大學《解析幾何》期末復習基礎知識總結

PAGEPAGE1解析幾何基礎知識1.平行與垂直若直線l1和l2有斜截式方程l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，則：(1)直線l1∥l2的充要條件是：k1＝k2且b1≠b2(2)直線l1⊥l2的充要條件是：k1·k2＝－12．三種距離(1)兩點間的距離平面上的兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離公式|P1P2|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22).特別地，原點(0,0)與任意一點P(x，y)的距離|OP|＝eq\r(x2＋y2).(2)點到直線的距離：點P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))(3)兩條平行線的距離兩條平行線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))3、圓的方程的兩種形式①．圓的標準方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，方程表示圓心為(a，b)，半徑為r的圓．②．圓的一般方程對于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(1)當D2＋E2－4F＞0時，表示圓心為③eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半徑為eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)的圓；(2)當D2＋E2－4F＝0時，表示一個點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))；(3)當D2＋E2－4F4、直線與圓的位置關系①．直線與圓的位置關系有三種：相離、相切、相交．判斷直線與圓的位置關系常見的有：幾何法：利用圓心到直線的距離d和圓半徑r的大小關系d＜r?相交；d＝r?相切；d＞r?相離②．直線與圓相交直線與圓相交時，若l為弦長，d為弦心距，r為半徑，則有r2＝d2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,2)))2，即l＝2eq\r(r2－d2)，求弦長或已知弦長求解問題，一般用此公式．5、兩圓位置關系的判斷兩圓(x－a1)2＋(y－b1)2＝req\o\al(2,1)(r＞0)，(x－a2)2＋(y－b2)2＝req\o\al(2,2)(r2＞0)的圓心距為d，則1．d＞r1＋r2?兩圓外離；2．d＝r1＋r2?兩圓外切；3．|r1－r2|＜d＜r1＋r2(r1≠r2)?兩圓相交_；4．d＝|r1－r2|(r1≠r2)?兩圓內(nèi)切；5．0≤d＜|r1－r2|(r1≠r2)?兩圓內(nèi)含6.橢圓一、橢圓的定義和方程1．橢圓的定義平面內(nèi)到兩定點F1、F2的距離的和等于常數(shù)2a(大于|F1F2|=2c定義中特別要注意條件2a＞2c，否則軌跡不是橢圓；當2a＝2c時，動點的軌跡是線段；當2a2．橢圓的方程(1)焦點在x軸上的橢圓的標準方程：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．(2)焦點在y軸上的橢圓的標準方程：eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)．二、橢圓的簡單幾何性質(zhì)(a2＝b2＋c2)標準方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)圖形性質(zhì)范圍－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a對稱性對稱軸：x軸，y軸對稱中心：坐標原點頂點A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)性質(zhì)軸長軸A1A2的長為2短軸B1B2的長為2b焦距|F1F2|＝離心率e＝eq\f(c,a)∈(0,1)a，b，c的關系c2＝a2－b27.雙曲選一、雙曲線的定義平面內(nèi)與兩個定點F1、F2的距離的差的絕對值等于常數(shù)(小于|F1F2|且不等于零)的點的軌跡叫做雙曲線．兩個定點F1、F2叫做雙曲線的焦點，兩焦點的距離|F1F2|叫做雙曲線的二、雙曲線的標準方程和幾何性質(zhì)標準方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)圖形性質(zhì)范圍④x≥a或x≤－a⑤_y≥a或y≤－a對稱性對稱軸：x軸、y軸對稱中心：坐標原點對稱軸：x軸，y軸對稱中心：坐標原點頂點頂點坐標：A1(－a,0)，A2(a,0)頂點坐標：A1(0，－a)，A2(0，a)性質(zhì)漸近線y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x離心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)其中c＝eq\r(a2＋b2)實虛軸線段A1A2叫做雙曲線的實軸，它的長|A1A2|＝2a；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長|B1B2|＝2b；aa、b、c關系c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)8．拋物線（1）拋物線的概念平面內(nèi)與一定點和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線(定點不在定直線l上)。定點叫做拋物線的焦點，定直線l叫做拋物線的準線。方程叫做拋物線的標準方程。注意：它表示的拋物線的焦點在x軸的正半軸上，焦點坐標是F（,0），它的準線方程是；（2）拋物線的性質(zhì)一條拋物線，由于它在坐標系的位置不同，方程也不同，有四種不同的情況，所以拋物線的標準方程還有其他幾種形式：，，.這四種拋物線的圖形、標準方程、焦點坐標以及準線方程如下表：[一次項的字母定軸（對稱軸），一次項的符號定方向（開口方向）]標準方程圖形焦點坐標準線方程范圍對稱性軸軸軸軸頂點離心率說明：（1）通徑：過拋物線的焦點且垂直于對稱軸的弦稱為通徑；（2）拋物線的幾何性質(zhì)的特點：有一個頂點，一個焦點，一條準線，一條對稱軸，無對稱中心，沒有漸近線；（3）注意強調(diào)的幾何意義：是焦點到準線的距離。2.焦點弦(以拋物線y2＝2px(p＞