新教材適用2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第7章隨機變量及其分布7.2離散型隨機變量及其分布列學(xué)案新人教A版選擇性必修第三冊

7.2離散型隨機變量及其分布列學(xué)習(xí)目標(biāo)1．通過具體實例，了解離散型隨機變量的概念．2．理解離散型隨機變量的分布列，會求某些簡單的離散型隨機變量的分布列．核心素養(yǎng)1．通過離散型隨機變量及其分布列的概念與性質(zhì)的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．2．借助分布列的求法，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).知識點1離散型隨機變量(1)隨機變量：對于隨機試驗樣本空間_Ω__中的每一個樣本點ω，都有_唯一的實數(shù)X(ω)__與之對應(yīng)，我們稱X為隨機變量．(2)離散型隨機變量：可能取值為_有限個__或可以_一一列舉__的隨機變量，我們稱之為離散型隨機變量．(3)離散型隨機變量的特征：①可用數(shù)值表示；②試驗之前可以判斷其出現(xiàn)的所有值；③在試驗之前不能確定取何值；④試驗結(jié)果能一一列出．(4)表示：隨機變量用大寫英文字母表示，如X，Y，Z；隨機變量的取值用小寫英文字母表示，如x，y，z.(5)本質(zhì)：通過引入一個取值依賴于樣本點的變量X，來刻畫樣本點和實數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，實現(xiàn)樣本點的數(shù)量化．練一練：下列變量，其中不是離散型隨機變量的是(C)A．某機場候機室中一天的旅客數(shù)量為XB．某尋呼臺一天內(nèi)收到的尋呼次數(shù)為XC．某水電站觀察到一天中長江的水位為XD．某立交橋一天內(nèi)經(jīng)過的車輛數(shù)為X[解析]ABD中的隨機變量X可能取的值，我們都可以按一定次序一一列出，因此它們都是離散型隨機變量；C中的X可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，無法按一定次序一一列出，故它不是離散型隨機變量．知識點2離散型隨機變量的分布列(1)定義：設(shè)離散型隨機變量X的可能取值為x1，x2，…，xn，我們稱X取每一個值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n為X的_概率分布列__，簡稱_分布列__.(2)表示：表格Xx1x2…xnPp1p2…pn(3)性質(zhì)：①pi_≥0__，i＝1,2，…，n；②p1＋p2＋…＋pn＝_1__.練一練：隨機變量X的分布列如表所示：X1234P0.1m0.32m則P(X≤2)＝(C)A．0.1 B．0.2C．0.3 D．0.4[解析]由分布列的性質(zhì)可得，0.1＋m＋0.3＋2m＝1，可得m＝0.2，所以P(X≤2)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝0.1＋0.2＝0.3.知識點3兩點分布對于只有兩個可能結(jié)果的隨機試驗，用A表示“成功”，eq\x\to(A)表示“失敗”，定義X＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，A發(fā)生；,0，\x\to(A)不發(fā)生.))如果P(A)＝p，則P(eq\x\to(A))＝1－p，那么X的分布列為X01P_1－p___p__我們稱X服從兩點分布或0－1分布．想一想：若隨機變量X的分布列為X12Peq\f(1,3)eq\f(2,3)那么X服從兩點分布嗎？提示：不服從兩點分布，X的取值只能是0,1.練一練：設(shè)某項試驗的成功率是失敗率的2倍，用隨機變量ξ去描述1次試驗的成功次數(shù)，則P(ξ＝0)等于(C)A．0 B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,3) D．eq\f(2,3)[解析]設(shè)失敗率為p，則成功率為2p，ξ的分布列為ξ01Pp2p即“ξ＝0”表示試驗失敗，“ξ＝1”表示試驗成功，由p＋2p＝1，得p＝eq\f(1,3)，所以P(ξ＝0)＝eq\f(1,3).故選C.題型探究題型一隨機變量的概念典例1(1)(多選)拋擲一枚均勻硬幣一次，不能作為隨機變量的是(ACD)A．拋擲硬幣的次數(shù)B．出現(xiàn)正面的次數(shù)C．出現(xiàn)正面或反面的次數(shù)D．出現(xiàn)正面和反面的次數(shù)之和(2)(多選)下列隨機變量是離散型隨機變量的是(AB)A．從10張已編好號碼的卡片(從1號到10號)中任取一張，被取出的卡片的號數(shù)B．一個袋中裝有9個正品和1個次品，從中任取3個，其中所含正品的個數(shù)C．某林場樹木最高達30m，則此林場中樹木的高度D．某加工廠加工的某種鋼管的外徑與規(guī)定的外徑尺寸之差[分析]判斷一個變量是否為離散型隨機變量，關(guān)鍵是看它的取值能否一一列出，若能，則是離散型隨機變量，否則就不是離散型隨機變量．