專(zhuān)題15 銳角三角函數(shù)-原卷版

專(zhuān)題15銳角三角函數(shù)★知識(shí)點(diǎn)1：正弦的概念和求正弦值如右圖、在Rt△ABC中，∠C=90°，如果銳角A確定：sinA=，這個(gè)比叫做∠A的正弦.1,不能寫(xiě)成sin·A，對(duì)于用三個(gè)大寫(xiě)字母表示一個(gè)角時(shí)，其三角函數(shù)中符號(hào)“∠”不能省略，應(yīng)寫(xiě)成sin∠BAC，而不能寫(xiě)出sinBAC.2,sin2A表示(sinA)2，而不能寫(xiě)成sinA2.典例分析【例1】（2022秋·安徽安慶·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)A為邊上的任意一點(diǎn)，作于點(diǎn)C，于點(diǎn)D，下列用線段比表示出的值，正確的是（

）A． B． C． D．【例2】（2022春·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在中，，則（

）A． B． C． D．【即學(xué)即練】1．（2022秋·福建泉州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在中，，是斜邊上的高，，則的值為（

）A． B． C． D．2．（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則的正弦值是（

）A． B． C． D．★知識(shí)點(diǎn)2：已知正弦值求邊長(zhǎng)根據(jù)三角函數(shù)的概念和特殊三角函數(shù)值，結(jié)合已知的條件求出邊長(zhǎng)即可。典例分析【例1】（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在中，，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，已知，，則的長(zhǎng)為(

)

A． B． C． D．無(wú)法計(jì)算【例2】（2022秋·安徽安慶·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，則有（

）

A． B． C． D．即學(xué)即練1．（2023春·浙江·九年級(jí)階段練習(xí)）已知在中，，，，那么（

）A． B． C． D．2．（2023秋·福建泉州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）在中，，，，則（

）A．10 B．8 C．5 D．4★知識(shí)點(diǎn)3：余弦的概念和求余弦值cosA=，這個(gè)比叫做∠A的余弦.典例分析【例1】（2022秋·山東青島·九年級(jí)?？计谀┰谥校?、、對(duì)邊分別為、、，，若，則（

） B． C． D．【例2】（2022秋·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，若，則的值為（

）

A． B． C． D．即學(xué)即練1．（2021秋·廣西百色·九年級(jí)統(tǒng)考期末）在△ABC中，∠C=90°，a、b、c分別為∠A、∠B、∠C的對(duì)邊，下列各式成立的是（）A． B． C． D．2．（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，點(diǎn)A、B、C均在小正方形的頂點(diǎn)上，且每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，則的值為（

）

A． B． C． D．★知識(shí)點(diǎn)4已知余弦值求邊長(zhǎng)典例分析【例1】（2023·陜西榆林·校考三模）如圖，在中，，則的長(zhǎng)為（

）

A．4.5 B．5 C． D．【例2】（2023·廣東廣州·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，，則的長(zhǎng)是（

）

A．6 B．7 C．8 D．9即學(xué)即練1．（2023·陜西渭南·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，，的垂直平分線交于點(diǎn)，連接，若，則的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．2.（2022秋·山東煙臺(tái)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）在中，，，，則等于（

）A．3 B．2 C． D．★知識(shí)點(diǎn)5正切的概念和求正切值tanA=，這個(gè)比叫做∠A的正切.典例分析【例1】（2022秋·遼寧大連·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，，則(

)A． B． C． D．【例2】（2023春·天津河?xùn)|·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在中，，設(shè)，，所對(duì)的邊分別是a，b，c，則下列各等式中一定成立的是（

）A． B． C． D．即學(xué)即練1．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）在中，如果各邊長(zhǎng)度均擴(kuò)大3倍，則銳角A的正切值（

）A．不變化 B．?dāng)U大兩倍 C．縮小一半 D．以上都不對(duì)2．（2022秋·山東淄博·九年級(jí)?？计谥校┮阎谥校?，，則的值等于（

）A． B．2 C． D．★知識(shí)點(diǎn)6已知正切值求邊長(zhǎng)典例分析【例1】（2023·上?！ぞ拍昙?jí)假期作業(yè)）在中，，那么邊的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【例2】（2023·陜西西安·西安市鐵一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在菱形中，對(duì)角線與交于點(diǎn)O，若，，點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（

）A．5 B．4 C．6 D．8即學(xué)即練1．（2023·陜西咸陽(yáng)·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，D是的中點(diǎn)，，，則的長(zhǎng)為（

）

A．1 B．2 C．4 D．82．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，點(diǎn)D是上一點(diǎn)，連接．若，，則的長(zhǎng)為（

）A．2 B． C．3 D．★知識(shí)點(diǎn)7求特殊角的三角函數(shù)值0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函數(shù)值(重要)三角函數(shù)30°45°60°1正弦、余弦的增減性：當(dāng)0°≤≤90°時(shí)，sin隨的增大而增大，cos隨的增大而減小。正切的增減性：當(dāng)0°<<90°時(shí)，tan隨的增大而增大1.函數(shù)值的取值范圍對(duì)于銳角A的每一個(gè)確定的值，sinA有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng)，所以sinA是∠A的函數(shù).同樣，cosA、tanA也是∠A的函數(shù)，其中∠A是自變量，sinA、cosA、tanA分別是對(duì)應(yīng)的函數(shù).其中自變量∠A的取值范圍是0°＜∠A＜90°，函數(shù)值的取值范圍是0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0.2．銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系：余角三角函數(shù)關(guān)系：“正余互化公式”如∠A+∠B=90°，那么：sinA=cosB；cosA=sinB；同角三角函數(shù)關(guān)系：sin2A＋cos2A=1；tanA=30°、45°、60°角的三角函數(shù)值和解30°、60°直角三角形和解45°直角三角形為本章重中之重，是幾何計(jì)算題的基本工具，三邊的比借助銳角三角函數(shù)值記熟練.典例分析【例1】（2023·湖南益陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有三點(diǎn)，，，則（

