專(zhuān)題13.3 三角形中的幾何綜合（壓軸題專(zhuān)項(xiàng)講練）（人教版）（原卷版）

專(zhuān)題13.3三角形中的幾何綜合【典例1】已知△ABC,AB=AC．（1）若∠BAC=90°，作△BCE，點(diǎn)A在△BCE內(nèi)．①如圖1，延長(zhǎng)CA交BE于點(diǎn)D，若∠EBC=75°,BD=2DE，則∠DCE的度數(shù)為；②如圖2，DF垂直平分BE，點(diǎn)A在DF上，ADAF=3（2）如圖3，若∠BAC=120°，點(diǎn)E在AC邊上，∠EBC=10°，點(diǎn)D在BC邊上，連接DE,AD,∠CAD=40°，求∠BED的度數(shù)．【思路點(diǎn)撥】（1）①連接AE，由已知易得∠DBA=30°，繼而可知BD=2AD，則有AD=AE，∠AED=∠DAE=30°，所以AB=AE=AC，得△ACE是等腰三角形，再由三角形外角的性質(zhì)即可求解．②過(guò)C點(diǎn)作CH⊥FD交延長(zhǎng)線于H，構(gòu)造K字形全等△ABD≌△CAH，得CH=AD，AH=BD，再由AB=AC=AE可得∠BEC=45°，進(jìn)而可得ED=DF，而B(niǎo)D=DE，即有BD=AF+AD，再由三角形面積公式可求比值．（2）以AB為邊作等邊三角形，由△ABC是頂角為120°的等腰三角形，易得BC垂直平分AN,AD=ND，由∠DAC=40°可知∠NAD=∠DNA=20°，再在BE上取M點(diǎn)，使∠MAB=∠ABM=20°，由ASA即可判定△ABM≌△AND，所以AM=AD，再由已有條件易得AM=AE，所以△ADE是等腰三角形，進(jìn)而求出∠AED,∠BED度數(shù)即可．【解題過(guò)程】（1）解：①連接AE，∵AB=AC,∠BAC=90°，∴∠ABC=45°，∵∠EBC=75°，∴∠ABD=30°，∴在Rt△ABD中，BD=2AD,∠BDA=60°又∵BD=2DE，∴DE=DA，∴∠DEA=∠DAE=30°，∴∠ABD=∠DEA=30°，∴AB=AE，∴AE=AC，∴∠AEC=∠ACE，又∵∠AEC+∠ACE=∠EAD=30°，∴∠DCE=15°，故答案為：15°．②解：連接AE，過(guò)C點(diǎn)作CH⊥FD交延長(zhǎng)線于H，∵DF垂直平分BE，即∠ADE=∠ADB=90°,DE=DB，∴AB=AE，∴∠ABD+∠BAD=90°，又∵∠BAC=90°，∴∠CAH+∠BAD=90°，∴∠ABD=∠CAH，在△ABD和△CAH中，∠ADB=∠CHA∠ABD=∠CAH∴△ABD≌△CAH(AAS∴CH=AD,AH=BD，∵AB=AC=AE，

又∵∠BAC=∠ABE+∠AEB+∠ACE+∠AEC，∴2∠BEC=∠BAC=90°，∴∠BEC=45°，∴Rt△FDE∴DF=DE，∴DB=DF，∵ADAF=3∴BD=AD+AF=AF+3∵S△ABD∴S△ABD故S△ABDS△AFC（2）解：以AB為邊作等邊△ABN，連接DN，∵∠BAC=120°,AB=AC，∴∠ABD=30°，∴BD垂直平分AN，∴AD=ND，∵∠DAC=40°，∴∠NAD=∠DNA=20°，在BE上取M點(diǎn)，使∠MAB=20°，∵∠EBC=10°，∴∠EBA=∠MAB=20°，在△ABM和△ADN中，∠BAM=∠NAD∠ABM=∠AND∴△ABM≌△AND(AAS∴AM=AD，

∵∠EBA=∠MAB=20°,∠EBC=10°,∠C=30°，∴∠AME=40°,∠AEM=40°，∴AM=AE，∴AD=AE，∵∠DAC=40°，∴∠AED=70°，∴∠BED=∠AED-∠AEB=70°-40°=30°．1．（2023春·陜西西安·八年級(jí)陜西師大附中?？茧A段練習(xí)）在等邊△ABC中，將線段CA繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)α0°<α<60°，得到線段CD，連接AD、BD（1）如圖1，將線段CA繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α，則∠ADB的度數(shù)為；（2）將線段CA繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α?xí)r，得到線段CD，連接AD、BD．①在圖2中依題意補(bǔ)全圖形，并求∠ADB的度數(shù)；②若∠BCD的平分線CE交BD于點(diǎn)F，交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連結(jié)BE．則AD+CE與BE之間存在怎樣的等量關(guān)系，并證明．

