新教材適用2023-2024學年高中數(shù)學第2章導數(shù)及其應用7導數(shù)的應用7.1實際問題中導數(shù)的意義7.2實際問題中的最值問題學案北師大版選擇性必修第二冊

7．1實際問題中導數(shù)的意義7．2實際問題中的最值問題學習目標1．體會導數(shù)在解決實際問題中的作用．2．能利用導數(shù)解決簡單的實際問題．核心素養(yǎng)通過導數(shù)在解決實際問題中的應用，培養(yǎng)數(shù)學建模及數(shù)學運算素養(yǎng).知識點1實際問題中導數(shù)的意義(1)功與功率：在物理學中，通常稱力在單位時間內做的功為功率．它的單位是瓦特．(2)降雨強度：在氣象學中，通常把單位時間內的降雨量稱作降雨強度，它是反映一次降雨大小的重要指標．(3)邊際成本：在經(jīng)濟學中，通常把生產(chǎn)成本y關于產(chǎn)量x的函數(shù)y＝f(x)的導函數(shù)稱為邊際成本，邊際成本f′(x0)指的是當產(chǎn)量為x0時，生產(chǎn)成本的增加速度也就是當產(chǎn)量為x0時，每增加一個單位的產(chǎn)量，需增加f′(x0)個單位的成本．練一練：1．一質點的運動方程為s＝5－3t2，則該質點在t＝2時的速度等于(A)A．－12 B．12C．2 D．－7[解析]因為s′＝－6t，所以s′(2)＝－12.2．一次降雨過程中，降雨量y是時間t(單位：h)的函數(shù)，用y＝f(t)表示，則f′(10)表示(A)A．t＝10時的降雨強度B．t＝10時的降雨量C．10小時的平均降雨量D．t＝10時的溫度[解析]f′(t)表示t時刻的降雨強度．知識點2最優(yōu)化問題在實際問題中，經(jīng)常會遇到解決一些如面積最小，體積最大，成本最低，時間最少等問題，這些問題通稱為最優(yōu)化問題，導數(shù)是解決最優(yōu)化問題的一個重要工具．想一想：用導數(shù)求解生活中的優(yōu)化問題時，應注意哪些問題？提示：(1)在求實際問題的最大(小)值時，一定要考慮實際問題的意義，不符合實際意義的值應舍去．(2)在解決實際優(yōu)化問題時，不僅要注意將問題中涉及的變量關系用函數(shù)關系表示，還應確定出函數(shù)關系式中自變量的定義區(qū)間．(3)在實際問題中，有時會遇到函數(shù)在區(qū)間內只有一個點使f′(x)＝0的情形，如果函數(shù)在這點有極大(小)值，那么不與端點值比較，也可以知道這就是最大(小)值．練一練：某工廠要建造一個長方體狀的無蓋箱子，其容積為48m3，高為3m，如果箱底每平方米的造價為15元，箱壁每平方米的造價為12元，則箱子的最低總造價為(D)A．900元 B．840元C．818元 D．816元[解析]設箱底一邊的長度為xm，箱子的總造價為y元，根據(jù)題意，得y＝15×eq\f(48,3)＋12×2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(48,x)))＝240＋72eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(16,x)))(x>0)，y′＝72eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(16,x2)))，令y′＝0解得x＝4或x＝－4(舍去)，當0<x<4時，y′<0；當x>4時，y′>0.故當x＝4時，y取得最小值為816.題型探究題型一實際問題中導數(shù)的意義典例1一輛正在加速行駛的汽車在5s內速度從0km/h提高到了90km/h，如下表給出了它在不同時刻的速度，為了方便起見，已將速度單位轉化成了m/s.時間單位為s.時間t/s012345速度v(m/s)0915212325(1)分別計算當t從0s變到1s，從3s變到5s時，速度v關于時間t的平均變化率，并解釋它們的實際意義；(2)根據(jù)上面的數(shù)據(jù)可以得到速度v關于時間t的函數(shù)，近似的表示式為v＝f(t)＝－t2＋10t.求f′(1)，并解釋它的實際意義．[解析](1)當t從0s變到1s時，eq\f(Δv,Δt)＝eq\f(9－0,1－0)＝9m/s2，所以速度v關于時間t的平均變化率為9m/s2.當t從3s變到5s時，eq\f(Δv,Δt)＝eq\f(25－21,5－3)＝2m/s2，所以速度v關于時間t的平均變化率為2m/s2.它們分別表示在相應的時間內，每經(jīng)過1s速度增加9m/s和2m/s也就是加速度分別為9m/s2和2m/s2.(2)∵f(t)＝－t2＋10t，∴f′(t)＝－2t＋10，∴f′(1)＝8m/s2，其實際意義是在t＝1s這一時刻每經(jīng)過1s汽車的速度增加8m/s.即這一時刻汽車的加速度為8m/s2.[規(guī)律方法]在物理中速度是路程關于時間的導數(shù)，加速度是速度關于時間的導數(shù)，線密度是質量關于長度的導數(shù)，功率是功關于時間的導數(shù)．對點訓練?某河流在xmin內流過的水量為ym3，y是x的函數(shù)，且y＝f(x)＝eq\r(3,x).