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文檔簡介
數(shù)學(xué)物理方法數(shù)學(xué)是科學(xué)的大門和鑰匙,忽視數(shù)學(xué)必將傷害所有的知識,因為忽視數(shù)學(xué)的人是無法了解任何其他科學(xué)乃至世界上任何其他事物的。
——(英)R.培根12/15/20231教材及指導(dǎo)書
一、教材:
胡嗣柱等編著,《數(shù)學(xué)物理方法》,第二版,北京大學(xué)出版社,2002年7月二、主要的參考書:于濤等編《數(shù)學(xué)物理方法知識要點與習(xí)題解析》,哈爾濱工程大學(xué)出版社,2007年6月成績測定:作業(yè)20%+上課出席參與10%+考試70%聯(lián)系方式:zyx@答疑教室:錢偉長樓220室12/15/20232課程講授計劃第一章復(fù)變函數(shù)和解析函數(shù)(4)第二章復(fù)變函數(shù)積分柯西定理和柯西公式(4)第三章復(fù)變函數(shù)級數(shù)泰勒維數(shù)和洛朗級數(shù)(6)第五章定積分的計算(2)第七章傅里葉變換(6)第八章線性常微分方程的級數(shù)解法和某些特殊函數(shù)(8)第九章數(shù)學(xué)物理方程的定解問題(4)第十章行波法和分離變量法本征值問題(8)第十一章積分變換法(4)第十二章球坐標下的分離變量法(6)第十三章柱坐標下的分離變量法Bessel函數(shù)(4)12/15/20233上篇復(fù)變函數(shù)論復(fù)變函數(shù)論(theoryofcomplexfunctions)的目的:
把微積分延伸到復(fù)域。使微分和積分獲得新的深度和意義。12/15/20234主要內(nèi)容:
1
復(fù)變函數(shù)和解析函數(shù)
2復(fù)變函數(shù)積分柯西定理和柯西公式
3
復(fù)變函數(shù)級數(shù)泰勒級數(shù)和洛朗級數(shù)等
4解析函數(shù)(自學(xué))
5定積分的計算
6δ函數(shù)其余拉普拉斯變換的內(nèi)容(自學(xué))
7傅立葉變換和色散
8線性常微分方程的級數(shù)解法和某些特殊函數(shù)12/15/20235第一章復(fù)變函數(shù)和解析函數(shù)虛數(shù)是奇妙的人類精神寄托,它好像是存在與不存在之間的一種兩棲動物。12/15/20236目的與要求:掌握復(fù)變函數(shù)的基本概念和復(fù)函數(shù)可導(dǎo)必要條件、掌握解析函數(shù)的概念、函數(shù)解析的充要條件、復(fù)勢的概念。教學(xué)重點:柯西-黎曼條件、復(fù)變函數(shù)解析的充要條件;教學(xué)難點:柯西-黎曼條件與復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)充要條件、復(fù)變函數(shù)解析的充要條件學(xué)習(xí)要求與內(nèi)容提要12/15/20237萊昂哈德·保羅·歐拉(LeonhardPaulEuler,1707年4月15日-1783年9月18日)是一位瑞士數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家,近代數(shù)學(xué)先驅(qū)之一,他一生大部分時間在俄羅斯帝國和普魯士度過。歐拉在數(shù)學(xué)的多個領(lǐng)域,包括微積分和圖論都做出過重大發(fā)現(xiàn)。他引進的許多數(shù)學(xué)術(shù)語和書寫格式,例如函數(shù)的記法"f(x)",一直沿用至今。此外,他還在力學(xué)、光學(xué)和天文學(xué)等學(xué)科有突出的貢獻。歐拉是18世紀杰出的數(shù)學(xué)家,同時也是有史以來最偉大的數(shù)學(xué)家之一。他也是一位多產(chǎn)作者,其文學(xué)著作約有60-80冊。法國數(shù)學(xué)家皮埃爾-西蒙·拉普拉斯曾這樣評價歐拉對于數(shù)學(xué)的貢獻:“讀歐拉的著作吧,在任何意義上,他都是我們的大師”12/15/202381.0問題的提出負數(shù)有對數(shù)嗎?Bernoulli:負數(shù)的對數(shù)是實數(shù)Leibniz:不可能有負數(shù)的對數(shù)只對正數(shù)成立Euler:
在1747年指出差一特殊的數(shù)1740年,Euler給Bernoulli的信中說:和是同一個微分方程的解,因此應(yīng)該相等1743年,發(fā)表了Euler公式Euler把作為特殊的數(shù)ln(-x)與ln(x)間存在聯(lián)系嗎?12/15/20239
(1).復(fù)數(shù)的代數(shù)形式對虛數(shù)單位的規(guī)定:1.1復(fù)數(shù)的基本概念顯然,此方程在實數(shù)集中是無解的。1。
2考慮解方程:-=x為了求出方程的解,引入一個新數(shù)i,稱為虛數(shù)單位.1復(fù)數(shù)及其代數(shù)運算i2=–1歐拉公式方程的解:12/15/202310定義i-虛數(shù)單位滿足:i2=-1虛部記做:Imz=y實部記做:Rez=x{}
稱為為復(fù)數(shù)集,,|RyxiyxzzC?+==.
