2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試仿真模擬試卷（一）數(shù)學(xué)試題及參考答案

2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試仿真模擬試卷(一)

數(shù)學(xué)

本試卷共4頁，22小題。滿分150分，考試用時120分鐘。

注意事項：

1.本卷滿分150分，考試時間120分鐘。答題前，先將自己的姓名，準(zhǔn)考證號填寫在

試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。

2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂

黑。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。

3.非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草

稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。

4.考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的。

Y—1

1.已知集合4=｛劃|刈＜2｝,B=｛x|--＜0｝,則Afl8=()

x+3

A.(—3,—2)B.(―3,—2]C.(—2,1)D.(—2,1]

2.已知復(fù)數(shù)z=2+i(，為虛數(shù)單位)，若Q+4=2—1,則。+〃2。23=()

A.-1B.0C.1D.2

3.已知直線3x+ay=2的傾斜角為3萬二，則。=()

4

A.-3B.C.3D.—

33

4.數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，4-。5+。6-。7+/=2,則｛4“｝的前11項和為()

.”c22c-11

A.22B.—C.11D.—

55

5.已知平面向量的夾角為(，々為單位向量，B=(1,、Q)，則|2%+加=()

A.2-72B.273C.2D.4

22

6.函數(shù),=罐-4(。＞0,。聲1)的圖象恒過定點A,且點A在橢圓葛+^=1＜加＞°，

〃＞0)上，則加+〃的最小值為()

1

A.22B.23C.24D.25

22

7.已知々，爸分別為雙曲線C:2—方=1(。＞0力＞0)的左、右焦點，過B往x軸作垂

線的直線/交C于4、3兩點，若為等邊三角形，則雙曲線C的漸近線方程為

)

B.1旦D.…與

A.y=±42xC.y=

23

_4

8.設(shè)。=」，/7=ln—,

c-e5,則()

55

A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.b<a<c

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分,共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得。分。

9.已知向量〃?=(J^sinxj),“=(cosx.cos2x)函數(shù)/(x)=,下列命題說法正

確的選項是()

A.函數(shù)/(x)的最小正周期為兀

B.函數(shù)/(x)的最大值為:

TT27r

C.函數(shù)/(x)在［0,4］上的單調(diào)增區(qū)間［——,如

63

D.函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于點(一21T,0)對稱

6

10.已知(2x+1)'°=%+6X+4--1演丁,則下列說法正確的有()

A.(2x+?°展開式中常數(shù)項系數(shù)為1

B.(2x+1嚴(yán)展開式中含X2的項的二項式系數(shù)為180.

C.a。+q+a,+,,,+a”)=3,°

D&+&+…+紐=21°

u

-2+22十十210/

11.下列說法正確的有()

A.對具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x,y,其線性回歸方程為￡=人若樣本點的中心

為Q,2),則實數(shù)/的值是4

2

B.已知一組數(shù)據(jù)再，了2，/，…，匹0a的方差為2,則%+3,%+3,曰+3,…，Xi?+3的

方差也為2

C.已知隨機(jī)變量X服從二項分布8(〃,,)，若E(4X+1)=6,則“=6

4

D.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(〃,(/),若P(X>2)+尸(XN6)=1,則〃=4

12.設(shè)拋物線E：V=2px(p>0)的焦點為/，準(zhǔn)線為/,A為E上一點，以F為圓心，

|必|為半徑的圓交/于B,C兩點，若而=斤，點A到x軸的距離為2右，則()

A.是等邊三角形B.點F到準(zhǔn)線的距離為2

C.=473D.拋物線C的方程為Y2=6X

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在AA8C中，角A,B,C所對應(yīng)的邊分別為a,b,c,已知(4-cosC)/?=ccosb,

則：=_________.

b

14.已知圓M:(x-2)2+(y-l)2=9,寫出過點(5,5)且與M相切的一條直線的方程為

(8-a)x-5,(x<l)

15.已知函數(shù)/(x)=<在R上單調(diào)遞增，則。的取值范圍為________.

log?x,(x>l)

16.己知正三角形ABC的邊長為2,點P在邊AC上，則麗?麗的最小值為.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(本小題滿分10分)

.2,—"■3

在ZVLBC中，BC的長度為13,AD^-AB,cos<AB,AC>=二，

35

—*—*5

cos<AC,CB>----.

