2023年C9中學(xué)聯(lián)盟高考數(shù)學(xué)模擬試卷（含解析）

2023年C9中學(xué)聯(lián)盟高考數(shù)學(xué)模擬試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.1知全集U={123,4,5},A=[1,2,3},B={3,4,5},則&4)n(QB)=()

A.UB.{1,2,4,5}C.{3}D.0

2,已知復(fù)數(shù)z滿足z=i?z+1,則|z|=()

A.JB.CC.1D.y/~2

/2

文鼎證明正弦定理時(shí)的構(gòu)圖中，0為銳角三角形ABC外接圓的圓心.若

sinz.BAC=^-，則cos2/OBC=()

D2c

B---c/D--I

5.為了了解雙減政策的執(zhí)行情況，某地教育主管部門安排甲、乙、丙、丁四個(gè)人到力、B、C

三所學(xué)校進(jìn)行調(diào)研，每個(gè)學(xué)校至少安排一人.若甲不去4學(xué)校，則不同的安排方法有（）

A.12種B.18種C.24種D.36種

6.已知菱形ABCD的邊長為2,/BAD=60。，則將菱形4BCD以其中一條邊所在的直線為軸，

旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的體積為（）

A.2兀B.6兀C.4yJ~^nD.87r

7.若關(guān)于x的不等式2+m丫三。乂+63靖恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A.[i1]B.[1,/7]C.[l,e]D.[pe]

8.已知函數(shù)/(x)=asin2x+bcos2x(abH0)的圖象關(guān)于直線％=，對稱，若存在x2>

X"，滿足灑(勺)一/(犯)1+l/(x2)-/(x3)|+-+|/(xn_1)-/(xn)|=|24b|,其中n>2,ne

N+,則n的最小值為()

A.6B.7C.8D.9

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求)

9.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)力((?。5%5譏0：),8((705/7,5譏/?),。(85恭^,5也哼^),則下列說法中正

確的是()

A.\OA\=\OB\B.\AC\=\BC\

C.OA-OC=cos^D.OAOB=2OAOC

10.已知拋物線C：y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線方程為x=-1,圓E：(%-I)2+y2=1,直線

、=人。-1)與6：交于4,B兩點(diǎn)，與E交于M,N兩點(diǎn)(4,M在第一象限)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下

列說法中正確的是()

A.p=1B.'0M-'ON>0A-'0B

C.若|AB|=/MN|,則k=lD.Vfc,為定值

11.歐拉函數(shù)"5)5€N+)的函數(shù)值等于所有不超過n,且與n互素(兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)為

1)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，例如,(1)=1,9(4)=2.歐拉函數(shù)具有以下性質(zhì)：如果n是互素的正

整數(shù)，那么R(nm)=<p(m)-R(n).下列說法中正確的是()

A.中(40)=16B.若n為素?cái)?shù)，則尹(九)=n-1

C.若n為奇數(shù)，則<p(2n)=2</>(n)D.若n6N+，則火271)=2"T

12.已知A,B是兩個(gè)事件，且0<P(B)<l,則事件4B相互獨(dú)立的充分條件可以是()

A.P(AB)=0

B.PQ48)=P(4)P(B)

C.PQ4|B)=P(4|B)

D.P2(4B)+P2(ZB)+p2pB)+p2(4B)=1

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.能夠說明“若0<a<b<c,貝!)a<be”是假命題的一組實(shí)數(shù)a,b,c的值依次為