2．（2023秋·廣東廣州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知等腰直角△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，以BC為邊在點(diǎn)A的另一側(cè)作等邊△BCD，點(diǎn)F，G分別在線段BC，BD上，∠CDF＝15°，且CF=BG，CG與DF相交于點(diǎn)H（1）求證：△EHC是等邊三角形；（2）試判斷線段AE和DH的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．（3）若點(diǎn)M是AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，AB=aAB＝a，AE=b，BC=c，求△BMD周長(zhǎng)的最小值（結(jié)果用含a，b，c的整式表示）．

3．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，BE⊥CE于點(diǎn)E，且∠ABC=∠ACB，∠BCE=30°．（1）如圖1，求證：BE=BD；（2）如圖2，點(diǎn)F為AC上一點(diǎn)，連接FB并延長(zhǎng)與CE的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)G，若AB=GB，求∠BFC的度數(shù)；（3）如圖3，在（2）的條件下，延長(zhǎng)CA至點(diǎn)H，使得HF=CF，過(guò)點(diǎn)H作HI∥AB交CG于點(diǎn)I，若HI=FG=63

4．（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC

（1）如圖1，連接EC，求證：△EBC是等邊三角形；（2）點(diǎn)M是線段CD上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)C，D重合），以BM為一邊，在BM的下方作∠BMG=60°，MG交DE延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．請(qǐng)你在圖2中畫(huà)出完整圖形，并直接寫(xiě)出MD，DG（3）如圖3，點(diǎn)N是線段AD上的一點(diǎn)，以BN為一邊，在BN的下方作∠BNG=60°，NG交DE延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．試探究ND，DG5．（2023秋·福建泉州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，等腰△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC．點(diǎn)E為AD上的動(dòng)點(diǎn)，連接BE，將△ABE沿BE折疊得到△PBE．（1）若BD=3，試求出BC的長(zhǎng)度；（2）若BE=BC，設(shè)PB與AC相交于點(diǎn)F．①請(qǐng)求出∠BFC的度數(shù)；②連接EF，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥EF交EF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．若BF=10，EG=6．試求線段CF的長(zhǎng)．6．（2023秋·湖北武漢·八年級(jí)校聯(lián)考期中）已知等腰△ABC中，AB=AC=20cm，∠ABC=30°，CD⊥AB交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，AF為CA的延長(zhǎng)線，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)以每秒2cm的速度在射線AF上向右運(yùn)動(dòng)，連接BP，以BP為邊，在BP的左側(cè)作等邊△BPE，連接（1）如圖1，當(dāng)BP⊥AC時(shí)，求證：△ABP≌△ACD；（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到如圖2位置時(shí)，此時(shí)點(diǎn)D與點(diǎn)E在直線AP同側(cè)，求證：AP=AB+AE；（3）在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，連接DE，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)______秒時(shí)，線段DE長(zhǎng)度取到最小值．7．（2022秋·上海普陀·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線．（1）在線段AD上任意取一點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作MN⊥AD，交AB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)N，通過(guò)這樣的作圖能得到結(jié)論MF=FN，那么依據(jù)是_________．（2）如果∠B=60°，CE平分∠ACB交AB于點(diǎn)E，且AD、CE相交于點(diǎn)F，求證：（3）如果∠ACB=100°，在邊AB上截取一點(diǎn)E，連接CE，使∠ACE=20°，連接DE．請(qǐng)直接寫(xiě)出∠ADE的度數(shù)．8．（2023秋·湖北武漢·八年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°．①如圖1，點(diǎn)M，N均在邊BC上，∠ANB=45°，∠MAN=∠NAD=60°，AD=AM，連接ND,CD；請(qǐng)直接寫(xiě)出BM與CN的數(shù)量關(guān)系②如圖2，點(diǎn)M在邊BC上，點(diǎn)N在BC的上方，且∠MBN=∠MAN=60°，求證：MC=BN+MN；（2）如圖3，在四邊形ABCD中，∠CAB=α，平分∠ABC，若∠ADC與∠ABD互余，則∠DAC的大小為_(kāi)_____（用含α的式子表示）．

9．（2023·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖1，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)D是直線AB上異于A，B的一動(dòng)點(diǎn)，連接CD，以CD為邊長(zhǎng)，在CD在側(cè)作等邊△CDE，連接BE．

（1）求證：BE∥AC；（2）當(dāng)點(diǎn)D在直線AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，①△BDE的周長(zhǎng)是否存在最小值？若存在，求此時(shí)AD②△BDE能否形成直角三角形？若能，求此時(shí)AD

10．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)期中）已知：△ABC是等邊三角形，△BDC是等腰三角形，其中∠BDC=120°，過(guò)點(diǎn)D作∠EDF=60°，分別交AB于E，交AC于F，連接EF．（1）若BE=CF，求證：①△DEF是等邊三角形；②BE+CF=EF．（2）若BE≠CF，即E、F分別是線段AB、AC上任意一點(diǎn)，BE+CF=EF還會(huì)成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．11．（2023秋·福建莆田·八年級(jí)莆田二中?？计谥校┮阎骸鰽BC中，∠C=90°，CA=CB，點(diǎn)D是BC上一點(diǎn)，BE⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．

