電動力學(xué)-靜電場4

§2.4鏡像法如果在所考慮的區(qū)域內(nèi)只有一個或者幾個點電荷，區(qū)域邊界是導(dǎo)體或介質(zhì)界面，這類問題又如何求解？這就是本節(jié)主要研究的一個問題。解決這類問題的一種特殊方法—稱為鏡象法。1、鏡象法的基本問題在點電荷附近有導(dǎo)體或介質(zhì)存在時，空間的靜電場是由點電荷和導(dǎo)體的感應(yīng)電荷或介質(zhì)的束縛電荷共同產(chǎn)生的。對場點而言，導(dǎo)體的感應(yīng)電荷或介質(zhì)的極化電荷能否用場空間以外的區(qū)域（導(dǎo)體或介質(zhì)內(nèi)部）某個或幾個假想的電荷來代替呢？光學(xué)理論給我們的啟發(fā)，平面鏡內(nèi)的象與物大小一樣，凸面鏡內(nèi)的象比物小，凹面鏡內(nèi)的象比物大。當(dāng)我們把點電荷作為物，把導(dǎo)體或介質(zhì)界面作為面鏡，那么導(dǎo)體的感應(yīng)電荷或介質(zhì)的極化電荷就可作為我們所說的象，然后把物和象在場點處的貢獻(xiàn)迭加起來，就是我們討論的結(jié)果。2、鏡象法的理論基礎(chǔ)鏡象法的理論基礎(chǔ)是唯一性定理。其實質(zhì)是在所研究的場域外的適當(dāng)?shù)胤?，用實際上不存在的“象電荷”來代替真實的導(dǎo)體感應(yīng)電荷或介質(zhì)的極化電荷對場點的作用。在代替的時候，必須保證原有的場方程、邊界條件不變，而象電荷的大小以及所在的位置由泊松方程或拉普拉斯方程和邊界條件決定。注意幾點(a)唯一性定理要求所求電勢必須滿足原有電荷分布所滿足的泊松方程或拉普拉斯方程。因此，在所研究的場域內(nèi)不能放置象電荷，也就是說，象電荷必須放在研究的場域外。(b)由于象電荷代替了真實的感應(yīng)電荷或極化電荷的作用，因此放置象電荷后，就認(rèn)為原來的真實的導(dǎo)體或介質(zhì)界面不存在。也就是把整個空間看成是無界的均勻空間，并且其介電常數(shù)應(yīng)是所研究場域的介電常數(shù)。(c)象電荷是虛構(gòu)的，它只在產(chǎn)生電場方面與真實的感應(yīng)電荷或極化電荷有等效作用。其電量并不一定與真實的感應(yīng)電荷或真實的極化電荷相等。(d)鏡象法適用范圍：①場區(qū)域的電荷是點電荷，無限長帶電直線；②導(dǎo)體或介質(zhì)的邊界面必是簡單的規(guī)則的幾何面（球面、柱面、平面）。3、鏡象法的具體應(yīng)用用鏡象法解題的大致步驟：(a)寫出電勢應(yīng)滿足的微分方程及給定的邊界條件；(b)根據(jù)給定的邊界條件計算象電荷的電量和所在位置；(c)由已知電荷及象電荷寫出勢的解析形式；(d)根據(jù)需要求出場強、電荷分布以及電場作用力、電容等。下面按界面形狀的不同分類舉例討論。（1）界面為平面的情況[例1]接地?zé)o限大平面導(dǎo)體板附近有一點電荷，其電量為Q，距板a處，求空間中的勢分布。ySoaQx以假想的點電荷Q'

等效地代替感應(yīng)電荷，右半空間的電勢必須滿足以下條件：根據(jù)靜電屏蔽可判定接地導(dǎo)體板左半空間沒有電場。右半空間的電場是Q及S面上的感應(yīng)電荷面密度共同產(chǎn)生的。解假想的電荷Q

必須在左半空間內(nèi)。等效圖θOr'ryxRP(x,y,z)Q(a,0,0)Q'(-b,0,0)求出Q

和b兩個待定參數(shù)。討論:▲如果導(dǎo)體板不接地，左半空間有電場存在。這時左、右兩半空間的電勢必須滿足以下條件：▲求無限大接地導(dǎo)體板平面上的感應(yīng)電荷分布根據(jù)導(dǎo)體平衡條件，導(dǎo)體面上有Q

