2023年高考數(shù)學(xué)第12講 函數(shù)的零點問題

第12講函數(shù)的零點問題

一、知識聚焦

1確定函數(shù)/(X)零點所在區(qū)間的常用方法

函數(shù)的零點、方程的根、函數(shù)圖像與x軸的交點的橫坐標(biāo),實質(zhì)是同一個問題的3種不同表

達(dá)形式.確定零點、方程根、函數(shù)圖像與x軸交點所在區(qū)間本質(zhì)上是同一問題的不同表述形

式，所以常用解法有3種.(1)解方程法;(2)利用函數(shù)零點的存在性定理;(3)數(shù)形結(jié)合法.

同樣，判斷函數(shù)零點個數(shù)也是這3種方法.

2已知函數(shù)有零點(方程有根)，求參數(shù)取值常用的方法

(1)直接法.直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍.

(2)分離參數(shù)法.先將參數(shù)分離,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值域問題加以解決.

(3)數(shù)形結(jié)合法.先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖像，然后數(shù)形結(jié)合求

解.

二、精講與訓(xùn)練

【核心例題1】己知:a,尸是方程￥+(2加一1)%+4-2相=0的兩個根，且。<2〈尸，求加

的取值范圍.

(2)若/+以+2=0的兩個根都小于一1,求a的取值范圍.

【解題策略】利用圖像，結(jié)合二次方程的實根分布求解,一般有兩種思考角度:(1)利用韋達(dá)定

理;(2)將二次函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為解不等式.

解：(1)【解法一】

?「a<2<4,:.(0一2)(4一2)<0,二口-2(。+4)+4<0

a+尸=1-2機

利用韋達(dá)定理，代人(1)式得4一2加一2(1—2加)+4<0,解得機<一3.

=4-2m,

m的取值范圍為(一”,一3).

【解法二】令/(%)=%2+(2加一1)%+4-2m,拋物線開口向上.

由實根分布a<2<1,只要/(2)<0即可，即

/(2)=4+(2加—l)x2+4—2加<0,解得m<一3,即m的取值范圍為(一少,，(—3).

⑵【解法一】設(shè)〃力=%2+仆+2,當(dāng)兩根都小于—1時,函數(shù)/(力的圖像與工軸的交點在

一1的左側(cè)，可得

A>0,

，一4<—1,=>28<。<3,卿I龍的取值范圍為［?)

【解法二】設(shè)%,當(dāng)是方程的兩個實根，有

A>0,(A>0,[A>0,A>0,

<X<-I,/玉+1<0,n<(%+l)(x2+1)>0=><x]x2+Xj4-x2+1>0

%2<一[々+1<0(菁+1)+(%少+1)<0X+W+2<0

利用韋達(dá)定理，解不等式組得2夜4a<3,即a的取值范圍為12尤,3).

【變式訓(xùn)練1］已知函數(shù)"X)=2ax2+2x-3，如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［—1,1］上有零

點,則實數(shù)a的取值范圍為.

【變式訓(xùn)練2】設(shè)〃x)=d+2at+Z?在區(qū)間［1,2］上有兩個零點(可重合)，則a+/?的取值

范圍是.

【核心例題2］⑴已知定義在R上的奇函數(shù)/(x),滿足“x-4)=-/(x),且在區(qū)間

［0,2］上是增函數(shù),若方程"X)=加(〃?>0)在區(qū)間［一8,8］上有4個不同的根和馬，鼻，/，

則%+%+馬+X4

⑵設(shè)函數(shù)=若/(T)=〃O)J(—2)=-2,求關(guān)于X的方程

〃x)=x的解的個數(shù).

【解題策略】第(1)問是抽象函數(shù)零點的探究，由條件并根據(jù)函數(shù)圖像的對稱性，可得出函數(shù)

的周期性,適時借助圖像，直觀形象地求出［—8,8］內(nèi)的宋數(shù)根，進(jìn)而得解.第(2)問,在求出b、C

的值之后可以直接解方程得到解的個數(shù)，也可用數(shù)株結(jié)合解答問題.為了使問題變得直觀易

解，首先要選好圖形，其次要準(zhǔn)確作圖，并對圖形進(jìn)行分析，若交點不是很明確，還要通過計算進(jìn)

一步探討，從而得出明確的結(jié)論.

