專題15 三角函數(shù)值的相關(guān)計算與應用（11大題型）（原卷版）

專題15三角函數(shù)值的相關(guān)計算與應用（11大題型）【題型目錄】題型一求特殊角的三角函數(shù)值題型二特殊角三角函數(shù)值的混合運算題型三由特殊角的三角函數(shù)值判斷三角形形狀題型四由計算器求銳角三角函數(shù)值題型五根據(jù)特殊角三角函數(shù)值求角的度數(shù)題型六已知角度比較三角函數(shù)值的大小題型七根據(jù)三角函數(shù)值判斷銳角的取值范圍題型八利用同角三角函數(shù)關(guān)系求值題型九求證同角三角函數(shù)關(guān)系式題型十互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系題型十一三角函數(shù)綜合【知識梳理】知識點1：特殊銳角三角比的值1.特殊銳角的三角比的值30°45°1160°3.通過觀察上面的表格，可以總結(jié)出：當090，的正弦值隨著角度的增大而增大，的余弦值隨著角度的增大而減小；的正切值隨著角度的增大而增大，的余切值隨著角度的增大而減?。窘?jīng)典例題一求特殊角的三角函數(shù)值】1．（2023·湖北武漢·模擬預測）定義一種運算：，例如：當，時，，則的值為()A． B． C． D．2．（2023·陜西榆林·?？既＃┤鐖D，在菱形中，．點分別為四邊的中點，連接，則．

3．（2023秋·全國·九年級專題練習）先化簡，再求代數(shù)式的值，其中；．【經(jīng)典例題二特殊角三角函數(shù)值的混合運算】1．（2023春·天津·九年級專題練習）下列計算錯誤的個數(shù)是（

）①；；③；A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．（2022·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）定義一種運算；，．例如：當，時，，則的值為．3．（上海市閔行區(qū)2023-2024學年九年級上學期期中數(shù)學試題）計算：【經(jīng)典例題三由特殊角的三角函數(shù)值判斷三角形形狀】1．（2023春·天津和平·九年級專題練習）中，、都是銳角，且，，則的形狀是（

）．A．直角三角形 B．鈍角三角形 C．銳角三角形 D．不能確定2．（2022春·九年級課時練習）在中，，則為三角形．3．（2022春·全國·九年級專題練習）如圖，在平面坐標系內(nèi)，點，．點為軸上動點，求的最小值．【經(jīng)典例題四由計算器求銳角三角函數(shù)值】1．（2022·山東東營·模擬預測）若用我們數(shù)學課本上采用的科學計算器進行計算，其按鍵順序及結(jié)果如下：2yx3－16＝，按鍵的結(jié)果為m；2ndF64－2x2＝，按鍵的結(jié)果為n；9ab/c

2

－

cos

60＝，按鍵的結(jié)果為k．下列判斷正確的是（

）A．m＝n B．n＝k C．m＝k D．m＝n＝k2．（2023秋·九年級課時練習）請從以下兩個小題中任選一個作答，若多選，則按第一題計分．A．若正多邊形的一個內(nèi)角等于140°，則這個正多邊形的邊數(shù)是．B．用科學計算器計算：13××sin14°≈（結(jié)果精確到0.1）3．（2023秋·九年級課時練習）用計算器求下列各式的值（精確到0.0001）：(1)；(2)；(3)；(4)．【經(jīng)典例題五根據(jù)特殊角三角函數(shù)值求角的度數(shù)】1．（2023·全國·九年級專題練習）已知等腰三角形中，于，且，則等腰三角形的底角的度數(shù)為()A． B． C．或或 D．2．（2023·河北石家莊·校聯(lián)考二模）如圖，以矩形的頂點A為圓心，適當長為半徑作弧，分別交，于點M，N再分別以點M，N為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于點P；作射線，交于點E，連接，交于點F，若，．（1）；（2）的長為．

3．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，在平面直角坐標系中，頂點為的拋物線經(jīng)過點和軸正半軸上的點，．

(1)求這條拋物線的表達式；(2)聯(lián)結(jié)，求的度數(shù)；(3)聯(lián)結(jié)、、，若在坐標軸上存在一點，使，求點的坐標．【經(jīng)典例題六已知角度比較三角函數(shù)值的大小】1．（2022秋·陜西西安·九年級?？茧A段練習）角，滿足，下列是關(guān)于角，的命題，其中錯誤的是（