13

(1)求cosB的值；

(2)求CD的長.

18.(本小題滿分12分)

3

2

已知數(shù)列｛/｝滿足q=l,〃?！?1-(〃+l)an=n+n.

(1)求證：數(shù)列〈今)為等差數(shù)列；

(2)令bn=—,數(shù)列｛a｝的前〃項和Sn，求使得5?>—的最小正整數(shù)〃.

4an-111

19.(本小題滿分12分)

在三棱柱A8C-4與G中，A4_L平面44G，A8］的中點

JT

為。，4Cng=E，ZACB^~,BC=AC=3.

⑴證明：?！?，平面仍℃；

⑵若G8_LAB］,求二面角A—片。一A,的余弦值.

20.(本小題滿分12分)

某機(jī)構(gòu)對鄉(xiāng)村振興建設(shè)進(jìn)行調(diào)查，現(xiàn)從所有參加調(diào)查人員中抽取375人，其中約8成參

與調(diào)查的人員關(guān)注鄉(xiāng)村振興建設(shè)，現(xiàn)將關(guān)注鄉(xiāng)村振興建設(shè)的人員按照年齡(單位：歲)

進(jìn)行分組：第1組［15,25),第2組［25,35),第3組［35,45),第4組［45,55),第5

組［55,65］,得到的頻率分布直方圖如圖所示.

(1)根據(jù)以上頻率分布直方圖，求出這些關(guān)注鄉(xiāng)村振興建設(shè)的人員的平均年齡(每一組

用該組區(qū)間的中點值作為代表)；

(2)現(xiàn)在要從年齡在第1,2組的人員中用分層抽樣的方法抽取12人，再從這12人中隨

機(jī)選取2人進(jìn)行訪談，求抽取的2人中至少1人的年齡在第1組中的概率；(3)用頻

率估計概率，從所有調(diào)查的人員(假設(shè)人數(shù)很多，各人是否關(guān)注鄉(xiāng)村振興建設(shè)互不影

4

響)中任意選出3人，設(shè)這3人中關(guān)注鄉(xiāng)村振興建設(shè)的人數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分

布列.

21.(本小題滿分12分)

V3

已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，橢圓C經(jīng)過點”(1,4-),短軸長是長軸長

的一半.

⑴求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)已知直線/過點(—2,—1),且與橢圓。交于A3兩點，N為橢圓。的上頂點，證明:

直線N4與的斜率之和為定值，并求出該定值.

22.(本小題滿分12分)

已知函數(shù)/(x)=x2-2x+a\nx(a>0).

(1)當(dāng)a=1時，求曲線y=f{x)在點(1,/(1))處的切線方程；

(2)若函數(shù)/(%)有兩個極值點斗，x2{x]<x2),且不等式/(%,)>mx2恒成立，試求實

數(shù)機(jī)的取值范圍.

5

數(shù)學(xué)參考答案

1.［答案］D

［解析］集合A=|x||x|<21=(-2,2)，B=\x\上［<0|=(-3,1］，則A。8=(-2,1］，故

x+3

選D.

2.［答案］B

［解析］由z=2+j得W=2—"因為。+4=，—1=1—i,所以a=l,b=-l,所以

a+b2023=1+(-1)2023=0,故選B.

3.［答案］C

3兀337r

［解析］因為直線3x+ay=2的傾斜角為衛(wèi)，所以它的斜率為一二=tan工=—1,所

4a4

以a=3,故選C.

4.［答案］A

［解析］由等差數(shù)列性質(zhì)知a4+4=%+。7=2%，所以。4一%+4-。7+%=(。4+

線)—(%+%)+《,=4=2,則｛4｝的前II項和為112(3+旬)=1與2%.=22,

故選A.

5.［答案］B

［解析］由題意，因為|a=1,|年淤+(揚2=2,所以

—*—?—?—?—*———?—?—?—?—?77-

|2Q+〃/=(2。+/?)2=41Q『+4〃.〃+|62=44+4Q.力+4=8+4|a|?|Z?|?cos§=

8+4-l-2--=12.