【解:】(1六定義在R上的奇函數(shù)，滿足/(%-4)=一/。),，/(%-4)=/(一。，由

/(X)為奇函數(shù)得函數(shù)圖像關(guān)于直線x=2對稱且"0)=0；由/(x-4)=-/(x)知

/(》一8)=/(%-4—4)=-/(x-4)=/(x),.?.函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù)，又“X)

在區(qū)間［0,2上上是增函數(shù)，在區(qū)間［一2,0］上也是增函數(shù)，如圖12—1所示，

則方程f(x)=〃，(帆>0)在區(qū)間[一8,8]上有4個不同的根石,馬，F(xiàn)，匕，不妨設(shè)

%々<毛<.

由對稱性知X]+工2=-12,+/=4,/.X]+工2++“4=—12+4=-8.

/、/x/X16-4Z?+c=c,

(2)【解法一】由/(-4)=〃0),/(-2)=-2,可得_"=4,c=2.

4-乙。\C——乙,

.、fx2+4JC+2(X<0)

/x=)

v7[2(x>0)

???方程小/、『等價|x>于0,1或0x+<40,x+2=x

x<0,

即尤=2或「.x=2或l=—1或%=—2,即/(1)=%有3個解.

+3x+2=0,

/、Ix2+4x+2(x<0)

【解法二】同【解法一】可得b=4,c=2,;./(x)=L)<如圖12-2所

[2(x>0)

示，

方程/(x)=彳解的個數(shù)即函數(shù)y=/(x)與y=x圖像交點個數(shù)，由圖知兩圖像有

A、B、C3個交點，故方程有3個解.

x?+5x+4x<0,....

【變式訓(xùn)練D已知函數(shù)11若函數(shù)y=/(X)-恰有4個

2|x-2|,x>0,

零點，則實數(shù)a的取值范圍為.

【變式訓(xùn)練2］若在區(qū)間［上存在兩個不同的實數(shù)a,b,使得/+Z；+k=a和

b2+a+Z:=2同時成立，求k的取值范圍.

,、2*—a,x<1,

【核心例題3】設(shè)函數(shù),、/一\,

4(x-a)(x-2a),x>1.

(1)若a=l,則/(x)的最小值為

(2)若/(x)恰有2個零點，則實數(shù)a的取值范圍是.

【解題策略】本例是分段函數(shù)最值和零點問題的探求.由于分段函數(shù)是定義域內(nèi)不同區(qū)間內(nèi)

對應(yīng)關(guān)系不同的函數(shù)，解題時要把握分類討論的基本思想.本題中/(x)在xe(-8,1)上是

指數(shù)型函數(shù).在xe［1,+8)上是二次函數(shù)，第(1)間可直接分類討論，第(2)問通過驗證來實現(xiàn)對

x的取值范圍的討論.

2v-l,x<l

【解:]⑴當(dāng)a=l時,/(x)=<

當(dāng)尤<1時,一1</(》)<1,無最小值;當(dāng)xil時,/(X)=4(X-1)(X—2)=4X2-12X+8.由

二次函數(shù)的性質(zhì)知,x=］時,/(x)的最小值為一的最小值為一1.

⑵當(dāng)時,2'-。=0無解,4(無一a)(x-2a)=0有兩解，分別為。與2a,但均小于1,不

合題意，故aW0時不成立；

當(dāng)。>0時,2*-。=0有解*=1082。,4(X-。)(_￥-2。)=0有解犬=4或工=2。,要使

/(X)恰有2個零點，需3個根中有1個不合題意，只有

log2a>1,log26Z<1

a>l,或<a<1,

2a>\267>1

綜上，實數(shù)a的取值范圍是；,11口［2,+力).

【變式訓(xùn)練1】⑴若/(x)=ax-x-a{a>0且a。1有2個零點，則實數(shù)a的取值范圍是

(2)函數(shù)F(x)=的零點所在的區(qū)間是0.

A.(l,2)

B.(2,3)

C-(H

D.(e,3)

【變式訓(xùn)練2］若函數(shù)/(x)的零點與g(x)=4'+2x-2的零點之差的絕對值不超過

0.25,則/(x)可以是().

A./(x)=4x-l

B./(x)=(x-l)2

C./(x)=e*-l

Dj(x)=ln(x—￡］

【核心例題4］設(shè)函數(shù)/(x)=2ax2+次，若存在實數(shù)&e(O,r)，使得對任意不為零的實

數(shù)均有/(%)=。+匕成立，則，的取值范圍是.

【解題策略】本題可以有兩種解法.(1)運用零，點存在性定理求解;(2)運用數(shù)形結(jié)合求解.

解：【解法一】(零點存在性定理)

由題意2G:?+2以=a+8在區(qū)間xe(0,r)上對于任意的a