專題13.12 全等三角形章末十三大題型總結(jié)（培優(yōu)篇）（華東師大版）（原卷版）

專題13.12全等三角形章末十三大題型總結(jié)（培優(yōu)篇）【華東師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1添加條件使成為全等三角形】 1【題型2判定全等三角形的依據(jù)】 2【題型3利用全等三角形的判定與性質(zhì)證明線段或角度相等】 3【題型4利用全等三角形的判定與性質(zhì)求線段長度或角的度數(shù)】 4【題型5利用全等三角形的判定與性質(zhì)確定線段之間的位置關(guān)系】 5【題型6全等三角形在網(wǎng)格中的運用】 7【題型7全等三角形在新定義中的運用】 8【題型8全等三角形的實際應(yīng)用】 10【題型9等腰三角形中分類討論】 11【題型10雙垂直平分線求角度與周長】 12【題型11角平分線與垂直平分線綜合運用】 13【題型12尺規(guī)作圖與證明、計算的綜合運用】 15【題型13等邊三角形的十字結(jié)合模型】 16【題型1添加條件使成為全等三角形】【例1】（2023春·山東濟南·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知AB=CD，那么添加下列一個條件后，仍無法判定△ABC≌△CDA的是（

）

A．∠BCA=∠DCA B．∠BAC=∠DCA C．BC=AD D．∠B=∠D=90°【變式1-1】（2023春·山東煙臺·八年級統(tǒng)考期中）2022年冬季奧運會在我國北京舉行，奧運健兒們敢于拼搏、善于拼搏，在奧運賽場上展現(xiàn)新時代中國運動員的精神風(fēng)貌和競技水平，請你添加一個條件，為奧運健兒設(shè)計一只與圖1一樣的鞋子，已知：AB=DF，∠ABC=∠DFE，寫出可添加的條件并標(biāo)明依據(jù)【變式1-2】（2023春·福建寧德·八年級統(tǒng)考期末）具備下列條件的兩個三角形，可以證明它們?nèi)鹊氖?

).A．一邊和這一邊上的高對應(yīng)相等 B．兩邊和第三邊上的中線對應(yīng)相等C．兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等 D．直角三角形的斜邊對應(yīng)相等【變式1-3】（2023春·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期中）在△ABC與△DEF中，下列各組條件，不能判定這兩個三角形全等的是（

）A．AB＝DE，∠B＝∠E，∠C＝∠F B．AC＝DE，∠B＝∠E，∠A＝∠FC．AC＝DF，BC＝DE，∠C＝∠D D．AB＝EF，∠A＝∠E，∠B＝∠F【題型2判定全等三角形的依據(jù)】【例2】（2023春·遼寧沈陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知太陽光線AC和DE是平行的，在同一時刻，如果將兩根高度相同的木桿豎直插在地面上，那么在太陽光照射下，其影子一樣長．這里判斷影長相等利用了全等圖形的性質(zhì)，其中判斷△ABC≌△DFE的依據(jù)是(

)

A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA【變式2-1】（2023春·福建福州·八年級?？计谥校┤鐖D，將兩根鋼條AA'，BB'的中點O釘在一起，使AA'，BB'能繞點O自由轉(zhuǎn)動，就做成一個測量工具，測

A．邊角邊 B．角邊角 C．邊邊邊 D．斜邊直角邊【變式2-2】（2023春·福建福州·八年級校考期中）如圖所示，某同學(xué)將一塊三角形的玻璃打碎成了三塊，現(xiàn)在要到玻璃店去配一塊完全一樣的玻璃，那么最省事的辦法是帶第塊去．（填序號）

【變式2-3】（2023春·浙江臺州·八年級校考期中）為了測量池塘兩側(cè)A，B兩點間的距離，在地面上找一點C，連接AC，BC，使∠ACB=90°，然后在BC的延長線上確定點D，使CD=BC，得到△ABC≌△ADC，通過測量AD的長，得AB的長．那么△ABC≌△ADC的理由是（

）A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS【題型3利用全等三角形的判定與性質(zhì)證明線段或角度相等】【例3】（2023春·四川達(dá)州·八年級?？计谀┤鐖D，△ABC和△DCB中，AB=DC，∠ABC=∠DCB，AC和DB交于點M．

(1)△ABC與△DCB全等嗎？為什么？(2)過點C作CE∥BD，過點B作BF∥AC，試判斷【變式3-1】（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級統(tǒng)考期末）如圖，BD,CE都是△ABC的角平分線，BD交CE于點F，其中∠A=60°．(1)求∠BFC的度數(shù)；(2)求證：DF=EF.【變式3-2】（2023春·廣西北?！ぐ四昙壗y(tǒng)考期中）如圖，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點P是線段AB上一點，過點A作AE⊥CP交CP延長線于點E，過點B作BF⊥CP于點F．

