂C,測得旗

桿底部B的俯角a為60°,旗桿頂部A的仰角B為20°,請你計

算旗桿的高度.（sin20°^0.342,tan20°^0.364,cos20°g0.940,

5合1.732,結(jié)果精確到0.1米）

【分析I首先根據(jù)題意分析圖形；本題涉及到兩個直角三角形，借助

公共邊CE等價轉(zhuǎn)換，解這兩個三角形可得AE、BE的值，再利用

AB=AE+BE,進而可求出答案.

【解答】解：根據(jù)題意，再RtZiBCE中，ZBEC=90°,tana=!|,

CE

?但赍仁爆=1°米,

再R3CE中，ZAEC=90°，tanB陪，

Ct

.?.AE=CE*tan200心10X0.364=3.64米，

.?.AB=AE+BE=17.32+3.64=20.96弋21.0米,

答：旗桿的高約為21.0米.

【點評】本題考查俯角、仰角的定義，要求學生能借助俯角、仰角構(gòu)

造直角三角形并結(jié)合圖形利用三角函數(shù)解直角三角形.

11.(5分)如圖，李師傅想用長為80米的棚欄，再借助教學樓的外

墻圍成一個矩形的活動區(qū)ABCD.已知教學樓外墻長50米,設矩形ABCD

的邊長AB為x(米)，面積為S(平方米).

(1)請寫出活動區(qū)面積S與x之間的關系式，并指出x的取值范圍；

(2)當AB為多少米時，活動區(qū)的面積最大？最大面積是多少？

-4D

5)-------------r

【分析】(1)設矩形的邊AB為x米，則邊BC為80-2x米，根據(jù)矩

形面積公式“面積=長義寬”列出函數(shù)的關系式.

(2)將所得函數(shù)解析式配方成頂點式即可得.

【解答】解：⑴根據(jù)題意知AB=x,BC=80-2x,

/.S=x(80-2x)=-2X2+80X,

又?.?x>0,0<80-2x^50,

解得15WxV40,

.*.S=-2X2+80X(15WX<40)；

(2)VS=-2X2+80X

=-2(x-20)2+800,

...當x=20時，S最大值為800,

答：當AB為20米時，活動區(qū)的面積最大，最大面積是800平方米.

【點評】本題考查二次函數(shù)的應用，解題的關鍵是學會構(gòu)建二次函數(shù),

學會利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題.

12.(5分)如圖，ABC是等腰三角形，AB=AC,以AC為直徑的。。與

BC交于D,DE±AB,垂足為點E,ED的延長線與AC的延長線交于點

F.

(1)求證：DE是。0的切線；

(2)若。0的半徑為2,BE=1,求cosNA的值.

【分析】(1)連接0D,AD,由AC為圓的直徑，利用直徑所對的圓周

角為直角及垂直的定義得到AD垂直于BC,利用三線合一得到D為BC

中點，再由0為AC的中點，得到0D為三角形ABC的中位線，利用中

位線性質(zhì)得到0D與AB平行，進而得到0D垂直于DE,即可得證；

(2)由半徑的長求出AB與AC的長，根據(jù)BE的長，由AB-BE求出

AE的長，由平行得相似，相似得比例，設CF=x,根據(jù)題意列出關于

x的方程，求出方程的解得到x的值，即可確定出所求.

【解答】(1)證明：連接0D,AD,

..?AC為圓的直徑，

AZADC=90°，AD±BC,

VAB=AC,

.?.點D為BC的中點，

二?點。為AC的中點，

.,.OD//AB,

VDE±AB,ZAED=90°,

AZ0DE=90°,

.*.OD±DE,

則DE為圓。的切線；

(2)解：\丁=2,

.,.AB=AC=2r=4,

VBE=1,

.*.AE=AB-BE=3,

VOD//AB,

.,.△FOD^AFAE,

.FO=OD=2,

**FA-AE-y，

設CF=x,則有OF=x+2,AF=x+4,

.x+2_2

??有一5，

解得：x=2,

.\AF=6,

在Rt^AEF中，NAEF=90°,

貝！JcosA=^=9.