(1)當x從1變到8時，y關于x的平均變化率是多少？(2)求f′(27)，并解釋它的實際意義．[解析](1)當x從1變到8時，y關于x的平均變化率為eq\f(f(8)－f(1),8－1)＝eq\f(2－1,7)＝eq\f(1,7)(m3/min)．(2)f′(x)＝，于是f′(27)＝＝eq\f(1,27)(m3/min)，實際意義為當時間為27min時，水流量增加的瞬時速度為eq\f(1,27)m3/min，也就是當時間為27min時，每增加1min，水流量增加eq\f(1,27)m3.題型二利用導數(shù)解決成本最低問題典例2某工廠利用輻射對食品進行滅菌消毒，現(xiàn)準備在該廠附近建一職工宿舍，并對宿舍進行防輻射處理，建房防輻射材料的選用與宿舍到工廠的距離有關．若建造宿舍的所有費用p(萬元)與宿舍到工廠的距離x(km)的關系為p＝eq\f(1000,x＋5)(2≤x≤8)．為了交通方便，工廠與宿舍之間還要修一條簡易便道，已知修路的成本為每千米5萬元，工廠一次性補貼職工交通費eq\f(1,2)(x2＋25)萬元．設f(x)為建造宿舍、修路費用與給職工的補貼之和．(1)求f(x)的解析式；(2)宿舍應建在離工廠多遠處，可使總費用f(x)最??？并求最小值．[解析](1)由題意，得f(x)＝eq\f(1000,x＋5)＋5x＋eq\f(1,2)(x2＋25)，整理，得f(x)＝eq\f(1,2)(x＋5)2＋eq\f(1000,x＋5)(2≤x≤8)．(2)f′(x)＝(x＋5)－eq\f(1000,(x＋5)2)＝eq\f((x＋5)3－1000,(x＋5)2).令f′(x)>0，得x>5，令f′(x)<0，得x<5，所以f(x)在[2,5)上單調遞減，在(5,8]上單調遞增．故當x＝5時，f(x)取得最小值，為150.答：宿舍應建在離工廠5km處，可使總費用f(x)最小，最小值為150萬元．[規(guī)律方法]解決優(yōu)化問題應注意兩點：(1)在列函數(shù)解析式時，要注意實際問題中變量的取值范圍，即函數(shù)的定義域．(2)利用導數(shù)的方法解決實際問題，當在定義區(qū)間內只有一個點使f′(x)＝0時，如果函數(shù)在這點有極大(小)值，那么不與端點值比較，也可以知道在這個點取得最大(小)值．對點訓練?甲、乙兩地相距400千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過100千米/時，已知該汽車每小時的運輸成本P(元)關于速度v(千米/時)的函數(shù)關系是P＝eq\f(1,19200)v4－eq\f(1,160)v3＋15v.(1)求全程運輸成本Q(元)關于速度v的函數(shù)解析式；(2)為使全程運輸成本最少，汽車應以多大速度行駛？并求此時運輸成本的最小值．[解析](1)Q＝P·eq\f(400,v)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,19200)v4－\f(1,160)v3＋15v))·eq\f(400,v)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,19200)v3－\f(1,160)v2＋15))·400＝eq\f(v3,48)－eq\f(5,2)v2＋6000(0<v≤100)．(2)Q′＝eq\f(v2,16)－5v，令Q′＝0，則v＝0(舍去)或v＝80，當0<v<80時，Q′<0；當80<v≤100時，Q′>0，所以v＝80千米/時時，全程運輸成本取得極小值，即最小值，且Qmin＝Q(80)＝eq\f(2000,3)(元)．綜上，汽車以80千米/時速度行駛，可使全程運輸成本最少，運輸成本最小值為eq\f(2000,3)元.題型三利用導數(shù)解決利潤最大問題典例3從2023年1月份起的x個月，某商場顧客對某商品的需求總量p(x)(單位：件)與x的關系近似地滿足p(x)＝eq\f(1,2)x(x＋1)(39－2x)(其中x∈N＋且x≤12)，該商品第x個月的進貨單價q(x)(單位：元)與x的近似關系是q(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(150＋2x，x∈N＋，且1≤x≤6，,185－\f(160,x)，x∈N＋，且7≤x≤12.))(1)寫出2023年第x個月的需求量f(x)(單位：件)與x的函數(shù)關系式；(2)該商品每件的售價為185元，若不計其他費用且每月都能滿足市場需求，試問該商場2023年第幾個月銷售該商品的月利潤g(x)最大，最大月利潤為多少元？[解析](1)當x＝1時，f(1)＝p(1)＝37，當2≤x≤12且x∈N＋時，f(x)＝p(x)－p(x－1)＝eq\f(1,2)x(x＋1)(39－2x)－eq\f(1,2)(x－1)x(41－2x)＝－3x2＋40x.經(jīng)驗證x＝1也符合上式，故f(x)＝－3x2＋40x(x∈N＋且1≤x≤12)．