期中測(cè)試卷01（測(cè)試范圍：第16-17章、19.1-19.2）（解析版）

2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期中測(cè)試卷01（測(cè)試范圍：第16-17章、19.1-19.2）一、單選題1．下列各根式中，最簡(jiǎn)二次根式是（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的概念：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式，進(jìn)行判斷即可．【解析】解：A、原式，不符合題意．B、是最簡(jiǎn)二次根式，符合題意．C、原式，不符合題意．D、原式，不符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查最簡(jiǎn)二次根式，解題的關(guān)鍵是正確理解最簡(jiǎn)二次根式的概念，本題屬于基礎(chǔ)題型．2．下列關(guān)于的方程中，是一元二次方程的是（

）．A．（其中a、b、c是常數(shù)） B．C． D．【答案】B【分析】利用一元二次方程定義進(jìn)行解答即可．【解析】解：A、當(dāng)時(shí)，方程不是一元二次方程，不符合題意；B、是一元二次方程，符合題意；C、整理之后為，是一元一次方程，不符合題意；D、，分母中含有未知數(shù)，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程的定義，一元二次方程的定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的整式方程，一般形式為：．3．下列語(yǔ)句中哪句話是定義（

）A．聯(lián)結(jié)A、B兩點(diǎn). B．等角的余角相等嗎？C．內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行. D．整數(shù)與分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù).【答案】D【分析】判斷一件事情的語(yǔ)句，叫做命題．根據(jù)命題和定義的概念進(jìn)行判斷．【解析】解：A、聯(lián)結(jié)A、B兩點(diǎn)，不是定義，不符合題意；B、等角的余角相等嗎？不是定義，不符合題意；C、內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，不是定義，不符合題意；D、整數(shù)與分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，是定義，符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了命題的定義：判斷一件事情的語(yǔ)句是命題，一般有“是”，“不是”等判斷詞，比較簡(jiǎn)單．4．下列各式中是有理化因式的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用平方差公式，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解析】觀察各選項(xiàng)，只有B選項(xiàng)中有一項(xiàng)與所給式子中一項(xiàng)的符號(hào)相同，另一項(xiàng)符號(hào)相反，=故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查運(yùn)用平方差公式對(duì)式子有理化，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用平方差公式．5．關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是()A． B． C．且 D．且【答案】C【分析】根據(jù)一元二次方程的定義，以及一元二次方程根的判別式得出不等式組，解不等式組即可求解．【解析】解：∵關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴且，即，解得且．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程(為常數(shù))的根的判別式，理解根的判別式對(duì)應(yīng)的根的三種情況是解題的關(guān)鍵．當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．6．已知為等腰三角形，已知它的兩條邊的長(zhǎng)度分別是方程的兩個(gè)根，那么該三角形的周長(zhǎng)是（

