第09講 二次函數(shù)與一元二次方程（解析版）

第09講二次函數(shù)與一元二次方程目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)1.會(huì)用圖象法求一元二次方程的近似解；掌握二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系；2.會(huì)求拋物線(xiàn)與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)，掌握二次函數(shù)與不等式之間的聯(lián)系；3.經(jīng)歷探索驗(yàn)證二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系的過(guò)程，學(xué)會(huì)用函數(shù)的觀點(diǎn)去看方程和用數(shù)形結(jié)合的思想去解決問(wèn)題．知識(shí)精講知識(shí)精講知識(shí)點(diǎn)01二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系1．二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)情況決定一元二次方程根的情況

求二次函數(shù)(a≠0)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，就是令y＝0，求中x的值的問(wèn)題．此時(shí)二次函數(shù)就轉(zhuǎn)化為一元二次方程，因此一元二次方程根的個(gè)數(shù)決定了拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，它們的關(guān)系如下表：判別式二次函數(shù)一元二次方程圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)根的情況△＞0拋物線(xiàn)與x軸交于，兩點(diǎn)，且，此時(shí)稱(chēng)拋物線(xiàn)與x軸相交一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根△＝0拋物線(xiàn)與x軸交切于這一點(diǎn)，此時(shí)稱(chēng)拋物線(xiàn)與x軸相切一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根△＜0拋物線(xiàn)與x軸無(wú)交點(diǎn)，此時(shí)稱(chēng)拋物線(xiàn)與x軸相離一元二次方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無(wú)解（或稱(chēng)無(wú)實(shí)數(shù)根）注意：

二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)由的值來(lái)確定的.(1)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根；

(2)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根；

(3)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸沒(méi)有交點(diǎn)時(shí)，，方程沒(méi)有實(shí)根.

2．拋物線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)問(wèn)題拋物線(xiàn)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的問(wèn)題實(shí)質(zhì)就是拋物線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)問(wèn)題．我們把它延伸到求拋物線(xiàn)(a≠0)與y軸交點(diǎn)和二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題．拋物線(xiàn)(a≠0)與y軸的交點(diǎn)是(0，c)．拋物線(xiàn)(a≠0)與一次函數(shù)(k≠0)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)由方程組的解的個(gè)數(shù)決定．當(dāng)方程組有兩組不同的解時(shí)兩函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)方程組有兩組相同的解時(shí)兩函數(shù)圖象只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)方程組無(wú)解時(shí)兩函數(shù)圖象沒(méi)有交點(diǎn)．總之，探究直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)的問(wèn)題，最終是討論方程(組)的解的問(wèn)題．注意：

求兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的問(wèn)題主要運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，即將函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求方程組解的問(wèn)題或者將求方程組的解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求拋物線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)問(wèn)題．知識(shí)點(diǎn)02利用二次函數(shù)圖象求一元二次方程的近似解1．用圖象法解一元二次方程的步驟

(1)作二次函數(shù)的圖象，由圖象確定交點(diǎn)個(gè)數(shù)，即方程解的個(gè)數(shù)；

(2)確定一元二次方程的根的取值范圍．即確定拋物線(xiàn)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的大致范圍；

(3)在(2)確定的范圍內(nèi)，用計(jì)算器進(jìn)行探索。即在(2)確定的范圍內(nèi)，從大到小或從小到大依次取值，用表格的形式求出相應(yīng)的y值．

(4)確定一元二次方程的近似根．在(3)中最接近0的y值所對(duì)應(yīng)的x值即是一元二次方的近似根．

2．求一元二次方程的近似解的方法（圖象法）

(1)直接作出函數(shù)的圖象，則圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程的根；

(2)先將方程變?yōu)樵僭谕蛔鴺?biāo)系中畫(huà)出拋物線(xiàn)和直線(xiàn)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程的根；

