帶輸入輸出約束的有限時(shí)域預(yù)測(cè)控制

帶輸入輸出約束的有限時(shí)域預(yù)測(cè)控制

馬克跳躍系統(tǒng)代表了一個(gè)重要的隨機(jī)系統(tǒng)，近年來引起了人們的廣泛關(guān)注。然而，關(guān)于線性矩陣不規(guī)則的引入，尤其是線性矩陣六經(jīng)（lmi），便于理解預(yù)測(cè)控制方法的輸入和輸出限制問題，以便更容易地處理輸入和輸出限制問題。作為一類隨機(jī)混雜系統(tǒng),同時(shí)要考慮模態(tài)與狀態(tài),使Markov跳變系統(tǒng)的預(yù)測(cè)控制問題具有一定的挑戰(zhàn)性,現(xiàn)有研究結(jié)果很少.doVal等研究了轉(zhuǎn)移模態(tài)可測(cè)與不可測(cè)情況下,離散Markov跳變系統(tǒng)的預(yù)測(cè)控制問題,并提出了基于Riccati方程的控制器求解方法,Vargas等進(jìn)而研究了有噪聲輸入的情形,Costa利用狀態(tài)反饋和LMI,研究了Markov跳變系統(tǒng)的約束控制問題,最新的結(jié)果是Park等人運(yùn)用LMI優(yōu)化方法,給出了不確定離散Markov跳變系統(tǒng)的單步預(yù)測(cè)控制器設(shè)計(jì).本文研究了離散Markov跳變系統(tǒng)的帶約束有限時(shí)域預(yù)測(cè)控制,主要工作包括:1)通過定義一類多步模態(tài)軌跡,將預(yù)測(cè)控制律的求取,轉(zhuǎn)化為正半定規(guī)劃(Semidefiniteprogramming,SDP)優(yōu)化解的搜索,實(shí)現(xiàn)了多步預(yù)測(cè)控制器設(shè)計(jì);2)采用終端不變集思想,解決預(yù)測(cè)控制器的穩(wěn)定性分析問題,具體地,對(duì)于有限預(yù)測(cè)時(shí)域內(nèi)任意可能的模態(tài)軌跡,采用在線優(yōu)化的輸入變量來控制系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡,并將其驅(qū)動(dòng)到一個(gè)終端不變集合內(nèi),該不變集取決于在預(yù)測(cè)時(shí)域之外,是否存在一個(gè)虛擬的狀態(tài)反饋控制律,以此來保證該模態(tài)軌跡下系統(tǒng)的隨機(jī)穩(wěn)定性;3)對(duì)輸入、輸出變量的約束,先轉(zhuǎn)化為對(duì)狀態(tài)軌跡的約束,然后將其作為SDP搜索的約束條件.1跳變系統(tǒng)的數(shù)值預(yù)測(cè)考慮一類離散Markov跳變系統(tǒng)其中xk∈Rn,uk∈Rm,yk∈Rp分別是系統(tǒng)的狀態(tài)、控制輸入和觀測(cè)輸出,是依賴模態(tài)Tk的適當(dāng)維數(shù)的矩陣,rk是有限狀態(tài)集Ω={1,…,l}上的離散時(shí)間Markov鏈,其中一步轉(zhuǎn)移概率陣為∏={p(rk,rk+1)},rk,rk+1∈Ω,p(rk,rk+1)為從模態(tài)rk跳變到模態(tài)rk+1的轉(zhuǎn)移率.定義1.考慮uk=0,稱跳變系統(tǒng)(1)是隨機(jī)穩(wěn)定的,若對(duì)于所有初始狀態(tài)x0和模態(tài)ro,滿足對(duì)于隨機(jī)跳變系統(tǒng)(1)的有限時(shí)域控制,與一般確定性系統(tǒng)不同,其預(yù)測(cè)模型不僅僅是狀態(tài)方程(1),還要考慮對(duì)模態(tài)的預(yù)測(cè),下面給出一類多步模態(tài)軌跡預(yù)測(cè)模型.定義2.定義未來N步模態(tài)軌跡集合Ψ={rk,rk+1,…,rk+N+1},對(duì)于任意一條模態(tài)軌跡η∈Ψ,模態(tài)rk的N步轉(zhuǎn)移概率為.