14.害蟲防控對于提高農(nóng)作物產(chǎn)量具有重要意義.已知某種害蟲產(chǎn)卵數(shù)y(單位：個(gè))與溫度x(

單位：。。)有關(guān)，測得一組數(shù)據(jù)8,%)。=1,2,…,20),可用模型、=jew進(jìn)行擬合，利用z=

"y變換得到的線性回歸方程為Z=0,3x+a.若=600,2gIn%=120,則q的值為

15.已知產(chǎn)是雙曲線C：冬-5=1的左焦點(diǎn)，4是C的右頂點(diǎn)，過點(diǎn)A作x軸的垂線交雙曲線

的一條漸近線于點(diǎn)M,連接FM交另一條漸近線于點(diǎn)N.若2前=麗，則雙曲線C的離心率為

16.在平行四邊形48CD中，AB=2,AD=1,/.BAD=60°,M,N分別為直線4B,CD上

的動(dòng)點(diǎn)，記M,N兩點(diǎn)之間的最小距離為d,將AABC沿BD折疊，直到三棱錐A-BCD的體積

最大時(shí)，不再繼續(xù)折疊.在折疊過程中，d的最小值為.

四、解答題(本大題共6小題，共70.()分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

已知函數(shù)/(x)=cos(2x+丁將/(尤)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，

再將得到的圖象向左平移著個(gè)單位長度，得到函數(shù)g(x)的圖象.

(1)求函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)記銳角三角形4BC內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c,己知c=W？,g(C)=-早，求a-b

的取值范圍.

18.(本小題12.0分)

已知數(shù)列｛an｝滿足的=2,nan+1=(n+1)0n+1.

(1)證明｛喑｝為常數(shù)列，并求數(shù)列｛a“｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)bm為數(shù)列｛斯｝落在區(qū)間(37n,3m+i),meN+內(nèi)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，求數(shù)列｛bm｝的前m項(xiàng)和.

19.(本小題12.0分)

如圖，在直四棱柱ZBCD-ABiGDi中，四邊形力BCD為平行四邊形,441=2AB,Z.DAB=60°.

(1)證明：&C與平面48山1的交點(diǎn)。為△AB"］的重心；

(2)再從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知條件，求直線&C與平面所成

角的正弦值.

條件①：BD_LaC；

條件②：面ABiDi與面ZBCD所成角的正切值為殍.

20.(本小題12.0分)

某學(xué)校從全體師生中隨機(jī)抽取30位男生、30位女生、12位教師一起參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng).

(1)假設(shè)30位男生身高均不相同，記其身高的第80百分位數(shù)為a,從學(xué)校全體男生中隨機(jī)選取

3人，記X為3人中身高不超過a的人數(shù)，以頻率估計(jì)概率求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；

(2)從參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)的72人中一次性隨機(jī)選出30位，記被選出的人中恰好有k(k=

1,2,…,30)個(gè)男生的概率為P(k),求使得P(￡)取得最大值的k的值.

21.(本小題12.0分)

已知&(一2,0),4(2,0)分別是橢圓C：冒+/=l(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)，過久作兩條互

相垂直的直線&N,分別交橢圓C于M,N兩點(diǎn)，面積的最大值為

(1)求橢圓C的方程；

(2)若直線42M與4N交于點(diǎn)P,直線4N與4M交于點(diǎn)Q.

①求直線PQ的方程；

②記△PQ4的面積分別為Si，S2,求？■的最大值.

22.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/'(x)=x-1+alnx.

(1)當(dāng)a=-2時(shí)，求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)記曲線y=/(x)在P(xi，/(xi)),Q(X2，/(X2))兩點(diǎn)處的切線斜率分別為七，k2,直線PQ的

斜率為期,其中x2e(0,1],求證：當(dāng)a>一1時(shí)，有底+k2>2k3.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：因?yàn)閁={1,234,5},4={1,2,3},

所以={4,5},

因?yàn)锽={3,4,5},所以QB={1,2},

故(CMn(C*)=0.

故選：D.

由補(bǔ)集的定義求出Q4QB,再由交集的定義即可求解.

本題主要考查了集合的基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】B

【解析】解：因?yàn)閦=i.z+l,則z=七=苫力;彳=；+：，

所以|Z|=J?)2+?)2=?.

故選：B.

根據(jù)題意，由復(fù)數(shù)的運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)z,再由復(fù)數(shù)的模長公式即可得到結(jié)果.

