【數(shù)學(xué)】江蘇省鹽城市大豐區(qū)2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期期中試題（解析版）

江蘇省鹽城市大豐區(qū)2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．本試卷考試時間為120分鐘，試卷滿分150分，考試形式閉卷．2．本試卷中所有試題必須作答在答題卡上規(guī)定的位置，否則不給分．3．答題前，務(wù)必將姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水簽字筆填寫在試卷及答題卡上．一、選擇題（本大題共有8小題，每小題3分，共24分）1.下列方程中是關(guān)于x的一元二次方程的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】A、該方程是分式方程，不是整式方程，故本選項(xiàng)錯誤；B、該方程中含有兩個未知數(shù)，不屬于一元二次方程，故本選項(xiàng)錯誤；C、當(dāng)時，該方程不是關(guān)于的一元二次方程，故本選項(xiàng)錯誤；D、該方程符合一元二次方程的定義，故本選項(xiàng)正確，故選：D．2.已知圓O的半徑為5，同一平面內(nèi)有一點(diǎn)P，且，則點(diǎn)P與圓O的關(guān)系是（）A.點(diǎn)P在圓內(nèi) B.點(diǎn)P在圓外 C.點(diǎn)P在圓上 D.無法確定【答案】A【解析】設(shè)圓的半徑為：，由題意，得：，∴點(diǎn)P與圓O關(guān)系是：點(diǎn)P在圓內(nèi)．故選A．3.《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》首次把學(xué)生學(xué)會炒菜納入勞動教育課程，并作出明確規(guī)定．某班有7名學(xué)生已經(jīng)學(xué)會炒的菜品的種數(shù)依次為：2，4，3，2，5，2，3．則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（）A.2，2 B.2， C.2，3 D.3，3【答案】C【解析】根據(jù)題意可得：∵2出現(xiàn)的3次，出現(xiàn)次數(shù)最多，∴這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為2，將這組數(shù)據(jù)按大小排序?yàn)椋?，2，2，3，3，4，5，∴這組數(shù)據(jù)中位數(shù)為3，故選：C．4.用配方法解方程，配方后的方程可化為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，移項(xiàng)得：，方程兩邊同時加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，得到，配方得，故選：B．5.如圖，圓O的弦AB=8，M是AB的中點(diǎn)，且OM=3，則圓O的半徑等于（）A.2 B.5 C.8 D.10【答案】B【解析】連接OA，∵⊙O的弦AB=8，M是AB的中點(diǎn)，OM過O，∴AM=BM=4，OM⊥AB，∴由勾股定理得：．故選：B．6.如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于，PD與相切于點(diǎn)D，連接OE并延長，交PD于點(diǎn)P，則∠P度數(shù)是（）A.36° B.28° C.20° D.18°【答案】D【解析】如圖：連接與相切于點(diǎn)正五邊形內(nèi)接于所對的圓心角的度數(shù)為：故選：7.一個容器盛滿純藥液，第一次倒出一部分純藥液后用水加滿，第二次又倒出同樣多的藥液，再加水補(bǔ)滿，這時容器內(nèi)剩下的純藥液是，若設(shè)每次倒出液體為，則可列方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)每次倒出液體xL，則第一次倒出后容器內(nèi)剩下純藥液，加滿水后藥液的濃度為，依題意得：即．故選B．8.如圖，四邊形，有，，，以中點(diǎn)O為圓心作弧及弧，動點(diǎn)P從C點(diǎn)出發(fā)沿線段，弧，弧，線段的路線運(yùn)動，點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)D時，線段掃過的面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】連接，，過作于，∵點(diǎn)O是中點(diǎn)，∴，∵，，，∴，，∴，∵，∴，同理可得：，∴，，∵為直角三角形，點(diǎn)O是中點(diǎn)，∴，∴為等邊三角形，∴，同理得：，∴，∵，，∴，∴，故選：C．二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）9.已知關(guān)于的一元二次方程：的一個根是2，則另一個根的值為__________．【答案】1【解析】是方程的一個根，，解得：，設(shè)方程的另一個根為，則，，則方程的另一個根為1，故答案為：1．10.設(shè)是方程的兩個根，則______．【答案】3【解析】在中，，，是方程的兩個根，，故答案為：3．11.學(xué)校舉行科技創(chuàng)新比賽，各項(xiàng)成績均按百分制計(jì)，再按照創(chuàng)新設(shè)計(jì)占，現(xiàn)場展示占計(jì)算選手的綜合成績（百分制）．