(3)將方程化為，移項(xiàng)后得，設(shè)和，在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出拋物線(xiàn)和直線(xiàn)的圖象，圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的根。知識(shí)點(diǎn)03拋物線(xiàn)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離公式當(dāng)△＞0時(shí)，設(shè)拋物線(xiàn)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A(，0)，B(，0)，則、是一元二次方程的兩個(gè)根．由根與系數(shù)的關(guān)系得，?！嗉矗ā鳎?）知識(shí)點(diǎn)04拋物線(xiàn)與不等式的關(guān)系二次函數(shù)(a≠0)與一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之間的關(guān)系如下：判別式拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)不等式的解集不等式的解集△＞0或△＝0（或）無(wú)解△＜0全體實(shí)數(shù)無(wú)解注意：

拋物線(xiàn)在x軸上方的部分點(diǎn)的縱坐標(biāo)都為正，所對(duì)應(yīng)的x的所有值就是不等式的解集；在x軸下方的部分點(diǎn)的縱坐標(biāo)都為負(fù)，所對(duì)應(yīng)的x的所有值就是不等式的解集．不等式中如果帶有等號(hào)，其解集也相應(yīng)帶有等號(hào)。能力拓展能力拓展考法01二次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)【典例1】在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，拋物線(xiàn)與軸的一個(gè)交點(diǎn)是，另一交點(diǎn)為，則的長(zhǎng)為（

）A．2 B．3 C．6 D．8【答案】C【解析】解：∵拋物線(xiàn)與軸的一個(gè)交點(diǎn)是∴0=a+4a+2∴a=∴當(dāng)y=0時(shí)，，解得∴B（5，0）∴AB=5-（-1）=6，故選：C．【典例2】二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)是（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】D【解析】解：令y=0，則解得：x1=，x2=2故選：D【典例3】拋物線(xiàn)與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：令，得：，∴與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-3），故選：B．【典例4】下列拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的是（

）．A． B．C． D．【答案】A【解析】解：、將代入，得，所以該拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，本選項(xiàng)符合題意；、將代入，得，所以該拋物線(xiàn)不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，本選項(xiàng)不符合題意；、將代入，得，所以該拋物線(xiàn)不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，本選項(xiàng)不符合題意；、將代入，得，所以該拋物線(xiàn)不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，本選項(xiàng)不符合題意；故選：．考法02利用圖象法求一元二次方程的近似解【典例5】根據(jù)表格中二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的自變量x與函數(shù)值y的對(duì)應(yīng)值，可以判斷方程ax2+bx+c＝0的一個(gè)解x的范圍是（

）x00.511.52y＝ax2+bx+c13.57A．0＜x＜0.5 B．0.5＜x＜1C．1＜x＜1.5 D．1.5＜x＜2【答案】B【解析】解：觀察表格可知：當(dāng)x=0.5時(shí)，y=-0.5；當(dāng)x=1時(shí)，y=1，∴方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）的一個(gè)解x的范圍是0.5＜x＜1．故選：B．【即學(xué)即練】如表，是二次函數(shù)的自變量x與函數(shù)值y的幾組對(duì)應(yīng)值．那么方程的一個(gè)近似解是（）x0.911.11.21.31.4y-1.49-1-0.490.040.591.16A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.3【答案】C【解析】解：由表格可得時(shí)，，時(shí)，，的一個(gè)解在1.1與1.2之間，，的一個(gè)近似解是1.2，故選：C．【典例6】如圖，拋物線(xiàn)與直線(xiàn)交于A、B兩點(diǎn)，下列是關(guān)于x的不等式或方程，結(jié)論正確的是（