(1)求證：△ACE≌△CBF；(2)線段AE、BF、EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由．【變式3-3】（2023春·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·八年級統(tǒng)考期末）如圖1，AB∥CD，∠BAD，∠ADC的平分線AE，DE相交于點(1)證明：AE⊥DE；(2)如圖2，過點E作直線AB，AD，DC的垂線，垂足分別為F，G，H，證明：EF=EG=EH；(3)如圖3，過點E的直線與AB，DC分別相交于點B，C（B，C在AD的同側(cè)）求證：E為線段BC的中點；【題型4利用全等三角形的判定與性質(zhì)求線段長度或角的度數(shù)】【例4】（2023春·遼寧丹東·八年級統(tǒng)考期末）如圖，點B、F、C、E在直線l上（F、C之間不能直接測量），點A、D在l異側(cè)，測得AB=DE，AB∥

(1)試說明：△ABC≌(2)若BE=10m，BF=3m，求【變式4-1】（2023春·江蘇淮安·八年級校聯(lián)考期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，點D是斜邊AB的中點，若CD=3，則AB=【變式4-2】（2023春·陜西延安·八年級陜西延安中學(xué)校考期中）如圖，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=50°，AD、BE交于點H，連接CH，則∠AHE的度數(shù)為°．【變式4-3】（2023春·廣東梅州·八年級?？计谀┤鐖D，在四邊形ABCD中，E是邊BC的中點，AE平分∠BAD且∠AED=90°，若CD=2AB，AD=18，則AB=．

【題型5利用全等三角形的判定與性質(zhì)確定線段之間的位置關(guān)系】【例5】（2023春·河北石家莊·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在ΔABC和ΔADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC,AD=AE，點C、D、E三點在同一直線上，連接

(1)求證：ΔBAD≌(2)猜想BD,CE有何特殊位置關(guān)系，并說明理由．【變式5-1】（2023春·江西吉安·八年級統(tǒng)考期末）如圖，BD=BC，點E在BC上，且BE=AC，DE=AB．(1)求證：△ABC≌△EDB；(2)判斷AC和BD的位置關(guān)系，并說明理由．【變式5-2】（2023春·江蘇南通·八年級校聯(lián)考期中）如圖，△ABC的兩條高線BD、CE，延長CE到Q使CQ＝AB，在BD上截取BP＝AC，連接AP、AQ，請判斷AQ與AP的數(shù)量與位置關(guān)系？并證明你的結(jié)論．【變式5-3】（2023春·甘肅隴南·八年級統(tǒng)考期末）在學(xué)習(xí)全等三角形的知識時，數(shù)學(xué)興趣小組拿了兩個大小不同的等腰直角三角板進行拼擺，并探究擺放后所構(gòu)成的圖形之間的關(guān)系，如圖1，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D=90°,AB=AC,DE=DF．(1)勤奮小組擺出如圖2所示的圖形，點A和點D重合，連接BE和CF，求證：BE=CF．(2)超越小組在勤奮小組的啟發(fā)下，把兩個三角形板按如圖3的方式擺放，點B，C，E在同一直線上，連接CF，他們發(fā)現(xiàn)了BE和CF之間的數(shù)量和位置關(guān)系，請寫出這些關(guān)系，并說明理由．【題型6全等三角形在網(wǎng)格中的運用】【例6】（2023春·廣西崇左·八年級統(tǒng)考期末）如圖，是一個3×3的正方形網(wǎng)格，則∠1+∠2+∠3+∠4=．