2

所以|2%+方|=2百，故選B.

6.［答案］D

A2［2［6］

［解析］由題意可知A(4/)得土+'=1,即上+上=1,所以

mnmn

/、/161、16〃/篦c16〃m2

m+n=(m+n)x(—+—)=17+----+—>17+2、----x一二25,

mnmnvmn

\6〃nr

當(dāng)且僅當(dāng)曾二竺，即加=20,〃=5時取到等號，故選D.

mn

7.［答案］A

6

［解析］由題意知|AFJ=—，\AF,結(jié)合雙曲線定義|AKI—|4耳|=—=2。，

aa

所以2=正，所以雙曲線。的漸近線方程為y=±JIr.故選A.

a

8.［答案］D

1Y

［解析］令/(幻=》一111(1+%)，(%>0)，得((x)=l-----=-^〉0,所以/(X)在

1+X1+X

(0,+8)上單調(diào)遞增，所以/(x)>/(0)=0得x>ln(l+x),令x=(，則

(〉ln(l+1)=ln(,即a〉b,令g(x)=x-e*T,(x>0),得g'(x)=1-.由

g，(x)=0得x=l；由g'(x)〉0得0<x<l,在此區(qū)間g(x)單調(diào)遞增；由g'(x)<0得

x>l,在此區(qū)間g(x)單調(diào)遞減，所以g(x)<g(l)=0,得令x=(，則:<

1_1/

=”，即Q<C,所以bvavc,故選D.

9.［答案］AC

［解析］因為向量機(jī)=(gsirirj),n=(cos^,cos2x),則/(x)=m-n-^=y/3sinxosx+

21J3.c1+COS2x1./c兀、?/、2n［Fran++n、r

cosx——=p-sin2尤+-------------=sin(2x+—),函數(shù)f(x)的最小正周期為

2/226

27r7t

學(xué)=萬，即選項A正確；函數(shù)/(x)的最大值為1,即選項B錯誤；由-］+

<2x+-TT<-7T+2k7r,keZ,解得：—T士T+k兀士TT+k7t,keZ,即函數(shù)的增

6236

TTTT

區(qū)間為：［一一+依,一+依］,keZ,即函數(shù)/(幻在［0,1］上的單調(diào)增區(qū)間為

36

TT27rTCTTK7T

［0,一］,［—，乃］，即選項C正確，由2xH—=ki,keZ,則工=-----1---，keZ,

636122

即函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于點(一卷+與,0),ZwZ對稱，即選項D錯誤，故選AC.

10.［答案］AC

|0

［解析］令x=0得，?10=(1)=1,即A正確；(2x+4°展開式的通項為

(+1=C1(2x)i°T(l)*=C；022Tx6。令10—％=2,得攵=8,所以(2x+l)i°展開

式中含Y的項的二項式系數(shù)小=45,即B錯誤.令x=l,得

%+4+/+…+qo=(2+l)i°=3i°,即C正確；令x=g得

7

號+■^+…+^^=(2x5+1)—4=2"—1,即D錯誤.故選AC.

11.［答案］BD

［解析］線性回歸方程為?=因為樣本點的中心為Q,2)在回歸方程上，所以

2=gf-f,解得r=T,故選項A錯誤；因為一組數(shù)據(jù)工「乙，七，…，％oo的方差為2,

出方差的運算性質(zhì)可知，所以玉+3,9+3,七+3,..,%00+3的方差也為2,故選項B

正確；因為隨機(jī)變量X服從二項分布,所以E(X)=；〃，則

E(4X+1)=4E(X)+1=〃+1,因為E(4X+1)=6,則“+1=6,所以“=5,故

選項C錯誤；因為隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布則其密度曲線關(guān)于X=〃對

稱，所以P(X>2)+P(X<2)=1,又P(X>2)+P(X>6)=1,所以

P(X<2)=P(X>6),則〃=2^=4,故選項D正確；故選BD.