）A．的解集是B．的解集是C．的解集是D．的解是或【答案】D【解析】解：由函數(shù)圖象可得，不等式ax2+bx+c>kx+h，即的解集為：x<2或>4；故A、B、C不符合題意；方程ax2+bx+c=x+h，即的解為或，故D符合題意；故選：D．【即學(xué)即練】二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致圖象如圖所示，已知頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，﹣9a）．有下列結(jié)論：①abc＜0；②4a+2b+c＞0；③5a﹣b+c＝0；④若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有兩個(gè)根x1和x2，且x1＜x2，則﹣5＜x1＜x2＜1．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】解：拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，拋物線(xiàn)的開(kāi)口向上，，，，，所以①正確；當(dāng)時(shí)，，解得或，拋物線(xiàn)與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，，時(shí)，，，所以②正確；，而，，所以③錯(cuò)誤；方程有兩個(gè)根和，拋物線(xiàn)與直線(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為和，，所以④正確；綜上：正確的個(gè)數(shù)為3個(gè)，故選：C．考法03判斷二次函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的情況【典例7】從-1、0、3、5、7五個(gè)數(shù)中任意選取一個(gè)數(shù)，記為m，則使二次函數(shù)y=mx2+6x+2與x軸有交點(diǎn)時(shí)的m的值有（

）個(gè)A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【解析】解：關(guān)于x的函數(shù)y=mx2+6x+2的圖象與x軸有交點(diǎn)，當(dāng)函數(shù)為二次函數(shù)時(shí)m≠0，Δ=b2-4ac=62-8m≥0，即：m≤4.5且m≠0．又從-1、0、3、5、7五個(gè)數(shù)中任意選取，∴m=-1，3，∴m的值有2個(gè)．故選：B．【即學(xué)即練】拋物線(xiàn)y=x2+x+c與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，則c的值為（

）A． B． C． D．4【答案】B【解析】解：∵y=x2+x+c與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，∴x2+x+c=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴△=1-4c=0，解得：c=．故選：B．【典例8】在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為，，若拋物線(xiàn)與線(xiàn)段MN有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則a的取值范圍是（

）A．或 B．或C． D．或【答案】B【解析】拋物線(xiàn)的解析式為①，設(shè)直線(xiàn)MN的解析式為，將點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，代入得，，解得，直線(xiàn)MN的解析式為②，聯(lián)立①②并整理得，拋物線(xiàn)與線(xiàn)段MN有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，，即，當(dāng)時(shí)，拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，需要滿(mǎn)足拋物線(xiàn)上與點(diǎn)M、N橫坐標(biāo)相等的點(diǎn)與點(diǎn)M、N重合或在點(diǎn)M、N的上方，，解得；當(dāng)時(shí)，拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，需要滿(mǎn)足拋物線(xiàn)上與點(diǎn)M、N橫坐標(biāo)相等的點(diǎn)與點(diǎn)M、N重合或在點(diǎn)M、N的下方，，解得；綜上，a的取值范圍是或．【即學(xué)即練】已知二次函數(shù)y=ax2?4ax?5a+1(a>0)下列結(jié)論正確的是（