與Q異號是合理的?！M(jìn)一步求無限大導(dǎo)體面上的總感應(yīng)電荷Q感S板面位于y,z平面yxozds

θ導(dǎo)體板面上總感應(yīng)電荷Q感恰好等于點是荷Q的電量?！詈螅簏c電荷Q受到的作用力：力密度這正好說明是源電荷Q與象電荷Q

的庫侖力。▲鏡象法的圖形與光路用此圖比較：Q

Qba根據(jù)光的反射可找到Q'的大小和位置注意：光線是直線傳播到導(dǎo)體板面上的。有的地方是與板面⊥，有的地方是與板面有一定夾角。但電力線切線方向是場強的方向，電力線在板面附近處處與板面垂直，這一點通過靜電平衡原理可知。[例2]在無窮大空間中充滿介電常數(shù)為

1和

2的兩種均勻電介質(zhì)，其分界面為平面。設(shè)在介質(zhì)

1中放一點電荷Q，其所在位置距分界面為a，試求二介質(zhì)中的電勢分布。Qa解：設(shè)

1中電勢的

1，

2

中的電勢為

2

，并滿足如下定解條件：處理問題的方法是：(a)

求

1時，將

2半空間換成與

1半空間一樣，以假想電荷Q

來代替分界面上極化電荷對

1半空間的場的影響。

2換成

1xS右半空間abQ'Qrr'oP(x,y,z)yRθ(b)

求

2時，將

1半空間換成與

2半空間一樣，以假想電荷Q

來代替分界面上極化電荷對

2半空間的場的影響。xS左半空間cQ"r"RoyP

(x,y,z)

1換成

2在x>0的區(qū)域，空間一點的電勢為在x<0的區(qū)域，空間任一點的電勢為要使該式成立，必有x>0區(qū)域電勢為：x<0區(qū)域電勢為：▲分界面為介質(zhì)時，鏡象法與光路圖比較：

但嚴(yán)格來說光線在不同介質(zhì)內(nèi)傳播，其方向有所改變。這里僅僅是理想化的，根據(jù)實際問題進(jìn)行類比而已。Q

Qba折射反射根據(jù)光的反射可找到Q

的大小和位置；根據(jù)光的折射可找到Q

的大小和位置。（2）界面為球面的情況[例3]

有一半徑為R0的接地導(dǎo)體球，距球心為a(a>R0)處有一點電荷Q，求空間的電勢分布。aQR0解：取球心為坐標(biāo)原點，球心到點電荷Q的方向為x軸，設(shè)Q的坐標(biāo)為（a,0,0)。根據(jù)靜電平衡條件，球內(nèi)的電勢為零。故只討論外空間的電勢即可。aQR0x球外空間的電勢由Q及球面上感應(yīng)電荷共同激發(fā)的，其電勢所滿足的定解條件為：用象電荷Q

代替球面上的感應(yīng)電荷，且Q

必須在球內(nèi)，設(shè)Q

距球心為b。RobQ'aQxrr'P(x,y,z)θ球外空間一點的電勢為左邊為一常數(shù)，右邊含有變量

即b=a不符合物理要求，由于此時Q'在球外空間，改變了原方程，故b=a及Q'=±Q應(yīng)該舍去。應(yīng)該舍去球外空間任一點的電勢為▲球面上的感應(yīng)電荷面密度▲總感應(yīng)電荷為即感應(yīng)電荷的大小等于象電荷Q'的大小。

(a)導(dǎo)體球既不接地又不帶電與[例3]的差別僅在于邊界條件導(dǎo)體球不帶電，即要求滿足電中性條件顯然，[例3]的解不滿足電中性的條件，如何解決？如果在球內(nèi)再添置一個象電荷，則滿足電中性條件，為了不破壞導(dǎo)體是等勢體的條件，由對稱性知道，Q

必須放在球心處。球外空間任一點的電勢為(b)導(dǎo)體球不帶電，其電勢的U0這種情況與[例3]的差別仍然在邊界條件U0

是已知常數(shù)

導(dǎo)體球的電勢為U0，相當(dāng)于在球心處放置了一個點電荷，其電量為4

0U0R0。(c)若點電荷Q在導(dǎo)體球殼內(nèi)距球心a處與[例3]

相比，僅是源電荷的位置由球外搬進(jìn)到球內(nèi)。此時，接地球殼外無場強，場的區(qū)域在球內(nèi)。根據(jù)光路可逆性原理球內(nèi)電勢等于源電荷Q和球面上的感應(yīng)電荷（球殼內(nèi)表面）—象電荷Q