(2)該商場第x個月銷售該商品的月利潤為g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1((－3x2＋40x)(35－2x)，x∈N＋且1≤x≤6，,(－3x2＋40x)\f(160,x)，x∈N＋且7≤x≤12，))即g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6x3－185x2＋1400x，x∈N＋且1≤x≤6，,－480x＋6400，x∈N＋且7≤x≤12.))當x∈N＋且1≤x≤6時，g′(x)＝18x2－370x＋1400，令g′(x)＝0，解得x＝5或x＝eq\f(140,9)(舍去)，∴當x∈N＋且1≤x≤6時，g(x)max＝g(5)＝3125.當x∈N＋且7≤x≤12時，g(x)＝－480x＋6400單調遞減，故g(x)max＝g(7)＝3040<3125.答：該商場2023年第5個月的月利潤最大，最大月利潤為3125元．[規(guī)律方法]解決利潤最大問題的思路及注意點：(1)利潤最大問題是生活中常見的一類問題，一般根據(jù)“利潤＝收入－成本”建立函數(shù)關系式，再利用導數(shù)求最大值．(2)求解此類問題需注意兩點：①售價要大于或等于成本，否則就會虧本；②銷量要大于0，否則不會獲利．對點訓練?某中學2022級高一年級一個學習興趣小組進行社會實踐活動，決定對某商場銷售的商品A進行市場銷售量調研，通過對該商品一個階段的調研，發(fā)現(xiàn)該商品每日的銷售量g(x)(單位：百件)與銷售價格x(元/件)近似滿足關系式g(x)＝eq\f(a,x－2)＋2(x－5)2，其中2<x<5，a為常數(shù)．已知銷售價格為3元/件時，每日可售出該商品10百件．(1)求函數(shù)g(x)的解析式；(2)若該商品A的成本為2元/件，根據(jù)調研結果請你試確定該商品銷售價格的值，使該商場每日銷售該商品所獲得的利潤(單位：百元)最大．[解析](1)由題意，10＝eq\f(a,3－2)＋2(3－5)2，解得a＝2，故g(x)＝eq\f(2,x－2)＋2(x－5)2(2<x<5)．(2)設商場每日銷售該商品所獲得的利潤為y＝h(x)＝(x－2)g(x)＝2＋2(x－5)2(x－2)(2<x<5)，y′＝4(x－5)(x－2)＋2(x－5)2＝6(x－3)(x－5)．列表得x，y，y′的變化情況：x(2,3)3(3,5)y′＋0－y極大值由表可得，x＝3是函數(shù)h(x)在區(qū)間(2,5)內的極大值點，也是最大值點，所以該商品銷售價格的值為3元/件時，該商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大．易錯警示忽視實際應用問題中的定義域而致誤典例4現(xiàn)有一批貨物由海上A地運往B地，已知該輪船的最大航行速度為每小時30nmile，A地與B地之間的航行距離約為500nmile，每小時的運輸成本由燃料費和其余費用組成，輪船每小時的燃料費與輪船速度的平方成正比(比例系數(shù)為0.6)，其余費用為每小時960元．(1)把全程運輸成本y表示為速度x的函數(shù)；(2)為了使全程運輸成本最小，輪船應以多大速度行駛？[誤區(qū)警示]本題最易出現(xiàn)的錯誤是認為當x＝40時函數(shù)取得極小值，也是最小值，但實際上題目中給出了輪船的最大航行速度，因此x＝40是取不到的．[解析](1)依題意得y＝eq\f(500,x)(960＋0.6x2)＝eq\f(480000,x)＋300x，函數(shù)的定義域為(0,30]，即y＝eq\f(480000,x)＋300x(0<x≤30)．(2)∵y＝eq\f(480000,x)＋300x(0<x≤30)，∴y′＝－eq\f(480000,x2)＋300.令y′＝0，解得x＝40或x＝－40(舍去)．∵函數(shù)的定義域為(0,30]，當0<x≤30時，y′<0，∴函數(shù)y＝eq\f(480000,x)＋300x在區(qū)間(0,30]上單調遞減，∴當x＝30時，函數(shù)y＝eq\f(480000,x)＋300x取得最小值，∴為了使全程運輸成本最小，輪船應以每小時30nmile的速度行駛．1.某旅游者爬山的高度h(單位：m)關于時間t(單位：h)的函數(shù)關系式是h＝－100t2＋800t，則他在t＝2h這一時刻的瞬時速度是(C)A．500m/h B．1000m/hC．400m/h D．1200m/h[解析]∵h′＝－200t＋800，∴當t＝2h時，h′(2)＝－200×2＋800＝400(m/h)．2．已知某生產(chǎn)廠家的年利潤y(單位：萬元)與年產(chǎn)量x(單位：萬件)的函數(shù)關系式為y＝－eq\f(1,3)x3＋81x－234，則使該生產(chǎn)廠家獲取最大年利潤的年產(chǎn)量為(C)A．13萬件 B．11萬件C．9萬件 D．7萬件[解析]∵y＝－eq\f(1,3)x3＋81x－234，∴y′＝－x2＋81(x>0)．令y′＝0得x＝9；令y′<0得x>9；令y′>0得0<x<9，∴函數(shù)在(0,9)上單