第一章 復(fù)變函數(shù)和解析函數(shù)_第1頁
第一章 復(fù)變函數(shù)和解析函數(shù)_第2頁
第一章 復(fù)變函數(shù)和解析函數(shù)_第3頁
第一章 復(fù)變函數(shù)和解析函數(shù)_第4頁
第一章 復(fù)變函數(shù)和解析函數(shù)_第5頁
已閱讀5頁,還剩64頁未讀 繼續(xù)免費閱讀

下載本文檔

版權(quán)說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請進行舉報或認領(lǐng)

文檔簡介

數(shù)學(xué)物理方法數(shù)學(xué)是科學(xué)的大門和鑰匙,忽視數(shù)學(xué)必將傷害所有的知識,因為忽視數(shù)學(xué)的人是無法了解任何其他科學(xué)乃至世界上任何其他事物的。

——(英)R.培根12/15/20231教材及指導(dǎo)書

一、教材:

胡嗣柱等編著,《數(shù)學(xué)物理方法》,第二版,北京大學(xué)出版社,2002年7月二、主要的參考書:于濤等編《數(shù)學(xué)物理方法知識要點與習(xí)題解析》,哈爾濱工程大學(xué)出版社,2007年6月成績測定:作業(yè)20%+上課出席參與10%+考試70%聯(lián)系方式:zyx@答疑教室:錢偉長樓220室12/15/20232課程講授計劃第一章復(fù)變函數(shù)和解析函數(shù)(4)第二章復(fù)變函數(shù)積分柯西定理和柯西公式(4)第三章復(fù)變函數(shù)級數(shù)泰勒維數(shù)和洛朗級數(shù)(6)第五章定積分的計算(2)第七章傅里葉變換(6)第八章線性常微分方程的級數(shù)解法和某些特殊函數(shù)(8)第九章數(shù)學(xué)物理方程的定解問題(4)第十章行波法和分離變量法本征值問題(8)第十一章積分變換法(4)第十二章球坐標下的分離變量法(6)第十三章柱坐標下的分離變量法Bessel函數(shù)(4)12/15/20233上篇復(fù)變函數(shù)論復(fù)變函數(shù)論(theoryofcomplexfunctions)的目的:

把微積分延伸到復(fù)域。使微分和積分獲得新的深度和意義。12/15/20234主要內(nèi)容:

1

復(fù)變函數(shù)和解析函數(shù)

2復(fù)變函數(shù)積分柯西定理和柯西公式

3

復(fù)變函數(shù)級數(shù)泰勒級數(shù)和洛朗級數(shù)等

4解析函數(shù)(自學(xué))

5定積分的計算

6δ函數(shù)其余拉普拉斯變換的內(nèi)容(自學(xué))

7傅立葉變換和色散

8線性常微分方程的級數(shù)解法和某些特殊函數(shù)12/15/20235第一章復(fù)變函數(shù)和解析函數(shù)虛數(shù)是奇妙的人類精神寄托,它好像是存在與不存在之間的一種兩棲動物。12/15/20236目的與要求:掌握復(fù)變函數(shù)的基本概念和復(fù)函數(shù)可導(dǎo)必要條件、掌握解析函數(shù)的概念、函數(shù)解析的充要條件、復(fù)勢的概念。教學(xué)重點:柯西-黎曼條件、復(fù)變函數(shù)解析的充要條件;教學(xué)難點:柯西-黎曼條件與復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)充要條件、復(fù)變函數(shù)解析的充要條件學(xué)習(xí)要求與內(nèi)容提要12/15/20237萊昂哈德·保羅·歐拉(LeonhardPaulEuler,1707年4月15日-1783年9月18日)是一位瑞士數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家,近代數(shù)學(xué)先驅(qū)之一,他一生大部分時間在俄羅斯帝國和普魯士度過。歐拉在數(shù)學(xué)的多個領(lǐng)域,包括微積分和圖論都做出過重大發(fā)現(xiàn)。他引進的許多數(shù)學(xué)術(shù)語和書寫格式,例如函數(shù)的記法"f(x)",一直沿用至今。此外,他還在力學(xué)、光學(xué)和天文學(xué)等學(xué)科有突出的貢獻。歐拉是18世紀杰出的數(shù)學(xué)家,同時也是有史以來最偉大的數(shù)學(xué)家之一。他也是一位多產(chǎn)作者,其文學(xué)著作約有60-80冊。法國數(shù)學(xué)家皮埃爾-西蒙·拉普拉斯曾這樣評價歐拉對于數(shù)學(xué)的貢獻:“讀歐拉的著作吧,在任何意義上,他都是我們的大師”12/15/202381.0問題的提出負數(shù)有對數(shù)嗎?Bernoulli:負數(shù)的對數(shù)是實數(shù)Leibniz:不可能有負數(shù)的對數(shù)只對正數(shù)成立Euler:

在1747年指出差一特殊的數(shù)1740年,Euler給Bernoulli的信中說:和是同一個微分方程的解,因此應(yīng)該相等1743年,發(fā)表了Euler公式Euler把作為特殊的數(shù)ln(-x)與ln(x)間存在聯(lián)系嗎?12/15/20239

(1).復(fù)數(shù)的代數(shù)形式對虛數(shù)單位的規(guī)定:1.1復(fù)數(shù)的基本概念顯然,此方程在實數(shù)集中是無解的。1。

2考慮解方程:-=x為了求出方程的解,引入一個新數(shù)i,稱為虛數(shù)單位.1復(fù)數(shù)及其代數(shù)運算i2=–1歐拉公式方程的解:12/15/202310定義i-虛數(shù)單位滿足:i2=-1虛部記做:Imz=y實部記做:Rez=x{}

稱為為復(fù)數(shù)集,,|RyxiyxzzC?+==.

,,

為復(fù)數(shù)稱對于iyxzRyx+=?"

;

,

0

,0

稱為純虛數(shù)時當iyzyx=1=

.

,0

,

0

xixzy我們把它看作實數(shù)時當+==說明:12/15/202311

兩復(fù)數(shù)相等當且僅當它們的實部和虛部分別相等.

復(fù)數(shù)

z

等于0當且僅當它的實部和虛部同時等于0.說明兩個數(shù)如果都是實數(shù),可以比較它們的大小,如果不全是實數(shù),就不能比較大小,也就是說:設(shè):z1=x1+i·y1

z2=x2+i·y2復(fù)數(shù)不能比較大小!!!12/15/202312(2)復(fù)平面表示與復(fù)數(shù)三角式復(fù)數(shù)的矢量表示法

復(fù)數(shù)z=x+iy由一對有序?qū)崝?shù)(x,y)唯一確定。所以可以用平面上的一個點(x,y)或一個矢量表示,通常把橫軸叫實軸,縱軸叫虛軸,而把這種用來表示復(fù)數(shù)的平面叫復(fù)平面。oxyxyP(x,y)

由圖:那么復(fù)數(shù)(復(fù)矢量)可以表示為復(fù)數(shù)的三角表示式12/15/202313顯然由復(fù)數(shù)的復(fù)平面表示,有下列各式成立

復(fù)矢量的長度OP稱為復(fù)數(shù)的模或絕對值如圖:oxyP(x,y)xy

.

arg

,

,

,

0

=1zzoPzz記作的幅角稱為為終邊的角的弧度數(shù)的向量以表示以正實軸為始邊的情況下在12/15/202314說明幅角不確定.,0有無窮多個幅角任何一個復(fù)數(shù)1z

,是其中一個幅角如果的全部幅角為那么

z

).(

π2arg為任意整數(shù)kkz+=

,0

,

0

,==zz時當特殊地oxyP(x,y)xy

0幅角主值的定義:在z(≠0)的幅角中,把位于0<<2π的稱為argz的主值。而復(fù)數(shù)的輻角與幅角主值間有關(guān)系

).(

π2arg為任意整數(shù)kkz+=12/15/202315由復(fù)數(shù)的三角函數(shù)表示式利用歐拉公式復(fù)數(shù)可以表示成復(fù)數(shù)的指數(shù)表示式(3)復(fù)數(shù)的指數(shù)函數(shù)表示ln(-x)與ln(x)間的聯(lián)系12/15/202316設(shè)z1=x1+iy1和

z2=x2+iy2是兩個復(fù)數(shù)加減z1±

z2=(x1+iy1)

±

(x2+i

y2)

=(x1±

x2)+i(y1±

y2)(4)復(fù)數(shù)的運算規(guī)則(注:運用到實數(shù)特例時,能夠與實數(shù)的運算規(guī)則相符)乘法兩個復(fù)數(shù)相乘等于它們的模相乘,幅角相加12/15/202317除法兩個復(fù)數(shù)相除等于它們的模相除,幅角相減n次冪n次根冪逼近12/15/202318共軛共軛復(fù)數(shù):實部相同而虛部絕對值相等符號相反的兩個復(fù)數(shù)稱為共軛復(fù)數(shù).例1.1解結(jié)論:兩個共軛復(fù)數(shù)的積是實數(shù).的積與計算共軛復(fù)數(shù)yixzyixz-=+=

,

的zz共軛復(fù)數(shù)記為.

