六年級(jí)奧數(shù)-比的應(yīng)用（含答案）

第09講比的應(yīng)用教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo) 能運(yùn)用比的意義解決按照一定的比進(jìn)行分配的實(shí)際問題；進(jìn)一步體會(huì)比的意義，感受比在生活中的廣泛應(yīng)用，提高解決問題的能力。知識(shí)梳理知識(shí)梳理在學(xué)生學(xué)習(xí)了比與分?jǐn)?shù)的聯(lián)系，已掌握簡(jiǎn)單分?jǐn)?shù)乘、除法應(yīng)用題數(shù)量關(guān)系的基礎(chǔ)上，把比的知識(shí)應(yīng)用于解決相關(guān)的實(shí)際問題的一個(gè)課例，掌握了按比分配的解題方法，不僅能有效地解決生活、工作中把一個(gè)數(shù)量按照一定的比進(jìn)行分配的問題，也為以后學(xué)習(xí)“比例”“比例尺”奠定了基礎(chǔ)。比是反映數(shù)量關(guān)系的一種常見形式，也是解數(shù)學(xué)題的一種重要工具，有了它，我們處理倍數(shù)關(guān)系、解答分?jǐn)?shù)應(yīng)用題就方便靈活得多。在這一講，我們講探討稍復(fù)雜的比是應(yīng)用題。典例分析典例分析考點(diǎn)一：簡(jiǎn)單的數(shù)比的應(yīng)用我們已經(jīng)學(xué)過比的知識(shí)，都知道比和分?jǐn)?shù)、除法其實(shí)是一回事，所有比與分?jǐn)?shù)能互相轉(zhuǎn)化。運(yùn)用這種方法解決一些實(shí)際問題可以化難為易，化繁為簡(jiǎn)。例1、甲數(shù)是乙數(shù)的2/3，乙數(shù)是丙數(shù)的4/5，甲、乙、丙三數(shù)的比是（）：（）：（）?！窘馕觥考住⒁覂蓴?shù)的比：2：3乙、丙兩數(shù)的比：4：5甲、乙、丙三數(shù)的比8：12：15答：甲、乙、丙三數(shù)的比是8：12：15。例2、光明小學(xué)將五年級(jí)的140名學(xué)生，分成三個(gè)小組進(jìn)行植樹活動(dòng)，已知第一小組和第二小組人數(shù)的比是2：3，第二小組和第三小組人數(shù)的比是4：5。這三個(gè)小組各有多少人？【解析】先求出三個(gè)小組人數(shù)的連比，再按求出的連比進(jìn)行分配。①一、二兩組人數(shù)的比2：3二、三兩組人數(shù)的比4：5一、二、三組人數(shù)的比8：12：15②總份數(shù)：8+12+15＝35③第一組：140×8/35＝32（人）④第二組：140×12/35＝48（人）⑤第三組：140×15/35＝60（人）答：第一小組有32人，第二小組有48人，第三小組有60人。例3、甲、乙兩校原有圖書本數(shù)的比是7：5，如果甲校給乙校650本，甲、乙兩校圖書本數(shù)的比就是3：4。原來甲校有圖書多少本？【解析】由甲、乙兩校原有圖書本數(shù)的比是7：5可知，原來甲校圖書的本數(shù)是兩校圖書總數(shù)的，由于甲校給了乙校650本，這時(shí)甲校的圖書占兩校圖書總數(shù)的，甲校給乙校的650本圖書，相當(dāng)于兩校圖書總數(shù)的－＝。即：650÷（－）×＝2450（本）答：原來甲校有圖書2450本。例4、從前有個(gè)農(nóng)民，臨死前留下遺言，要把17頭牛分給三個(gè)兒子，其中大兒子分得1/2，二兒子分得1/3，小兒子分得1/9，但不能把牛賣掉或殺掉。三個(gè)兒子按照老人的要求怎么也不好分。后來一位鄰居順利地把17頭牛分完了，你知道這到底是怎么回事嗎？【解析】因?yàn)?