小學(xué)數(shù)學(xué)課程與教學(xué) 課件8小學(xué)圖形與幾何的教學(xué)

8.小學(xué)圖形與幾何的教學(xué)情境導(dǎo)入學(xué)習(xí)了角的定義，教師出示三角形、平行四邊形等，讓學(xué)生數(shù)一數(shù)每個(gè)圖形中各有幾個(gè)角。學(xué)生回答，“三角形中沒有角，因?yàn)槿切蔚娜吺蔷€段，不是射線”。角有哪些常見的定義？兩條線段能組成角嗎？三角形的面積計(jì)算公式、梯形的面積計(jì)算公式有幾個(gè)，是怎么來的？8.1第一學(xué)段圖形與幾何的教學(xué)第一學(xué)段“圖形的認(rèn)識與測量”，包括簡單立體圖形和平面圖形的認(rèn)識、圖形的分類、簡單圖形的拼圖、度量單位的統(tǒng)一、長度單位米和厘米的認(rèn)識、物體長度的估測和測量。學(xué)生經(jīng)歷由形到數(shù)量的形成過程，理解和掌握形的概念，經(jīng)歷估測和實(shí)際測量的探索過程，理解測量單位統(tǒng)一的重要性，形成空間觀念和量感。8.1.1第一學(xué)段圖形與幾何的課程要求知識重點(diǎn)是簡單立體圖形和平面圖形的認(rèn)識、圖形的分類、簡單圖形的拼圖、度量單位的統(tǒng)一、長度單位米和厘米的認(rèn)識、物體長度估測和實(shí)際測量。能力重點(diǎn)是能對圖形分類，會(huì)用簡單圖形拼圖，能估測一些物體的長度，并進(jìn)行測量，形成初步空間觀念和量感。情感態(tài)度與價(jià)值觀重點(diǎn)是讓學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，主動(dòng)與他人交流，體會(huì)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，培養(yǎng)好奇心和探究欲。8.1.2第一學(xué)段圖形與幾何的內(nèi)容理解長度線段公理：兩點(diǎn)之間，線段最短。兩點(diǎn)之間形成線段的長度叫作兩點(diǎn)之間的距離。幾何思維水平理論荷蘭數(shù)學(xué)教育家范·希爾（VanHiele）夫婦根據(jù)完形心理學(xué)的結(jié)構(gòu)理論以及皮亞杰的認(rèn)知理論，提出幾何思維水平理論。采用范希爾的說法，將這五個(gè)水平從低到高依次稱為視覺水平、描述水平、理論水平、形式邏輯水平和邏輯法則本質(zhì)水平。水平１視覺水平學(xué)生借助觀察各種具體事物的外形輪廓來分辨圖形，能學(xué)習(xí)詞匯及辨認(rèn)或再造出一個(gè)與指定圖形相同的圖形，但無法利用圖形的性質(zhì)或構(gòu)成要素來分析圖形。處于這個(gè)水平的學(xué)生的推理能力受到視覺的影響，只要圖形的外表特征稍有變化，學(xué)生就無法分辨異同。例如，將橢圓形看作圓，把長方形看作正方形。水平２描述水平學(xué)生能夠辨別各種圖形的特征，能夠通過觀察圖形的構(gòu)成要素與這些要素之間的關(guān)系來分析幾何概念。但是他們無法說出圖形之間有無關(guān)系存在，如正方形、長方形、菱形、平行四邊形之間有什么關(guān)系存在。處于這個(gè)水平的學(xué)生無法通過推理的方式得知道理，比如他們不一定知道當(dāng)圖形邊長不相等時(shí)面積有可能相等。水平３理論水平學(xué)生能夠了解和運(yùn)用圖形的構(gòu)成要素，并且能夠探索各種幾何圖形之間的內(nèi)在屬性和各圖形之間的包含關(guān)系。例如，四個(gè)邊等長的四邊形是菱形，所以正方形是菱形的一種。水平４形式邏輯水平學(xué)生能夠通過抽象的推理來證明幾何問題，而且方法可能不止一種，知道幾何圖形的充分條件與必要條件。例如，正五邊形每一邊及每一個(gè)內(nèi)角都相等，但邊長相等的五邊形不一定是正五邊形。學(xué)生能發(fā)現(xiàn)正逆命題之間的差異，也能清楚地說出題目中已知的條件為何以及要證明的是什么，還能使用許多技巧來證明對稱、旋轉(zhuǎn)、坐標(biāo)平移、向量等，或能用邏輯去思考、分析和解決問題。水平５邏輯法則本質(zhì)水平學(xué)生能夠在不同的公理體系中建立定理，并且能比較不同的公理系統(tǒng)，同時(shí)也能了解抽象的幾何概念。一般人很難達(dá)到這個(gè)層次，所以連范希爾本人也認(rèn)為這個(gè)層次只有理論的價(jià)值。8.1.3第一學(xué)段圖形與幾何的教學(xué)建議

