2013中考一輪精講之三角形第3課時(shí)-等腰三角形

第五單元三角形第3課時(shí)┃等腰三角形第3課時(shí)等腰三角形第3課時(shí)┃考點(diǎn)聚焦考點(diǎn)聚焦考點(diǎn)1等腰三角形的概念與性質(zhì)

定義有____相等的三角形是等腰三角形．相等的兩邊叫腰，第三邊為底軸對稱性等腰三角形是軸對稱圖形，有____條對稱軸性質(zhì)定理1等腰三角形的兩個(gè)底角相等(簡稱為：________)定理2等腰三角形頂角的平分線、底邊上的________和底邊上的高互相重合，簡稱“三線合一”(1)等腰三角形兩腰上的高相等(2)等腰三角形兩腰上的中線相等(3)等腰三角形兩底角的平分線相等拓展(4)等腰三角形一腰上的高與底邊的夾角等于頂角的一半(5)等腰三角形頂角的外角平分線與底邊平行(6)等腰三角形底邊上任意一點(diǎn)到兩腰的距離之和等于一腰上的高(7)等腰三角形底邊延長線上任意一點(diǎn)到兩腰距離之差等于一腰上的高兩邊

1等邊對等角中線

考點(diǎn)2等腰三角形的判定定理如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對的邊也相等(簡寫成：________)(1)一邊上的高與這邊上的中線重合的三角形是等腰三角形拓展(2)一邊上的高與這邊所對的角的平分線重合的三角形是等腰三角形(3)一邊上的中線與這邊所對的角的平分線重合的三角形是等腰三角形等角對等邊

第3課時(shí)┃考點(diǎn)聚焦考點(diǎn)3等邊三角形定義三邊相等的三角形是等邊三角形性質(zhì)等邊三角形的各角都______，并且每一個(gè)角都等于______等邊三角形是軸對稱圖形，有______條對稱軸判定(1)三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形(2)有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形相等

60°

3

第3課時(shí)┃考點(diǎn)聚焦考點(diǎn)4線段的垂直平分線性質(zhì)線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離________判定與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的________________上相等

垂直平分線

第3課時(shí)┃考點(diǎn)聚焦考點(diǎn)5角平分線的性質(zhì)與判定性質(zhì)角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的______相等判定角的內(nèi)部到角兩邊的距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的______________上距離

平分線第3課時(shí)┃考點(diǎn)聚焦第3課時(shí)┃中考探究中考探究?類型之一等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用命題角度：1.等腰三角形的性質(zhì)；2.等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)；3.等腰三角形兩腰上的高(中線)、兩底角的平分線的性質(zhì).例1

如圖21－1，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD是BC邊上的中線，∠ABC的平分線BG交AD于點(diǎn)E，EF⊥AB，垂足為F.求證：EF＝ED.證明：∵AB＝AC，AD是BC邊上的中線，∴AD⊥BC.∵BG平分∠ABC，EF⊥AB，∴EF＝ED.[解析]根據(jù)等腰三角形三線合一，確定AD⊥BC，又因?yàn)镋F⊥AB，然后根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等證出結(jié)論．圖21－1第3課時(shí)┃中考探究(1)利用線段的垂直平分線進(jìn)行等線段轉(zhuǎn)換，進(jìn)而進(jìn)行角度轉(zhuǎn)換．(2)在同一個(gè)三角形中，等角對等邊與等邊對等角進(jìn)行互相轉(zhuǎn)換．第3課時(shí)┃中考探究?類型之二等腰三角形的判定命題角度：等腰三角形的判定．例2

[2011·揚(yáng)州]

已知：如圖21－2，銳角△ABC的兩條高BD、CE相交于點(diǎn)O，且OB＝OC.(1)求證：△ABC是等腰三角形；(2)判斷點(diǎn)O是否在∠BAC的平分線上，并說明理由．圖21－2第3課時(shí)┃中考探究解：(1)證明：∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.∵BD、CE是兩條高，∴∠BDC＝∠CEB＝90°.又∵BC＝CB，∴△BDC≌△CEB(AAS)．∴∠DCB＝∠EBC,∴AB＝AC.即△ABC是等腰三角形．(2)點(diǎn)O在∠BAC的平分線上．理由：連結(jié)AO.∵△BDC≌△CEB，∴DC＝EB.∵OB＝OC，∴OD＝OE.又∵∠ADO＝∠AEO＝90°，AO＝AO∴△ADO≌△AEO(HL)．∴∠DAO＝∠EAO，即點(diǎn)O在∠BAC的平分線上．第3課時(shí)┃中考探究[解析](1)利用△BDC≌△CEB