ArZ

c

0,

B

【點評】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì),

圓周角定理，以及解直角三角形，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)

是解本題的關鍵.

13.(7分)在平面直角坐標系xOy中，二次函數(shù)y=ax?-2ax+l(a>

0)的對稱軸為x=b，點A(-2,m)在直線y=-x+3上.

(1)求m,b的值；

(2)若點D(3,2)在二次函數(shù)y=ax2-2ax+l(a>0)上，求a的

值；

(3)當二次函數(shù)y=ax2-2ax+l(a>0)與直線y=-x+3相交于兩點

時，設左側(cè)的交點為P(xi,y])，若-3Vx〈-l,求a的取值范

售用圖

【分析】(1)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得將A(-2,m)

代入y=-x+3,即可求出m=2+3=5；

(2)將D(3,2)代入y=ax2-2ax+l,即可求出a的值；

(3)把x=-3代入y=-x+3,求出y=6,把(-3,6)代入y=ax2-

2ax+l,求出a=/再把x=-1代入y=-x+3,求出y=4,把(-1,

4)代入y=ax--2ax+l,求出a=l.進而得出a的取值范圍.

【解答】解：(1)二?二次函數(shù)y=ax?-2ax+l(a>0)的對稱軸為x=b,

，?，hD=—2a=1L

,點A(-2,m)在直線y=-x+3上，

m=2+3=5；

(2);?點D(3,2)在二次函數(shù)y=ax?-2ax+l(a>0)上，

.\2=aX32-2aX3+l,

(3)?.?當x=-3時，y=-x+3=6,

.?.當(-3,6)在y=ax2-2ax+l(a>0)上時，6=aX(-3)2-2a

X(-3)+1,

.,.a?

又\,當x=-1時，y=-x+3=4,

.?.當(-1,4)在y=ax2-2ax+l(a>0)上時，4=aX(-1)2-2a

X(-1)+1,

??a二1?

：A<a<l.

o

【點評】本題考查了二次函數(shù)、一次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)圖象上點的坐

標特征，掌握點在直線上，則點的坐標滿足函數(shù)的解析式是解題的關

鍵.

14.（7分）如圖1,在矩形ABCD中，點E為AD邊中點，點F為BC

邊中點；點G,H為AB邊三等分點，I,J為CD邊三等分點.小瑞分

別用不同的方式連接矩形對邊上的點，如圖2,圖3所示，那么圖2

中四邊形GKLH的面積與圖3中四邊形KPOL的面積相等嗎？

⑴小瑞的探究過程如下：在圖2中，小瑞發(fā)現(xiàn)，S四邊形"—JS

四邊形ABCD；

在圖3中，小瑞對四邊形KPOL面積的探究如下，請你將小瑞的思路

填寫完整;

=

設SADEP二a,SAAKGb.

???EC〃AF.

AADEP^ADAK,且相似比為1：2,得到S4AK=4a.

VGD//BI,

ZIAGKS△ABM，且相似比為1：3,得到S/XABM'gb

Xe**SADAG-4a+b=-^-S四邊形ABCD,S△,\BF=9b+a=;S四邊形ABCD?

64

***S四邊形ABCD=24a+6b=36b+4a.

?3

a=_____b,S四邊形ABCD=42b,S四邊形KPOL=6b.

，S四邊形KPOL二4"S四邊形ABCD,則S四邊形KPOL<S四邊形GKLH（填與"

----7-----------

或“一”）.

(2)小瑞又按照圖4的方式連接矩形ABCD對邊上的點，則S四邊形型阻=

7TS四邊形ABCD?

