2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末模擬考試01（全解全析）（新高考地區(qū)專用）

20232024學(xué)年上學(xué)期期末模擬考試01高二數(shù)學(xué)（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。3．回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。4．測試范圍：空間向量與立體幾何、直線與圓的方程、圓錐曲線、數(shù)列。5．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第Ⅰ卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.直線的傾斜角是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合直線的傾斜角與斜率的關(guān)系，即可求解．【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，，直線可化為，所以直線的斜率，，故選：D．2.已知，分別是平面的法向量，若，則（）A. B. C.1 D.7【答案】B【解析】【分析】利用平面平行可得法向量平行，列出等式即可求解【詳解】因為，分別是平面的法向量，且，所以，即，解得故選：B3．設(shè)等比數(shù)列的前項和為，若，且，，成等差數(shù)列，則（

）A．7 B．12 C．15 D．31【答案】C【分析】設(shè)出公比，根據(jù)，，成等差數(shù)列列出方程，求出公比，利用等比數(shù)列求和公式得到答案.【詳解】設(shè)公比為，因為，，成等差數(shù)列，所以，則，解得：或0（舍去）.因為，所以，故.故選：C4．設(shè)，則“”是“直線與直線平行”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)直線平行的條件和充分必要條件的概念可判斷結(jié)果.【詳解】因為直線與直線平行的充要條件是且，解得或．所以由充分必要條件的概念判斷可知：“”是“直線與直線平行”的充分不必要條件，故選：A5．如圖，在四面體中，．點在上，且為中點，則等于（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】連接，利用空間向量基本定理可得答案.【詳解】連接．故選：B.6．已知圓：與圓：相內(nèi)切，則與的公切線方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由兩圓的位置關(guān)系得出，進而聯(lián)立兩圓方程得出公切線方程.【詳解】圓：的圓心，圓：可化為，，則其圓心為，半徑為，因為圓與圓相內(nèi)切，所以，即，故.由，可得，即與的公切線方程為.故選：D7．已知數(shù)列滿足，且，若，則正整數(shù)為（

）A．13 B．12 C．11 D．10【答案】B【分析】確定，，利用累加法確定，代入計算得到答案.【詳解】，故，，故，.故，，即，故，解得.故選：B8．已知為橢圓C：的右焦點，P為C上的動點，過F且垂直于x軸的直線與C交于M，N兩點，若等于的最小值的3倍，則C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)橢圓的性質(zhì)以及通徑，可得，，再根據(jù)已知列式，結(jié)合橢圓的關(guān)系，求出離心率即可.【詳解】為橢圓C：的右焦點，P為C上的動點，由橢圓的性質(zhì)，可得.過F且垂直于x軸直線與C交于M，N兩點，.等于的最小值的3倍，.橢圓中，，即，則.，，解得或（舍）.故選：B.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知曲線：，：，則（）A.的長軸長為4B.的漸近線方程為C.與的焦點坐標相同D.與的離心率互為倒數(shù)【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)橢圓與雙曲線的標準方程，結(jié)合它們的幾何性質(zhì)逐項判斷即可.【詳解】曲線：整理得，則曲線是焦點在軸上的橢圓，其中，所以，離心率為故曲線的長軸長，故A不正確；曲線：是焦點在軸上的雙曲線，其中，所以，離心率為，故與曲線的焦點位置不同，故C不正確；：的漸近線方程為，故B正確；又，所以與的離心率互為倒數(shù)，故D正確.故選：BD.10.已知等差數(shù)列的前項和為，若，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．數(shù)列是遞增數(shù)列 B．C．當取得最大值時， D．【答案】ABC【分析】由已知，利用等差數(shù)列求和公式與等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，，進而判斷選項即可.