）①已知點(diǎn)M(4，y1)，點(diǎn)N(?2，y2)在二次函數(shù)的圖象上，則y1>y2；②該圖象一定過(guò)定點(diǎn)（5，1）和（－1，1）；③直線(xiàn)y=x?1與拋物線(xiàn)y=ax2?4ax?5a+1一定存在兩個(gè)交點(diǎn)；④當(dāng)?3≤x≤1時(shí)，y的最小值是a，則a=A．①④ B．②③ C．②④ D．①②③④【答案】B【解析】解：二次函數(shù)y=ax2?4ax?5a+1(a>0)，開(kāi)口向上，且對(duì)稱(chēng)軸為x=-=2，①點(diǎn)N(?2，y2)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為(6，y2)，∵a>0，∴y隨x的增加而增加，∵4<6，∴y1<y2；故①錯(cuò)誤；②當(dāng)y=1時(shí)，ax2?4ax?5a+1=1，即x2?4x?5=0，解得：x=5或x=-1，該圖象一定過(guò)定點(diǎn)（5，1）和（-1，1）；故②正確；③由題意得方程：ax2?4ax?5a+1=x?1，整理得：ax2?(4a+1)x?5a+2=0，16a2+8a+1+20a2-8a=36a2+1>0，直線(xiàn)y=x?1與拋物線(xiàn)y=ax2?4ax?5a+1一定存在兩個(gè)交點(diǎn)；故③正確；④當(dāng)?3≤x≤1時(shí)，y隨x的增加而減少，∴當(dāng)x=1時(shí)，y有最小值為a，即a?4a?5a+1=a，解得：a=，故④錯(cuò)誤；綜上，正確的有②③，故選：B．考法04求x軸與拋物線(xiàn)的截線(xiàn)長(zhǎng)【典例9】拋物線(xiàn)y＝﹣x2＋2x＋6在直線(xiàn)y＝﹣9上截得的線(xiàn)段長(zhǎng)度為（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【解析】解：由題意得：，解得：x＝?3或x＝5，故在直線(xiàn)y＝?9上截得的線(xiàn)段的長(zhǎng)為5?（?3）＝8，故選：C．【即學(xué)即練】已知二次函數(shù)y＝x2﹣4x+m的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，0)，則線(xiàn)段AB的長(zhǎng)為()A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】將點(diǎn)A(1，0)代入y＝x2﹣4x+m，得到m＝3，所以y＝x2﹣4x+3，與x軸交于兩點(diǎn)，設(shè)A(x1，y1)，b(x2，y2)∴x2﹣4x+3＝0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，∴x1+x2＝4，x1?x2＝3，∴AB＝|x1﹣x2|＝＝2；故選B．【典例10】拋物線(xiàn)在軸上截得的線(xiàn)段長(zhǎng)度是（

）A． B．2 C． D．【答案】A【解析】由解得，，，故選：A．【典例11】將二次函數(shù)y＝ax2的圖象先向下平移2個(gè)單位，再向右平移3個(gè)單位，截x軸所得的線(xiàn)段長(zhǎng)為4，則a＝（

）A．1 B． C． D．【答案】D【解析】解：二次函數(shù)y＝ax2的圖象先向下平移2個(gè)單位，再向右平移3個(gè)單位之后的函數(shù)解析式為y＝a（x﹣3）2﹣2，當(dāng)y＝0時(shí)，ax2﹣6ax+9a﹣2＝0，設(shè)方程ax2﹣6ax+9a﹣2＝0的兩個(gè)根為x1，x2，則x1+x2＝6，x1x2＝，∵平移后的函數(shù)截x軸所得的線(xiàn)段長(zhǎng)為4，∴|x1﹣x2|＝4，∴（x1﹣x2）2＝16，∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝16，∴36﹣4×＝16，解得，a＝，故選：D．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1．二次函數(shù)的部分圖像如圖所示，可知方程的所有解的積為（

）A．－4 B．4 C．5 D．－5【答案】D【解析】解：由圖象可知對(duì)稱(chēng)軸為，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)是5，∵交點(diǎn)到對(duì)稱(chēng)軸的距離是3個(gè)單位，∴另外一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是﹣1，∴.故選：D.2．拋物線(xiàn)與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A．(-3，0) B．(0，-3) C． D．【答案】B【解析】解：當(dāng)x=0時(shí)，y=-3，則拋物線(xiàn)y=x2-3與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-3），故選：B．3．二次函數(shù)的圖像如圖所示，則關(guān)于x的一元二次方程的根的情況描述正確的是（