/2+1/3+1/9＝17/18，17/18﹤1，就是說三兄弟并未將全部牛分完，所以我們求出三個(gè)兒子分牛頭數(shù)的連比，最后再按比例分配。①三個(gè)兒子分牛頭數(shù)的連比：1/2：1/3：1/9＝9：6：2②總份數(shù)：9+6+2＝17③三個(gè)兒子各分得牛的頭數(shù)：17×9/17＝9（頭）17×6/17＝6（頭）17×2/17＝2（頭）答：大兒子分得9頭，二兒子分得6頭，小兒子分得2頭。例5、兩個(gè)相同的瓶子裝滿酒精溶液。一個(gè)瓶中酒精與水的體積之比是3：1，另一個(gè)瓶中酒精與水的體積之比是4：1。若把兩瓶酒精溶液混合，混合液中酒精與水的體積之比是多少？【解析】抓住兩個(gè)瓶子相同的關(guān)系，分別求出每個(gè)瓶中的酒精占瓶子容積的幾分之幾再解答。①一個(gè)瓶中酒精占瓶子容積的比：3/（1+3）＝3/4②另一個(gè)瓶中酒精占瓶子容積的比：4/（1+4）＝4/5③兩瓶子里的酒精占一個(gè)瓶子容積的比：3/4+4/5＝31/20④水占一個(gè)瓶子容積的比：2－31/20＝9/20⑤混合液中酒精與水的比31/20：9/20＝31：9答：混合液中酒精與水的比是31：9?？键c(diǎn)二：用比解應(yīng)用題比是反映數(shù)量關(guān)系的一種常見形式，也是解數(shù)學(xué)題的一種重要工具，有了它，我們處理倍數(shù)關(guān)系、解答分?jǐn)?shù)應(yīng)用題就方便靈活得多。例1、甲、乙兩個(gè)學(xué)生放學(xué)回家，甲要比乙多走1/5的路，而乙走的時(shí)間比甲少1/11，求甲、乙兩人速度的比?！窘馕觥恳?yàn)樗俣龋铰烦獭聲r(shí)間，所以，甲、乙速度的比＝：（1）甲、乙路程的比：（1+1/5）：1＝6：5（2）甲、乙時(shí)間的比：1：（1－1/11）＝11：10（3）甲、乙速度的比：6/11：5/10=12：11答：甲、乙速度的比是12：11。例2、制造一個(gè)零件，甲需6分鐘，乙需5分鐘，丙需4.5分鐘?，F(xiàn)在有1590個(gè)零件的制造任務(wù)分配給他們?nèi)齻€(gè)人，要求在相同的時(shí)間內(nèi)完成，每人應(yīng)該分配到多少個(gè)零件？【解析】先求出工作效率的比，然后根據(jù)同一時(shí)間內(nèi)，工作總量的比等于工作效率的比進(jìn)行解答。甲、乙、丙工作效率的比：1/6：1/5：1/1.5＝15：18：20總份數(shù)：15+18+20＝53甲：1590×15/53＝450（個(gè)）乙：1590×18/53＝540（個(gè)）丙：1590×20/53＝600（個(gè)）答：甲、乙、丙分配到的零件分別是450個(gè)、540個(gè)、600個(gè)。例3、兩個(gè)服裝廠一個(gè)月內(nèi)生產(chǎn)服裝的數(shù)量是6：5，兩廠西服價(jià)格的比是11：10。已知兩廠這個(gè)月內(nèi)總產(chǎn)值為6960萬元。兩廠的產(chǎn)值各是多少萬元？【解析】因?yàn)楫a(chǎn)值＝價(jià)格×產(chǎn)量，所以甲產(chǎn)值：乙產(chǎn)值＝（甲價(jià)格×甲產(chǎn)量）：（乙價(jià)格×乙產(chǎn)量）兩廠的產(chǎn)值比為：（11×6）：（10×5）＝66：50甲廠產(chǎn)值為：6960×66/（66+50）＝3960（元）乙廠產(chǎn)值為：6960×50/（66+50）＝3000（元）答：兩廠的產(chǎn)值分別是3960萬元和3000萬元。例4、A、B兩種商品的價(jià)格比是7：3。如果它們的價(jià)格分別上漲70元，它們的價(jià)格比就是7：4，這兩種商品原來的價(jià)格各是多少元？