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】A

【解析】解：記y=f(x)=怨國一x,其定義域?yàn)?—8,0)U(0,+8),

所以〃-)=喈￡1+x=_(等-X)=-/(x),

所以f(x)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故排除B、D,

則以_e=叱＞上￡氏=吃型＞0,故C錯(cuò)誤，A正確.

7vyeeee

故選：A.

通過函數(shù)的奇偶性和特殊點(diǎn)的函數(shù)值，排除法得到正確答案.

本題主要考查了函數(shù)的定義域，奇偶性在函數(shù)圖像判斷中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】D

【解析】解：由圓的性質(zhì)可知，ZBOC=2ABAC,

rfn2/.0BC=7i-Z.BOC,

則cos2z_OBC=COS(TT-z_BOC)=—cosZ-BOC=-cos2z.BAC=—(1—2sin2z.BAC')=2x—

1_1

1=3'

故選：D.

易知NBOC=24BAC,2/.OBC=n-乙BOC,再利用誘導(dǎo)公式以及二倍角公式即可得解.

本題考查三角函數(shù)的求值，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】C

【解析】解：當(dāng)去4學(xué)校1人時(shí)，則先從乙、丙、丁3人中選2人去4學(xué)校，

然后剩下2人到B、C兩校各去1人，則不同的安排方法有廢用=6種，

當(dāng)去4學(xué)校2人時(shí)，則先從乙、丙、丁3人中選1人去4學(xué)校，

然后從剩下3人分成兩組到B、C兩校，則不同的安排方法有廢廢朗=18種，

由分類加法原理可得共6+18=24種不同的方法，

故選：C.

分去A學(xué)校2人和1人兩種情況討論求解即可.

本題主要考查了排列組合知識(shí)，考查了分類加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】B

【解析】解：根據(jù)題意，旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體如圖，

該幾何體上部分為圓錐，下部分為在圓柱內(nèi)挖去一個(gè)與上部分相同的圓錐，

其體積等于中間圓柱的體積，

且中間圓柱的高九=DC=2,底面圓的半徑r=BCsin60°=2x?=C，

故要求幾何體的體積V=nr2h=67r.

故選:B.

根據(jù)題意，分析可得該幾何體上部分為圓錐，下部分為在圓柱內(nèi)挖去一個(gè)與上部分相同的圓錐,

根據(jù)圓柱的體積公式即可求解.

本題考查組合體的體積計(jì)算，涉及圓柱的體積公式，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】C

【解析】解：設(shè)/(%)=2+仇%,g(x)=?"依題意只需求公切線斜率即可.

/'(%)=%，(%)=ex,設(shè)切點(diǎn)分別為。1，2+)%1),g(%2，e"2),

則切線方程為y-(2+1)=~(x-%i),即y=—x+1+i.

xixi

X2X2eX2xX2

y—e=e(%—%2)?即V=+(1—x2)e,

叫孫，由①得%2=-仇》1，

.14-lnxr=(1-%2)e"z②

代入②得：(l+/nx1)(l-^)=O,則Xi=i,X]=：,

故公切線斜率為k=1或k=e,如圖，

由圖象可知，aG[l,e].

故選：C.

設(shè)f(x)=2+)x,g(x)=ex,求兩個(gè)曲線公切線的斜率即可.

本題考查不等式的恒成立問題，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查數(shù)形結(jié)合思想以及運(yùn)算求解能力，屬

于中檔題.

8.【答案】B

【解析】解：由/(x)=asin2x+bcos2x=Va2+Fsin(2x+(p),其中tcm?p=

由2J+9=J+/OT=W=J+kn,

則tan*=tan^=

則2=%

a3

故a=Gb,

則/(x)=2bsin(_2x+^),

MVxpyj(i,j=1,2,…,n)都有|/8)-/'("I<f(x)max-f(x)min=4\b\,

要使n最小，則盡可能多讓看取最高點(diǎn)，

又241bl=6(/(x)max-f(x)min),

故%?切=7\如下圖取值即可，

由圖象可知，n的最小值為7.