?51

【分析】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)即可解決問題；

(2)如圖4中，延長CE交BA的延長線于T,連接DN,設=a,S

△AEN二b.想辦法證明S四邊形ANML=4b,S四邊形ABCD^ZOb,即可解決問題；

【解答】解：(1)小瑞的探究過程如下：在圖2中，小瑞發(fā)現(xiàn)，S四邊

形GKLH^^S四邊形ABCD；

6

在圖3中，小瑞對四邊形KPOL面積的探究如下，請你將小瑞的思路

填寫完整；

Sz\AKG=b.

設SZWEP二a.

VEC^AF.

AADEP^ADAK,且相似比為1：2,得到S^AK=4a.

VGD^BL

；?ZKAGKS△ABM，且相似比為1:3,得到Sz\ABM=9b

又S-AG=4a+b=四邊形ABCD,SZXABF=9b+a=;S四邊形ABCD.

04

***S四邊形ABCD=24a+6b=36b+4a.

3

?yS四邊形ABCD=42b,四邊形KP0L=6b.

?e?S四邊形KPOL二/s四邊形ABCD,貝US四邊形KPOLVS四邊形GKLH?

故答案為看,I，42,6,I，＜.

(2)如圖4中，延長CE交BA的延長線于T,連接DN,設S&Fa,S

△AEN=b?

VGL/7PH,

.,.△AAGL^AAHP,相似比為1：2,得至！JS^=4a,

VAT/7CD,

.\ZT=ZECD,

VZAET=ZCED,AE=ED,

AAET^ADEC,

.*.AT=CD,

VAT/7CJ,

.AN=AT=1

??而一〒2'

.SAADN_3

??SADNJ2，

可得SADNJ-4-b,

0

?e?SaABF=4a+--b=-yS四邊形ABCD,SAADJ-4^b=7-S四邊形ABCD,

3430

.,.16a+孕b=20b,

a=-^b,

???S四邊形ANML二春(20b-8a-%)=4b,

??S四邊形ARCD=20b,

S四邊形ANML==S四邊形ABCD?

5

故答案為》

【點評】本題考查相似形綜合題、矩形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、相似

三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關鍵

是學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形或相似三角形解決問題，屬

于中考壓軸題.

15.(8分)點P的“d值”定義如下：若點Q為圓上任意一點，線段

PQ長度的最大值與最小值之差即為點P的“d值”，記為ch.特別的，

當點P,Q重合時，線段PQ的長度為0.當。。的半徑為2時：

(1)若點C(-0),D(3,4),則&=1,5=4；

(2)若在直線y=2x+2上存在點P,使得dp=2,求出點P的橫坐標;

(3)直線y=-4x+b(b>0)與x軸，y軸分別交于點A,B.若線

段AB上存在點P,使得2Wd，V3,請你直接寫出b的取值范圍.

備用圖備用圖

【分析】(1)圓內(nèi)的點的d值=這個點到圓心距離的2倍，圓上或圓

外的點的d值=圓的直徑，由此即可解決問題;

(2)根據(jù)題意，滿足d廣2的點位于。。內(nèi)部，且在以。為圓心半徑

為1的圓上，可以假設P(a,2a+2),根據(jù)PO=1,構(gòu)建方程即可解決

問題;

(3)根據(jù)題意，滿足2Wdp<3的點位于點0為圓心外徑為微，內(nèi)徑

為1的圓環(huán)內(nèi)，分不清楚兩圓與線段AB相切時b的值即可解決問

題；

【解答】解：(1)根據(jù)題意可得圓內(nèi)的點的d值=這個點到圓心距離

的2倍，圓上或圓外的點的d值=圓的直徑，所以a=1,dP=4；

故答案為1,4；

(2)根據(jù)題意，滿足dp=2的點位于。0內(nèi)部，且在以0為圓心半徑

為1的圓上，

?.?點P在直線y=2x+2上，，可以假設P(a,2a+2),

VPO=1,

.*.a2+(2a+2)2=1,

解得a=-l或-魯

5

.??滿足條件的點P的橫坐標為-1或-

(3)根據(jù)題意，滿足2WdpV3的點位于點0為圓心外徑為慨，內(nèi)徑

為1的圓環(huán)內(nèi)，

當線段與外環(huán)相切時，可得b=?,

當線段于內(nèi)環(huán)相切時，可得b=零，

所以滿足條件的b的值：卓WbV?.