【解析】解法一：因?yàn)锳、B兩種商品漲價(jià)的數(shù)值相同，所以漲價(jià)后兩種商品價(jià)格差不變。由于價(jià)格差不變，所以價(jià)格差對(duì)應(yīng)的份數(shù)也應(yīng)該相同。原價(jià)格比＝7：3＝21：9現(xiàn)價(jià)格比＝7：4＝28：16【這樣前后項(xiàng)的差都是12，價(jià)格漲了（28－21）＝7份，是70元】70÷（28－21）＝10元A：10×21＝210（元）B：10×9＝90（元）解法二：由于兩種商品的價(jià)格不變，選兩種商品的價(jià)格差做單位“1“進(jìn)行解答。（1）原來A商品的幾個(gè)是價(jià)格差的幾倍7÷（7－3）＝7/4（2）后來A商品的價(jià)格是價(jià)格差的幾倍7÷（7－4）＝7/3（3）A、B兩種商品的價(jià)格差是70÷（7/3－7/4）＝120（元）（4）原來A商品的價(jià)格是120÷（7－3）×7＝210（元）（5）原來B商品的價(jià)格是120÷（7－3）×3＝90（元）答：A、B兩種商品原來的價(jià)格分別是210元和90元。例5、如圖是甲、乙、丙三地的線路圖，已知甲地到丙地的路程與乙地到丙地的路程比是1：2。王剛以每小時(shí)4千米的速度從甲地步行到丙地，李華同時(shí)以每小時(shí)10千米的速度從乙地騎自行車去丙地，他比王剛早1小時(shí)到達(dá)丙地。甲、乙兩地相距多少千米？【解析】解法一：根據(jù)路程的比和速度的比求出時(shí)間的比，從而求出王剛和李華所用的時(shí)間，再求出各自所走的路程。王剛和李華所用時(shí)間的比1/4：2/10＝5：4王剛所用的時(shí)間1÷（5－4）×5＝5（小時(shí)）甲地到丙地的路程4×5＝20（千米）甲、乙兩地的路程20×（1+2）＝60（千米）解法二：如果李華每小時(shí)行4×2＝8千米，他將與王剛同時(shí)到達(dá)丙地?，F(xiàn)在他每小時(shí)多行10－8＝2千米。在王剛從甲地到丙地的這段時(shí)間內(nèi)，李華比應(yīng)行的路程多行了10×1＝10千米。據(jù)此，可求出王剛從甲地到丙地的時(shí)間。王剛從甲地到丙地的時(shí)間10×1÷（10－4×2）＝5（小時(shí)）甲、乙兩地的路程4×5×（1+2）＝60（千米）解法三：如果王剛每小時(shí)行10÷3＝5千米，就能和李華同時(shí)到達(dá)。由此可見，王剛走完甲地到丙地的路程，用每小時(shí)4千米的速度和每小時(shí)5千米的速度相比，所用的時(shí)間相差1小時(shí)。再根據(jù)1千米的路程，兩種速度所用的時(shí)間相差1/4－1/5＝1/20小時(shí)。最后求出甲地到丙地的路程。甲地到丙地的路程1÷（1/4－1/（10÷÷2）＝20（千米）甲、乙兩地的路程20×（1+2）＝60（千米）答：甲、乙兩地相距60千米。實(shí)戰(zhàn)演練實(shí)戰(zhàn)演練課堂狙擊1、甲數(shù)是乙數(shù)的4/5，乙數(shù)是丙數(shù)的5/8，甲、乙、丙三數(shù)的比是（）：（）：（）?！窘馕觥恳?yàn)榧讛?shù)：乙數(shù)=4：5，乙數(shù)：丙數(shù)=5：8；所以甲：乙：丙=4：5：8；故答案為：4：5：82、某農(nóng)場(chǎng)把61600公畝耕地劃歸為糧田與棉田，它們之間的比是7：2，棉田與其他作物面積的比6：1。每種作物各是多少公畝？【解析】因?yàn)槊尢?7：2=21：6，棉田：其他作物=6：1，所以糧田：棉田：其他作物=21：6：1；所以糧田的面積為：61600÷（21+6+1）×21=61600÷28×21=2200×21=46200（公畝）棉田：61600÷（21+6+1）×6=2200×6=13200（公畝）其它作物：61600÷（21+6+1）×1=2200（公畝）。