新教材適用2023-2024學年高中數(shù)學第2章導數(shù)及其應用4導數(shù)的四則運算法則4.1導數(shù)的加法與減法法則4.2導數(shù)的乘法與除法法則學案北師大版選擇性必修第二冊

4．1導數(shù)的加法與減法法則4．2導數(shù)的乘法與除法法則學習目標1．掌握導數(shù)的四則運算法則．2．能利用導數(shù)的四則運算法則求導函數(shù)．核心素養(yǎng)通過利用導數(shù)的四則運算法則求導函數(shù)，培養(yǎng)數(shù)學運算素養(yǎng).知識點導數(shù)的四則運算法則若兩個函數(shù)f(x)和g(x)的導數(shù)分別是f′(x)和g′(x)，則兩個函數(shù)的和的導數(shù)[f(x)＋g(x)]′＝_f′(x)＋g′(x)__兩個函數(shù)的差的導數(shù)[f(x)－g(x)]′＝_f′(x)－g′(x)__兩個函數(shù)的積的導數(shù)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)特別地，[kf(x)]′＝kf′(x)，k∈R兩個函數(shù)的商的導數(shù)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f(x),g(x))))′＝eq\f(f′(x)g(x)－f(x)g′(x),g2(x))(g(x)≠0)[提醒]注意區(qū)分兩個函數(shù)積與商的求導公式中符號的異同，積的導數(shù)公式中是“＋”，而商的導數(shù)公式中分子上是“－”．想一想：若兩個函數(shù)的導數(shù)存在，那么這兩個函數(shù)的和、差、積、商(商分母不為零)的導數(shù)是否存在？提示：兩個函數(shù)的導數(shù)存在，則它們的和、差、積、商(商分母不為零)必存在；若兩個函數(shù)的導數(shù)不存在，則它們的和、差、積、商不一定不存在．練一練：1．已知函數(shù)f(x)＝lnx－f′(1)x2＋2x－1，則f(1)的值為(B)A．－1 B．0C．1 D．2[解析]求導得f′(x)＝eq\f(1,x)－2f′(1)x＋2，所以f′(1)＝1－2f′(1)＋2，解得f′(1)＝1，則f(x)＝lnx－x2＋2x－1，所以f(1)＝ln1－1＋2－1＝0.2．函數(shù)f(x)＝(x＋1)2(x－1)在x＝1處的導數(shù)等于(D)A．1 B．2C．3 D．4[解析]f(x)＝(x＋1)2(x－1)＝x3＋x2－x－1，f′(x)＝3x2＋2x－1，f′(1)＝3＋2－1＝4.3．若函數(shù)f(x)＝(2πx)2，則f′(－1)＝(B)A．8π2 B．－8π2C．4π2 D．－4π2[解析]f(x)＝(2πx)2＝4π2x2，所以f′(x)＝8π2x，f′(－1)＝8π2×(－1)＝－8π2.題型探究題型一利用導數(shù)的運算法則求函數(shù)的導數(shù)典例1求下列函數(shù)的導數(shù)．(1)y＝(2x2－1)(3x＋1)；(2)y＝eq\f(x2－x＋1,x2＋x＋1)；(3)y＝3xex－2x＋e；(4)y＝eq\f(lnx,x2＋1).[分析]若所給函數(shù)解析式較為復雜，可先對函數(shù)解析式進行適當?shù)淖兓c化簡，再用相關公式和法則求導．[解析](1)方法一：可以先展開后再求導：y＝(2x2－1)(3x＋1)＝6x3＋2x2－3x－1，∴y′＝(6x3＋2x2－3x－1)′＝18x2＋4x－3.方法二：可以利用乘法的求導法則進行求導：y′＝(2x2－1)′(3x＋1)＋(2x2－1)(3x＋1)′＝4x(3x＋1)＋3(2x2－1)＝12x2＋4x＋6x2－3＝18x2＋4x－3.(2)把函數(shù)的解析式整理變形可得：y＝eq\f(x2－x＋1,x2＋x＋1)＝eq\f(x2＋x＋1－2x,x2＋x＋1)＝1－eq\f(2x,x2＋x＋1)，∴y′＝－eq\f(2(x2＋x＋1)－2x(2x＋1),(x2＋x＋1)2)＝eq\f(2x2－2,(x2＋x＋1)2).(3)根據(jù)求導法則進行求導可得：y′＝(3xex)′－(2x)′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′＝3xln3·ex＋3xex－2xln2＝(3e)xln(3e)－2xln2.(4)利用除法的求導法則，進行求導可得：y′＝eq\f((lnx)′(x2＋1)－lnx·(x2＋1)′,(x2＋1)2)＝eq\f(\f(1,x)(x2＋1)－lnx·2x,(x2＋1)2)＝eq\f(x2(1－2lnx)＋1,x(x2＋1)2).[規(guī)律方法]應用導數(shù)的四則運算法則的思路方法及注意事項(1)熟記導數(shù)的四則運算法則，尤其是積、商的求導法則．(2)應用和、差、積、商的求導法則求導數(shù)時，在可能的情況下，應盡量少用甚至不用積或商的求導法則，應在求導之前，先利用代數(shù)、三角恒等變形等知識對函數(shù)進行化簡，然后再求導，這樣可以減少運算量，提高運算速度，避免出錯．(3)對于三個以上函數(shù)的積、商的導數(shù)，依次轉化為“兩個”函數(shù)的積、商的導數(shù)計算．對點訓練?