）

A． B． C． D．【例2】（2023春·天津·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）計(jì)算的結(jié)果為（

）A． B．1 C． D．即學(xué)即練1．（2023春·天津北辰·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）的值等于（

）A． B． C．1 D．2．（2023·上海·九年級(jí)假期作業(yè)）的值等于(

)A． B． C． D．1★知識(shí)點(diǎn)8特殊角的三角函數(shù)值判斷三角形的形狀典例分析【例1】（2023春·山東濟(jì)南·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在中，若，，則這個(gè)三角形一定是（

）．A．銳角三角形 B．等腰三角形 C．鈍角三角形 D．直角三角形【例2】（2023春·安徽滁州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在中，都是銳角，，則是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．銳角三角形即學(xué)即練1（2023秋·浙江寧波·九年級(jí)統(tǒng)考期末）若的內(nèi)角滿足，則的形狀是（

）A．直角三角形 B．等邊三角形C．鈍角三角形 D．三角不全相等的銳角三角形2．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）若，則ABC的形狀是（

）A．含有60°直角三角形 B．等邊三角形C．含有60°的任意三角形 D．等腰直角三角形★知識(shí)點(diǎn)9已知角度比較三角函數(shù)值的大小典例分析【例1】（2022春·九年級(jí)單元測(cè)試）若，則的正切值的范圍是（

）A． B． C． D．【例2】．（2022春·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知，關(guān)于角α的三角函數(shù)的命題有：①，②，③，④，其中是真命題的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)即學(xué)即練1．（2022秋·九年級(jí)單元測(cè)試）三角函數(shù)、、之間的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．2．（2023春·江蘇淮安·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如果，那么與的差（

）A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能確定★知識(shí)點(diǎn)10利用同角三角函數(shù)求值典例分析【例1】（2023春·浙江·九年級(jí)階段練習(xí)）已知是銳角，，則的值為（

）A． B． C． D．無(wú)法確定【例2】（2022秋·山東聊城·九年級(jí)臨清市京華中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）在中，，，則值為（）A． B． C． D．即學(xué)即練1．（2022春·浙江·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知是斜邊邊上的高，那么下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．2．（2022春·江蘇·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，則cosA＝（）A． B． C． D．★知識(shí)點(diǎn)11根據(jù)三角函數(shù)值判斷銳角的取值范圍典例分析【例1】（2022秋·九年級(jí)單元測(cè)試）若銳角滿足，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【例2】．（2023春·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知為銳角，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．即學(xué)即練1．（2023·陜西西安·校考模擬預(yù)測(cè)）若cos∠1=0.8，則∠1的度數(shù)在（

）范圍內(nèi)．A．0°＜∠1＜30° B．30°＜∠1＜45° C．45°＜∠1＜60° D．60°＜∠1＜90°2．（2022·浙江·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）若∠A是銳角，且sinA＝，則（

）A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45° C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90°★知識(shí)點(diǎn)12互余兩角三角函數(shù)關(guān)系典例分析【例1】（2022秋·安徽六安·九年級(jí)校考期末）在中，，，則（

）A． B． C． D．【例2】（2023春·山東青島·九年級(jí)統(tǒng)考期末）下列等式中正確的是（

）A． B．C． D．即學(xué)即練1．（2022秋·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·九年級(jí)校考期末）在中，，則的值為（

）A． B． C． D．2．（2022秋·安徽六安·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）已知，則銳角A的取值范圍是（）A． B． C． D．1．（2022春·九年級(jí)單元測(cè)試）在，，，則的值是（）A． B． C． D．2．（2023·上海·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在中，，則下列關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．3．（2023秋·湖南益陽(yáng)·九年級(jí)校考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，與軸正半軸的夾角為，則的值為（

）

A． B． C． D．4．（2023秋·云南楚雄·九年級(jí)統(tǒng)考期末）在中，，，，則等于（

）A．6 B．7.5 C．8 D．105．（2023·遼寧撫順·統(tǒng)考三模）如圖，在中，是斜邊上的高，，則下列比值中等于的是（

）

A． B． C． D．6．（2023春·河北承德·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，是嘉琪用帶有刻度的直尺在數(shù)軸上作圖的方法，圖中線段a與直尺垂直，線段b與數(shù)軸垂直，則點(diǎn)D表示的數(shù)是（

）A． B． C．2 D．7．（2023春·湖北襄陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）在中，，下列等式不一定成立的（）A． B．C． D．8．（2023春·安徽淮南·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）當(dāng)時(shí)下列不等式成立的是（）A． B．C． D．9．（2022春·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，四邊形中，，，，則（）

A． B． C． D．10．（2023秋·九年級(jí)單元測(cè)試）在中，，，則（）A． B． C． D．11．（2023·湖北黃石·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）計(jì)算．12．（2023春·山東威海·九年級(jí)統(tǒng)考期中）計(jì)算：．13．（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：14．（2021秋·上?！ぐ四昙?jí)期末）如圖，在中，，，，求：的面積和的度數(shù)．15．（2023·江西南昌·統(tǒng)考一模）（1）；（2）在中，，，求的度數(shù)．16．（2022春·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知和射線上一點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），且點(diǎn)到、的距離為、．(1)若，，，試比較、的大?。?2)若，，，都是銳角，且．試判斷、的大小，并給出證明．17．（2023春·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知，中，，，求、、、．18．（2019春·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖1，2，3，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)完成填空，再按要求答題：____；____；____．（1）觀察上述等式，