[解析](1)拋擲一枚硬幣一次，可能出現(xiàn)的結(jié)果是正面向上或反面向上，以某一個為標(biāo)準(zhǔn)，如正面向上的次數(shù)來描述這一隨機試驗，那么正面向上的次數(shù)就是隨機變量ξ，ξ的取值是0,1，故B項為隨機變量；而A項中拋擲次數(shù)就是1，不是隨機變量；C項中標(biāo)準(zhǔn)不明；D項中，出現(xiàn)正面和反面的次數(shù)之和為拋擲硬幣的次數(shù)，也不是隨機變量．(2)A項，只要取出一張，便有一個號碼，因此被取出的卡片號數(shù)可以一一列出，符合離散型隨機變量的定義；B項，從10個產(chǎn)品中取3個產(chǎn)品，所得的結(jié)果有以下幾種：3個正品，2個正品和1個次品，即其結(jié)果可以一一列出，符合離散型隨機變量的定義；C項，林場樹木的高度是一個隨機變量，它可以取(0,30]內(nèi)的一切值，無法一一列舉，不是離散型隨機變量；D項，實際測量值與規(guī)定值之間的差值無法一一列出，不是離散型隨機變量．[規(guī)律方法]判斷一個隨機變量X是否為離散型隨機變量的具體方法(1)明確隨機試驗的所有可能結(jié)果．(2)將隨機試驗的試驗結(jié)果數(shù)量化．(3)確定試驗結(jié)果所對應(yīng)的實數(shù)是否可按一定次序一一列出，如果能一一列出，則該隨機變量是離散型隨機變量，否則不是．對點訓(xùn)練?袋中有2個黑球、6個紅球，從中任取2個，可以作為隨機變量的是(B)A．取到的球的個數(shù)B．取到紅球的個數(shù)C．至少取到1個紅球D．至少取到1個紅球的概率[解析]A的取值不具有隨機性，C是一個事件而非隨機變量，D中概率值是一個定值而非隨機變量，只有B滿足要求．題型二分布列及其性質(zhì)的應(yīng)用典例2設(shè)隨機變量X的分布列為P(X＝i)＝eq\f(i,a)(i＝1,2,3,4)，求：(1)P(X＝1或X＝2)；(2)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<X<\f(7,2))).[分析]先由分布列的性質(zhì)求a，再根據(jù)X＝1或X＝2，eq\f(1,2)<X<eq\f(7,2)的含義，利用分布列求概率．[解析](1)∵eq\o(,\s\up6(4),\s\do4(i＝1))pi＝eq\f(1,a)＋eq\f(2,a)＋eq\f(3,a)＋eq\f(4,a)＝1，∴a＝10，則P(X＝1或X＝2)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝eq\f(1,10)＋eq\f(2,10)＝eq\f(3,10).(2)由a＝10，可得Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<X<\f(7,2)))＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝eq\f(1,10)＋eq\f(2,10)＋eq\f(3,10)＝eq\f(3,5).[規(guī)律方法]離散型隨機變量分布列的性質(zhì)的應(yīng)用(1)求參數(shù)的取值或范圍．(2)求隨機變量在某個范圍內(nèi)取值的概率．(3)驗證分布列是否正確．對點訓(xùn)練?(1)設(shè)ξ是一個隨機變量，其分布列如下表所示：ξ－101Peq\f(1,2)1－2qq2則q＝(D)A．1 B．1±eq\f(\r(2),2)C．1＋eq\f(\r(2),2) D．1－eq\f(\r(2),2)(2)設(shè)隨機變量X的分布列為P(X＝i)＝eq\f(i,10)(i＝1,2,3,4)，若P(1≤X<a)＝eq\f(3,5)，則實數(shù)a的取值范圍為_(3,4]__.[分析](1)由分布列的性質(zhì)列出關(guān)于q的等式或不等式求解；(2)分別求出P(X＝1)，P(X＝2)，P(X＝3)，P(X＝4)的值，然后根據(jù)P(1≤X<a)＝eq\f(3,5)，求a的取值范圍．[解析](1)由離散型隨機變量分布列的性質(zhì)得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋(1－2q)＋q2＝1，,0≤1－2q≤1，,q2≤1，))解得q＝1－eq\f(\r(2),2).(2)因為P(X＝i)＝eq\f(i,10)(i＝1,2,3,4)，所以P(X＝1)＝eq\f(1,10)，P(X＝2)＝eq\f(2,10)＝eq\f(1,5)，P(X＝3)＝eq\f(3,10)，P(X＝4)＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).又P(1≤X<a)＝eq\f(3,5)，故3<a≤4.題型三離散型隨機變量的分布列典例3一袋中裝有6個同樣大小的黑球，編號為1,2,3,4,5,6，現(xiàn)從中隨機取出3個球，以X表示取出球的最大號碼．(1)求X的分布列；(2)求X的取值不小于4的概率．