）A．或6 B． C．5 D．6【答案】D【分析】先求得的兩個(gè)根，根據(jù)等腰三角形分類計(jì)算即可．【解析】∵，解得，∴為等腰三角形三邊長(zhǎng)為或（不存在，舍去），∴為等腰三角形周長(zhǎng)為，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解法，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的存在性，熟練掌握解方程，等腰三角形的分類是解題的關(guān)鍵．二、填空題7．當(dāng)時(shí)，式子有意義．【答案】【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件和分式有意義的條件列出不等式求解即可．【解析】根據(jù)二次根式有意義的條件和分式有意義的條件可得：，解得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式有意義的條件和分式有意義的條件，二次根式有意義的條件是被開方數(shù)大于或等于零，分式有意義的條件是分母能不為0．8．方程的解是．【答案】，【分析】將方程變形后，直接開平方求解即可．【解析】解：∴解得：，．【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡(jiǎn)便的方法是解題的關(guān)鍵．9．在命題“兩直線平行，同位角互補(bǔ)”中，“兩直線平行”叫作“條件”，“同位角互補(bǔ)”叫作．【答案】結(jié)論【分析】根據(jù)命題的定義：判斷一件事情的語(yǔ)句，叫做命題．許多命題都是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)求解即可．【解析】解：在命題“兩直線平行，同位角互補(bǔ)”中，“兩直線平行”叫作“條件”，“同位角互補(bǔ)”叫作結(jié)論，故答案為：結(jié)論．【點(diǎn)睛】本題考查了命題與定理：判斷一件事情的語(yǔ)句，叫做命題．許多命題都是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)，一個(gè)命題可以寫成“如果…那么…”形式．有些命題的正確性是用推理證實(shí)的，這樣的真命題叫做定理．10．關(guān)于x的方程有一個(gè)根為零，那么．【答案】6【分析】將代入原方程，得到新的方程，求解即可得到m的值．【解析】解：關(guān)于x的方程有一個(gè)根為0，即，∴，解得：，故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解，方程的解是能使方程兩邊左右相等的未知數(shù)的值．11．計(jì)算：．【答案】【分析】先根據(jù)二次根式有意義的條件判斷x和y的符號(hào)，根據(jù)二次根式的除法法則計(jì)算即可．【解析】解：由題意可知，，，∴，，原式故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查二次根式的除法運(yùn)算，解題關(guān)鍵在于掌握運(yùn)算法則．12．“有兩角及其中一角的平分線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等”是命題．（填“真”或“假”）【答案】真【分析】將原命題寫出已知和求證，然后進(jìn)行證明后即可得到該命題為真命題．【解析】已知：△ABC和△A′B′C′中,∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠B、∠B′的角平分線,BD=B′D′，求證：△ABC≌△A′B′C′.證明：∵∠B=∠B′且∠B、∠B′的角平分線分別為BD和B′D′，∴∠ABD=∠A′B′D′=∠B，∵BD=B′D′,∠A=∠A′，∴△ABD≌△A′B′D′，∴AB=A′B′，∵∠A=∠A′,∠B=∠B′，∴△ABC≌△A′B′C′.∴“有兩角及其中一角的平分線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等”是真命題，故答案為真.【點(diǎn)睛】本題考查命題與定理，解題的關(guān)鍵是掌握命題證明的基本步驟.13．已知方程和方程的解完全相同，則．【答案】1【分析】用因式分解法求的解即可．【解析】解：∵方程和方程的解完全相同，∴，故答案為1．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解法解一元二次方程，方程和方程的解完全相同，即可化為的形式．14．一件上衣原價(jià)500元/件，第一次降價(jià)后，銷售甚慢，第二次降價(jià)的百分率是第一次的兩倍，結(jié)果以240元/件的價(jià)格迅速售出，則第一次降價(jià)的百分率是．【答案】【分析】先設(shè)第次降價(jià)的百分率是x，則第一次降價(jià)后的價(jià)格為元，第二次降價(jià)后的價(jià)格為，根據(jù)兩次降價(jià)后的價(jià)格是240元建立方程，求出其解即可.【解析】第一次降價(jià)的百分率為x，則第二次降價(jià)的百分率為，根據(jù)題意得：，解得，（舍去）．