小華本次比賽的各項(xiàng)成績分別是：創(chuàng)新設(shè)計(jì)85分，現(xiàn)場展示90分，則他的綜合成績是________分．【答案】87【解析】綜合成績是分，故答案為：．12.圓錐的底面圓周長為，側(cè)面積為，則圓錐的母線長為____________．【答案】【解析】∵圓錐的底面圓周長為，∴圓錐的底面的半徑為，∵∴，即圓錐的母線長為，故答案為：．13.某青年排球隊(duì)有名隊(duì)員，年齡的情況如下表：則這名隊(duì)員年齡的中位數(shù)是_____歲．年齡/歲人數(shù)35211【答案】【解析】將表格中的數(shù)據(jù)從小到大排列為：∴中間的兩個數(shù)為∴中位數(shù)為．故答案為：．14.如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C、D在⊙O上，∠BAC＝30°，則∠D的度數(shù)為_____．【答案】60°【解析】連接BD，∵AB是直徑，∴，∵，∴．故答案是：．15.如圖，一張長、寬的矩形鐵皮，將其剪去兩個全等的正方形和兩個全等的矩形，剩余部分（陰影部分）可制成底面積是的有蓋的長方體鐵盒，則該鐵盒的體積為_______．【答案】48【解析】設(shè)剪去的正方形的邊長為，則制成有蓋的長方體鐵盒的底面長為，寬為，依題意得：，整理得：，解得：（不合題意，舍去）．該紙盒的體積為；故答案為：48．16.如圖，在中，點(diǎn)C是劣弧的中點(diǎn)，點(diǎn)P在劣弧上，且，于H，當(dāng)，則____．【答案】【解析】在上截取，連接，∵C是的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，，∴，∴，故答案為：．三、解答題（本大題共有11小題，共102分．解答時應(yīng)寫出文字說明、推理過程或演算步驟）17.計(jì)算：（1）；（2）．（配方法）解：（1），，∴或，解得，；（2），，，，∴，解得，．18.已知關(guān)于的一元二次方程（1）求證：不論為何值，該方程總有兩個實(shí)數(shù)根；（2）若方程的一個根是，求的值及方程的另一個根．解：（1）∵，，，∴∴不論為何值，該方程總有兩個實(shí)數(shù)根；（2）將代入原方程得：，∴，∴原方程為，，∵，∴方程的另一個根為．19.一座橋，橋拱是圓弧形（水面以上部分），測量時只測到橋下水面寬為16m（如圖），橋拱最高處離水面4m．（1）求橋拱半徑；（2）若大雨過后，橋下面河面寬度為12m，問水面漲高了多少？解：（1）設(shè)橋拱所在圓的圓心為O，橋拱最高處為C，連接OC交AB于點(diǎn)D，連接OA，如圖所示，則OC⊥AB，CD=4m，且點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)∴設(shè)圓的半徑為r，則OD=OC?CD=(r?4)m在Rt△OAD中，由勾股定理得：解得：r=10即橋拱的半徑為10m.（2）若大雨過后的水面寬為EF，EF交OC于點(diǎn)G，則EF⊥OC，且，如圖所示在Rt△OEG中，由勾股定理得：∵∴即水面漲高的高度為2m．20.如圖，一段水管內(nèi)壁均勻地形成一層厚的礦物沉淀物，導(dǎo)致水管過水的橫截面面積減少到原來的，求該水管原來的內(nèi)直徑．解：設(shè)水管原來的半徑為，由題意得：，解得：，（不合題意，舍去），∴，答：該水管原來的內(nèi)直徑為．21.如圖，在中：（1）作的平分線交于D，作線段的垂直平分線分別交于E，于F，垂足為點(diǎn)O．（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）（2）在（1）的條件下，連接，判斷與邊的位置關(guān)系，并說明理由；解：（1）如圖所示，（2）結(jié)論：．理由：由作圖可知，，∵垂直平分線段，∴，∴，∴，∴．22.某地旅游部門為了促進(jìn)本地生態(tài)特色城鎮(zhèn)和新農(nóng)村建設(shè)，將甲、乙、丙三家民宿的相關(guān)資料放到某網(wǎng)絡(luò)平臺上進(jìn)行推廣宣傳，該平臺邀請部分曾在這三家民宿體驗(yàn)過的游客參與調(diào)查，得到了這三家民宿的“綜合滿意度”評分，評分越高表明游客體驗(yàn)越好，現(xiàn)從這三家民宿“綜合滿意度”的評分中各隨機(jī)抽取10個評分?jǐn)?shù)據(jù)，并對所得數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、描述和分析，下面給出了部分信息．a(chǎn)．甲、乙兩家民宿“綜合滿意度”評分的折線圖：b．丙家民宿“綜合滿意度”評分：c．甲、乙、丙三家民宿“綜合滿意度”評分的平均數(shù)、中位數(shù)：甲乙丙平均數(shù)中位數(shù)根據(jù)以上信息，回答下列問題：（1）表中的值是__________，的值是__________；（2）設(shè)甲、乙、丙三家民宿“綜合滿意度”評分的方差分別是，直接寫出之間的大小關(guān)系；（3）根據(jù)“綜合滿意度”的評分情況，該平臺打算將甲、乙、丙三家民宿中的一家置頂推薦，你認(rèn)為該平臺會將這三家民宿中的哪家置頂推薦？說明理由（至少從兩個方面說明）．解：（1）甲家民宿“綜合滿意度”評分：∴，丙家民宿“綜合滿意度”評分：從小到大排列為：∴中位數(shù)故答案為：，．