故選：B.

先由輔助角公式可得/(x)=2bsin(2x+l),分析題干可知要使n最小，則盡可能多讓看取最高點(diǎn),

結(jié)合圖象即可得到答案.

本題考查正弦型函數(shù)的圖象及性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想以及運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

9.【答案】ABC

【解析】解：因?yàn)辄c(diǎn)A(cosa,sina),B(cos。,sin/?),C(cosWisin'尹)，

所以|CM|=7cos2a+sin2a=1，|OB\=yjcos2/?+sin2)5=1,即|04|=|0B|，A正確；

因?yàn)榕?(cos-cosa,sin-sina),BC=(cos-cosp,sin-sin。)，

貝lj而之=(cos^|^—cosa)2+(sin^|^—sina)2=cos2+cos2a+sin2+sin2a—

2(cos^^-cosa+sinsina)=2—2cos-a)=2-2cos^^,

BC2=(cos-cos/?)2+(sin—sin0)2=cos2+cos2/?+sin2+sin2^—

2(cosco$)3+sin^^-sin/3)-2-2cos-0)=2-2cos=2-cos^^.

則而2=近2,g|J?|=|BC|>故8正確；

OC=(cos竽,sin

則-0C=coscosa+sinsina=cos(^^—a)=cos=cos故C正確；

乙乙乙乙乙

0A-OB=cos^cosa+sin^sina=cos(a一3)=2cos2—1H2cos與￡故。錯(cuò)誤.

故選：ABC.

分別求出對應(yīng)的向量坐標(biāo)，利用向量長度以及向量數(shù)量積的定義進(jìn)行驗(yàn)證即可.

本題主要考查向量模長以及向量數(shù)量積的運(yùn)算，利用向量坐標(biāo)公式以及兩角和差的三角公式進(jìn)行

轉(zhuǎn)化求解是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題.

10.【答案】BD

【解析】解：

>小一左<*-1)

對于4,因?yàn)閽佄锞€C：y2=2Px(p>0)的準(zhǔn)線方程為久=-1,所以與=1,得p=2,所以A錯(cuò)誤;

對于B,設(shè)4(Xi，yi),B(x2,y2),“。3，丫3)，尺(乙，丫。，

由《2：一“，得//一(2/+4)x+1=0,

4

則％1+g=2+7,XrX2=1，

所以畫?0^xrx2+y1y2=xrx2+l(%i-l)(x2—1)

=(1+fc2)%i%2一k2(%1+X2)+卜2

=1+fc2-/c2x(2+p)+k2=-3,

因?yàn)橹本€y=k(x-1)恒過圓心E(l,0),所以。M1ON,所以麗?麗=0，

所以麗?麗〉函?麗，所以B正確；

4

對于C,因?yàn)橹本€過拋物線的焦點(diǎn)(1,0),所以|力切=與+不+2=/+4,

4

因?yàn)閨MN|=2,|4B|=4|MN|,所以7+4=8,解得k=±1,所以C錯(cuò)誤；

對于。，因?yàn)橹本€過拋物線的焦點(diǎn)(1,0),

所以

|4M|?\BN\=(\AE\--1)=(xx+1-l)(x2+1-1)=xtx2=1,

所以Vk,14Ml?|BN|為定值，所以。正確.

故選：BD.

對于4，由拋物線的準(zhǔn)線方程可求出p的值進(jìn)行判斷，對于B,將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，消

元后利用根與系數(shù)的關(guān)系，再求出市?赤，由于直線過圓心，則由圓的性質(zhì)可得麗.麗=0,

從而可進(jìn)行判斷，對于C,利用弦長公式求出|AB|,而|MN|=2,然后由題意列方程可求出k的值，

對于D,由題意可得14Ml“BN|=(|AE|-再結(jié)合拋物線的性質(zhì)化簡計(jì)算即可.

本題主要考查了直線與拋物線相交問題，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題.