則第一次降價(jià)的百分率為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程解實(shí)際問(wèn)題，讀懂題意，找出題目中的等量關(guān)系，列出方程，求出符合題意的解即可．15．如圖在△ABC中，AB＝AC，BF＝CD，BD＝CE，∠FDE＝70°，那么∠A＝．【答案】40°【分析】先證明△BDF≌△CED，得到∠BFD=∠CDE，根據(jù)三角形的內(nèi)角和與平角的定義推出∠FDE與∠B相等，再利用三角內(nèi)角和定理整理即可得出結(jié)論．【解析】解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△BDF和△CED中，，∴△BDF≌△CED（SAS），∴∠BFD=∠CDE，∴∠FDE=180°-∠CDE-∠BDF=180°-∠BFD-∠BDF=∠B，∵∠FDE=70°，∴∠B=70°，∵∠B+∠C+∠A=180°，∴∠A=40°．故答案為：40°．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的性質(zhì)與判定．解題的關(guān)鍵是通過(guò)三角形全等利用角的等量代換得到∠FDE=∠B．16．已知，求的取值范圍【答案】【分析】根據(jù)二次根式性質(zhì)先化簡(jiǎn)，再由去絕對(duì)值的代數(shù)意義分類討論求解即可得到答案．【解析】解：，，當(dāng)時(shí)，，原式，不合題意；當(dāng)時(shí)，，原式，符合題意；當(dāng)時(shí)，，原式，不合題意；綜上所述，當(dāng)時(shí)，的取值范圍是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式性質(zhì)及去絕對(duì)值運(yùn)算，熟記二次根式性質(zhì)及絕對(duì)值代數(shù)意義是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．17．已知是兩兩不相等的實(shí)數(shù)，且滿足，則的值為．【答案】【分析】根據(jù)被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，確定出，，代入原式即可解決問(wèn)題．【解析】解：，，是兩兩不相等的實(shí)數(shù)且滿足，又，，，，，原式．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的性質(zhì)、解題的關(guān)鍵是根據(jù)條件確定出，，記住二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)這個(gè)隱含條件，屬于中考常考題型．18．已知△ABC中，AB＝AC，將△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得△CDE，使點(diǎn)B恰好落在邊AB上點(diǎn)D處，邊DE交邊AC于點(diǎn)F（如圖），如果△CDF為等腰三角形，則∠A的度數(shù)為．【答案】36°或/或【分析】如圖，由題意知，設(shè)∠B＝x，∠1＝∠2＝∠B＝x，∠5＝180°﹣2x，∠3＝∠A+∠5＝360°﹣4x；△CDF為等腰三角形分三種情況討論：①當(dāng)CD＝DF時(shí)，∠2＝∠3＝x，進(jìn)行求解即可；②當(dāng)CD＝DF時(shí)，∠4＝∠3，由∠2+∠3+∠4＝180°，進(jìn)行求解即可；③當(dāng)CF＝DF時(shí)，∠2＝∠4＝x，由∠2+∠3+∠4＝180°，進(jìn)行求解即可．【解析】解：如圖，設(shè)∠B＝x，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B＝x∴∠A＝180°﹣2x∵△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得△CDE，使點(diǎn)B恰好落在邊AB上點(diǎn)D處∴CB＝CD，∠2＝∠B＝x∴∠1＝∠B＝x∴∠5＝180°﹣2x，∠3＝∠A+∠5＝360°﹣4x當(dāng)CD＝CF時(shí)，△CDF為等腰三角形，即∠2＝∠3＝x，則x＝360°﹣4x，解得x＝72°，此時(shí)∠A＝180°﹣2x＝36°；當(dāng)CD＝DF時(shí)，△CDF為等腰三角形，即∠4＝∠3，而∠2+∠3+∠4＝180°，則x+2（360°﹣4x）＝180°，解得x＝，此時(shí)∠A＝180°﹣2x＝；當(dāng)CF＝DF時(shí)，△CDF為等腰三角形，即∠2＝∠4＝x，而∠2+∠3+∠4＝180°，則x+x+360°﹣2x＝180°，無(wú)解，故舍去．綜上所述，△CDF為等腰三角形時(shí)∠A的度數(shù)為36°或．故答案為36°或．