求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)y＝(x2＋1)(x－1)；(2)y＝3x＋lgx；(3)y＝eq\f(ex,x＋1).[解析](1)∵y＝(x2＋1)(x－1)＝x3－x2＋x－1，∴y′＝3x2－2x＋1.(2)y′＝(3x)′＋(lgx)′＝3xln3＋eq\f(1,xln10).(3)y′＝eq\f((ex)′(x＋1)－(x＋1)′ex,(x＋1)2)＝eq\f(ex(x＋1)－ex,(x＋1)2)＝eq\f(xex,(x＋1)2).題型二求導法則的綜合應用典例2已知曲線f(x)＝x3＋ax＋b在點P(2，－6)處的切線方程是13x－y－32＝0.(1)求a，b的值；(2)如果曲線y＝f(x)的某一切線與直線l：y＝－eq\f(1,4)x＋3垂直，求切點坐標與切線的方程．[分析](1)由f(x)在點P處的切線方程可知f′(2)，及f(2)＝－6，得到a，b的方程組，解方程組可求出a，b；(2)由曲線y＝f(x)的切線與l垂直，可得切線斜率k＝f′(x0)，從而解出x0，求得切點坐標和k.[解析](1)∵f(x)＝x3＋ax＋b的導數(shù)f′(x)＝3x2＋a，由題意可得f′(2)＝12＋a＝13,f(2)＝8＋2a＋b＝－6，解得a＝1，b＝－16.(2)∵切線與直線y＝－eq\f(x,4)＋3垂直，∴切線的斜率k＝4.設切點的坐標為(x0，y0)，則f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)＋1＝4，∴x0＝±1.由f(x)＝x3＋x－16，可得y0＝1＋1－16＝－14，或y0＝－1－1－16＝－18.即切點坐標為(1，－14)或(－1，－18)．則切線方程為y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.即y＝4x－18或y＝4x－14.[規(guī)律方法]1.導數(shù)的應用中，求導數(shù)是一個基本解題環(huán)節(jié)，應仔細分析函數(shù)解析式的結構特征，根據(jù)導數(shù)公式及運算法則求導數(shù)，不具備導數(shù)運算法則的結構形式時，先恒等變形，然后分析題目特點，探尋條件與結論的聯(lián)系，選擇解題途徑．2．求參數(shù)的問題一般依據(jù)條件建立參數(shù)的方程求解．對點訓練?已知a∈R，設函數(shù)f(x)＝ax－lnx的圖象在點(1，f(1))處的切線為l，則l在y軸上的截距為_1__.[解析]∵f′(x)＝a－eq\f(1,x)，∴f′(1)＝a－1.又∵f(1)＝a，∴切線l的斜率為a－1，且過點(1，a)，∴切線l的方程為y－a＝(a－1)(x－1)．令x＝0，得y＝1，故l在y軸上的截距為1.易錯警示不能正確應用導數(shù)的運算法則而致誤典例3求函數(shù)y＝eq\f(3x2－x\r(x)＋5\r(x)－9,\r(x))的導數(shù)．[錯解]y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3x2－x\r(x)＋5\r(x)－9,\r(x))))′＝eq\f((3x2－x\r(x)＋5\r(x)－9)′,(\r(x))′)＝eq\f((3x2)′－(x\r(x))′＋(5\r(x))′,(\r(x))′)＝12xeq\r(x)－3x＋5.[正解]y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3x2－x\r(x)＋5\r(x)－9,\r(x))))′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x\r(x)－x＋5－\f(9,\r(x))))′＝eq\f(9,2)eq\r(x)＋eq\f(9\r(x),2x2)－1.＝eq\f(9\r(x),2)＋eq\f(9,2x\r(x))－1.[點評]本題錯解中，將商的導數(shù)公式誤記為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f(x),g(x))))′＝eq\f(f′(x),g′(x))致誤.1.函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(1,x)的導數(shù)f′(x)＝(A)A．1－eq\f(1,x2) B．1－eq\f(1,x)C．1＋eq\f(1,x2) D．1＋eq\f(1,x)[解析]f′(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))′＝x′＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＝1－eq\f(1,x2).2．函數(shù)f(x)＝x＋ex的導數(shù)是(D)A．f′(x)＝ex B．f′(x)＝1＋eq\f(1,x)C．f′(x)＝1＋xex－1 D．f′(x)＝1＋ex[解析]函數(shù)的導數(shù)為f′(x)＝1＋ex，故選D.3．若函數(shù)f(x)＝excosx，則此函數(shù)圖象在點(1，f(1))處的切線的傾斜角為(D)A．0 B．銳角C．直角 D．鈍角[解析]由已知得f′(x)＝excosx－exsinx＝ex(cosx－sinx)．∴f′(1)＝e(cos1－sin1)．∵eq\f(