11.【答案】ABD

【解析】解：在不超過5的正整數(shù)中與5互素的正整數(shù)有1,2,3,4,

所以租(5)=4,

在不超過8的正整數(shù)中與8互素的正整數(shù)有1,3,5,7,

所以勿(8)=4,

5與8互素,所以w(40)=程(5x8)=w(5)?0(8)=16,故A正確；

若n為素?cái)?shù)，則71與其前面71-1個(gè)正整數(shù)互素，所以程5)=n-1,故3正確；

因?yàn)樯?1)=1,邛(2)="(2X1)=142^(1),故C錯(cuò)誤；

因?yàn)樵诓怀^2n且與2n互素的正整數(shù)有1,3,5,2n-l,共有271T個(gè)，

所以,(2n)=2nT,故。正確.

故選：ABD.

用歐拉函數(shù)的定義及性質(zhì)逐一判斷即可.

本題以新定義為載體，主要考查了函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

12.【答案】BCD

【解析】解：若PG4B)=0,則事件4B沒有共同部分，即互斥，得不出事件A,B相互獨(dú)立，4錯(cuò)；

由P(4B)=P(A)P(8)，得P(4B)=[PQ4B)+P(4B)]P(B)=P(4B)P(B)+PQ48)P(B)，

則P(B)PQ4B)=[1-P(B)]P(4B)，

得P(B)[P(AB)+P(.AB)]=PQ4B),即PQ4)P(B)=P(AB),

則事件4,B相互獨(dú)立，B正確；

由P?B)=PG4由)，即需=^=笑盍%

得P(4B)-P(B)P(AB)=P(A)P(B)-P(B)PQ4B),即P(4B)=P(4)P(B),則事件4,B相互獨(dú)立,

C正確；

由P2(4B)+p2(4B)+P2(AB)+P2(AB)=%①

且P(4B)+P(AB)+P(AB)+P(AB)=1，②

②式兩邊平方，并利用①式可得，

P(AB)P(AB)+P(AB)P(AB)+P(AB)P(AB)+P(AB)P(4B)+P(AB)P(AB)+P(AB)P(AB)=o

③

結(jié)合①③，可得，

[PG4B)-P(AB~)]2+[P(AB)-P(AB)]2+[P(AB)-P(AB)]2+[P(AB)-P(AB)]2+[P(AB)-

P(AB)]2+[p(4B)-p(4B)]2

=3[P2(4B)+P2(AB)+P2(AB)+P2(AB)]-2[P(AB)P(AB)+P(AB)P(AB)+P(AB)P(AB)+

P(AB)P(AB)+PG4B)PQ4B)+P(4B)P(4B)]=0，

貝|JP(AB)=P(AB)=PQ4B)=P(4B)=

所以P(A)=p(AB)+P(AB)=/

P(B)=PQ4B)+P(AB)=W，

所以P(AB)=PQ4)P(8),

即事件4B相互獨(dú)立，。正確.

故選：BCD.

利用條件概率公式，互斥的性質(zhì)，相互獨(dú)立的判斷，逐個(gè)選項(xiàng)分析即可求解.

本題考查互斥的應(yīng)用，考查條件概率的性質(zhì)，考查學(xué)生推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

13.【答案】找答案不唯一）

【解析】解：取Q=[b=c=：，則滿足0VaVb<c,且Q>be,

432

所以“若0<a<b<c,則a<be”是假命題.

故答案為：焉，（答案不唯一）.

根據(jù)不等式的性質(zhì)舉反例即可.

本題主要考查了不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】e-3

【解析】解：對y=qeQx兩邊同時(shí)取對數(shù)可得/ny=c2x+/nc1；

即z=c2x+InCi=0.3x+a，可得c?=0,3,271cl=a，

由々=600,￡幽/n%=120,可得x=30，hiy=z=6，

代入z=0.3x+a，可得a=—3，即伍q=a=—3，所以q=e-3。

故答案為：e-3.