答：糧田的面積是46200公畝，棉田的面積是13200公畝，其他作物的面積是2200公畝。3、小明和小芳各走一段路。小明走的路程比小芳多EQ\F(1,5)，小芳用的時(shí)間比小明多EQ\F(1,8)。求小明和小芳速度的比。【解析】小明與小芳路程的比是（1+EQ\F(1,5)）：1＝6：5小明與小芳時(shí)間的比是1：（1+EQ\F(1,8)）＝8：9小明與小芳速度的比是：EQ\F(6,8)：EQ\F(5,9)＝27：204、加工一個(gè)零件，甲需3分鐘，乙需3.5分鐘，丙需4分鐘。現(xiàn)在有1825個(gè)零件需要甲、乙、丙三人加工。如果規(guī)定用同樣的時(shí)間完成任務(wù)，那么各應(yīng)加工多少個(gè)？【解析】甲、乙、丙效率的比是EQ\F(1,3)：EQ\F(1,3.5)：EQ\F(1,4)＝28：25：21總份數(shù)：28+25+21＝73甲應(yīng)加工的個(gè)數(shù)：1825×EQ\F(28,73)＝700個(gè)乙應(yīng)加工的個(gè)數(shù)：1825×EQ\F(25,73)＝600個(gè)丙應(yīng)加工的個(gè)數(shù)：1825×EQ\F(21,73)＝525個(gè)5、兩塊一樣重的合金，一塊合金中銅與鋅的比是2：5，另一塊合金中銅與鋅的比是1：3?，F(xiàn)將兩塊合金合成一塊，求出鋅合金中銅與鋅的比?！窘馕觥裤~與鋅的比是2:5的合金中,含銅=2/（2+5）=2/7；即銅的質(zhì)量是合金的2/7。銅與鋅的比是4:1的合金中,含銅=4/（4+1）=4/5；即銅的質(zhì)量是合金的4/5。新合金中含銅=（2/7+4/5）/（1+1）=19/35.（其中1+1為兩塊合金的質(zhì)量和）即銅的質(zhì)量是合金的19/35。那么新合金中含鋅=1-19/35=16/35，新合金中,銅：鋅=19/35：16/35=19:16。5、蘋果和梨的單價(jià)的比是6：5，王大媽買的蘋果和梨的重量的比是2：3，共花去18元。王大媽買蘋果和梨各花了多少元？【解析】蘋果與梨的總價(jià)比為：（6×2）：（5×3）＝4：5蘋果：18×EQ\F(4,4+5)＝8元梨：18×EQ\F(5,4+5)＝10元6、一輛汽車在甲、乙兩站間行駛，往返一次共用去4小時(shí)（停車時(shí)間不算在內(nèi)）。汽車去時(shí)每小時(shí)行45千米，返回時(shí)每小時(shí)行30千米。甲、乙兩地相距多少千米？【解析】解法一：4÷（EQ\F(1,45)+EQ\F(1,30)）＝72千米解法二：45×（4×EQ\F(30,45+30)）＝72千米7、下圖是甲、乙、丙三地的路線圖。已知甲地到丙地的路程與乙地到丙地的路程的比是2：3。一輛貨車以每小時(shí)40千米的速度從甲地開往丙地，一輛客車同時(shí)以每小時(shí)50千米的速度從乙地開往丙地，客車比火車遲1小時(shí)到達(dá)丙地。求甲、乙兩地的路程？甲丙乙【解析】（1）乙地到丙地的路程1÷（EQ\F(1,50)－EQ\F(1,40÷2×3)）＝300千米（2）甲、乙兩地之間的路程300×（1+EQ\F(2,3)）＝500千米課后反擊1、黃山小學(xué)六年級(jí)的同學(xué)分三組參加植樹。第一組與第二組的人數(shù)的比是5：4，第二組與第三組人數(shù)的比是3：2。已知第一組的人數(shù)比二、三組人數(shù)的總和少15人。六年級(jí)參加植樹的共有多少人？