,,
為復(fù)數(shù)稱對于iyxzRyx+=?"
;
,
0
,0
稱為純虛數(shù)時當iyzyx=1=
.
,0
,
0
xixzy我們把它看作實數(shù)時當+==說明:12/15/202311
兩復(fù)數(shù)相等當且僅當它們的實部和虛部分別相等.
復(fù)數(shù)
z
等于0當且僅當它的實部和虛部同時等于0.說明兩個數(shù)如果都是實數(shù),可以比較它們的大小,如果不全是實數(shù),就不能比較大小,也就是說:設(shè):z1=x1+i·y1
z2=x2+i·y2復(fù)數(shù)不能比較大小!!!12/15/202312(2)復(fù)平面表示與復(fù)數(shù)三角式復(fù)數(shù)的矢量表示法
復(fù)數(shù)z=x+iy由一對有序?qū)崝?shù)(x,y)唯一確定。所以可以用平面上的一個點(x,y)或一個矢量表示,通常把橫軸叫實軸,縱軸叫虛軸,而把這種用來表示復(fù)數(shù)的平面叫復(fù)平面。oxyxyP(x,y)
由圖:那么復(fù)數(shù)(復(fù)矢量)可以表示為復(fù)數(shù)的三角表示式12/15/202313顯然由復(fù)數(shù)的復(fù)平面表示,有下列各式成立
復(fù)矢量的長度OP稱為復(fù)數(shù)的模或絕對值如圖:oxyP(x,y)xy
.
arg
,
,
,
0
=1zzoPzz記作的幅角稱為為終邊的角的弧度數(shù)的向量以表示以正實軸為始邊的情況下在12/15/202314說明幅角不確定.,0有無窮多個幅角任何一個復(fù)數(shù)1z
,是其中一個幅角如果的全部幅角為那么
z
).(
π2arg為任意整數(shù)kkz+=
,0
,
0
,==zz時當特殊地oxyP(x,y)xy
0幅角主值的定義:在z(≠0)的幅角中,把位于0<<2π的稱為argz的主值。而復(fù)數(shù)的輻角與幅角主值間有關(guān)系
).(
π2arg為任意整數(shù)kkz+=12/15/202315由復(fù)數(shù)的三角函數(shù)表示式利用歐拉公式復(fù)數(shù)可以表示成復(fù)數(shù)的指數(shù)表示式(3)復(fù)數(shù)的指數(shù)函數(shù)表示ln(-x)與ln(x)間的聯(lián)系12/15/202316設(shè)z1=x1+iy1和
z2=x2+iy2是兩個復(fù)數(shù)加減z1±
z2=(x1+iy1)
±
(x2+i
y2)
=(x1±
x2)+i(y1±
y2)(4)復(fù)數(shù)的運算規(guī)則(注:運用到實數(shù)特例時,能夠與實數(shù)的運算規(guī)則相符)乘法兩個復(fù)數(shù)相乘等于它們的模相乘,幅角相加12/15/202317除法兩個復(fù)數(shù)相除等于它們的模相除,幅角相減n次冪n次根冪逼近12/15/202318共軛共軛復(fù)數(shù):實部相同而虛部絕對值相等符號相反的兩個復(fù)數(shù)稱為共軛復(fù)數(shù).例1.1解結(jié)論:兩個共軛復(fù)數(shù)的積是實數(shù).的積與計算共軛復(fù)數(shù)yixzyixz-=+=
,
的zz共軛復(fù)數(shù)記為.