12.［答案］ABC

［解析］因為以尸為圓心，|E4|為半徑的圓交/于8,C兩點，由刀=元得4、F、C

三點共線，所以AC為直徑，ZABC=9ff,

斗

\BF\=^\AC\=\AF\,結(jié)合拋物線的定義可得

IABHAFHBF\,可得八43尸為等邊三角形，故A正確；V

可知ZFBC=30°,點F到準(zhǔn)線的距離為謝-

|BE|-sin30°=4xg=2=p,故B正確；50招=gx4x4x曰=4百，故C正

確；該拋物線的方程為V=4x,故D錯誤.故選ABC.

13.［答案］4

［解析］將(4—cosC)Z?=ccos5利用正弦定理化簡得(4一cosC)sin5=sinCcosB,整

理：sin8cosc+sinCcosB=sin(B+C)=sinA=4sinB,再次利用正弦定理化簡得：

a=4b,則@=4.故答案為4.

b

14.［答案］x=5或7x—24y+85=0(填其中之一即可).

8

［解析］由已知，圓心”(2,1),半徑廠=3,點(5,5)在圓M外，當(dāng)直線不存在斜率時,

方程為x=5也是圓的切線方程：當(dāng)直線存在斜率時，設(shè)切線方程為y-5=A(x-5),

即攵x—y+5-5左=0,所以12A-J+5—5A|=3,解得％=2,故切線方程為

VTTF24

7x—24y+85=0,故答案為：x=5或7x—24y+85=0(填其中之一即可).

15.[答案][3,8)

,,(8-fz)x-5,(X＜1)

［解析］因為/(%)=「"在R上單調(diào)遞增，可得

log元,。＜1)

8-〃>0

<a>l,求得。的取值范圍是[3,8).故答案為[3,8).

(8-6z)x1—5<logn1=0

16.［答案］一工

4

［解析］如圖建立平面直角坐標(biāo)系，可知40,、回)，8(-1,0),

C(l,0),則AC的方程為：x+寶=1,設(shè)P(x,/(l—x)),

xe[0,l],所以麗?麗=(x+l,6(l-x)>(x-l,

百(1一x))=/一1+3(1—=4--6x+2,當(dāng)x=之時,

4

~BP-CP數(shù)量積取得最小值-

4

解：(1)在AA6c中cos＜彳及衣＞=|,即coS=|,

17.AG

所以sinA=Vl-cos2A--(1分)

5

又cos<AC,CB,即cosNACB=2.所以

1313

12

sinZACB=—(2分)

13

所以cosB=cos[?r-(A+ZACB)]=-cos(A+ZAC3)..................................(3分)

4123533

=sinAsinZACB-cosAcosZACB=—x-----二x—=—(5分)

51351365

9

13

(2)在A43C中，由正弦定理得，A8=aGsinNACB=4xU=15.....(7分)

sinA513

—■2—■I

又AO=-A8,所以￡>6=-A3=5.................(8分)

33

在ABCD中，由余弦定理得

CD=VBD2+BC2-2BDBCCOSB=J52+132-2X5X13X—=872.

V65

（10分）

18.解：⑴證明：由〃4用—（〃+1）4=〃2+〃,得■一&=i,.........（3分）

又因為*=1,..............（4分）

所以數(shù)列｛個｝是首項為1,公差為1的等差數(shù)列.........................（5分）

CL.

(2)因為一^=1+(〃-1)=〃,所以?！?〃2.............(6分)

n

___'=_______*_______—_;________:_)（7分）

4n2-l(2〃—1)(2〃+1)22/?-12〃+1

故s“=4+4+/+…+2=；(1_；+；_<+.-+1

)

2/7-12〃+1

，)=上.?………

(1-（10分）

42〃+12幾+1

由s〃＞』得〃5

解得〃〉5,（11分）

"112〃+111

當(dāng)“eN*時，S,單調(diào)遞增，故所求最小正整數(shù)〃為6.（12分）

19.證明：（1）:44_L平面A4G，AAJ/CC,,平面ABC//平面4瓦C，

CG,平面A8C,CC,±AC,,..............................（I分）

TT

'：ZACB=~,即AC_LBC,...............................（2分）

2

CC,nBC=C,CC,U平面BB￡C,BCu平面BB?C,

.?.4。_1平面6月。。，...............................................（3分）

由題意得四邊形BCC圈是矩形，二E為瓦。的中點，

又。為AB1的中點，.?.￡）￡7/AC,

10

￡）E_L平面BBC，.（4分）

解：(2)由(1)知AC_L平面B5|C|C,。|5<Z平面3與￡。，，4。_￡。18.