【詳解】因為是等差數(shù)列，且，所以，，即，所以，，且，所以B錯誤，D正確；因為，所以等差數(shù)列是遞減數(shù)列，所以A錯誤；所以當時，取得最大值，所以C錯誤.故選：ABC11.如圖，在棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)分別為，AB的中點，則下列結(jié)論正確的是（）A.點B到直線的距離為B.直線CF到平面的距離為C.直線與平面所成角的余弦值為D.直線與直線所成角的余弦值為【答案】ABD【解析】【分析】以為坐標原點，建立空間直角坐標系，利用向量法即可結(jié)合選項逐一求解．【詳解】在棱長為2的正方體中，，分別為，的中點，以為坐標原點，建立空間直角坐標系，如圖，,2,，,0,，,2,，,2,，,2,，則點到直線的距離為：，故A正確；,0,，,1,，,1,，,2,，,,，,1,，,2,，,1,，設(shè)平面的法向量,,，則，取，得,2,，由于分別為的中點，所以且，因此四邊形為平行四邊形，故,又平面,平面,所以平面，直線到平面的距離為，故B正確；設(shè)直線與平面所成角，則，故C錯誤；,2,，,,，設(shè)直線與直線所成角為，則，故D正確．故選：ABD．12.如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中，后人稱為“三角垛”．“三角垛”最上層有個球，第二層有個球，第三層有個球，…設(shè)第層有個球，從上往下層球的總數(shù)為，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.， D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)每層球數(shù)變化規(guī)律可直接求解得到AB正誤；利用累加法可求得C正確；采用裂項相消法可求得D正確.【詳解】對于A，，A正確；對于B，由每層球數(shù)變化規(guī)律可知：，B錯誤；對于C，當時，；當時，滿足，；，C正確；對于D，，，D正確.故選：ACD.第Ⅱ卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知四棱錐的底面是平行四邊形，若，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)空間向量的運算及空間向量基本定理得答案.【詳解】因為四棱錐的底面是平行四邊形，所以，又，由空間向量基本定理可得，，故.故答案為：.14.已知數(shù)列的前n項和為，若，則________．【答案】【解析】【分析】先令得到，再令得到，從而得到為常數(shù)，得到數(shù)列是首項為，公比為2的等比數(shù)列，從而直接求得通項公式.【詳解】令，得，所以；令，則，兩式相減得，，即，所以，因為，所以，所以為常數(shù)，所以數(shù)列是首項為，公比為2的等比數(shù)列，所以.故答案為：15.如圖是一座拋物線型拱橋，拱橋是拋物線的一部分且以拋物線的軸為對稱軸，當水面在l時，拱頂離水面2米，水面寬4米．當水位下降，水面寬為6米時，拱頂?shù)剿娴木嚯x為______米．【答案】4.5##【解析】【分析】建立平面直角坐標系，設(shè)拋物線方程為，求出拋物線的方程，再代點的坐標即得解.【詳解】如圖，建立平面直角坐標系，設(shè)拋物線方程為，將代入，得，所以．設(shè)，代入，得．所以拱橋到水面的距離為．故答案為：4.5.16.如圖，我們把由半橢圓和半橢圓合成的曲線稱作“果圓”．，，是相應(yīng)半橢圓的焦點，則的周長為______，直線與“果圓”交于，兩點，且中點為，點的軌跡方程為______．【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)各半橢圓方程可得，，的坐標，再根據(jù)兩點間距離公式求得距離及周長；分別表示點，的坐標，利用中點公式表示，消參即可得到點，得軌跡方程.【詳解】由，，是相應(yīng)半橢圓焦點，可得，，，所以，，，故所求周長為；設(shè)，聯(lián)立直線與，得，即點，聯(lián)立直線與，得，即點，且不重合，即，又為中點，所以，即，，整理可得，，故答案為：，.四、解答題：本題共6小題，共70分．第17題10分，其他每題12分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.（10分）已知的頂點坐標為，，.(1)求邊上的高的長.(2)求的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）求出直線的方程，利用點到直線的距離即可求解；（2）求出的長，用面積公式即可求解.【詳解】（1）由題意，直線的方程為：，即.故點到直線的距離即為邊上的高的長，所以.（2）因為，所以的面積為：.18.