,
iyxziyxz-=+=則若注意:12/15/202319共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì):以上各式證明略.12/15/202320例1.2
某化工廠計劃修建兩個深度相同的方池,甲池面積為3平方米,乙池為立方池,其容積比甲池大1立方米。問方池的深度應(yīng)為多少?解:設(shè)方池的深度為x。按設(shè)計要求有令代入上述方程有:其根為從而12/15/202321指數(shù)函數(shù)ex在實數(shù)域,我們已熟悉下列初等函數(shù)1.2
復(fù)變函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)柯西—黎曼條件.,2cos.,2sin余弦函數(shù)正弦函數(shù)稱為稱為ixixixixeexieex--+=-=三角函數(shù).cossintan正切函數(shù)稱為xxx=
雙曲函數(shù).,2ch.,2sh雙曲余弦函數(shù)雙曲正弦函數(shù)稱為稱為xxxxeexeex--+=-=12/15/202322(1)初等解析函數(shù):指數(shù)函數(shù)這里的ex是實指數(shù)函數(shù)實的正、余弦函數(shù).)sin(cos.的指數(shù)函數(shù)為稱設(shè)zyiyeeiyxzxz+=+=定義
1
復(fù)變函數(shù)及其導(dǎo)數(shù).,2cos.,2sin余弦函數(shù)正弦函數(shù)定義稱為稱為izizizizeezieez--+=-=三角函數(shù)12/15/202323.cossintan正切函數(shù)稱為zzz=
例1.3
解方程解12/15/202324雙曲函數(shù).,2ch.,2sh雙曲余弦函數(shù)雙曲正弦函數(shù)定義稱為稱為zzzzeezeez--+=-=有理整函數(shù)(多項式)有理分式函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)分母不為零的點是連續(xù)的.
,
)(
)(
都是多項式和其中zQzP
;
都是連續(xù)的對復(fù)平面內(nèi)的所有點z12/15/202325對數(shù)函數(shù)稱為對數(shù)函數(shù)lnz的主值。而.
,
,
的一個分支稱為可確定一個單值函數(shù)對于每一個固定的zkln對數(shù)函數(shù)定義為:;ln
是一個無窮多值的復(fù)變函數(shù)z12/15/202326冪函數(shù)定義
設(shè)α是任意復(fù)數(shù),z的冪函數(shù)定義為.0,0,==aazz時補充規(guī)定是正實數(shù)時當;,lnln.,
ln的主值稱為冪函數(shù)時取主值當是一個無窮多值函數(shù)一般說來aaaazezzzzz=注意12/15/202327例1.4解由z的冪函數(shù)定義12/15/202328例1.5解12/15/202329
定義:當z=x+iy在復(fù)平面上變化時,如果對應(yīng)于z的每一個值,都有一個或幾個復(fù)數(shù)值w與之對應(yīng)。則稱w為z的復(fù)變函數(shù),記作
w=f(z)=u(x,y)+iυ(x,y)(2)復(fù)變量函數(shù)一個復(fù)變函數(shù)可以用兩個二元實函數(shù)表示.12/15/202330(3)復(fù)數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義記為:12/15/202331{})(
).()()]([)6(zgwzgwfzgf=¢¢=¢其中求導(dǎo)公式與法則:
.
,0)()1(為復(fù)常數(shù)其中cc=¢
.,)()2(1為正整數(shù)其中nnzznn-=¢
由于復(fù)變函數(shù)中導(dǎo)數(shù)的定義與一元實變函數(shù)中導(dǎo)數(shù)的定義在形式上完全一致,并且復(fù)變函數(shù)中的極限運算法則也和實變函數(shù)中一樣,因而實變函數(shù)中的求導(dǎo)法則都可以不加更改地推廣到復(fù)變函數(shù)中來,且證明方法也是相同的.12/15/202332高等數(shù)學(xué)知道,函數(shù)可導(dǎo)的要求是沿任何方向的極限都存在并唯一。2.柯西—黎曼條件(復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)必要條件)0實數(shù)如圖實變函數(shù)可導(dǎo)要求:x沿實軸x的正負方向逼近x0零時,根限存在!回顧:實變函數(shù)可導(dǎo)定義:12/15/202333復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)仍是:沿任何方向的極限都存在并唯一。復(fù)變函數(shù)f(z):
z是沿任一曲線逼近零。然而復(fù)變函數(shù)f(z)的自變量不再僅沿某一直線變化而是在某一平面內(nèi)變化,所以:因此,復(fù)變函數(shù)的可導(dǎo)性是比實函數(shù)的可導(dǎo)性條件強得多。是否存在復(fù)函數(shù)可導(dǎo)必須滿足的基本條件?復(fù)數(shù)Δzz012/15/202334
z沿實軸→0,
y0
假設(shè):f(z)在z點可導(dǎo).