【變式6-1】（2023春·河南南陽·八年級統(tǒng)考期中）在如圖所示的3×3網(wǎng)格中，△ABC是格點三角形（即頂點恰好是網(wǎng)格線的交點），則與△ABC有一條公共邊且全等（不含△ABC）的所有格點三角形的個數(shù)是（）A．3個 B．4個 C．5個 D．6個【變式6-2】（2023春·山東青島·八年級統(tǒng)考期末）如圖，圖形的各個頂點都在3×3正方形網(wǎng)格的格點上．則∠1+∠2=．【變式6-3】（2023春·吉林長春·八年級長春市第八十七中學(xué)?？计谀┤鐖D所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，點A，B，C，D均落在格點上，則∠BAD+∠ADC=．【題型7全等三角形在新定義中的運用】【例7】（2023春·河北滄州·八年級統(tǒng)考期末）我們知道：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．類似地，我們定義：至少有一組對邊相等的四邊形叫做等對邊四邊形．（1）請寫出一個你學(xué)過的特殊四邊形中是等對邊四邊形的圖形的名稱；（2）如圖，在△ABC中，點D，E分別在AB，AC上，設(shè)CD，BE相交于點O，若（3）在△ABC中，如果∠A是不等于60°的銳角，點D，E分別在AB，【變式7-1】（2023春·福建南平·八年級統(tǒng)考期中）定義：如圖1，在△ABC和△ADE中，AB＝AC＝AD＝AE，當(dāng)∠BAC+∠DAE＝180°時，我們稱△ABC與△DAE互為“頂補等腰三角形”，△ABC的邊BC上的高線AM叫做△ADE的“頂心距”，點A叫做“旋補中心”．（1）特例感知：在圖2，圖3中，△ABC與△DAE互為“頂補等腰三角形”，AM是“頂心距”．①如圖2，當(dāng)∠BAC＝90°時，AM與DE之間的數(shù)量關(guān)系為AM＝DE；②如圖3，當(dāng)∠BAC＝120°，ED＝6時，AM的長為．（2）猜想論證：在圖1中，當(dāng)∠BAC為任意角時，猜想AM與DE之間的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．【變式7-2】（2023春·四川遂寧·八年級統(tǒng)考期末）新定義：頂角相等且頂角頂點重合的兩個等腰三角形互為“兄弟三角形”．(1)如圖①中，若△ABC和△ADE互為“兄弟三角形”，AB=AC，AD=AE．則①∠BAD___________∠CAE（填>、＜或=）②連接線段BD和CE，則BD___________CE（填>、＜或=）(2)如圖②，△ABC和△ADE互為“兄弟三角形”，AB=AC，AD=AE，若點D、點E均在△ABC外，連接BD、CE交于點M，連接AM，則線段BD、【變式7-3】（2023春·山東淄博·八年級統(tǒng)考期中）根據(jù)全等圖形的定義，我們把能夠完全重合（即四個內(nèi)角、四條邊分別對應(yīng)相等）的四邊形叫做全等四邊形．請借助三角形全等的知識，解決有關(guān)四邊形全等的問題．如圖，已知，四邊形ABCD和四邊形ABCD中，AB=AB，BC=BC，B=B，C=C，現(xiàn)在只需補充一個條件，就可得四邊形ABCD≌四邊形ABCD．下列四個條件：①A=A；②D=D；③AD=AD；④CD=CD；（1）其中，符合要求的條件是．（直接寫出編號）（2）選擇（1）中的一個條件，證明四邊形ABCD≌四邊形ABCD．【題型8全等三角形的實際應(yīng)用】【例8】（2023春·遼寧丹東·八年級統(tǒng)考期末）小明沿一段筆直的人行道行走，邊走邊欣賞風(fēng)景，在由C走到D的過程中，通過隔離帶的空隙P，剛好瀏覽完對面人行道宣傳墻上的一條標(biāo)語，具體信息如下：如圖，AB∥PM∥CD，相鄰兩平行線間的距離相等，AC，BD相交于P，PD⊥CD垂足為D．已知CD=165米．請根據(jù)上述信息求標(biāo)語AB的長度為米．

【變式8-1】（2023春·福建南平·八年級統(tǒng)考期中）1805年，法軍在拿破侖的率領(lǐng)下與德軍在萊茵河畔激戰(zhàn).德軍在萊茵河北岸點Q處，如圖所示，因不知河寬，法軍大炮很難瞄準(zhǔn)敵營.聰明的拿破侖站在南岸的點O處，調(diào)整好自己的帽子，使視線恰好擦著帽舌邊緣看到對面德國軍營Q處，然后他保持原來的觀察姿態(tài)，一步一步后退，一直退到點B處，發(fā)現(xiàn)自己的視線恰好落在他剛剛站立的點O處，讓士兵丈量他所站立的位置B點與O點之間的距離，并下令按照這個距離炮轟德軍.試問：法軍能命中目標(biāo)嗎？請說明理由.(注：AB⊥BQ，PO⊥BO，AB=PO，點B、O、Q在一條直線上)【變式8-2】（2023春·河北邢臺·八年級校聯(lián)考期末）如圖，小明和小華住在同一個小區(qū)的不同單元樓，他們想要測量小華家所在單元樓AB的高度，首先他們在兩棟單元樓之間選定一點E，然后小明在自己家陽臺C處看點E的視角為∠HCE．小華站在E處眼睛F看AB樓端點A的視角為∠AFG．發(fā)現(xiàn)∠HCE與∠AFG互余，已知CH∥BD∥GF，BG=EF=1.5米，BE=GF=CD=20米，BD=50米．求單元樓AB的高度．