）A． B． C． D．2．（2019·浙江杭州·模擬預測）（1）計算：___________，___________，___________；（2）猜想：___________；（3）根據(jù)上述猜想結(jié)果，解決下面的問題：若，且，求值．3．（2021春·全國·九年級專題練習）我們知道，銳角的三角函數(shù)值都是隨著銳角的確定而確定、變化而變化的，如圖所示.（1）試探索隨著銳角度數(shù)的增大，它的三角函數(shù)值的變化規(guī)律；（2）根據(jù)你探索到的規(guī)律，試分別比較，，，角的正弦，余弦，正切值的大小.【經(jīng)典例題七根據(jù)三角函數(shù)值判斷銳角的取值范圍】1．（2023秋·黑龍江大慶·九年級校聯(lián)考開學考試）已知，則銳角的取值范圍是（）A． B． C． D．2．（2022春·九年級課時練習）如圖，在矩形ABCD中，O是對角線AC的中點，E為AD上一點，若，則AB的最大值為．3．（2022春·九年級單元測試）（1）如圖，銳角的正弦和余弦都隨著銳角的確定而確定，也隨著其變化而變化，試探索隨著銳角度數(shù)的增大，它的正弦值和余弦值的變化規(guī)律；（2）根據(jù)你探索到的規(guī)律，試比較，，，，，這些角的正弦值的大小和余弦值的大??；（3）比較大?。海ㄔ诳崭裉幪顚憽埃肌被颉?gt;”或“=”）若，則___________；若，則__________；若，則__________；（4）利用互余的兩個角的正弦和余弦的關(guān)系，比較下列正弦值和余弦值的大小：，，，．【經(jīng)典例題八利用同角三角函數(shù)關(guān)系求值】1．（2023·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）我國南宋著名數(shù)學家秦九韶在他的著作《數(shù)學九章》一書中，給出了這樣的一個結(jié)論：三邊分別為a、b、c的的面積為．的邊a、b、c所對的角分別是∠A、∠B、∠C，則．下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．2．（2022春·全國·九年級專題練習）同角三角函數(shù)關(guān)系：；3．（2022·湖南湘潭·?？家荒＃┩瑢W們，在我們進入高中以后，還將學到下面三角函數(shù)公式：，；，．例：．(1)試仿照例題，求出的值；(2)若已知銳角α滿足條件，求的值．【經(jīng)典例題九求證同角三角函數(shù)關(guān)系式】1．（2021春·九年級課時練習）在Rt△ABC中，∠C＝90°，把∠A的鄰邊與對邊的比叫做∠A的余切，記作cotA＝.則下列關(guān)系式中不成立的是()A．tanA·cotA＝1 B．sinA＝tanA·cosAC．cosA＝cotA·sinA D．tan2A＋cot2A＝12．（2022春·全國·九年級專題練習）下列結(jié)論中（其中，均為銳角），正確的是．（填序號）①；②；③當時，；④．3．（2022春·九年級單元測試）如圖，在中，、、三邊的長分別為、、，則，，．我們不難發(fā)現(xiàn)：，試探求、、之間存在的一般關(guān)系，并說明理由．

【經(jīng)典例題十互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系】1．（2022秋·廣西百色·九年級?？计谀┫铝惺阶又?，不成立的是（）A． B．C． D．2．（2023·湖南婁底·統(tǒng)考一模）同學們，在我們進入高中以后，還將學到下面三角函數(shù)公式：，，，．例：．若已知銳角滿足條件，則．3．（2023春·全國·九年級專題練習）如圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)完成填空，再按要求答題．(1)；；．(2)觀察上述等式，猜想：在中，，都有；(3)如圖④，在中，，，，的對邊分別是，，，利用三角函數(shù)的定義和勾股定理，證明你的猜想；(4)若，且，求的值．【經(jīng)典例題十一三角函數(shù)綜合】1．（2023·湖北恩施·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形紙片中，E為的中點，連接，將沿折疊得到，連接．若，，則的長為（

）

A．3 B． C． D．2．（2023·上海長寧·統(tǒng)考一模）如圖，點在正方形的邊上，的平分線交邊于點，連接，如果正方形的面積為12，且，那么的值為．3．（2022秋·江蘇徐州·九年級校聯(lián)考階段練習）如圖（1），中，于點D．由直角三角形邊角關(guān)系，可將三角形的面積公式變形為，即三角形的面積等于兩邊之長與夾角正弦值之積的一半