[解析](1)隨機變量X的可能取值為3,4,5,6，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,3),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,20)，P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(3,6))＝eq\f(3,20)，P(X＝5)＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(3,10)，P(X＝6)＝eq\f(C\o\al(2,5),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,2)，所以隨機變量X的分布列為X3456Peq\f(1,20)eq\f(3,20)eq\f(3,10)eq\f(1,2)(2)X的取值不小于4的概率為P(X≥4)＝P(X＝4)＋P(X＝5)＋P(X＝6)＝eq\f(3,20)＋eq\f(3,10)＋eq\f(1,2)＝eq\f(19,20).[規(guī)律方法]求離散型隨機變量的分布列應(yīng)注意的問題(1)正確求出分布列的前提是必須先準(zhǔn)確寫出隨機變量的所有可能取值，再依古典概型求出每一個可能取值的概率．至于某一范圍內(nèi)取值的概率，應(yīng)等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和．(2)在求解過程中注重知識間的融合，常常會用到排列組合、古典概型及互斥事件、對立事件的概率等知識．對點訓(xùn)練?甲袋中有2個黑球，4個白球，乙袋中有3個黑球，3個白球，從兩袋中各取一球．(1)求“兩球顏色相同”的概率；(2)設(shè)ξ表示所取白球的個數(shù)，求ξ的概率分布列．[解析](1)從甲中取出黑球的概率為eq\f(1,3)，取出白球的概率為eq\f(2,3)，從乙中取出黑球的概率為eq\f(1,2)，取出白球的概率為eq\f(1,2)，故“兩球顏色相同”的概率P＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＋eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).(2)由題意可得，ξ的所有可能取值為0,1,2，P(ξ＝0)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6)，P(ξ＝1)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＋eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，P(ξ＝2)＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,3)，故ξ的分布列為：ξ012Peq\f(1,6)eq\f(1,2)eq\f(1,3)題型四求離散型隨機變量η＝f(ξ)的分布列典例4已知離散型隨機變量X的分布列為X01234P0.20.10.10.3m求：(1)2X＋1的分布列；(2)|X－1|的分布列．[分析]先由分布列的性質(zhì)求出m的值，然后求出X取每一個值時對應(yīng)的2X＋1，|X－1|的值，再分別把2X＋1，|X－1|取相同的值時所對應(yīng)的概率相加，列出分布列．[解析]由分布列的性質(zhì)知0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，解得m＝0.3.由題意列表如下．X012342X＋113579|X－1|10123P0.20.10.10.30.3(1)易得2X＋1的分布列為2X＋113579P0.20.10.10.30.3(2)易得|X－1|的分布列為|X－1|0123P0.10.30.30.3[規(guī)律方法]已知離散型隨機變量ξ的分布列，求離散型隨機變量η＝f(ξ)的分布列的關(guān)鍵是弄清楚ξ取每一個值時對應(yīng)的η的值，再把η取相同的值時所對應(yīng)的事件的概率相加，列出概率分布列即可．對點訓(xùn)練?已知隨機變量ξ的分布列為ξ－2－10123Peq\f(1,12)eq\f(1,4)eq\f(1,3)eq\f(1,12)eq\f(1,6)eq\f(1,12)分別求出隨機變量η1＝－ξ＋eq\f(1,2)，η2＝ξ2－2ξ的分布列．[解析]由η1＝－ξ＋eq\f(1,2)，對于ξ＝－2，－1,0,1,2,3，得η1＝eq\f(5,2)，eq\f(3,2)，eq\f(1,2)，－eq\f(1,2)，－eq\f(3,2)，－eq\f(5,2)，相應(yīng)的概率值為eq\f(1,12)，eq\f(1,4)，eq\f(1,3)，eq\f(1,12)，eq\f(1,6)，eq\f(1,12).故η1的分布列為η1eq\f(5,2)eq\f(3,2)eq\f(1,2)－eq\f(1,2)－eq\f(3,2)－eq\f(5,2)Peq\f(1,12)eq\f(1,4)eq\f(1,3)eq\f(1,12)eq\f(1,6)eq\f(1,12)由η2＝ξ2－2ξ，對于ξ＝－2，－1,0,1,2,3，得η2＝8,3,0，－1,0,3.所以P(η2＝8)＝eq\f(1,12)，P(η2＝3)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,12)＝eq\f(1,3)，P(η2＝0)＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)＝eq\f(1,2)，P(η2＝－1)＝eq\f(1,12).故η2的分布列為η2830－1Peq\f(1,12)eq\f(1,3)eq\f(1,2)eq\f(1,12)1．某人進行射擊，共有10