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)，等腰三角形等知識(shí)．解題的關(guān)鍵與難點(diǎn)在于對(duì)等腰三角形進(jìn)行分情況討論，并正確的表示各角的角度．三、解答題19．計(jì)算：【答案】【分析】先根據(jù)二次根式的性質(zhì)，完全平方公式和分母有理化化簡(jiǎn)，再計(jì)算加減即可．【解析】解：原式【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的混合運(yùn)算，掌握分母有理化和二次根式混合運(yùn)算的法則是解題的關(guān)鍵．20．計(jì)算：【答案】【分析】先算括號(hào)里面的除法，再算括號(hào)外的乘法即可．【解析】解：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的乘除混合運(yùn)算，關(guān)鍵是熟練掌握二次根式的性質(zhì)，掌握二次根式的乘除法法則．21．解方程：(1)；(2)用配方法：．(3)；【答案】(1)，(2)，(3)，【分析】（1）先展開，再合并，最后用因式分解來(lái)求解；（2）加一個(gè)4減一個(gè)4，再直接開方，進(jìn)行求解；（3）直接利用公式法進(jìn)行求解．【解析】（1）解：，解得：，；（2）解：解：，；（3）解：，，，，，，解得：，【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是掌握因式分解法、配方法、公式法進(jìn)行求解．22．已知，，求的值．【答案】12【分析】先將x和y進(jìn)行分母有理化，再將原式變形，代入x和y的值計(jì)算即可．【解析】解：，，【點(diǎn)睛】本題考查分母有理化，二次根式的混合運(yùn)算和完全平方公式進(jìn)行因式分解，掌握二次根式的混合運(yùn)算法則和分母有理化是解題的關(guān)鍵．23．關(guān)于x的一元二次方程kx2+（k+1）x+＝0．（1）當(dāng)k取何值時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？（2）若其根的判別式的值為3，求k的值及該方程的根．【答案】（1）且；（2）【分析】（1）由方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，得到，列不等式結(jié)合，從而可得答案；（2）利用列方程求解再把的值代入原方程，解方程即可得到答案．【解析】解：（1）該方程的判別式為：，∵方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴2k+1＞0，解得，又∵該方程為一元二次方程，∴，∴k的取值范圍為：且．（2）由題意得2k+1＝3解得k＝1，原方程為：解得：【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程的根的判別式，一元二次方程的解法，掌握一元二次方程根的判別式與公式法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．24．已知，求的值．【答案】1【分析】首先將變形為，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得，，求解即可確定的值，然后代入求解即可．【解析】解：∵，∴，∴，∵，，∴，，解得，，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了代數(shù)式求值、完全平方式的應(yīng)用、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、零指數(shù)冪、二次根式運(yùn)算等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)并靈活運(yùn)用是解題關(guān)鍵．25．如圖，現(xiàn)有以下三個(gè)條件：①②③．請(qǐng)你以其中兩個(gè)作為題設(shè)，另一個(gè)作為結(jié)論構(gòu)造命題．（1）你構(gòu)造的是哪幾個(gè)命題？（2）你構(gòu)造的命題是真命題還是假命題？若是真命題，請(qǐng)給予證明；若是假命題，請(qǐng)舉出反例(證明其中的一個(gè)命題即可)．【答案】（1）可構(gòu)造如下幾個(gè)命題：如果那么，如果那么，如果，那么；（2）證明見(jiàn)解析．【分析】（1）分別以其中2句話為條件，第三句話為結(jié)論可寫出3個(gè)命題；（2）根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)對(duì)3個(gè)命題分別進(jìn)行證明，判斷它們的真假．