將非線性模型y=jeQx兩邊同時(shí)取對數(shù)可得z=C2X+Inc,=0.3%+a，再將樣本中心點(diǎn)GN）代

入回歸方程可得"Q=a=-3，即可計(jì)算出R.

本題考查線性回歸方程的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是利用線性回歸方程恒過樣本中心點(diǎn)，屬于中檔題.

15.【答案】2

【解析】解：由題意得右焦點(diǎn)尸（c,0）,

設(shè)一漸近線OM的方程為y=5x,

則另一漸近線ON的方程為y=_gx,

由FM的方程為y=-^（x-c）,

過點(diǎn)4作x軸的垂線交雙曲線的一條漸近線于點(diǎn)M,不妨M在

第一象限，可得M的橫坐標(biāo)為a,

由FM的方程為y=￡勺（刀—c）,聯(lián)立方程y=—gx，

可得N的橫坐標(biāo)為居.

由2麗=麗，則可得a-c=2(盤^一＜),

化為c?—3ac—2a2—o,

可得e=1=2,

故答案為：2.

由題意得右焦點(diǎn)F(c,O),求出漸近線OM的方程，漸近線ON的方程，由垂直的條件可得M的坐標(biāo)，

求解尸M的方程，代入漸近線方程，可得N的橫坐標(biāo)，由向量共線的坐標(biāo)表示，結(jié)合離心率公式,

解方程可得離心率.

本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用：求漸近線方程，同時(shí)考查向量

的共線的坐標(biāo)表示，求得點(diǎn)M、N的橫坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

16.【答案】粵

【解析】解：根據(jù)題意可知，如下圖所示;

由力B=2,AD=1,^BAD=60°,利用余弦定理可得BD?=AB2+-2AB?ADcos60。，

解得BD=，3,所以滿足+=4B2,即則C8J.8。，

又M,N分別為直線48,CD上的動(dòng)點(diǎn)，記M,N兩點(diǎn)之間的最小距離為d,

則d表示兩直線AB,CD之間的距離，在△4BD沿BD折疊過程中，

直線AB,CO由兩平行線變成兩異面直線，且兩直線間的距離越來越近，

當(dāng)三棱錐力-BC。的體積最大時(shí)，此時(shí)力。1平面BCD；即此時(shí)M,N兩點(diǎn)之間的距離最小，

即為兩異面直線48,CD之間的距離，

以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以8C,8。為x軸，y軸，以過點(diǎn)B且與4。平行的直線為z軸建立空間直角

坐標(biāo)系，

如下圖所示：

A

B,

則B(0,0,0).4(0,C(l,0,0),D(0,<3,0),

即占了=(0,V3,l)，CD=(-l,<3,0).

設(shè)與瓦5,而垂直的一個(gè)向量為五=(x,y,z),

fn-BA=A/-3y+z=0人”,—,—

則.—，令y=l,則x=，3,z=-，^，

In-CD=-x+Cy=0

可得記=(，3,1,-C)，不妨取而=(0,0,-1)，

由兩異面直線間的距離公式可得

d的最小值為需=品=手.

故答案為：彎.

根據(jù)平行四邊形4BC。的邊長即角度可得401BD,再由M,N兩點(diǎn)的位置關(guān)系以及d的幾何意義,

確定出△ABD沿BC折疊過程中三棱錐A-BCD的體積最大時(shí)4。，平面BCD,建立空間直角坐標(biāo)系

利用兩異面直線間的距離公式即可計(jì)算出結(jié)果.

本題考查空間幾何體的性質(zhì)，考查兩點(diǎn)間距離的最小值的求法，屬中檔題.

17.【答案】解：(1)將f(x)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，得到y(tǒng)=cos(x+g),

再將得到的圖象向左平移3個(gè)單位長度，

得到y(tǒng)=cos(x+[+?=cos(x+5)=-sinx,則g(x)=-sinx.

當(dāng)函數(shù)y=sin%單調(diào)遞增時(shí),g(%)單調(diào)遞減，

故函數(shù)9(%)的單調(diào)遞減區(qū)間為[2時(shí)一92碗+芻(kEZ).