則N步預(yù)測(cè)時(shí)域內(nèi)跳變系統(tǒng)模型為其中為分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性,對(duì)N步預(yù)測(cè)時(shí)域內(nèi)和預(yù)測(cè)時(shí)域外分別考慮,不失一般性,設(shè)預(yù)測(cè)時(shí)域N以外的一步動(dòng)態(tài)其中為在軌跡η基礎(chǔ)上預(yù)測(cè)的第k+N步模態(tài)所對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)參數(shù).引理1.系統(tǒng)χη(k+1)=Aηxk沿軌跡η演化N步后隨機(jī)穩(wěn)定,如果存在一組正定對(duì)稱矩陣i∈n,滿足證明.對(duì)于N步預(yù)測(cè)時(shí)域,相應(yīng)的模態(tài)軌跡η={rk,rk+1,…,rk+N+1}∈Ψ,有若已知當(dāng)前k時(shí)刻xk及模態(tài)軌跡η,則可唯一確定而此后k+N+1時(shí)刻的動(dòng)態(tài)為由此,根據(jù)文獻(xiàn),式(4)為跳變系統(tǒng)隨機(jī)穩(wěn)定的充分條件.□注1.引理1實(shí)際上給出的是N步預(yù)測(cè)時(shí)域外的第k+N步以后的穩(wěn)定條件.注2.若在引理1中增加約束條件則k+N步后,系統(tǒng)的狀態(tài)將被驅(qū)動(dòng)到集合內(nèi),即對(duì)于軌跡η,一組正定對(duì)稱矩陣定義了系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的終端橢圓不變集.2空間誤差設(shè)計(jì)對(duì)于滾動(dòng)時(shí)域預(yù)測(cè)控制問題,可采用最壞情況下的無窮范數(shù)指標(biāo),定義模態(tài)軌跡η∈Ψ下的min-max性能指標(biāo)式中J=J1+J2,且有其中Qn,Rn≥0為權(quán)矩陣,且不同時(shí)為0.上述min-max預(yù)測(cè)控制問題,可從兩方面分析:一是在N步滾動(dòng)預(yù)測(cè)時(shí)域內(nèi),通過指標(biāo)優(yōu)化獲得控制序列;二是在k+N時(shí)刻,通過引入虛擬的狀態(tài)反饋控制器保證系統(tǒng)在N步時(shí)域后的穩(wěn)定性.具體對(duì)于閉環(huán)系統(tǒng)(2)、(3)和(8),令考慮到引理1,有如下定義定義3.稱為多步min-max預(yù)測(cè)控制器或預(yù)測(cè)控制序列集合,如果在滿足的條件下,min-max性能指標(biāo)(7)有最優(yōu)解.顯然這是一個(gè)二次約束二次規(guī)劃(Quadraticconstrainedquadraticprogramming,QCQP)問題,引理2將其進(jìn)一步等價(jià)為SDP問題.引理2.多步min-max預(yù)測(cè)控制器存在,當(dāng)且僅當(dāng)下列SDP問題存在最優(yōu)解Uη,,Kη和.證明.略.□注3.引入虛擬控制器(8)進(jìn)行穩(wěn)定性分析,只是在求解min-max優(yōu)化問題時(shí),增加了一組保證穩(wěn)定性的約束條件(10),實(shí)際上該控制器并不用于實(shí)施.定理1.如果在k時(shí)刻存在多步min-max預(yù)測(cè)控制,使得上述SDP有解,則預(yù)測(cè)控制器使Markov跳變系統(tǒng)(1)隨機(jī)穩(wěn)定.證明.