如圖（2），在中，于點D，，，∵，由公式①，得，即：．(1)請證明等式：；(2)請利用結(jié)論求出的值．【重難點訓練】1．（2023春·廣東深圳·八年級統(tǒng)考期末）如圖，設計一張折疊型方桌子，若，，將桌子放平后，要使距離地面的高為，則兩條桌腿需要叉開的為（

）

A． B． C． D．2．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形的對角線相交于點．若，則（

）

A． B． C． D．3．（2023·福建廈門·統(tǒng)考模擬預測）中，，是的外接圓，于點，關(guān)于點對稱得到．若線段與有兩個公共點，則滿足的條件是（

）A． B．C． D．4．（2023·陜西西安·西安市鐵一中學?？寄M預測）如圖，D為邊上一點，且，，，，于點E，則線段的長為（

）A． B． C． D．5．（2023春·全國·九年級專題練習）因為，，所以；由此猜想、推理知：當為銳角時有，由此可知：=（

）A． B． C． D．6．（2023·廣東河源·二模）．7．（2023春·山西長治·九年級?？茧A段練習）如圖，是的直徑，弦平分，連接，過點D作的切線交于點E，若，，則的長為．

8．（2023·河北石家莊·統(tǒng)考二模）小明在計算時，先對題目進行了分析，請你根據(jù)他的思路填空：（1）原式中“”可以轉(zhuǎn)化為，的值為.（2）原式中“”的結(jié)果為；（3）原式中“”的結(jié)構(gòu)特征滿足某個乘法公式，該公式為；（4）原式的最終結(jié)果為1.9．（2022秋·遼寧朝陽·九年級?？计谀┤鐖D，設是等邊三角形內(nèi)的一點，，，，將繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使與重合，點旋轉(zhuǎn)到外，則的值是不取近似值．10．（2023·河北張家口·統(tǒng)考一模）如圖，矩形紙片中，，，P為邊上一點，將沿折疊，得到．（1）當時，點E落在上；（2）點E，F(xiàn)關(guān)于對稱，若，則=．11．（2023春·福建廈門·九年級?？茧A段練習）如圖，是的直徑，C是上一點，弦于點E，且，過A作的切線，過C作的平行線，兩直線交于點F，的延長線交的延長線于點G.

(1)填空：________；(2)判斷與的位置關(guān)系；(3)連接，求的值.12．（2023·湖南株洲·株洲二中?？寄M預測）閱讀、理解、應用研究間的角的三角函數(shù)，在初中我們學習過銳角的正弦余弦正切和余切四種三角函數(shù)，即在圖1所示的直角三角形是銳角，那么為了研究需要，我們再從另一個角度來規(guī)定一個角的三角函數(shù)的意義：設有一個角，我們以它的頂點作為原點，以它的始邊作為軸的正半軸，建立直角坐標系（圖2），在角的終邊上任取一點，它的橫坐標是，縱坐標是，終邊可以看作是將射線點O逆時針旋轉(zhuǎn)后所得到的．和原點的距離為（總是正的）然后把角的三角函數(shù)規(guī)定為：（其中分別是點的橫、縱坐標）我們知道，圖1的四個比值的大小與角A的大小有關(guān)，而與直角三角形的大小無關(guān)，同樣圖2中四個比值的大小也僅與角的大小有關(guān)，四個比值的正、負取決于角的終邊所在的象限，而與點在角的終邊位置無關(guān)．比較圖1與圖2，可以看出一個角的三角函數(shù)的意義的兩種規(guī)定實際上是一樣的，根據(jù)第二種定義回答下列問題，(1)如圖3，若，則角的三角函數(shù)值，其中取正值的是________．(2)若角的終邊與直線重合，則________．(3)若角是銳角，其終邊上一點且，則________．(4)若，則的取值范圍是________．13．（2020秋·浙江·九年級周測）（1）計算：．（2）已知為銳角，，求的值．14．（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級?？茧A段練習）在平面直角坐標系中，O為坐標原點，直線與x軸相交于點A，與y軸相交于點B，直線與x軸相交于點C，且點