,

iyxziyxz-=+=則若注意:12/15/202319共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì):以上各式證明略.12/15/202320例1.2

某化工廠計劃修建兩個深度相同的方池,甲池面積為3平方米,乙池為立方池,其容積比甲池大1立方米。問方池的深度應(yīng)為多少?解:設(shè)方池的深度為x。按設(shè)計要求有令代入上述方程有:其根為從而12/15/202321指數(shù)函數(shù)ex在實數(shù)域,我們已熟悉下列初等函數(shù)1.2

復(fù)變函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)柯西—黎曼條件.,2cos.,2sin余弦函數(shù)正弦函數(shù)稱為稱為ixixixixeexieex--+=-=三角函數(shù).cossintan正切函數(shù)稱為xxx=

雙曲函數(shù).,2ch.,2sh雙曲余弦函數(shù)雙曲正弦函數(shù)稱為稱為xxxxeexeex--+=-=12/15/202322(1)初等解析函數(shù):指數(shù)函數(shù)這里的ex是實指數(shù)函數(shù)實的正、余弦函數(shù).)sin(cos.的指數(shù)函數(shù)為稱設(shè)zyiyeeiyxzxz+=+=定義

1

復(fù)變函數(shù)及其導(dǎo)數(shù).,2cos.,2sin余弦函數(shù)正弦函數(shù)定義稱為稱為izizizizeezieez--+=-=三角函數(shù)12/15/202323.cossintan正切函數(shù)稱為zzz=

例1.3

解方程解12/15/202324雙曲函數(shù).,2ch.,2sh雙曲余弦函數(shù)雙曲正弦函數(shù)定義稱為稱為zzzzeezeez--+=-=有理整函數(shù)(多項式)有理分式函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)分母不為零的點是連續(xù)的.

,

)(

)(

都是多項式和其中zQzP

;

都是連續(xù)的對復(fù)平面內(nèi)的所有點z12/15/202325對數(shù)函數(shù)稱為對數(shù)函數(shù)lnz的主值。而.

,

,

的一個分支稱為可確定一個單值函數(shù)對于每一個固定的zkln對數(shù)函數(shù)定義為:;ln

是一個無窮多值的復(fù)變函數(shù)z12/15/202326冪函數(shù)定義

設(shè)α是任意復(fù)數(shù),z的冪函數(shù)定義為.0,0,==aazz時補充規(guī)定是正實數(shù)時當;,lnln.,

ln的主值稱為冪函數(shù)時取主值當是一個無窮多值函數(shù)一般說來aaaazezzzzz=注意12/15/202327例1.4解由z的冪函數(shù)定義12/15/202328例1.5解12/15/202329

定義:當z=x+iy在復(fù)平面上變化時,如果對應(yīng)于z的每一個值,都有一個或幾個復(fù)數(shù)值w與之對應(yīng)。則稱w為z的復(fù)變函數(shù),記作

w=f(z)=u(x,y)+iυ(x,y)(2)復(fù)變量函數(shù)一個復(fù)變函數(shù)可以用兩個二元實函數(shù)表示.12/15/202330(3)復(fù)數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義記為:12/15/202331{})(

).()()]([)6(zgwzgwfzgf=¢¢=¢其中求導(dǎo)公式與法則:

.

,0)()1(為復(fù)常數(shù)其中cc=¢

.,)()2(1為正整數(shù)其中nnzznn-=¢

由于復(fù)變函數(shù)中導(dǎo)數(shù)的定義與一元實變函數(shù)中導(dǎo)數(shù)的定義在形式上完全一致,并且復(fù)變函數(shù)中的極限運算法則也和實變函數(shù)中一樣,因而實變函數(shù)中的求導(dǎo)法則都可以不加更改地推廣到復(fù)變函數(shù)中來,且證明方法也是相同的.12/15/202332高等數(shù)學(xué)知道,函數(shù)可導(dǎo)的要求是沿任何方向的極限都存在并唯一。2.柯西—黎曼條件(復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)必要條件)0實數(shù)如圖實變函數(shù)可導(dǎo)要求:x沿實軸x的正負方向逼近x0零時,根限存在!回顧:實變函數(shù)可導(dǎo)定義:12/15/202333復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)仍是:沿任何方向的極限都存在并唯一。復(fù)變函數(shù)f(z):

z是沿任一曲線逼近零。然而復(fù)變函數(shù)f(z)的自變量不再僅沿某一直線變化而是在某一平面內(nèi)變化,所以:因此,復(fù)變函數(shù)的可導(dǎo)性是比實函數(shù)的可導(dǎo)性條件強得多。是否存在復(fù)函數(shù)可導(dǎo)必須滿足的基本條件?復(fù)數(shù)Δzz012/15/202334

z沿實軸→0,

y0

假設(shè):f(z)在z點可導(dǎo).