）A．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)異號(hào)的實(shí)數(shù)根C．有兩個(gè)同號(hào)的實(shí)數(shù)根 D．有兩個(gè)無(wú)法確定符號(hào)的實(shí)數(shù)根【答案】B【解析】解：∵二次函數(shù)的圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且在原點(diǎn)兩側(cè)，∴關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)異號(hào)的實(shí)數(shù)根，故選：B．4．如圖，拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+c的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x＝1，甲、乙、丙、丁得出如下結(jié)論：甲：abc＞0；乙：方程ax2+bx+c＝﹣2有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根；丙：3a+c＞0；丁：當(dāng)x≥0時(shí)，拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+c既有最大值，也有最小值．則以上正確的是（）A．甲、乙 B．乙、丙 C．甲、丁 D．乙、丙、丁【答案】B【解析】由圖象可知，a<0，b>0，c>0，∴abc<0，故甲錯(cuò)誤；根據(jù)圖象判斷，y=-2時(shí)，對(duì)應(yīng)的x的值有兩個(gè)，∴方程ax2+bx+c＝﹣2有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故乙正確；∵拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+c的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x＝1，∴，即2a=-b，令x=-1，y=a-b+c=a+2a+c=3a+c，由圖象可知當(dāng)x=-1時(shí)，y>0，∴3a+c>0，故丙正確；由圖象可知，當(dāng)x≥0時(shí)，拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+c有最大值，沒(méi)有最小值，故丁錯(cuò)誤；故選：B．5．已知關(guān)于x的方程的兩個(gè)根分別是-1和3，若拋物線(xiàn)與y軸交于點(diǎn)A，過(guò)A作軸，交拋物線(xiàn)于另一交點(diǎn)B，則AB的長(zhǎng)為（

）A．2 B．3 C．1 D．1.5【答案】A【解析】將-1，3分別代入，，解得，∴拋物線(xiàn)解析式為：，∴與y軸交點(diǎn)為：A（0，6），∵AB⊥y軸，∴B的縱坐標(biāo)為6，代入拋物線(xiàn)解得，，∴B（2，6）∴AB=2-0=2．故選：A．6．下表是一組二次函數(shù)的自變量x與函數(shù)值y的對(duì)應(yīng)值：x…11.11.21.31.4…y…-1-0.490.040.591.16…那么方程的一個(gè)近似根（精確到0.1）是（

）A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.3【答案】C【解析】解：觀察表格得：方程的一個(gè)近似根為1.2，故選：C．7．已知拋物線(xiàn)與x軸的公共點(diǎn)坐標(biāo)是，則_______．【答案】6【解析】解：∵拋物線(xiàn)與x軸的公共點(diǎn)坐標(biāo)是，令y=0，則，解得：，∴．故答案為：6．8．已知拋物線(xiàn)的部分圖像如圖所示，則方程的解是___________【答案】或【解析】解：由圖像可知拋物線(xiàn)與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，設(shè)拋物線(xiàn)與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，則，解得：．∴方程的解為或．故答案為：或9．已知二次函數(shù)．（1）求拋物線(xiàn)開(kāi)口方向及對(duì)稱(chēng)軸．（2）寫(xiě)出拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】（1）開(kāi)口向上，直線(xiàn)；（2）【解析】（1）∵，∴拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，∵=，∴對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)；（2）∵，∴，∴與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)是．10．二次函數(shù)的圖象如圖所示，根據(jù)圖象回答下列問(wèn)題：（1）寫(xiě)出方程的根；（2）寫(xiě)出不等式的解集；（3）若方程無(wú)實(shí)數(shù)根，寫(xiě)出的取值范圍．【答案】（1），；（2）或；（3）【解析】解：（1）觀察圖象可知，方程的根，即為拋物線(xiàn)與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，∴，．（2）觀察圖象可知：不等式的解集為或．（3）由圖象可知，時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．題組B能力提升練1．拋物線(xiàn)y＝(x﹣x1)(x﹣x2)+mx+n與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)(x1，0)．下列式子中正確的是（

）A．x1﹣x2＝m B．x2﹣x1＝m C．m(x1﹣x2)＝n D．m(x1+x2)＝n【答案】B【解析】解：∵拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)（x1，0），且拋物線(xiàn)與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，∴拋物線(xiàn)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（x1，0），y＝（x﹣x1）2，∴x2﹣2x1x+＝（x﹣x1）（x﹣x2）+mx+n＝x2﹣（x1+x2﹣m）x+x1x2+n，∴x1+x2﹣m＝2x1，即x2﹣x1＝m，故選：B．2．已知拋物線(xiàn)y＝x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(m，n)，B(4﹣m，n)，且拋物線(xiàn)與x軸有交點(diǎn)，則c的最大值為（