該學(xué)段學(xué)生大致處于范希爾幾何思維水平的第一階段——視覺水平，即大多數(shù)學(xué)生能夠借助觀察各種具體事物的外形輪廓來分辨圖形，能辨認(rèn)或再造出一個(gè)與指定圖形相同的圖形，但無法利用圖形的性質(zhì)或構(gòu)成要素來分析圖形。教學(xué)需要充分考慮學(xué)生在幼兒園所形成的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和生活經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生在具體活動(dòng)中感知圖形和認(rèn)識圖形，并根據(jù)特點(diǎn)將圖形進(jìn)行分類。在具體活動(dòng)中感知和認(rèn)識圖形，經(jīng)歷實(shí)物到圖形的抽象過程，形成初步的空間觀念。經(jīng)歷統(tǒng)一測量單位和選擇適當(dāng)單位進(jìn)行測量等過程，在實(shí)際測量和估測活動(dòng)中發(fā)展空間觀念和量感。例如，長度單位的教學(xué)要讓學(xué)生經(jīng)歷一把尺子的形成過程，加深對長度單位的理解?！罢J(rèn)識厘米”的教學(xué)就可以這樣進(jìn)行：①意識到需要統(tǒng)一長度單位；②認(rèn)識到僅用一個(gè)單位進(jìn)行測量比較困難；③自制一把尺子進(jìn)行測量；④引入標(biāo)準(zhǔn)單位厘米。8.2第二學(xué)段圖形與幾何的教學(xué)

“圖形的認(rèn)識與測量”包括：線段、射線和直線的認(rèn)識，角的初步認(rèn)識，角的度量，分米、毫米和千米的認(rèn)識，平方厘米和平方分米的認(rèn)識，三角形和四邊形的認(rèn)識，長方形和正方形的周長和面積的計(jì)算公式的推導(dǎo)?！皥D形的位置與運(yùn)動(dòng)”包括對平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱現(xiàn)象的感知。8.2.1第二學(xué)段圖形與幾何的課程要求第二學(xué)段“圖形與幾何”包括“圖形的認(rèn)識與測量”和“圖形的位置與運(yùn)動(dòng)”兩個(gè)主題。知識重點(diǎn)是線段、射線和直線的認(rèn)識，角的初步認(rèn)識，角的度量，分米、毫米和千米的認(rèn)識，平方厘米和平方分米的認(rèn)識，三角形和四邊形的認(rèn)識，長方形和正方形的周長和面積的計(jì)算公式的推導(dǎo)。能力重點(diǎn)是會(huì)用直尺和圓規(guī)作一條線段等于已知線段，會(huì)用量角器量角，能進(jìn)行簡單的長度和面積單位換算，能恰當(dāng)?shù)剡x擇單位估測一些物體的長度和面積，會(huì)根據(jù)圖形特征對三角形和四邊形進(jìn)行分類，探索并掌握長方形、正方形的周長和面積的計(jì)算公式。

情感態(tài)度與價(jià)值觀重點(diǎn)是讓學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，主動(dòng)與他人交流，體會(huì)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，培養(yǎng)好奇心和探究欲。例如，讓學(xué)生通過直觀認(rèn)識不同圖形，說出圖形的共性，知道這些共性與圖形命名的關(guān)系。知識重點(diǎn)是對平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱現(xiàn)象的感知。能力重點(diǎn)是能在實(shí)際情境中，辨認(rèn)出生活中的平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱現(xiàn)象，直觀感知平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱的特征，能利用平移或旋轉(zhuǎn)解釋現(xiàn)實(shí)生活中的現(xiàn)象，形成空間觀念。情感態(tài)度與價(jià)值觀重點(diǎn)是學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，體會(huì)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的緊密聯(lián)系，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。8.2.2第二學(xué)段圖形與幾何的內(nèi)容理解角的靜態(tài)定義，具有公共端點(diǎn)的兩條不重合的射線組成的平面圖形叫作角。這個(gè)公共端點(diǎn)叫作角的頂點(diǎn)，這兩條射線叫作角的邊。