下面分析

z分別沿平行于實軸(

y0)和平行于虛軸(

x0)趨于零的特殊情況:柯西—黎曼條件z012/15/202335柯西—黎曼條件或C-R條件由于f(z)在z點可導(dǎo),要求沿不同方向的極限相等可導(dǎo)必要條件

z沿虛軸→0,

x0z012/15/202336定理若存在且連續(xù),則f(z

)可導(dǎo)的充要條件是f(z

)滿足柯西—黎曼條件。證:由于偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),根據(jù)偏導(dǎo)數(shù)的定義,二元函數(shù)u

和υ的增量可分別寫為隨著則復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)的充要條件12/15/202337柯西—黎曼條件這一極限是與的方式無關(guān)的有限值,所以f(z)可導(dǎo)。導(dǎo)數(shù)定義式注意:除zn,z1/n,lnz等多值函數(shù)外,單值初等函數(shù)在復(fù)平面上幾乎處處可導(dǎo).12/15/202338可導(dǎo)函數(shù)的復(fù)共軛函數(shù)不一定可導(dǎo)。例1.6

討論復(fù)函數(shù)w=x+iy和其復(fù)共軛w'=x-iy的可導(dǎo)性解:不滿足柯西—黎曼條件12/15/202339

1.復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)必要條件:柯西—黎曼條件;

2.復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)的充要條件:若存在且連續(xù),則f(z

)可導(dǎo)的充要條件是f(z

)滿足柯西—黎曼條件。本講小結(jié)與思考

3.除zn,z1/n,lnz等多值函數(shù)外,單值初等函數(shù)在復(fù)平面上幾乎處處可導(dǎo),可導(dǎo)函數(shù)的復(fù)共軛函數(shù)不一定可導(dǎo).12/15/2023401.21.4(1)(5)(6)1.6§1.1和§1.2作業(yè)12/15/2023411區(qū)域

鄰域定義:如圖,由不等式(δ為任意的正數(shù))所確定的平面點集(簡稱點集),稱為以z0為中心的δ鄰域或鄰域。

所確定的點集為z0的去心δ鄰域或去心鄰域。類似于實變函數(shù),下面介紹對應(yīng)于復(fù)變函數(shù)的:鄰域、內(nèi)點,外點,邊界點和開集等概念。

由實變函數(shù)的理論我們知道,函數(shù)的定義域是一個滿足一定條件的平面點集,我們稱之為區(qū)域D。鄰域而稱如圖所示不等式1.3

解析函數(shù)12/15/202342z0設(shè)E為點集(如圖),z0為E中的一點。則:內(nèi)點:如果存在z0的一個鄰域,該鄰域內(nèi)的所有點都屬于點集E,則稱z0為E的內(nèi)點;外點:若點z0的某一個鄰域內(nèi)的點都不屬于點集E,則稱點z0為E的外點。邊界點:若在點z0的任意一個鄰域內(nèi),既有屬于點集E

的點,也有不屬于E的點,則稱點z0為E的邊界點,點集E的全部邊界點稱為E的邊界。

注意

區(qū)域的邊界可能是由幾條曲線和一些孤立的點所組成的。開集:

若點集E的點皆為內(nèi)點,則稱E為開集。內(nèi)點外點PE12/15/202343區(qū)域定義:點集E稱為一個區(qū)域D,如果它滿足:

(1)E是一個開集;

(2)E是連通的,就是說E中任何兩點z1和z2都可以用完全屬于E的一條折線連接起來。

通常稱具有性質(zhì)(2)的集為連通的,所以一個區(qū)域就是一個連通的開集。區(qū)域D加上它的邊界C(p)稱為閉區(qū)域或閉域,記為.D-區(qū)域內(nèi)點12/15/202344單連通域與多連通域設(shè)D為復(fù)平面上的一個區(qū)域,如果在其中作一條簡單的閉曲線(自身不相交的閉合曲線),而曲線內(nèi)部總屬于D

,則稱D為單連通區(qū)域,否則稱為多連通區(qū)域。單連通域多連通域12/15/2023452解析函數(shù)的概念

若函數(shù)f(z)在點z0的某鄰域內(nèi)處處可導(dǎo),則稱函數(shù)f(z)在點z0處解析;又若f(z)在區(qū)域D內(nèi)的每一點解析,則稱f(z)在區(qū)域D內(nèi)是解析函數(shù)說明:1.解析與可導(dǎo)不等價

函數(shù)在某點解析,則必在該點可導(dǎo);反之不然但是在區(qū)域D內(nèi)解析的函數(shù)則其解析性與可導(dǎo)等價.