【解析】解：（1）有：如果那么；如果那么；如果，那么；（2）如圖：∵AB∥CD，∴∠B=∠CDF，∵∠B=∠C，∴∠C=∠CDF，∴CE∥BF，∴∠E=∠F，∴如果那么為真命題；∵AB∥CD，∴∠B=∠CDF，∵∠E=∠F，∴CE∥BF，∴∠C=∠CDF，∴∠B=∠C，∴如果那么為真命題；∵∠E=∠F，∴CE∥BF，∴∠C=∠CDF，∵∠B=∠C，∴∠B=∠CDF，∴AB∥CD，∴如果，那么為真命題．【點(diǎn)睛】本題考查了命題與定理：判斷事物的語(yǔ)句叫命題；正確的命題稱為真命題，錯(cuò)誤的命題稱為假命題；經(jīng)過(guò)推理論證的真命題稱為定理．26．如圖，和都是等邊三角形，且點(diǎn)A、D、E在同一直線上，證明；【答案】證明見(jiàn)解析【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，得出，，，再根據(jù)角之間的數(shù)量關(guān)系，得出，再根據(jù)“邊角邊”，得出，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得出，再根據(jù)等量代換，即可得出結(jié)論．【解析】證明：∵和都是等邊三角形，∴，，，∴，，∴，在和中，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)定理．27．某商店準(zhǔn)備進(jìn)一種季節(jié)性小家電，每臺(tái)進(jìn)價(jià)40元，經(jīng)市場(chǎng)預(yù)測(cè)，銷售定價(jià)為52元時(shí)，可售出180臺(tái)；銷售定價(jià)每增加或降低元，銷售量將減少或增加臺(tái)．因受庫(kù)存的影響，每批次進(jìn)貨臺(tái)數(shù)不得超過(guò)180臺(tái)；商店若希望獲利2000元，則應(yīng)進(jìn)貨多少臺(tái)？銷售定價(jià)多少元？【答案】100臺(tái)，60元【分析】利用銷售利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)，根據(jù)題中條件可以列出利潤(rùn)與x的關(guān)系式，求出即可．【解析】解：設(shè)每個(gè)商品的定價(jià)是x元，由題意，得（x-40）[180-10（x-52）]=2000，整理，得x2-110x+3000=0，解得x1=50，x2=60．當(dāng)x=50時(shí)，進(jìn)貨180-10×（50-52）=200個(gè)，不符合題意，舍去；當(dāng)x=60時(shí)，進(jìn)貨180-10×（60-52）=100個(gè)，符合題意．答：當(dāng)該商品每個(gè)定價(jià)為60元時(shí)，進(jìn)貨100個(gè)．【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用；找到關(guān)鍵描述語(yǔ)，找到等量關(guān)系準(zhǔn)確的列出方程是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．28．相傳，大禹治水時(shí)，洛水中出現(xiàn)了一個(gè)“神龜背上有妙的圖案，史稱“洛書”，用現(xiàn)在的數(shù)字翻譯出來(lái)，就是三級(jí)幻方．三階幻方是最簡(jiǎn)單的幻方，又叫九宮格，它是由九個(gè)數(shù)字組成的一個(gè)三行三列的矩陣其對(duì)角線、橫行、縱向的數(shù)字之和均相等，這個(gè)和叫做幻和，正中間那個(gè)數(shù)叫中心數(shù)．如圖1，是由1、2、3、4、5、6、7、8、9所組成的一個(gè)三階幻方，其幻和為15，中心數(shù)為5．(1)如圖2也是由1、2、3、4、5、6、7、8、9所組成的一個(gè)三階幻方，則x的值為______．(2)由1、2、3、4、5、6、7、8、9生成的幻方稱為基本三階幻方，在此基礎(chǔ)上各數(shù)再加或減一個(gè)相同的數(shù)，可組成新三階幻方，新三階幻方的幻和也隨之變化，如圖3，是由基本三階幻方中各數(shù)加上m后生成的新三階幻方，該新三階幻方的幻和為的4倍，且，求的值．(3)由1、2、3、4、5、6、7、8、9生成的基本三階幻方中每個(gè)數(shù)都乘以或除以一個(gè)不為0的數(shù)也可組成一個(gè)新三階幻方，如圖4，是由基本三階幻方中各數(shù)乘以p再減2后生成的新三階幻方，其中為9個(gè)數(shù)中的最大數(shù)，且滿足求P及的值．【答案】(1)(2)15(3)，【分析】（1）由題意可知，，解方程即可．（2）由題意新三階幻方是由圖1生成的，可得中心數(shù)，幻和為：，進(jìn)而可得，解方程即可．（3）由數(shù)中最大的數(shù)，可得，，，，根據(jù)，可得，由，得，可得②由，得，進(jìn)而得，則帶入②得，求得，進(jìn)而可求得，，可得，．【解析】（1）由題意可知，，解得，故答案為：4；（2）解：由題意得：中心數(shù)，幻和為：，又∵新三階幻方的幻和為的4倍，∴，∴，又∵，∴∴，即，∴，∴（3）∵數(shù)中最