下面分析
z分別沿平行于實軸(
y0)和平行于虛軸(
x0)趨于零的特殊情況:柯西—黎曼條件z012/15/202335柯西—黎曼條件或C-R條件由于f(z)在z點可導(dǎo),要求沿不同方向的極限相等可導(dǎo)必要條件
z沿虛軸→0,
x0z012/15/202336定理若存在且連續(xù),則f(z
)可導(dǎo)的充要條件是f(z
)滿足柯西—黎曼條件。證:由于偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),根據(jù)偏導(dǎo)數(shù)的定義,二元函數(shù)u
和υ的增量可分別寫為隨著則復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)的充要條件12/15/202337柯西—黎曼條件這一極限是與的方式無關(guān)的有限值,所以f(z)可導(dǎo)。導(dǎo)數(shù)定義式注意:除zn,z1/n,lnz等多值函數(shù)外,單值初等函數(shù)在復(fù)平面上幾乎處處可導(dǎo).12/15/202338可導(dǎo)函數(shù)的復(fù)共軛函數(shù)不一定可導(dǎo)。例1.6
討論復(fù)函數(shù)w=x+iy和其復(fù)共軛w'=x-iy的可導(dǎo)性解:不滿足柯西—黎曼條件12/15/202339
1.復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)必要條件:柯西—黎曼條件;
2.復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)的充要條件:若存在且連續(xù),則f(z
)可導(dǎo)的充要條件是f(z
)滿足柯西—黎曼條件。本講小結(jié)與思考
3.除zn,z1/n,lnz等多值函數(shù)外,單值初等函數(shù)在復(fù)平面上幾乎處處可導(dǎo),可導(dǎo)函數(shù)的復(fù)共軛函數(shù)不一定可導(dǎo).12/15/2023401.21.4(1)(5)(6)1.6§1.1和§1.2作業(yè)12/15/2023411區(qū)域
鄰域定義:如圖,由不等式(δ為任意的正數(shù))所確定的平面點集(簡稱點集),稱為以z0為中心的δ鄰域或鄰域。
所確定的點集為z0的去心δ鄰域或去心鄰域。類似于實變函數(shù),下面介紹對應(yīng)于復(fù)變函數(shù)的:鄰域、內(nèi)點,外點,邊界點和開集等概念。
由實變函數(shù)的理論我們知道,函數(shù)的定義域是一個滿足一定條件的平面點集,我們稱之為區(qū)域D。鄰域而稱如圖所示不等式1.3
解析函數(shù)12/15/202342z0設(shè)E為點集(如圖),z0為E中的一點。則:內(nèi)點:如果存在z0的一個鄰域,該鄰域內(nèi)的所有點都屬于點集E,則稱z0為E的內(nèi)點;外點:若點z0的某一個鄰域內(nèi)的點都不屬于點集E,則稱點z0為E的外點。邊界點:若在點z0的任意一個鄰域內(nèi),既有屬于點集E
的點,也有不屬于E的點,則稱點z0為E的邊界點,點集E的全部邊界點稱為E的邊界。
注意
區(qū)域的邊界可能是由幾條曲線和一些孤立的點所組成的。開集:
若點集E的點皆為內(nèi)點,則稱E為開集。內(nèi)點外點PE12/15/202343區(qū)域定義:點集E稱為一個區(qū)域D,如果它滿足:
(1)E是一個開集;
(2)E是連通的,就是說E中任何兩點z1和z2都可以用完全屬于E的一條折線連接起來。
通常稱具有性質(zhì)(2)的集為連通的,所以一個區(qū)域就是一個連通的開集。區(qū)域D加上它的邊界C(p)稱為閉區(qū)域或閉域,記為.D-區(qū)域內(nèi)點12/15/202344單連通域與多連通域設(shè)D為復(fù)平面上的一個區(qū)域,如果在其中作一條簡單的閉曲線(自身不相交的閉合曲線),而曲線內(nèi)部總屬于D
,則稱D為單連通區(qū)域,否則稱為多連通區(qū)域。單連通域多連通域12/15/2023452解析函數(shù)的概念
若函數(shù)f(z)在點z0的某鄰域內(nèi)處處可導(dǎo),則稱函數(shù)f(z)在點z0處解析;又若f(z)在區(qū)域D內(nèi)的每一點解析,則稱f(z)在區(qū)域D內(nèi)是解析函數(shù)說明:1.解析與可導(dǎo)不等價
函數(shù)在某點解析,則必在該點可導(dǎo);反之不然但是在區(qū)域D內(nèi)解析的函數(shù)則其解析性與可導(dǎo)等價.