角的動(dòng)態(tài)定義，一條射線繞著它的端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的平面圖形叫作角。所旋轉(zhuǎn)射線的端點(diǎn)叫作角的頂點(diǎn)，開始位置的射線叫作角的始邊，終止位置的射線叫作角的終邊。但在大多數(shù)情況下，角的兩條邊都是線段，而不是直線。我們常把有公共端點(diǎn)的兩條線段構(gòu)成的平面圖形也叫作角。只不過兩條線段在非公共端點(diǎn)的一段可以無限延伸。因?yàn)榻堑膬啥丝梢詿o限延伸，所以角的大小不是按照角所占面積來衡量的，而是用張開的程度來衡量。三角形三條線段首尾連接形成的圖形叫作三角形。三角形按邊來分，可以分為等腰三角形和非等腰三角形。按最大內(nèi)角來分，可分為鈍角三角形、直角三角形和銳角三角形。三角形的存在性：三角形的任意兩邊之和大于第三邊。三角形的唯一性：三角形具有穩(wěn)定性。三角形的特征：三角形的內(nèi)角和為180°。8.2.3第二學(xué)段圖形與幾何的教學(xué)建議第二學(xué)段是學(xué)生小學(xué)學(xué)習(xí)的中期階段，重在養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。該學(xué)段學(xué)生大致處于范希爾幾何思維水平的第二階段——描述水平，即兒童能夠辨別各種圖形的特征，能夠通過觀察圖形的構(gòu)成要素與這些要素之間的關(guān)系來分析幾何概念，但是他們無法說出圖形之間有無關(guān)系存在。從觀察現(xiàn)實(shí)生活中的物體出發(fā)，逐漸抽象出幾何圖形，幫助學(xué)生建立幾何圖形的直觀概念。從現(xiàn)實(shí)情境出發(fā)，建立周長和面積的概念，歸納發(fā)現(xiàn)長方形和正方形的周長和面積的計(jì)算公式，發(fā)展幾何直觀和推理意識。圖形的位置與運(yùn)動(dòng)的教學(xué)要從熟悉的情境中讓學(xué)生認(rèn)識平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱現(xiàn)象，感悟圖形的運(yùn)動(dòng)特征，發(fā)展空間觀念。8.3第三學(xué)段圖形與幾何的教學(xué)“圖形的認(rèn)識與測量”包括多邊形的面積、圓的認(rèn)識與測量、體積、長方體和圓柱的認(rèn)識與測量等主要內(nèi)容?！皥D形的位置與運(yùn)動(dòng)”包括物體位置的確定、有序數(shù)對（限于自然數(shù)）表示點(diǎn)的位置、比例尺、圖形放大或縮小、簡單圖形的平移和旋轉(zhuǎn)以及軸對稱圖形等主要內(nèi)容。8.3.1第三學(xué)段圖形與幾何的課程要求“圖形與幾何”是義務(wù)教育小學(xué)數(shù)學(xué)課程第三學(xué)段的重要內(nèi)容。2022年版數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)將其分為“圖形的認(rèn)識與測量”和“圖形的位置與運(yùn)動(dòng)”兩個(gè)主題。知識重點(diǎn)是三角形任意兩邊之和大于第三邊，三角形內(nèi)角和，圓和扇形的認(rèn)識，圓規(guī)畫圓，圓周率的認(rèn)識，圓的周長和面積的計(jì)算公式，面積單位平方千米、公頃的認(rèn)識，平行四邊形、三角形和梯形面積的計(jì)算公式，體積的意義及度量單位，認(rèn)識長方體、正方體和圓柱體積和表面積的計(jì)算公式，簡單立體圖形的三視圖。能力重點(diǎn)是會(huì)用圓規(guī)畫圓，探索圓的周長和面積的計(jì)算公式，探索并掌握平行四邊形、三角形和梯形的面積計(jì)算公式，會(huì)估計(jì)不規(guī)則圖形的面積，探索并掌握長方體、正方體和圓柱的體積和表面積的計(jì)算公式，能辨認(rèn)不同方向的形狀，能解決簡單的實(shí)際問題，進(jìn)一步形成量感、空間觀念和幾何直觀。

