新教材適用2023-2024學年高中數(shù)學第1章數(shù)列2等差數(shù)列2.1等差數(shù)列的概念及其通項公式第1課時等差數(shù)列學案北師大版選擇性必修第二冊

2.1等差數(shù)列的概念及其通項公式第1課時等差數(shù)列學習目標1．理解等差數(shù)列的概念．2．掌握等差數(shù)列的判定方法．3．掌握等差數(shù)列的通項公式及通項公式的應用．核心素養(yǎng)1．通過對等差數(shù)列的有關概念的學習，培養(yǎng)數(shù)學抽象素養(yǎng)．2．借助等差數(shù)列通項公式的應用，培養(yǎng)數(shù)學運算素養(yǎng)．知識點1等差數(shù)列的定義文字語言對于一個數(shù)列，如果從第_2__項起，每一項與它的前一項的_差__都是_同一個常數(shù)__，稱這樣的數(shù)列為等差數(shù)列符號語言若_an－an－1＝d(n≥2)__，則數(shù)列{an}為等差數(shù)列[提醒]“每一項與前一項的差”的含義有兩個：其一是強調(diào)作差的順序，即后面的項減前面的項；其二是強調(diào)這兩項必須相鄰．想一想：若把等差數(shù)列概念中“同一個”去掉，那么這個數(shù)列還是等差數(shù)列嗎？提示：一個數(shù)列從第2項起，每一項與它前一項的差都等于常數(shù)，若這些常數(shù)相等，則這個數(shù)列是等差數(shù)列；若這些常數(shù)不相等，則這個數(shù)列不是等差數(shù)列．練一練：(多選)下列數(shù)列是等差數(shù)列的是(AC)A．0,0,0,0,0，…B．1,11,111,1111，…C．－5，－3，－1,1,3，…D．1,2,3,5,8，…[解析]根據(jù)等差數(shù)列的定義可知A，C中的數(shù)列是等差數(shù)列，而B，D中，從第2項起，后一項與前一項的差不是同一個常數(shù)．知識點2等差數(shù)列的通項公式若首項是a1，公差是d，則等差數(shù)列{an}的通項公式為an＝_a1＋(n－1)d__.練一練：1．已知等差數(shù)列{an}，a1＝2，a3＝5，則公差d等于(B)A．eq\f(2,3) B．eq\f(3,2)C．3 D．－3[解析]由已知等差數(shù)列{an}，a1＝2，a3＝5可得等差數(shù)列{an}的公差d＝eq\f(a3－a1,3－1)＝eq\f(5－2,2)＝eq\f(3,2).2．等差數(shù)列{an}中，首項a1＝3，公差d＝4，如果an＝2023，則序號n＝(D)A．503 B．504C．505 D．506[解析]由an＝a1＋(n－1)d得2023＝3＋4(n－1)，解得n＝506.題型探究題型一等差數(shù)列的通項公式典例1(1)已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且a1＝1，a2＋a4＝10.求數(shù)列{an}的通項公式．(2)在等差數(shù)列{an}中，已知a5＝11，a8＝5，求通項公式an.[解析](1)設等差數(shù)列{an}的公差為d，則2a1＋4d＝10，即2＋4d＝10，解得d＝2，所以an＝2n－1.(2)設數(shù)列{an}的公差為d，由a5＝11，a8＝5，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋(5－1)d＝11，,a1＋(8－1)d＝5，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋4d＝11，,a1＋7d＝5，))解得a1＝19，d＝－2，所以數(shù)列{an}的通項公式an＝19＋(n－1)×(－2)＝21－2n.[規(guī)律方法]基本量法求通項公式(1)根據(jù)已知量和未知量之間的關系，列出方程求解的思想方法，稱為方程思想．(2)等差數(shù)列{an}中的每一項均可用a1和d表示，這里的a1和d就稱為基本量．(3)如果條件與結(jié)論間的聯(lián)系不明顯，則均可化成有關a1，d的關系列方程組求解，但是要注意公式的變形及整體計算，以減少計算量．對點訓練?(1)在等差數(shù)列{an}中，已知a2＝2，a5＝8，則a9＝(C)A．8 B．12C．16 D．24(2)等差數(shù)列{an}中，①已知a3＝－2，d＝3，求an的值；②若a5＝11，an＝1，d＝－2，求n的值．[解析](1)設公差為d，首項為a1，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋d＝2，,a1＋4d＝8，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝0，,d＝2.))∴a9＝a1＋8d＝16.(2)①由a3＝a1＋(3－1)d，得a1＝a3－2d＝－8，an＝－8＋(n－1)×3＝3n－11.②an＝a1＋(n－1)d，所以a5＝a1＋4d，所以11＝a1－4×2，所以a1＝19，所以an＝19＋(n－1)×(－2)＝－2n＋21，令－2n＋21＝1，得n＝10.題型二等差數(shù)列的判斷與證明典例2(1)判斷下列數(shù)列是否為等差數(shù)列？①an＝3n＋2；②an＝n2＋n.(2)已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝eq\f(an,1＋3an)(n∈N*)，bn＝eq\f(1,an)(n∈N*)．求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，并求出首項和公差．[解析](1)①an＋1－an＝3(n＋1)＋2－(3n＋2)＝3(常數(shù))，n為任意正整數(shù)，所以此數(shù)列為等差數(shù)列．