（12分）已知數(shù)列是等差數(shù)列，是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，數(shù)列的前n項和為，且，，．（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）令，求數(shù)列的前12項和．【答案】（1），（2）2796【解析】【分析】（1）由數(shù)列是等差數(shù)列，是各項均為正數(shù)等比數(shù)列，設(shè)出公差和公比，根據(jù)題意列出方程組求解即可；（2）根據(jù)題意寫出數(shù)列通項公式，用分組求和法，結(jié)合等差等比求和公式求解即可.【小問1詳解】設(shè)數(shù)列的公差為d，數(shù)列的公比為，由題意可得，，即，所以，因為，所以，所以，．【小問2詳解】由（1）可得，所以的所有奇數(shù)項組成以1為首項，4為公差的等差數(shù)列；所有偶數(shù)項組成以2為首項，4為公比的等比數(shù)列．所以，．19.（12分）已知直線經(jīng)過拋物線C：的焦點F，且與C交于A，B兩點．（1）求C的方程；（2）求圓心在x軸上，且過A，B兩點的圓的方程．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出拋物線的焦點坐標，代入直線方程即可求解作答.（2）根據(jù)給定條件，求出線段AB的中垂線方程，再求出圓心坐標及半徑作答.【小問1詳解】依題意，拋物線C的焦點在直線上，則，解得，所以C的方程為．【小問2詳解】由（1）知，拋物線C的準線方程為，設(shè)，，AB的中點為，由消去y得，則，有，，即，因此線段AB的中垂線方程為，即，令，得，設(shè)所求圓的圓心為E，則，又AB過C的焦點F，則有，設(shè)所求圓的半徑為r，則，故所求圓的方程為．20.（12分）已知數(shù)列的前n項和．（1）證明是等比數(shù)列，并求的通項公式；（2）在和之間插入n個數(shù)，使這個數(shù)組成一個公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列的前n項和．【答案】（1）證明見解析，（2）【解析】【分析】（1）利用及已知即可得到證明，從而求得通項公式；（2）先求出通項，再利用錯位相減法求和即可.【小問1詳解】因為，當時，，所以，當時，，又，解得，所以是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，故【小問2詳解】因為，所以，，，，所以，所以21.（12分）如圖，在四棱錐中，底面，四邊形是直角梯形，，，，點E在棱PB上．（1）證明：平面平面PBC；（2）當時，求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由線面垂直得到線線垂直，求出各邊長，由勾股定理逆定理得到，從而證明出線面垂直，面面垂直；（2）解法一：以C為原點，CB，CA，CP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建系，寫出點的坐標及平面的法向量，求出二面角的余弦值；解法二：取AB的中點G，連接CG，以點C為原點，CG，CD，CP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建系，寫出點的坐標及平面的法向量，求出二面角的余弦值；【小問1詳解】因為底面，平面，所以．因為，，所以．所以，所以．又因為，平面PBC，平面PBC，所以平面PBC．又平面EAC，所以平面平面PBC．【小問2詳解】解法一：以點C為原點，CB，CA，CP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，．設(shè)點E的坐標為，因為，所以，即，，，所以．所以，．設(shè)平面ACE的一個法向量為，則．所以，取，則，．所以平面ACE的一個法向量為．又因為平面PAC，所以平面PAC的一個法向量為．設(shè)平面PAC與平面ACE的夾角為，則．所以，平面PAC與平面ACE夾角的余弦值為．解法二：取AB的中點G，連接CG，以點C為原點，CG，CD，CP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，．設(shè)點E的坐標為，因為，所以，即，，，所以．所以，．設(shè)平面ACE的一個法向量為，則．所以，取，則，．所以，平面ACE的一個法向量為．又因為平面PAC，所以平面PAC的一個法向量為．設(shè)平面PAC與平面ACE的夾角為，則．所以，平面PAC與平面ACE夾角的余弦值為22.（12分）已知橢圓C：的左、右焦點分別為，（），上頂點為A，，且到直線l：的距離為．（1）求C方程；（2）與l平行的一組直線與C相交時，證明：這些直線被C截得的線段的中點在同一條直線上；（3）P為C上的動點，M，N為l上的動點，且，求面積的取值范圍．【答案】（1）（2）證明見解析（3）．【解析】【分析】（1）由題意，根據(jù)橢圓的頂點坐標以及點到直線距離公