(2),??g(C)=—?，?,?一sinC=—sinC=?，又C為銳角，?,?。=*/+8=§.

ZNN°n

r-^,cabQ

vsinCsinAsinB

???a-b=2(sinA-sinB)=2[sinA-sin(與-A)]=2sin(A—；).

???△ABC為銳角三角形,

0<A<l，

0<A<3nn

l即。〈葭.解得口仁

0<5<y,z

■-A(一猊),二T<2s譏(4-2)<1.

???。-6的取值范圍為（一1,1）.

【解析】（1）根據(jù)平移變換得到gQ），注意到y(tǒng)=5譏工與丫=-s譏x的單調(diào)性相反即可；（2）根據(jù)正

弦定理，將a-b表示出來，利用三角函數(shù)求值域的方法求范圍即可.

本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，考查正弦定理，屬于基礎(chǔ)題.

18.【答案】解：（1）因?yàn)閚cin+i=（n+l）an+l,

兩邊同時(shí)除以n（n+l）得：常=祟+島五

所以%±1=&+[__2_,即。葉1+1=%土1.

n+lnnn+1n+ln

所以｛@『｝為常數(shù)列.

又罕=3,所以喑=3,即a“=3n-l.

（2）由題意，得3m<3?-1<3巾+1,所以5<?1<^2^±1,3mT+：<n<3m+：

7n

???b7n為數(shù)列｛an｝落在區(qū)間（3T3+i）,me心內(nèi)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，

mmnl

???bm=3+1-（3時(shí)1+1）=3-3t=2x3吁1.

所以數(shù)列｛，n｝是首項(xiàng)為2,公比為3的等比數(shù)列.

設(shè)數(shù)列｛bm｝的前相項(xiàng)和為Sm，

所以Sm=2,二p=37n—L

【解析】（1）將條件式兩邊同時(shí)除以n（n+l）化簡變形即可證到，再由｛喑｝為常數(shù)列及首項(xiàng)可求

得斯；

（2）由題中條件求出方皿，得數(shù)列/加｝是等比數(shù)列，從而求出前m項(xiàng)和.

本題考查已知數(shù)列遞推式求通項(xiàng)公式與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，屬于中檔題.

19.【答案】解：(1)證明：如圖，連接41cl交當(dāng)久于點(diǎn)E,連接AE,

：&Cu平面44CC,064修，???06平面441GC.

。為平面441GC與平面4B15的公共點(diǎn).

?.,平面A&C1Cn平面481。1=AE,0GAE.

Ansr

在矩形A&CiC中，由S得無=彳屈=2.

△4:1E0AA0C,

???在AABiCi中，AE為邊當(dāng)/上的中線，

。為△AB15的重心.

(2)選條件①：B0J.41C,

???幾何體力BC0-41B1C15為直四棱柱，441面ABC。，4那18。,

vBD1ArC,AArnArC=Ar,801面44也傳，

BD1AC..??四邊形4BCD為菱形，

如圖，作&FJLAE,垂足為F,二B。J■面A&GC,

???B1D1J?面441GC,???BR1ArF,

■■ArF，面4當(dāng)5，二4&。尸為&C與平面么所成角，

設(shè)48=1,則力4=2,4尸=簿，4。=?，

.??直線&C與平面4%義所成角的正弦值為sin乙4］。?=黑=斗著.

laO

選條件②：平面481%與平面48C。所成角的正切值為殍，

???平面4BCD〃平面41占6。1，.?.平面4當(dāng)。1與平面為當(dāng)口。1所成角的正切值為殍,

如圖，作4/1當(dāng)。1交直線劣久于點(diǎn)H,連接AH,則AH_LBiZ)i，

HE

二面角4—/Di—4的平面角為乙4”4],tan乙4HAi=~~—J,

A^nD

設(shè)AB=1,貝耐力1=2,.-.ArH=?，

二=30°,H為線段B/i的中點(diǎn)（H與E重合），

v1AXA,BjDi1ArE,l^AArCrC,

如圖，作A1FJ.AE,則Bi。1l&F,；.&F，面ABi。1，

44OF為4C與平面4B1D1所成角，

,??41/=舞"=?'