（1）如圖①，求證：∠CAD=∠EBD（2）如圖②，若CF∥AB交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接DF，求證：∠EDF+2∠CDF=180°；（3）如圖③，若AD是∠BAC的平分線，CG∥BE交AD于點(diǎn)H，交AB于點(diǎn)G，求AD-CGDH12．（2023秋·江蘇宿遷·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知△BAD和△BCE均為等腰直角三角形，∠BAD=∠BCE=90°，點(diǎn)M為DE的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E與AD平行的直線交射線AM于點(diǎn)N．

（1）當(dāng)A，B，C三點(diǎn)，C，E，（2）將圖1中的△BCE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，當(dāng)A，B，E三點(diǎn)在同一直線上時(shí)（如圖（3）將圖1中△BCE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到圖3位置時(shí)，A，B，13．（2023秋·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)哈爾濱市第十七中學(xué)校?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，點(diǎn)E在線段BC的延長(zhǎng)線上，連接BD、DE，∠ABD=∠CDE，BD=DE；

（1）如圖1，求證：△ABC是等腰三角形；（2）如圖2，BC=AB，求證：AD=CE；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接AE，點(diǎn)F是線段BD中點(diǎn)，連接AF，∠BAF=2∠BED，DH⊥AE于點(diǎn)H，DH=95，△ACE的面積為19214．（2023春·福建三明·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在銳角△ABC中，∠A=60°，點(diǎn)D，E分別是邊AB，AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接BE交CD于點(diǎn)F．

（1）如圖1，若BE平分∠ABC，CD平分∠ACB，求∠CFE的度數(shù)；（2）如圖2，若AB>AC，且BD=CE，∠BCD=∠CBE，求∠CFE的度數(shù)；（3）如圖3，若AB=AC，且BD=AE，在平面內(nèi)將線段AC繞點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得到線段CM，連接MF，點(diǎn)N是MF的中點(diǎn)，連接CN．在點(diǎn)D，E運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，猜想線段BF，CF，CN之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．

15．（2022秋·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，點(diǎn)D在線段AC上，點(diǎn)E在線段BC的延長(zhǎng)線上，連接BD、DE，∠ABD=∠CDE，BD=DE；

（1）如圖1，求證：△ABC是等腰三角形；（2）如圖2，BC=AB，求證：AD=CE；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接AE，點(diǎn)F是線段BD中點(diǎn)，連接AF，∠BAF=2∠BED，DH⊥AE于點(diǎn)H，DH=95，△ACE的面積為19216．（2023秋·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在△ABC中，CD⊥AB于點(diǎn)D，∠B=2∠ACD．（1）如圖1，求證：△ABC是等腰三角形．（2）如圖2，點(diǎn)E是邊AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接CE、AF，若CE=AF，求證：AE=2AD+CF．（3）如圖3，在（2）的條件下，過(guò)A作AC的垂線交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，點(diǎn)K是CE上一點(diǎn)，連接KA并延長(zhǎng)至點(diǎn)G，使GA=AK，連接HG．若∠G=2∠GHA，∠F-∠B=12∠CAF，GK=1217．（2023秋·重慶沙坪壩·八年級(jí)重慶南開(kāi)中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，E是BC邊上一點(diǎn)．

（1）如圖1，點(diǎn)D是AC邊上一點(diǎn)，連接DE，將DE繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至EF，連接BF．若AC=4，BE=2，求△BEF的面積；（2）如圖2，連接AE，將AE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至EM，連接BM，取BM的中點(diǎn)N，連接EN.試探究線段EN，BE，AB之間的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖3，連接AE，P為AE上一點(diǎn)，在AP的上方以AP為邊作等邊△APQ，剛好點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)，連接CP，當(dāng)CP+12AP取最小值的條件下，點(diǎn)G是直線PQ上一點(diǎn)，連接CG，將△CGP沿CG所在直線翻折得到△CGK（△CGK與△ABC在同一平面內(nèi)），連接AK，當(dāng)AK18．（2023秋·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，點(diǎn)D在邊AB上，連接CD，AB⊥AB，AE交CD于點(diǎn)E，點(diǎn)F在邊BC上，BF=AE，連接AF交CD于點(diǎn)G．（1）如圖1，求證：AF=CE；（2）如圖1，求∠AGC的度數(shù)；（3）如圖2，點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，CN∥AF，DN⊥CN于點(diǎn)N，連接AN交BC于點(diǎn)K，過(guò)點(diǎn)N作NH⊥BC，垂足為H，當(dāng)KH=2時(shí)，求FK的長(zhǎng)．

19．（2022秋·福建廈門(mén)·八年級(jí)廈門(mén)市湖濱中學(xué)?？计谥校┤鐖D，等邊△ABC中，過(guò)頂點(diǎn)A在AB邊的右側(cè)作射線AP，∠BAP=α（30°<α<120°）.點(diǎn)B與點(diǎn)E關(guān)于直線AP對(duì)稱，連接AE，BE，且BE交射線AP于點(diǎn)D，過(guò)C，