（在球外處）產(chǎn)生的電勢。注意：象電荷的電量Q'大于源電荷的電量Q，球內(nèi)的電勢與導(dǎo)體球是否接地、是否帶電無關(guān)。

(d)若導(dǎo)體球帶電q但不接地q-Q'RobQ'aQxrr'P(x,y,z)θ則球心有電荷(q

Q

)則P點的電勢為▲計算導(dǎo)體對點電荷Q的作用力源電荷Q所受到的作用力來自球面上的電荷，即(1)

a>>R0近似為兩點電荷作用，作用力為排斥力。(2)當(dāng)Q靠近球面時，，此時不論q與Q是否同號，作用力永遠(yuǎn)為引力，這因為在Q附近的感應(yīng)電荷與其反號。▲鏡象法與光路圖比較oaQ'Q點電荷Q在球內(nèi)boaQ'Q點電荷Q在球外b[例4]均勻場中的導(dǎo)體球所產(chǎn)生的電勢。

由于靜電屏蔽，場區(qū)域只能在球外。R0------++++++物理圖象在均勻電場中放置中性導(dǎo)體球。導(dǎo)體球上的感應(yīng)電荷要在空間激發(fā)場，使原來的場空間電場發(fā)生變化。球外空間任一點的場將是一個均勻場和一個球體感應(yīng)電荷等效的偶極子的場的迭加。第一步：用兩個點電荷±Q激發(fā)一均勻場點電荷±Q放在對稱軸z=±a處，a很大，Q也很大，在坐標(biāo)原點附近的區(qū)域內(nèi)。+Qzaoa

Q第二步：

將一中性導(dǎo)體球放在均勻場中±Q相當(dāng)于兩個場源電荷，球面上將出現(xiàn)感應(yīng)電荷，由象電荷來代替它。

+Q-QzaR0bboa+Q在球面上感應(yīng)的電量為

Q在球面上感應(yīng)電量為這仍保持導(dǎo)體球為電中性（不管導(dǎo)體球接地與否）。根據(jù)唯一性定理，導(dǎo)體球外的電勢就是這四個點電荷產(chǎn)生電勢的迭加。則可略去和又因為皆為小量令原場E0產(chǎn)生的電偶極矩產(chǎn)生的第一項為一個原均勻場以O(shè)點為參考點電勢。第二項為位于o點的電偶極矩為的電偶極子的電勢。（3）界面為柱面的情況[例5]

有一線電荷要密度為

的無限長帶電直線與半徑為R0的接地?zé)o限長導(dǎo)體園柱軸線平行。直線與園柱軸線的距離為a(a>R0),試求空間的電勢分布。a

R0yxR0a

由于導(dǎo)體柱面把整個空間分成柱內(nèi)、柱外兩個區(qū)域，而柱內(nèi)有，柱外區(qū)域電勢滿足定解條件：處于帶電直線的電場中的導(dǎo)體園柱，其柱面上要出現(xiàn)感應(yīng)電荷，空間任一點的電勢就是帶電線和感應(yīng)電荷分別產(chǎn)生的電勢的迭加。帶電直線均勻帶電而且無限長，導(dǎo)體園柱也無限長，故垂直于柱軸的任何平面上的電勢分布是完全相同的。因此可取一個垂直于柱軸的平面來討論。取OO

連線與圓柱面的交點為電勢參考點，則園柱外的電勢為P(x,y)R

rr'R0

ObθaxO

設(shè)導(dǎo)體園柱面的感應(yīng)電荷密度為

，到軸線的距離為b。

比較兩邊系數(shù)其中

b1=a不符合物理要求。相當(dāng)于平板時電荷情況相當(dāng)于球面距離情況因而柱面外任一點的勢為（4）界面為劈形的情況[例6]有兩個相交的接地導(dǎo)體平面，其夾角為

，若在所夾區(qū)域內(nèi)有一電量為Q的點電荷，求下列情況下所夾區(qū)域內(nèi)的電勢：Q用鏡象法處理問題時，只要象電荷都放在考慮的區(qū)域之外，就不會改變電勢在該區(qū)域內(nèi)所滿足的泊松方程。故檢驗解是否正確，關(guān)鍵是它能否滿足全部邊界條件?！旅姘磰A角

不同情況分別討論其電勢分布。所考慮的區(qū)域內(nèi)，電勢滿足定解條件。為使A板的電勢為零，應(yīng)以A板為對稱面，將A板上的感應(yīng)電荷以象電荷

Q放在與源電荷Q對稱的位置“1”處。

Qr3r2r1rQR231Q

QPABO要使B板的電勢為零，應(yīng)以B板為對稱面，將B板上的感應(yīng)電荷以象電荷

Q放在與源電荷Q對稱的位置“2”處；但還需在“1”相對于B板的對稱位置“3”處放置+Q的象電荷，才能保證。此時也滿足。

于是所考慮區(qū)域內(nèi)任一點的電勢為要保證則必須有5個象電荷，其位置，大小和符號如圖示。BA52341Q+