（2）根據(jù)折線統(tǒng)計(jì)圖可知，乙的評分?jǐn)?shù)據(jù)在分與分之間波動，甲的數(shù)據(jù)在分和分之間波動，根據(jù)丙的數(shù)據(jù)可以在至分之間波動，∴（3）推薦乙，理由：乙的方差最小，數(shù)據(jù)穩(wěn)定，平均分比丙高，答案不唯一，合理即可．23.已知關(guān)于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分別為△ABC三邊的長．（1）如果x=﹣1是方程的根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由；（2）如果方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由；（3）如果△ABC是等邊三角形，試求這個一元二次方程的根．解：（1）△ABC是等腰三角形；理由：∵x=﹣1是方程的根，∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0，∴a+c﹣2b+a﹣c=0，∴a﹣b=0，∴a=b，∴△ABC是等腰三角形；（2）∵方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，∴（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，∴4b2﹣4a2+4c2=0，∴a2=b2+c2，∴△ABC是直角三角形；（3）當(dāng)△ABC是等邊三角形，∴（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，可整理為：2ax2+2ax=0，∴x2+x=0，解得：x1=0，x2=﹣1．24.如圖，在中，O是上（異于點(diǎn)A，C）的一點(diǎn)，恰好經(jīng)過點(diǎn)A，B，于點(diǎn)D，且平分．（1）判斷與的位置關(guān)系，并說明理由．（2）若，，求的半徑長．解：（1）與相切，理由如下：如圖，連接，，，平分，，，，，，是的半徑，與相切；（2），，，，，∴，，，，，的半徑長為．25.如圖，一個邊長為8m的正方形花壇由4塊全等的小正方形組成．在小正方形中，點(diǎn)分別在上，且，，在，，五邊形三個區(qū)域上種植不同的花卉，每平方米的種植成本分別是20元、20元、10元．（1）試用含有的代數(shù)式表示五邊形的面積__________；（2）當(dāng)時，請寫出小正方形種植花卉所需的費(fèi)用__________；（3）當(dāng)為何值時，大正方形花壇種植花卉所需的總費(fèi)用是715元？解：（1）設(shè)米，則米，∴，，∴，故答案為：；（2）若，則，∴，，∴，∴所需費(fèi)用為：（元），故答案為：元；（3）根據(jù)題意得，整理得，解得，答：當(dāng)米時，正方形花壇種植花卉所需的總費(fèi)用是715元．26.閱讀下列材料：已知實(shí)數(shù)、滿足，試求的值．解：設(shè)則原方程可化為，即；解得．，．上面這種方法稱為“換元法”，換元法是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最常用的一種思想方法，在結(jié)構(gòu)較復(fù)雜的數(shù)和式的運(yùn)算中，若把其中某些部分看成一個整體，并用新字母代替（即換元），則能使復(fù)雜的問題簡單化．根據(jù)以上閱讀材料內(nèi)容，解決下列問題：（1）已知實(shí)數(shù)、滿足，求的值．（2）解方程．（3）若四個連續(xù)正整數(shù)的積為120，直接寫出這四個連續(xù)的正整數(shù)為．解：（1）設(shè)，則，，即，，，，．（2）設(shè)，則原方程可化為：．解得：，，當(dāng)時，，；當(dāng)時，，．原方程的解是：，，，．（3）設(shè)最小數(shù)為，則，即：，設(shè)，則，，，，，，（舍去），這四個整數(shù)為2，3，4，5．27.閱讀理解：（1）【學(xué)習(xí)心得】學(xué)習(xí)完“圓”這一章內(nèi)容后，有一些幾何問題，如果添加輔助圓，可以使問題變得容易．我們把這個過程稱為“化隱圓為顯圓”．這類題目主要是兩種類型．①類型一，“定點(diǎn)+定長”：如圖1，在中，，，D是外一點(diǎn)，且，求的度數(shù)．解：若以點(diǎn)A（定點(diǎn)）為圓心，（定長）為半徑作輔助圓，（請你在圖1上畫圓）則點(diǎn)C、D必在上，是的圓心角，而是圓周角，從而可容易得到°．②類型二，“定角+定弦”：如圖，中，，，P是內(nèi)部的一個動點(diǎn)，且滿足，求線段長的最小值．解：∵，∴，∵，∴，∴，（定角）∴點(diǎn)P在以（定弦）為直徑的上，請完成后面的過程．（2）【問題解決】如圖3，在矩形中，已知，點(diǎn)P是邊上一動點(diǎn)（點(diǎn)P不與B，C重合），連接，作點(diǎn)B關(guān)于直線的對稱點(diǎn)M，則線段的最小值為．（3）【問題拓展】如圖4，在正方形中，，動點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊，上移動，且滿足．連接和，交于點(diǎn)P．①請你寫出與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；②點(diǎn)E從點(diǎn)D開始運(yùn)動到點(diǎn)