）A．0 B．2 C．4 D．8【答案】C【解析】解：∵拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（m，n），B（4﹣m，n），∴拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝＝2．∴．∴b＝﹣4．∵拋物線(xiàn)與x軸有交點(diǎn)，∴Δ＝．∴16﹣4c≥0．∴c≤4．∴c的最大值為4．故選：C．3．如圖，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是，關(guān)于x的方程的一個(gè)根為，則另一個(gè)根為（

）A． B． C． D．0【答案】C【解析】解：∵拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是，∴，即，設(shè)的另一根為m，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得：，∴．故選：C4．已知拋物線(xiàn)y=x2﹣x﹣1與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（m，0），則代數(shù)式m2﹣m+1的值為(

)A．0 B．1 C． D．2【答案】D【解析】解：將（m，0）代入y＝x2?x?1得m2?m?1＝0，即m2?m＝1，∴m2?m＋1＝2，故選：D．5．已知二次函數(shù)（）的圖象如圖所示，對(duì)稱(chēng)軸為，下列結(jié)論中，正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：A、圖象開(kāi)口向上，與y軸交于負(fù)半軸，對(duì)稱(chēng)軸在y軸左側(cè)，能得到：a＞0，c＜0，，則b＞0，∴abc<0，不符合題意；B、圖象與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，依據(jù)根的判別式可知b2-4ac＞0，不符合題意；C、∵，∴b=a，∵x=1時(shí)，a+b+c＜0，∴2b+c＜0，不符合題意；D、∵由圖象與x軸的右邊的交點(diǎn)在1與2之間，則圖象與x軸交于左邊的點(diǎn)在-2和-3之間，∴x=-2時(shí)，4a-2b+c＜0，符合題意；故選：D．6．已知拋物線(xiàn)與x軸的一個(gè)交點(diǎn)是，另一個(gè)交點(diǎn)是B，則AB的長(zhǎng)為（

）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】D【解析】拋物線(xiàn)與x軸的一個(gè)交點(diǎn)是，，即，拋物線(xiàn)為：，令，求出，，．故選：D．7．根據(jù)表格確定一元二次方程x2+2x-9=0的一個(gè)解的范圍是____x01234x2+2x-919-6-1615【答案】2＜x＜3【解析】根據(jù)表格可知，x2+2x-9=0時(shí)，對(duì)應(yīng)的x取值范圍在2＜x＜3之間，故答案為：2＜x＜3．8．已知二次函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)為，與x軸交于點(diǎn)，根據(jù)圖像回答下列問(wèn)題：當(dāng)x_______時(shí)，y隨x的增大而減?。悍匠痰膬蓚€(gè)根是___________．【答案】