情感態(tài)度與價(jià)值觀重點(diǎn)是讓學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，主動(dòng)與他人交流，體會(huì)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的好奇心和探究欲。例如，通過估計(jì)不規(guī)則圖形面積的活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生有規(guī)劃做事的習(xí)慣和判斷結(jié)論的能力。知識重點(diǎn)是物體位置的確定、有序數(shù)對表示點(diǎn)的位置、有序數(shù)對與方格紙上點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系、比例尺的認(rèn)識、簡單圖形放大或縮小、簡單圖形的平移和旋轉(zhuǎn)、軸對稱圖形和對稱軸的認(rèn)識。能力重點(diǎn)是能根據(jù)參照點(diǎn)的方向和距離確定物體的位置，理解有序數(shù)對與方格紙上點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系，能在方格紙上進(jìn)行簡單圖形的平移、旋轉(zhuǎn)和放縮，能從平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱的角度欣賞生活中的圖案，能借助方格紙?jiān)O(shè)計(jì)簡單圖案，感受數(shù)學(xué)美，形成空間觀念。情感態(tài)度與價(jià)值觀重點(diǎn)是學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，體會(huì)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的緊密聯(lián)系，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。例如，通過還原圖形的活動(dòng)體會(huì)平移和旋轉(zhuǎn)的趣味，發(fā)展學(xué)生的空間想象能力。8.3.2第三學(xué)段圖形與幾何的內(nèi)容理解平行四邊形的基本性質(zhì)有：對邊平行，對邊相等；對角相等，鄰角互補(bǔ)；對角線相互平分；一條對角線將平行四邊形分成兩個(gè)全等三角形。平行四邊形的面積公式不止一個(gè)，常用的是“面積＝底×高”。三角形的面積計(jì)算公式不止一個(gè)，常用的是“面積＝底×高÷２”。梯形的面積計(jì)算公式“面積＝（上底＋下底）×高÷２”。

圓平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合叫作圓。圓的周長和直徑的比值是一個(gè)常數(shù)，叫作圓周率，通常用希臘字母π表示。8.3.3第三學(xué)段圖形與幾何的教學(xué)建議第三學(xué)段是學(xué)生小學(xué)學(xué)習(xí)的后期，處在小學(xué)與初中的過渡階段，在一定程度上為中學(xué)做準(zhǔn)備。該學(xué)段部分學(xué)生處于范希爾幾何思維水平的第二階段，也有部分學(xué)生處于第三階段——理論水平，即兒童能夠了解和運(yùn)用圖形的構(gòu)成要素，并且能夠探索各種幾何圖形之間的內(nèi)在屬性和各圖形之間的包含關(guān)系。圖形的認(rèn)識與測量的教學(xué)圖形的認(rèn)識與測量的教學(xué)要引導(dǎo)學(xué)生通過對立體圖形的測量，從度量的角度認(rèn)識立體圖形的特征；理解長度、面積、體積都是相應(yīng)度量單位的累加；通過對平面圖形性質(zhì)的認(rèn)識，感知數(shù)學(xué)說理（證明）的過程。第一，沿著“觀察猜想證明”的路線，發(fā)現(xiàn)圖形的基本性質(zhì)、面積計(jì)算公式和體積計(jì)算公式，發(fā)展空間觀念和推理意識。例如，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷基于給定線段用直尺和圓規(guī)畫三角形的過程，首先發(fā)現(xiàn)“三角形任意兩邊之和大于第三邊”的結(jié)論，然后再根據(jù)“兩點(diǎn)間線段最短”的基本事實(shí)說明“三角形任意兩邊之和大于第三邊”這一結(jié)論的正確性。第二，通過圖形折疊與展開的活動(dòng)，認(rèn)識立體圖形的特征，發(fā)展空間觀念和空間想象能力。首先，借助現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)物，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、操作等活動(dòng)，認(rèn)識長方體、圓柱、圓錐等立體圖形。在此基礎(chǔ)上理解立體圖形的元素和特征，形成空間印象，建立圖形表象。其次，溝通立體圖形之間的聯(lián)系，如圓柱和圓錐的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，以及平面圖形和立體圖形之間的聯(lián)系，如長方體與長方形之間的聯(lián)系，增強(qiáng)空間想象