例:函數(shù)只在z=0點可導(dǎo),在z=0的鄰域內(nèi)不可導(dǎo),因而不解析12/15/2023462.稱函數(shù)的不解析點為奇點f(z)在點z0
無定義或無確定值;f(z)在點z0
不連續(xù);f(z)在點z0
不可導(dǎo);f(z)在點z0
可導(dǎo),但找不到在其內(nèi)處處可導(dǎo)的鄰域。3.解析函數(shù)的充分必要條件設(shè)函數(shù)f(z)=u(x,y)+iυ(x,y)
在區(qū)域D內(nèi)解析當且僅當:(1)實部和虛部在D內(nèi)每一點可導(dǎo);(2)實部和虛部在D內(nèi)每一點滿足柯西—黎曼條件12/15/202347例1.7判斷下列函數(shù)在何處可導(dǎo),在何處解析:解(1)
因為u=excos
y,υ=exsin
y,柯西-黎曼條件成立,由于上面四個偏導(dǎo)數(shù)都是連續(xù)的,所以f(z)在復(fù)平面內(nèi)處處可導(dǎo),處處解析,且有
f'(z)=exp(x)(cos
y+isin
y)=f(z)這個函數(shù)就是指數(shù)函數(shù)ez.12/15/202348(2)由w=zRe(z)=x2+ixy,得u=x2,υ=xy,所以容易看出,這四個偏導(dǎo)數(shù)處處連續(xù),但僅當x=y=0時,它們才滿足柯西-黎曼方程,因而函數(shù)僅在z=0可導(dǎo),所以在復(fù)平面內(nèi)任何地方都不解析.12/15/202349由上述討論可知,既然f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析,則存在且連續(xù),其實部和虛部皆可導(dǎo)。由此我們可以利用柯西-黎曼條件由解析函數(shù)的u或υ部分構(gòu)建出一個解析函數(shù)。3解析函數(shù)的應(yīng)用從區(qū)域內(nèi)固定一點(x0,y0)到(x,y)積分上式有同理,C為任意常數(shù)
12/15/20235012/15/202351
根據(jù)C-R條件
積分路徑選為,則得到
根據(jù)條件,故得..12/15/202352我們知道在區(qū)域D內(nèi),解析函數(shù)f(z)的實部u(x,y)和虛部υ(x,y)滿足柯西-黎曼條件,即§1.6
解析函數(shù)的物理解釋復(fù)勢得出1調(diào)和函數(shù)上式左邊分別對x和y求偏導(dǎo)數(shù)12/15/202353定義稱方程為拉普拉斯方程.滿足此拉普拉斯方程的函數(shù)稱為調(diào)和函數(shù).同理得無源、無旋標量場,例如,靜電場、溫度場和流場等,它們的勢滿足拉普拉斯方程。上面分析表示,解析函數(shù)的實部和虛部都是二維調(diào)和函數(shù)。我們稱解析函數(shù)的實部和虛部為共軛調(diào)和函數(shù)12/15/2023542解析函數(shù)的實部和虛部的梯度正交即由柯西—黎曼方程解析函數(shù)的實部和虛部之梯度是相互正交的。我們要問:解析函數(shù)的上述性質(zhì)在物理學(xué)研究中有何應(yīng)用價值?12/15/202355例1.9
解有12/15/20235612/15/202357
由電磁學(xué)可以知道:(1)靜電場電勢滿足拉普拉斯方程
3平面靜電場的復(fù)勢(3)由圖可知:靜電場的等勢線族(方向沿等勢面切線方向)和電力線族(方向沿電場方向)是
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