，【解析】解（1）∵二次函數(shù)圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）、（3，0），∴二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=2，∵拋物線(xiàn)的開(kāi)口向上，∴當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小；（2）∵二次函數(shù)圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）、（3，0），∴方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根是，．9．已知二次函數(shù)y=x2+mx+m2?3（m為常數(shù)，m>0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2，4)．(1)求m的值；(2)判斷二次函數(shù)y=x2+mx+m2?3的圖象與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由．【答案】(1)m=1(2)二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，理由見(jiàn)解析．【解析】（1）解：∵二次函數(shù)y=x2+mx+m2?3圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2，4)，∴4=4+2m+m2?3，即m2+2m?3=0，解得：m1=1，m2=?3，又∵m>0，∴m=1；（2）解：由（1）知二次函數(shù)y=x2+x?2，∵Δ=b2?4ac=12+8=9>0，∴二次函數(shù)y=x2+x?2的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)．10．已知拋物線(xiàn)（a，b，c是常數(shù)，）的對(duì)稱(chēng)軸為．(1)填空：b=________；（用含a的代數(shù)式表示）(2)若拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在x軸上，求的值；(3)若拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)（?2，?2），當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的最值是?2，求k的取值范圍；(4)當(dāng)a=?1時(shí)，若關(guān)于x的方程式在的范圍內(nèi)有解，求c的取值范圍．【答案】(1)4a(2)0(3)?6≤k≤0(4)?4≤c＜5【解析】(1)解：由題意得：拋物線(xiàn)的，解得b=4a，故答案為：4a；(2)解∶∵拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在x軸上，∴拋物線(xiàn)與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，∴Δ=b2?4ac=0，∴16a2?4ac=0，∵a≠0，∴4a?c=0，即c=4a，∴c?b=4a?4a=0；(3)解：∵拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)（?2，?2），且對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=?2，∴拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)是（?2，?2），∵當(dāng)k?2≤x≤k+4時(shí)，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的最值是?2，∴，解得：?6≤k≤0；(4)解：當(dāng)a=?1時(shí)，b=?4，∴拋物線(xiàn)y=?x2?4x+c，∵關(guān)于x的方程式ax2+bx+c=0在?3＜x＜1的范圍內(nèi)有解，即關(guān)于x的方程?x2?4x+c=0在?3＜x＜1的范圍內(nèi)有解，c=x2+4x，可以看作是拋物線(xiàn)y=x2+4x=（x+2）2?4與直線(xiàn)y=c在?3＜x＜1的范圍內(nèi)有交點(diǎn)，當(dāng)x=?2時(shí)，y=4?8=?4，x=1時(shí)，y=1+4=5，如圖所示，由圖象得：c的取值范圍：?4≤c＜5．題組C培優(yōu)拔尖練1．已知拋物線(xiàn)與軸的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為6，對(duì)稱(chēng)軸為，則拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：設(shè)拋物線(xiàn)y＝x2+bx+c與x軸兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（x1，0），（x2，0），∵拋物線(xiàn)y＝x2+bx+c與x軸兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為6，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝3，∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝36，，∴（﹣b）2﹣4×c＝36，b＝﹣6，解得：c＝0，∴拋物線(xiàn)的解析式為y＝x2﹣6x＝（x﹣3）2﹣9，∴頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，﹣9），∴點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（3，9），故選：A．2．拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為，若關(guān)于的二次方程在范圍內(nèi)有實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】解：∵拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為，∴，解得：b=6，∴，∴二次方程在范圍內(nèi)有實(shí)數(shù)根看作拋物線(xiàn)與直線(xiàn)y=－t在內(nèi)有交點(diǎn)，當(dāng)x=－1時(shí)，y=－4，當(dāng)x=4時(shí)，y=11，當(dāng)x=3時(shí)，y=12，∴拋物線(xiàn)在的范圍是－4＜y≤12，∴－4＜－t≤12，則－12≤t＜4，故選：C．3．對(duì)于二次函數(shù)y＝ax2+bx+c，x與y的部分對(duì)應(yīng)值如表，下列結(jié)論正確的是（）x…﹣1013…y…﹣1353…A．該函數(shù)圖象頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1，﹣2）B．無(wú)論x取何值，y恒小于0C．當(dāng)x＞2時(shí)，y隨著x的增大而增大D．該函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)【答案】D【解析】∵，；，；，，分別代入，得：，解得：，即二次函數(shù)，∴拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，將代入得：，∴該函數(shù)圖象頂點(diǎn)坐標(biāo)是（，），故選項(xiàng)A不符合題意；∵拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，但是頂點(diǎn)在x軸上方，∴y不恒小于0，例如：當(dāng)，；故選項(xiàng)B不符合題意；∵拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，∴當(dāng)x＞2時(shí)，y隨著x的增大而減小，故選項(xiàng)C不符合題意；∵，