二直線4C與平面4B】Ci所成角的正弦值為sin/&OF=黑=

i\\U103

【解析】(1)連接A1G交&D1于點(diǎn)E,連接4E,推導(dǎo)出。為平面441GC與平面AaD1的公共點(diǎn).由

AnAr

△A1E0'^￡iAOC,得無:=而:=2.再由4E為邊Bi。1上的中線，能證明。為△人當(dāng)。]的重心.

(2)選條件①：BDLAXC,推導(dǎo)出BD1面441clC,四邊形4BCD為菱形，作4/1AE,則BD_1面

AA^C,當(dāng)。1_1面441GC,當(dāng)。11.4/,4尸_1_面48也，從而/40F為41c與平面版也所成

角，由此能求出直線&C與平面力Bi劣所成角的正弦值.

選條件②：推導(dǎo)出平面AB1?！颗c平面4指傳1。1所成角的正切值為殍，作J.氏2交直線

于點(diǎn)H,連接4H，則A"_18也，二面角4一BQ的平面角為乙4HAi，tanN4H&=熬="三

A^n3

推導(dǎo)出為。1_1面2416。，作&F1AE,則Bid1&F,A^F1面人為名，/.AyOF^jA^^^AB^

所成角，由此能求出直線&C與平面所成角的正弦值.

本題考查線面交點(diǎn)、三角形重心、線面角的定義及求法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔

題.

20.【答案】解：(1)由題意得，身高不超過a的概率為0.8,身高超過a的概率為0.2,

則X所有可能的取值為0,1,2,3,

P(X=0)=Cf-(1-0.8)3=0.008,

P(X=1)=盤?0.81-(1-0.8)2=0.096-

P(X=2)=Cf-0.82-(1-0.8)1=0.384,

P(X=3)=廢?0.83=0.512.

所以X的分布列為：

X0123

P0.0080.0960.3840.512

E(X)=0x0.008+1x0.096+2x0.384+3x0.512=2.4.

(2)設(shè)事件4為“被選出的人中恰好有k位男生”，則(30-/c)個(gè)人為女生或者老師,

rkZ-.30—k

所以P(k)=Q^30!42!1

C羯?k!(30-k)!(30-k)!(k+12)!’

所以嚅=湍需>】,解得"笠

故當(dāng)k=11時(shí)，P(k)最大.

【解析】(1)X所有可能的取值為0,1,2,3,且X?8(308),根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式求解，從

而可得分布列與期望；

(2)設(shè)事件4為“被選出的人中恰好有k位男生”，求解餐9>1即可.

本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，是中檔題.

21.【答案】解：(1)由題意可得a=2,且ab=21L

解得a=2,b=y/~2f

所以橢圓C的方程為￥+"=1.

42

(2)①設(shè)N(x2,y2),則直線&M的方程為y=含0-2)

因?yàn)橹本€4N與直線垂直,

所以直線&N的方程為y=-臂(％+2),

又因?yàn)閷W(xué)+堂

1，

一1

所哨X12TM

蛀一47p4-2

所以久=—6,

所以直線PQ的方程為％=-6.

②設(shè)直線AiM：x=ty-2,

（x=ty-2

聯(lián)立//,得（產(chǎn)+2）y2-My=0,

—I—=1

（42

所以％=基

同理，可得丫2=品，

聯(lián)立憶第2,解得yQ=—3

同理，可得力＞=43

Si\y.y\t21,1,.

所以另=而而百可=|外為2|=（出+2）（2亡2+1）=212+務(wù)5《與當(dāng)且僅當(dāng)'=±1時(shí)，等號(hào)成“，

所以3的最大值為

【解析】（1）由題意可知dz。，解得心人即可得出答案.

（2）①設(shè)用