例:函數(shù)只在z=0點可導(dǎo),在z=0的鄰域內(nèi)不可導(dǎo),因而不解析12/15/2023462.稱函數(shù)的不解析點為奇點f(z)在點z0

無定義或無確定值;f(z)在點z0

不連續(xù);f(z)在點z0

不可導(dǎo);f(z)在點z0

可導(dǎo),但找不到在其內(nèi)處處可導(dǎo)的鄰域。3.解析函數(shù)的充分必要條件設(shè)函數(shù)f(z)=u(x,y)+iυ(x,y)

在區(qū)域D內(nèi)解析當且僅當:(1)實部和虛部在D內(nèi)每一點可導(dǎo);(2)實部和虛部在D內(nèi)每一點滿足柯西—黎曼條件12/15/202347例1.7判斷下列函數(shù)在何處可導(dǎo),在何處解析:解(1)

因為u=excos

y,υ=exsin

y,柯西-黎曼條件成立,由于上面四個偏導(dǎo)數(shù)都是連續(xù)的,所以f(z)在復(fù)平面內(nèi)處處可導(dǎo),處處解析,且有

f'(z)=exp(x)(cos

y+isin

y)=f(z)這個函數(shù)就是指數(shù)函數(shù)ez.12/15/202348(2)由w=zRe(z)=x2+ixy,得u=x2,υ=xy,所以容易看出,這四個偏導(dǎo)數(shù)處處連續(xù),但僅當x=y=0時,它們才滿足柯西-黎曼方程,因而函數(shù)僅在z=0可導(dǎo),所以在復(fù)平面內(nèi)任何地方都不解析.12/15/202349由上述討論可知,既然f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析,則存在且連續(xù),其實部和虛部皆可導(dǎo)。由此我們可以利用柯西-黎曼條件由解析函數(shù)的u或υ部分構(gòu)建出一個解析函數(shù)。3解析函數(shù)的應(yīng)用從區(qū)域內(nèi)固定一點(x0,y0)到(x,y)積分上式有同理,C為任意常數(shù)

12/15/20235012/15/202351

根據(jù)C-R條件

積分路徑選為,則得到

根據(jù)條件,故得..12/15/202352我們知道在區(qū)域D內(nèi),解析函數(shù)f(z)的實部u(x,y)和虛部υ(x,y)滿足柯西-黎曼條件,即§1.6

解析函數(shù)的物理解釋復(fù)勢得出1調(diào)和函數(shù)上式左邊分別對x和y求偏導(dǎo)數(shù)12/15/202353定義稱方程為拉普拉斯方程.滿足此拉普拉斯方程的函數(shù)稱為調(diào)和函數(shù).同理得無源、無旋標量場,例如,靜電場、溫度場和流場等,它們的勢滿足拉普拉斯方程。上面分析表示,解析函數(shù)的實部和虛部都是二維調(diào)和函數(shù)。我們稱解析函數(shù)的實部和虛部為共軛調(diào)和函數(shù)12/15/2023542解析函數(shù)的實部和虛部的梯度正交即由柯西—黎曼方程解析函數(shù)的實部和虛部之梯度是相互正交的。我們要問:解析函數(shù)的上述性質(zhì)在物理學(xué)研究中有何應(yīng)用價值?12/15/202355例1.9

解有12/15/20235612/15/202357

由電磁學(xué)可以知道:(1)靜電場電勢滿足拉普拉斯方程

3平面靜電場的復(fù)勢(3)由圖可知:靜電場的等勢線族(方向沿等勢面切線方向)和電力線族(方向沿電場方向)是

溫馨提示

  • 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
  • 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
  • 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內(nèi)容里面會有圖紙預(yù)覽,若沒有圖紙預(yù)覽就沒有圖紙。
  • 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
  • 5. 人人文庫網(wǎng)僅提供信息存儲空間,僅對用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護處理,對用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對任何下載內(nèi)容負責。
  • 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當內(nèi)容,請與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
  • 7. 本站不保證下載資源的準確性、安全性和完整性, 同時也不承擔用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。

評論

0/150

提交評論