∴拋物線(xiàn)圖象與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，故選項(xiàng)D符合題意；故選：D．4．關(guān)于x的一元二次方程a（x+2）（x﹣1）+b＝0（a＜0，b＜0）的解為x1，x2，且x1＜x2，則下列結(jié)論正確的是(

)A．﹣2＜x1＜x2＜1 B．﹣2＜x1＜1＜x2 C．x1＜﹣2＜x2＜1 D．x1＜﹣2＜1＜x2【答案】A【解析】解：二次函數(shù)的圖象如圖所示：它與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，，關(guān)于的一元二次方程的解x1，x2看作直線(xiàn)與二次函數(shù)的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，由圖象可知，，故選：A．5．已知二次函數(shù)中，函數(shù)y與自變量x的部分對(duì)應(yīng)值如上表，以下結(jié)論正確的是（

）A．拋物線(xiàn)的開(kāi)口向下 B．當(dāng)時(shí)，y隨x增大而增大C．當(dāng)時(shí)，x的取值范圍是 D．方程的根為0和2【答案】D【解析】解：由表格可得，二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），該拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，不符合題意；當(dāng)1＜x＜3時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)x＜1時(shí)，y隨x的增大而減小，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，不符合題意；當(dāng)y＞0時(shí)，x的取值范圍是x＜0或x＞2，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，不符合題意；方程的根為0和2，故選項(xiàng)D正確，符合題意；故選：D．6．如圖，頂點(diǎn)為的拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．B．若點(diǎn)都在拋物線(xiàn)上，則C．當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小D．關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根【答案】C【解析】解：A、圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，b2-4ac＞0，故A選項(xiàng)不符合題意；B、拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=-3，因?yàn)?2離對(duì)稱(chēng)軸的距離等于-4離對(duì)稱(chēng)軸的距離，所以m=n，故B選項(xiàng)不符合題意；C、頂點(diǎn)為（-3，-6），則對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=-3，拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，則當(dāng)x＜-3時(shí)，y隨x的增大而減小，故C選項(xiàng)符合題意；D、由拋物線(xiàn)開(kāi)口向上及頂點(diǎn)為（-3，-6）可知，此函數(shù)的最小值為-6，則ax2+bx+c=-7（a≠0）沒(méi)有實(shí)數(shù)根，故D選項(xiàng)不符合題意．故選：C．7．已知二次函數(shù)，當(dāng)＝______時(shí)，圖象的頂點(diǎn)在軸上；當(dāng)＝_________時(shí)，圖象過(guò)原點(diǎn)．【答案】

10+或10-

2【解析】解：∵圖象的頂點(diǎn)在x軸上，∴b2﹣4ac＝0，（m﹣6）2﹣4（2m﹣4）＝0，化簡(jiǎn)得：m2﹣20m+52＝0解得：m＝10+或10-，故答案為：10+或10-．∵圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，即可得出圖象過(guò)（0，0），∴2m﹣4＝0，∴m，故答案為：2；8．已知二次函數(shù)（a，b，c為常數(shù)，）的部分圖像如圖所示，m，是關(guān)于x的一元二次方程的兩根，則下列結(jié)論正確的有______．（填序號(hào)即可）．①②③存在實(shí)數(shù)x，使得④若時(shí)，，則【答案】①②【解析】①當(dāng)x=-1時(shí)，，通過(guò)函數(shù)圖像可知，此時(shí)函數(shù)圖像在x軸上方，即a-b+c>0，故①錯(cuò)誤；②通過(guò)函數(shù)圖像可知，對(duì)稱(chēng)軸為x=-2，函數(shù)圖像與x軸的一個(gè)交點(diǎn)n的范圍為2<n<3，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，另一交點(diǎn)（m，0）與點(diǎn)（n，0）關(guān)于x=-2對(duì)稱(chēng)，∵2-（-2）=4，3-（-2）=5，∴-2-5<m<-2-4即：-7<m<-6，故②正確；③