【點評】本題考查一次函數(shù)、圓、點P的“d值”定義等知識，解題

的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題，學會利用此時解決

問題，學會利用特殊位置、尋找特殊點解決問題，所以中考壓軸題.

16、（10分）某校九年級數(shù)學興趣小組的同學進行社會實踐活動時，

想利用所學的解直角三角形的知識測量某塔的高度，他們先在點D

用高1.5米的測角儀DA測得塔頂M的仰角為30°,然后沿DF方向前

行40m到達點E處，在E處測得塔頂M的仰角為60°.請根據(jù)他們的

測量數(shù)據(jù)求此塔MF的高.（結(jié)果精確到0.1m,參考數(shù)據(jù)：72^1.41,

73^1.73,氓弋2.45）

【分析】首先證明AB=BM=40,在RtABCM中，利用勾股定理求出

CM即可解決問題；

【解答】解：由題意：AB=40,CF=1.5,ZMAC=30°，NMBC=60°,

VZMAC=30°,ZMBC=60°,

.\ZAMB=30°

...ZAMB=ZMAB

.\AB=MB=40,

在RtABCM中，

VZMCB=90°,ZMBC=60°,

.\ZBMC=30°.

BC=-1-BM=20,

MC=VMB2-BC2=20/3?

.?.M-34.64,

/.MF=CF+CM=36.14^36.1.

【點評】本題考查解直角三角形的應用-仰角俯角問題，解題的關鍵是

靈活運用所學知識解決問題，本題的突破點是證明AB=BM=40,屬于中

考常考題型。

17.(7分)對于平面直角坐標系xOy中的點P,給出如下定義：記

點P到x軸的距離為dl，到y(tǒng)軸的距離為d2,若dled2,則稱dl為點

P的最大距離；若dl〈d2,則稱d2為點P的最大距離.

例如：點P(-3,4)到到x軸的距離為4,到y(tǒng)軸的距離為3,

因為3V4,所以點P的最大距離為4.

(1)①點A(2,-5)的最大距離為3；

②若點B(a,2)的最大距離為5,則a的值為土心

(2)若點C在直線y=-x-2±,且點C的最大距離為5,求點C

的坐標；

(3)若。0上存在點M,使點M的最大距離為5,直接寫出。。的

半徑r的取值范圍。

【分析】(1)①直接根據(jù)“最大距離”的定義，其最小距離為“最

大距離”；②點B(a,2)至x軸的距離為2,且其“最大距離”

為5,所以a=±5；

(2)根據(jù)點C的“最大距離”為5,可得x=±5或y=±5,代入可

得結(jié)果；

(3)如圖，觀察圖象可知：當。0于直線x=5,直線x=-5,直線y=5,

直線y=-5有交點時，。。上存在點M,使點M的最大距離為5,

【解答】解(1)①???點A(2,-5)到x軸的距離為5,至y軸的

距離為2,?.?2<5,

.?.點A的“最大距離”為5.

②\?點B(a,2)的“最大距離”為5,

?\a=±5；故答案為5,±5.

(2)設點C的坐標(x,y)

???點C的''最大距離”為5,

x=±5或

y=±5,當x=5

時，y=-7,當

x=-5時，y=3,

當y=5時,x=

-7

當y=-5時，

x=3,

.?.點C(-5,3)或(3,-5)

(3)如圖，觀察圖象可知：當。0于直線x=5,直線x=-5,直線y=5,

直線y=-5有交點時，。。上存在點M,使點M的最大距離為5,

?*.54r45亞.

【點評】本題考查一次函數(shù)綜合題、“最大距離”的定義、圓的有

關知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題，學

會利用特殊位置解決數(shù)學問題，屬于中考壓軸題.