【解析】第一小組與第二小組人數(shù)之比為：5：4=15：12，第二小組與第三小組人數(shù)比為：3：2=12：8，第一、第二、第三小組人數(shù)比是：15：12：8，總?cè)藬?shù)：15÷（12+8-15）×（15+12+8），=15÷5×35=3×35=105（人）答：六年級(jí)參加植樹的共有105人。2、五年級(jí)三個(gè)班舉行數(shù)學(xué)競(jìng)賽。一班參加比賽的占全年級(jí)參賽總?cè)藬?shù)的1/3，二班與三班參加比賽人數(shù)的比是11：13，二班比三班少8人。一班有多少人參加了數(shù)學(xué)競(jìng)賽？【解析】二班人數(shù)：8×[11/（13-11）]=44人；三班人數(shù)：8×[13/（13-11）]=52人；一班人數(shù)：（44+52）÷（1-1/3）×1/3=48人。3、甲走的路程比乙多EQ\F(1,3)，乙用的時(shí)間比甲多EQ\F(1,4)。求甲、乙的速度比?！窘馕觥考住⒁衣烦痰谋仁牵?+EQ\F(1,3)）：1＝4：3甲、乙時(shí)間的比是1：（1+EQ\F(1,4)）：1＝4：5甲、乙速度的比是EQ\F(4,4)：EQ\F(3,5)＝5：34、 大、小兩種蘋果，其單價(jià)比是5：4，重量比是2：3。把兩種蘋果混合，成為100千克的混合蘋果，單價(jià)為每千克4.40元。大、小兩種蘋果原來每千克各是多少元？【解析】?jī)蓸犹O果的總價(jià)：4.4×100＝440元兩種蘋果總價(jià)的比：（5×2）：（4×3）＝5：6大蘋果的總價(jià)：440×EQ\F(5,5+6)＝200元大蘋果的重量：100×EQ\F(2,2+3)＝40千克大蘋果的單價(jià)：200÷40＝5元小蘋果的單價(jià)：5÷5×4＝4元5、甲書架上的書是乙書架上的EQ\F(4,7)，兩書架上各增加154本后，甲書架上的書是乙書架上的EQ\F(5,6)，甲、乙兩書架上原來各有多少本書？【解析】解法一：甲、乙原來的比是4：7甲、乙后來的比是5：6＝15：18甲書架上原有的書：154÷（15－4）×4＝56本乙書架上原有的書：154÷（18－7）×7＝98本解法二：由于甲、乙兩個(gè)書架上本數(shù)的差沒有變，因此，以甲、乙兩個(gè)書架上本書的差為單位“1”來考慮。甲、乙兩個(gè)書架上相差的本數(shù)154÷（EQ\F(5,6－5)－EQ\F(4,7－4)）＝42本原來甲、乙兩個(gè)書架上的本數(shù)甲：42÷（7－4）×4＝56本乙：42÷（7－4）×7＝98本6、兄弟兩人，每年收入的比是4：3，每年支出的比是18：13。從年初到年底，他們都結(jié)余720元。他們每年的收入各是多少元？【解析】解法一：兄、弟二人收入的是4：3＝20：15兄、弟二人支出的比是18：13兄一年的收入是720÷（20－18）×20＝7200元弟一年的收入是720÷（15－13）×15＝5400元解法二：兄弟二人的收入相差720÷（EQ\F(4,4－3)－EQ\F(18,18－13)）＝1800元兄、弟每年的收入各是：兄：1800÷（4－3）×4＝7200元弟：1800÷（4－3）×3＝5400元7、甲做3000個(gè)零件比乙做2400個(gè)零件多用1小時(shí)，甲、乙工作效率的比是6：5。甲、乙每小時(shí)各做多少個(gè)？【解析】乙：（3000×EQ\F(5,6)－2400）÷1＝100個(gè)甲：100×EQ\F(6,5)＝120個(gè)直擊賽場(chǎng)直擊賽場(chǎng)1、甲、乙、丙三人承包一項(xiàng)工程，發(fā)給他們工資共1800元，三人完成這項(xiàng)工程的具體情況是：甲、乙兩人合作6天完成了工程的，因?yàn)榧子惺?，由乙、丙合?天完成余下工程的，以后三人合作5天完成了這項(xiàng)工程，按完成量的多少來付勞動(dòng)報(bào)酬，甲、乙、丙各得多少元？