在時(shí)刻k任給預(yù)測(cè)軌跡η,SDP問題有解,則可以找到一組解,使性能指標(biāo)達(dá)到最優(yōu),因Qn,Rn的選擇并不影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性,為討論方便,不失一般性,設(shè)Qn=I,Rn=0.設(shè)對(duì)應(yīng)于軌跡η,在輸入下,k+1時(shí)刻的指標(biāo)值為,而為輸入下的最優(yōu)值,顯然有,則其中,由于在控制輸入下則式(13)可表示為下面首先證明:成立.假設(shè),并且k-N時(shí)刻得到第k時(shí)刻的預(yù)測(cè)反饋控制器為,設(shè),i=1,…,N,則該反饋控制器加入后的指標(biāo)函數(shù)為,顯然有,因,其中則同理即在該反饋控制器作用下,系統(tǒng)k時(shí)刻以后的狀態(tài)的期望值在不變集內(nèi),也即考慮到,有得到又由,其中,顯然在不變集內(nèi),由此綜合式(15),(16)，得?2|fc2K+iv+ii/b+iK+iv+ijfc+i，則式（14)進(jìn)一步表示為其中又因?yàn)橄到y(tǒng)需滿足條件(10),取k=k+1代入可知當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),.對(duì)任意一條無窮模態(tài)軌跡η,由于是有限值,故必有l(wèi)imk→∞E{x*(k|k)}=0,由文獻(xiàn)可知系統(tǒng)是隨機(jī)穩(wěn)定的.注4.在穩(wěn)定性證明的時(shí)候,為了簡(jiǎn)化證明,默認(rèn),即預(yù)測(cè)時(shí)域外采用狀態(tài)反饋控制器.3狀態(tài)空間約束的實(shí)現(xiàn)定理2.考慮控制輸入有約束,任意時(shí)刻k,給定系統(tǒng)狀態(tài)xk,如果存在正定對(duì)稱矩陣,矩陣,以及,,i∈Ω,η∈Ψ,使下面SDP優(yōu)化問題有最優(yōu)解,則帶輸入約束的預(yù)測(cè)控制器為.其中證明.首先考慮指標(biāo)由于是常數(shù),不參與優(yōu)化,設(shè),則若設(shè),式(26)可以表示為即對(duì)式(28)運(yùn)用Schur補(bǔ)可得式(19).再考慮指標(biāo)即設(shè)γ2=∑η∈Ψpηγ2η,式(30)可以寫成將代入,令,運(yùn)用Schur補(bǔ)可得式(20),其中M(N)的作用是從χη(k+1)中取出.再考慮SDP問題的約束條件(10),經(jīng)矩陣運(yùn)算,令,可得式(21).對(duì)于輸入約束丨uk≤umax,a=1,…,N-1,即,將代入,運(yùn)用Schur補(bǔ)得式(22).對(duì)于預(yù)測(cè)終端即第N步控制,α=1,…,N—1,即,結(jié)合終端不變集(即式(23)),可得,進(jìn)一步經(jīng)矩陣變換得式(24).定理3.考慮系統(tǒng)輸出約束|yk|≤ymax,任意時(shí)刻k,給定系統(tǒng)狀態(tài)xk,如果存在和,使下面SDP問題有最優(yōu)解,則帶輸出約束的預(yù)測(cè)控制器為.其中證明.略.注6.上述討論中,無論是輸入控制約束還是輸出約束,均轉(zhuǎn)化為對(duì)狀態(tài)空間的約束來處理,而對(duì)狀態(tài)空間約束利用凸不變集來實(shí)現(xiàn),由此帶來一定的保守性.4多步預(yù)測(cè)控制器的設(shè)計(jì)隨機(jī)Markov跳變系統(tǒng)的多步預(yù)測(cè)控制問題,對(duì)于有限預(yù)測(cè)時(shí)域內(nèi)任意可能的模態(tài)軌跡,本文通過在線優(yōu)化的控制變量驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)狀態(tài)到一個(gè)終端不變集內(nèi),在此基礎(chǔ)上研究帶輸入、輸出約束的預(yù)測(cè)控制器.