18.(5分)已知：如圖，在4ABC中，AB=AC=8,NA=120°,求BC

的長.

【分析】過點A作ADLBC于D.解直角三角形求出BD,利用等腰三

角形的性質(zhì)即可解決問題.

【解答】解：過點A作AD_LBC于D.

ZB=ZC=30°,

BC=2BD,

在RtaABD中，ZADB=90°,ZB=30°,AB=8,

cosB=整，

AB

.*.BD=ABcos300=8X亭=4E，

.,.BC=8?.

【點評】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、解直角三角形等知識，解題的

關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型.

19.（5分）已知：如圖，AB是半圓0的直徑，D是半圓上的一個動

點（點D不與點A,B重合），ZCAD=ZB

（1）求證：AC是半圓0的切線；

（2）過點0作BD的平行線，交AC于點E,交AD于點F,且EF=4,

AD=6,求BD的長.

【分析】（1）經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.欲

證AC是半圓0的切線，只需證明NCAB=90°即可；

(2)由相似三角形的判定定理AA可以判定△AEFs^BAD；然后根據(jù)

相似三角形的對應邊成比例，求得BD的長即可.

【解答】解：⑴?「AB是半圓直徑，

AZBDA=90°,

ZB+ZDAB=90°,

XVZDAC=ZB,

.\ZDAC+ZDAB=90°,

即NCAB=90°,

AAC是半圓0的切線.

(2)由題意知，OE〃BD,ZD=90°,

.*.ZD=ZAF0=ZAFE=90°,

AOEIAD,

AZAFE=ZD=ZAF0=90°,AF=yAD=3,

XVAD=6

/.AF=3.

又?.?NB=NDAE,

，AAEF^ABAD,

?瑞寄，而EF=%

.43

解得BD-1.

A0\B

【點評】本題考查了切線的判定、相似三角形的判定與性質(zhì).要證某

線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），

再證垂直即可.

20.（7分）已知一次函數(shù)yi=/x-1,二次函數(shù)y2=x?-mx+4（其中m

>4）.

（1）求二次函數(shù)圖象的頂點坐標（用含m的代數(shù)式表示）；

（2）利用函數(shù)圖象解決下列問題：

①若m=5,求當y1>0且yzWO時，自變量x的取值范圍；

②如果滿足y.>0且y2^0時自變量x的取值范圍內(nèi)有且只有一個整

數(shù)，直接寫出m的取值范圍.

【分析】（1）利用配方法求二次函數(shù)的頂點坐標；

（2）①把m=5代入丫2,畫圖象，并求與x軸交點A、B、C三點的坐

標，根據(jù)圖象可得結(jié)論；

2

②根據(jù)題意結(jié)合圖象可知x=3,把x=3代入y2=x-mx+4W0,當x=4

時，y2=x2-mx+4>0即可求得m的取值；

-2

【解答】解：（1）Vy=x2-mx+4=（x-2--+4,

224

2

.??二次函數(shù)圖象的頂點坐標為：（費，-4+4）…

24

2

（2）①當m=5時，yi=-1-x-1,y2=x-5x+4.???（4分）

如圖，當yi=0時，yx-1=0,x=2,

VA(2,0),

2

當y2=0時，x-5x+4=0,

解得：x=l或4,

AB(1,0),C(4,0),

因為門>0,且yzWO,由圖象，得:2<xW4.…(5分)

②當y>0時，自變量x的取值范圍：x>2,

：如果滿足y>0且yzWO時的自變量x的取值范圍內(nèi)恰有一個整數(shù),

x=3,

2

當x=3時，y2=3-3m+4^0,

解得m2與，

當x=4時，y2>0,即16-4m+4>0,m<5,

.?.m的取值范圍是：孝?WmV5.…(7分)

0

【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式以及二次函數(shù)和

一次函數(shù)的性質(zhì)，以及利用函數(shù)圖象解不等式，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思

想.

21.(8分)已知：如圖，AB