【變式8-3】（2023春·湖南長沙·八年級湖南師大附中統(tǒng)考期末）（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E，F(xiàn)分別是BC，（2）如圖2，在新修的小區(qū)中，有塊四邊形綠化ABCD，四周修有步行小徑，且AB=AD，∠B+∠D=180°，在小徑BC，CD上各修一涼亭E，F(xiàn)，在涼亭E與F之間有一池塘，不能直接到達(dá)經(jīng)測量得到∠EAF=12∠BAD【題型9等腰三角形中分類討論】【例9】（2023春·重慶南岸·八年級?？计谀┤鐖D，△ABC中，∠ACB>120°，∠B=20°，D為AB邊上一點（不與A、B重合），將△BCD沿CD翻折得到△CDE，CE交AB于點F．若△DEF為等腰三角形，則∠BCD為（

）

A．30° B．30°或60° C．50° D．30°或50°【變式9-1】（2023春·陜西渭南·八年級?？计谥校┤舻妊切我谎系母吲c另一腰的夾角為20°，則它的底角為（

）A．35° B．55° C．55°或35° D．70°或35°【變式9-2】（2023春·廣東廣州·八年級校考期中）如圖，△ABC中∠ABC=40°，動點D在直線BC上，當(dāng)△ABD為等腰三角形，∠ADB=．

【變式9-3】（2023春·山西運城·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=130°，△AFD和△ABD關(guān)于直線AD對稱，∠FAC的平分線交BC于點G，連接FG，當(dāng)△DFG為等腰三角形時，∠FDG的度數(shù)為．

【題型10雙垂直平分線求角度與周長】【例10】（2023春·廣西桂林·八年級統(tǒng)考期末）如圖所示，點E、F是∠BAC的邊AB上的兩點，線段EF的垂直平分線交AC于D，AD的垂直平分線恰好經(jīng)過E點，連接DE、DF，若∠CDF=α，則∠EDF的度數(shù)為（

）

A．α B．4α3 C．180°-2α3【變式10-1】（2023春·河北保定·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，BC=8，AB的垂直平分線交BC于D，AC的垂直平分線交BC與E，則△ADE的周長等于（）A．6 B．7 C．8 D．12【變式10-2】（2023春·河北保定·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，點O是AC、BC的垂直平分線的交點，連接AO、BO，若∠AOB=α，則∠AIB的大小為（

）

A．α B．14α+90° C．12【變式10-3】（2023春·遼寧丹東·八年級校考期中）如圖，在△ABC中，邊AB的垂直平分線OM與邊AC的垂直平分線ON交于點O，這兩條垂直平分線分別交BC于點D、E．已知△ADE的周長為11cm，分別連接OA、OB、OC，若△OBC的周長為23

【題型11角平分線與垂直平分線綜合運用】【例11】（2023春·湖南湘西·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠BAC=60°，∠BAC的平分線AD與邊BC的垂直平分線相交于點D，DE⊥AB交AB的延長線于點E，DF⊥AC于點F，現(xiàn)有以下結(jié)論：①DE=DF；②DE+DF=AD；③DM平分∠ADF；④AB+AC=2AE；其中正確的有（

）

A．2個 B．3個 C．4個 D．1個【變式11-1】（2023春·山東威海·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠CAB的平分線交BC于點D,DE恰好是AB的垂直平分線，垂足為E．若AD=6，則

【變式11-2】（2023春·山東青島·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠A=52°，∠ACB的角平分線CF與BC的垂直平分線DE交于點O，連接OB．若∠ABO=20°

【變式11-3】（2023春·四川成都·八年級?？计谥校┤鐖D，△ABC中，∠ABC的角平分線BD和AC邊的中垂線DE交于點D，DM⊥BA的延長線于點M，DN⊥BC于點N．若AB=3，BC=7，則AM的長為【題型12尺規(guī)作圖與證明、計算的綜合運用】【例12】（2023春·河南鄭州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°

(1)請用無刻度的直尺和圓規(guī)在BC邊上找一點P，使得點P到點A和點B的距離相等；（要求：不寫作法，保留作圖痕跡，使用2B鉛筆作圖）(2)在（1）的條件下，若AC=2，CB=5，則△CAP的周長是___________．【變式12-1】（2023春·重慶巴南·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，D為BC的中點，連接AD．(1)請用直尺和圓規(guī)完成基本作圖：作AD的垂直平分線EF交AD于點O，交AB于點E，交AC于點F，連接DE、DF；（保留作圖痕跡，不寫作法，不下結(jié)論）(2)求證：AE=DF．（請補全下面的證明過程，不寫證明理由）．證明：∵AB=AC，D為BC中點，∴∠1=________．∵EF為AD的垂直平分線，∴∠AOE=∠AOF=90°，AF=DF又∵∠1+∠AOE+∠AEF=180°，∠2+∠AOF+∠AFE=180°，∴∠AEF=________．∴AE=________，∴AE=DF．【變式12-2】（2023春·河南許昌·八年級許昌市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）如圖，△ABC是