證明∠DCB＝∠EBC；(2)連結(jié)AO，通過HL證明△ADO≌△AEO，從而得到∠DAO＝∠EAO第3課時(shí)┃中考探究要證明一個(gè)三角形是等腰三角形，必須得到兩邊相等，而得到兩邊相等的方法主要有(1)通過等角對等邊得兩邊相等；(2)通過三角形全等得兩邊相等；(3)利用垂直平分線的性質(zhì)得兩邊相等．第3課時(shí)┃中考探究?類型之三等腰三角形的多解問題命題角度：1.遇到等腰三角形的問題時(shí)，注意邊有腰與底之分，角有底角與頂角之分；2.遇到高線的問題要考慮高在形內(nèi)和形外兩種情況．C

第3課時(shí)┃中考探究第3課時(shí)┃中考探究因?yàn)榈妊切蔚倪呌醒c底之分，角有底角和頂角之分，等腰三角形的高線要考慮高在形內(nèi)和形外兩種情況．故當(dāng)給出的題中條件不明確時(shí)，要分類討論進(jìn)行解題，才能避免漏解情況．第3課時(shí)┃中考探究?類型之四等邊三角形的判定與性質(zhì)命題角度：等邊三角形的判定與性質(zhì)的綜合．例4

[2011·紹興]

數(shù)學(xué)課上，李老師出示了如下框中的題目．在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)D在CB的延長線上，且ED＝EC，如圖21－3.試確定線段AE與DB的大小關(guān)系，并說明理由．圖21－3第3課時(shí)┃中考探究小敏與同桌小聰討論后，進(jìn)行了如下解答：(1)特殊情況，探索結(jié)論當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，如圖21－4①，確定線段AE與DB的大小關(guān)系，請你直接寫出結(jié)論：AE________DB(填“>”“<”或“＝”)．圖21－4①

＝

第3課時(shí)┃中考探究(2)特例啟發(fā)，解答題目解：題目中，AE與DB的大小關(guān)系是：AE________DB(填“>”“<”或“＝”)．理由如下：如圖21－4②，過點(diǎn)E作EF∥BC，交AC于點(diǎn)F.(請你完成以下解答過程)

圖21－4②

＝

第3課時(shí)┃中考探究方法一：等邊三角形ABC中，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，AB＝BC＝AC.∵EF∥BC，∴∠AEF＝∠AFE＝60°＝∠BAC，∴△AEF是等邊三角形，∴AE＝AF＝EF，∴AB－AE＝AC－AF，即BE＝CF.又∵∠ABC＝∠EDB＋∠BED＝60°，∠ACB＝∠ECB＋∠FCE＝60°，且ED＝EC，∴∠EDB＝∠ECB，∴∠BED＝∠FCE.又∵∠DBE＝∠EFC＝120°，∴△DBE≌△EFC，∴DB＝EF，∴AE＝BD.第3課時(shí)┃中考探究方法二：在等邊三角形ABC中，∠ABC＝∠ACB＝60°，∠ABD＝120°.∵∠ABC＝∠EDB＋∠BED，∠ACB＝∠ECB＋∠ACE，ED＝EC，∴∠EDB＝∠ECB，∴∠BED＝∠ACE.∵FE∥BC，∴∠AEF＝∠AFE＝60°＝∠BAC，∴△AEF是正三角形，∠EFC＝180°－∠ACB＝120°＝∠ABD.∴△EFC≌△DBE，∴DB＝EF.而由△AEF是正三角形可得EF＝AE，∴AE＝DB.第3課時(shí)┃中考探究(3)拓展結(jié)論，設(shè)計(jì)新題在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在直線AB上，點(diǎn)D在直線BC上，且ED＝EC.若△ABC的邊長為1，AE＝2，求CD的長(請你直接寫出結(jié)果)．解：1或3.第3課時(shí)┃中考探究等邊三角形中隱含著三邊相等和三個(gè)角都等于60°的結(jié)論，所以要充分利用這些隱含條件，證明全等或者構(gòu)造全等．第3課時(shí)┃中考探究?類型之五與等腰三角形有關(guān)的動(dòng)手操作題命題角度：1．利