A耳J.GB且ACJ_nAB|=A,ACu平面ACB1,鉆](=平面4。4，

.,.。6_1平面473「

,/CB[u平面ACBt,：.CXB±CBX.

?四邊形為BB,C,C矩形，.?.四邊形為BBgC正方形.

cc,=4G=3.

如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

則A(3,0,3),B,(0,3,0),C(0,0,3),A(3,0,0),.................................(5分)

所以麻=(0,-3,3),AC=(-3,0,0),=(-3,3,0).......................(6分)

設(shè)平面AB.C的法向量為n=(a,b,c),

fB.C-n,=—3b+3c=0[b=c—

則」，得4,.?.々=(0力,價，取人=i,得

[AC-riy=-3a=0[a=0

1一=(0,U).......................................................................................................(8分)

設(shè)平面耳C4的法向量為限同理可得益=(以,1)......................................(10分)

-------〃1?〃，IxO+lxl+lxl2屈

222222

II-In21Vo+1+1xVl+1+172x733

（11分）

易知二面角A—BtC—A為銳角.

二面角A-B,C-A的余弦值為-y.（12分）

20.解：（1）由頻率分布直方圖的性質(zhì)可知,

(0.01+?+0.035+2a+0.013)x10=1,解得a=0.014,（2分）

故平均年齡為

(20x0.01+30x0.014+40x0.035+50x0.028+60x0.013)x10=42(歲).

11

（4分）

（2）因為所有參加調(diào)查人員中抽取375人，其中約8成參與調(diào)查的人員關(guān)注鄉(xiāng)村振興建

設(shè)，所以關(guān)注鄉(xiāng)村振興建設(shè)的人員約375x0.8=300人，所以第1組總?cè)藬?shù)為

300x0.01x10=30,第2組總?cè)藬?shù)為300x第014x10a42,.......................（5分）

從年齡在第1,2組的人員中用分層抽樣的方法抽取12人,

3042

第1組抽取12>=5人，第2組抽取12>=7人,..........（6分）

30+4230+42

C~715

設(shè)至少1人的年齡在第1組中的事件為A,P（4）=l—==1—，=二.…（8分）

場2222

4

⑶由題意可知X服從二項分布X?3（3,g）,X所有可能取值為0,1,2,3,

所以尸（X（品/P（X=l）=C*xlx（l）-^,

蔑〃）黑.........

P（X=2）WdX=P（X=3）=3（y=（10分）

故X的分布列為:

X0123

1124864

P

125125125125

21.解：（1）設(shè)橢圓C的方程為今+奈=1（。〉。>0）,

因為短軸長是長軸長的一半，所以26=1（2”），即。=力，............（2分）

2

22

則橢圓方程為?！?右=1.

C13

因為w（i,勺）在橢圓c上，所以詬■+/=1，則匕=1（3分）

所以橢圓C的方程為多+丁=1.................................................................（4分）

2

（2）證明：由題意，C的方程為g+y2=i,N為橢圓C的上頂點，則N（0,l）,

................................................................（5分）

①當(dāng)直線/沒有斜率時，/方程為x=-2,不符合題意......................（6分）

②當(dāng)直線/有斜率時，設(shè)直線/的方程為y+l=^（x+2）,...............................（7分）

與橢圓方程聯(lián)立消去y可得：（1+4Z:2）%2+?>k（2k-l）x+16Z:2-16Z:=0,-（8分）

12

所以△=[8左(2A-I)]2一一4(1+4公)(16公-16A)=>0,即攵>0.

設(shè)A(X|,y),B(x2,y2),

8女(1一2次)16/-164

則X]+/玉?玉二（9分）

l+4k21+4公

由于匕VA=2cL1，火油=2^，...................................(10分)

X)x