②因為an＋1－an＝(n＋1)2＋(n＋1)－(n2＋n)＝2n＋2(不是常數(shù))，所以此數(shù)列不是等差數(shù)列．(2)證明：方法一：因為eq\f(1,an＋1)＝eq\f(1＋3an,an)，所以eq\f(1,an＋1)＝eq\f(1,an)＋3，所以eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝3，又因為bn＝eq\f(1,an)(n∈N*)，所以bn＋1－bn＝3(n∈N*)，且b1＝eq\f(1,a1)＝eq\f(1,2).所以數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，首項為eq\f(1,2)，公差為3.方法二：因為bn＝eq\f(1,an)，且an＋1＝eq\f(an,1＋3an)，所以bn＋1＝eq\f(1,an＋1)＝eq\f(1＋3an,an)＝eq\f(1,an)＋3＝bn＋3，所以bn＋1－bn＝3(n∈N*)，b1＝eq\f(1,a1)＝eq\f(1,2).所以數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，首項為eq\f(1,2)，公差為3.[規(guī)律方法]1．用定義證明一個數(shù)列是等差數(shù)列，即證明an＋1－an＝d(d為常數(shù)).2．說明一個數(shù)列不是等差數(shù)列，只需說明存在p，q使ap＋1－ap≠aq＋1－aq(p，q∈N＋)即可．對點訓練?已知數(shù)列{xn}滿足xn＝eq\f(3xn－1,xn－1＋3)(n≥2，且n∈N＋)．(1)求證：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,xn)))是等差數(shù)列；(2)當x1＝eq\f(1,2)時，求x100.[解析](1)證明：當n≥2時，eq\f(1,xn)＝eq\f(xn－1＋3,3xn－1)＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,xn－1)，∴eq\f(1,xn)－eq\f(1,xn－1)＝eq\f(1,3)，∴eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,xn)))是等差數(shù)列，公差為eq\f(1,3).(2)由(1)知，eq\f(1,xn)＝2＋eq\f(1,3)(n－1)，∴eq\f(1,x100)＝2＋eq\f(1,3)×(100－1)＝35，∴x100＝eq\f(1,35).題型三等差數(shù)列的實際應用典例3某市出租車的計價標準為1.2元/km，起步價為10元，即最初的4km(不含4km)計費10元，如果某人乘坐該市的出租車去往14km處的目的地，且一路暢通，等候時間為0，那么需要支付多少車費？[解析]根據(jù)題意，當該市出租車的行程大于或等于4km時，每增加1km，乘客需要支付1.2元．所以，可以建立一個等差數(shù)列{an}來計算車費．令a1＝11.2，表示4km處的車費，公差d＝1.2，那么當出租車行至14km處時，n＝11，此時需要支付車費a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)．即需要支付車費23.2元．[規(guī)律方法]在實際問題中，若一組數(shù)依次成等數(shù)額增長或下降，則可考慮利用等差數(shù)列方法解決．在利用數(shù)列方法解決實際問題時，一定要分清首項、項數(shù)等關鍵問題．對點訓練?高一某班有位學生第1次考試數(shù)學考了69分，他計劃以后每次考試比上一次提高5分(如第2次計劃達到74分)，則按照他的計劃該生數(shù)學以后要達到優(yōu)秀(120分以上，包括120分)至少還要經(jīng)過的數(shù)學考試的次數(shù)為_11__.[解析]設經(jīng)過n次考試后該學生的成績?yōu)閍n，則an＝5n＋69，由5n＋69≥120，得n≥eq\f(51,5)＝10eq\f(1,5)，所以至少要經(jīng)過11次考試．易錯警示求等差數(shù)列的公差時因考慮不周致誤典例4首項為－24的等差數(shù)列從第10項起開始為正數(shù)，則公差的取值范圍是(D)A．d>eq\f(8,3) B．d<3C．eq\f(8,3)≤d<3 D．eq\f(8,3)<d≤3[錯解]a10＝a1＋9d＝－24＋9d>0，解得d>eq\f(8,3).故選A．[誤區(qū)警示]該等差數(shù)列的首項為負數(shù)，從第10項起開始為正數(shù)，說明公差為正數(shù)，且第9項為非正數(shù)，第10項為正數(shù)，解決此類問題時容易忽視第9項的要求．[正解]由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－24＋9d>0，,－24＋8d≤0，))解得eq\f(8,3)<d≤3，故選D.1．數(shù)列{an}的通項公式an＝2n＋5，則此數(shù)列(A)A．是公差為2的等差數(shù)列B．是公差為5的等差數(shù)列C．是首項為5的等差數(shù)列D．是公差為n的等差數(shù)列[解析]∵an＝2n＋5，∴an－1＝2n＋3(n≥2)，∴an－an－1＝2n＋5－2n－3＝2(n≥2)，∴數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列．2．等差數(shù)列－3,1,5，…的第15項的值是(B)A．40 B．53C．63 D．76[解析]設這個等差數(shù)列為{an}，其中a1＝－3，d＝4，∴a15＝a1＋14d＝－3＋4×14＝53.3．等差數(shù)列1，－1，－3，－5，…，－89，它的項數(shù)為(C)A．92 B．47C．46 D．45[解析]a1＝1，d＝－1－1＝－2，∴an＝1＋