山東省淄博市實驗中學(xué)、齊盛高級中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

PAGE2024學(xué)年淄博市實驗、齊盛高中高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.1.若經(jīng)過點和的直線的斜率為2，則（）A. B.1 C.2 D.4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)斜率公式求解．【詳解】由題意，解得，故選：C．2.雙曲線的焦距為（

）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由雙曲線方程確定參數(shù)，即可得焦距.【詳解】由題設(shè)，故焦距為.故選：A3.已知，，且，則實數(shù)的值為（）A. B.3 C.4 D.5【答案】D【解析】【分析】利用空間向量垂直的坐標(biāo)表示直接求解即可.【詳解】，，且，故，解得故選：D4.拋擲兩枚硬幣，設(shè)事件“第一枚正面朝上”，“第二枚反面朝上”，則（）A.事件A和B互斥 B.事件A和B互相對立C.事件A和B相互獨立 D.事件A和B相等【答案】C【解析】【分析】根據(jù)互斥事件、對立事件、獨立事件和事件相等定義即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意，，能同時發(fā)生，所以A,B錯誤；是否發(fā)生對沒有影響，反之亦然，所以D錯誤，C正確.故選：C.5.圓與圓的公切線有（）條.A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系與公切線的條數(shù)關(guān)系求解.【詳解】兩圓的圓心分別為,半徑分別為圓心距,所以，所以兩圓相交，有2條公切線，故選：B.6.如圖，在圓錐SO中，AB是底面圓的直徑，,D，E分別為SO，SB的中點，點C是底面圓周上一點（不同于A,B）且，則直線AD與直線CE所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用向量法求直線AD與直線CE所成角的余弦值.【詳解】由題設(shè)，構(gòu)造如下圖示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，則.所以直線AD與直線CE所成角的余弦值為.故選：A7.已知圓的方程為，若直線上至少存在一點，使得以該點為圓心，為半徑的圓與圓有公共點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意可知圓的圓心到直線的距離小于或等于2，進而可得.【詳解】由題意可知，由得，圓心為，半徑為因，故根據(jù)題意圓的圓心到直線即的距離小于或等于2，所以得，即得，可得，故選：D8.已知右焦點為F的橢圓E：上的三點A，B，C滿足直線AB過坐標(biāo)原點，若于點F，且，則E的離心率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)出左焦點以及，利用橢圓定義表示出相關(guān)線段的長度，然后分別在直角中運用勾股定理，最后得到的關(guān)系式可求結(jié)果.【詳解】設(shè)橢圓的左焦點為，連接，因為點平分，所以四邊形為平行四邊形，又因為，所以四邊形為矩形，設(shè)，則，直角中，，所以，整理可得，所以，在直角中，，所以，所以，所以，故選：B.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對得5分，選對但不全得2分，有選錯的得0分.9.設(shè)為兩個互斥的事件，且，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)互斥事件的含義及概率計算公式逐項判定即可.【詳解】因為為兩個互斥的事件，且，所以,即，故A正確，B錯誤；因為為兩個互斥的事件，所以，故C正確；因為為兩個互斥的事件，所以，故D正確，故選：ACD.10.設(shè)，分別為橢圓的左、右焦點，直線過且交橢圓于A，B兩點，則以下說法正確的是（）A.周長為定值8 B.的最大值4C.|AB|的最小值為 D.若面積為1，則【答案】AB【解析】【分析】對于選項A,根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)可得答案.對于選項B,問題等價于以為直徑的圓與橢圓是否有交點,求出圓的方程與橢圓方程聯(lián)立,對于選項C,通過弦長公式得答案.對于選項D,分析面積表達式可得答案.【詳解】對于選項A：因為橢圓的方程,所以,即,由橢圓的定義可得兩式相加得,所以得,所以的周長為8，故A正確；對于B選項：，，當(dāng)且僅當(dāng)時相等，此時，故B選項正確.對于選項C:設(shè)直線方程為,與橢圓方程聯(lián)立得,消去,,設(shè)又,則,.故,當(dāng)時,即垂直于時,最小為3,故C錯誤.對于選項D:,設(shè)，將代入橢圓方程，，.故D錯誤.故選：AB11.已知圓與直線相交于兩點，為坐標(biāo)原點，則下列說法正確的是（）A.直線過定點 B.若，則C.的最小值為 D.的面積的最大值為2【答案】ABD【解析】【分析】將直線整理成關(guān)于的方程，令其系數(shù)為0，即可得出直線過的定點，判斷A；利用得出直線的斜率，即可判斷B；當(dāng)直線與垂直時，取得最小值，再利用幾何法求弦長，即可判斷C；由，結(jié)合弦長公式與基本不等式，即可判斷D.【詳解】對于選項A：將直線整理為：，令，解得，即直線過定點，故選項A正確；對于選項B：由題意知，，則直線的斜率為，若，則直線即直線的斜率為，解得：，故選項B正確；對于選項C：因為直線過定點，所以當(dāng)直線與垂直時，取得最小值，此時，故選項C錯誤；對于選項D：設(shè)點到直線的距離為，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故的面積的最大值為2，故選項D正確；故選：ABD12.如圖，在棱長為2的正方體中，，分別是棱，的中點，點在上，點在上，且，點在線段上運動，下列說法正確的有（）A.當(dāng)點是中點時，直線平面；B.直線到平面的距離是；C.存在點，使得；D.面積的最小值是【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)線面平行的判定判斷A；根據(jù)等體積法求得點到平面的距離判斷B；建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的數(shù)量積運算解決垂直問題判斷C；求出面積的表達式，再求得面積的最小值判斷D.【詳解】對于A，由是中點，，得點是的中點，連接，顯然也是的中點，連接，于是，而平面，平面，所以直線平面，A正確；對于B，分別是棱的中點，則，平面，平面，于是平面，因此直線到平面的距離等于點到平面的距離h，，，，，由，得，B錯誤；以A為原點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，,對于C，設(shè)，則，，，，由，得，解得，由于，因此存在點，使得，C正確；對于D，由選項C得在的投影點為，則P到的距離，面積為，所以當(dāng)時，取得最小值為，D錯誤.故選：AC三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，，，則__________．【答案】0.6##【解析】【分析】根據(jù)概率公式求解.【詳解】,故答案為:.14.如圖，二面角的棱上有兩個點A，B，線段BD與AC分別在這個二面角的兩個面內(nèi)，并且都垂直于棱.若，，，，則平面與的夾角是__________．【答案】【解析】【分析】利用二面角的平面角定義構(gòu)造出二面角的平面角，利用已知條件解多個三角形，先在△CDE中求出CE，再在△CAE中利用余弦定理即可求出.【詳解】如圖，在二面角中，過A在平面內(nèi)作，并取AE=BD=4，連接DE，CE，所以AE//BD，所以四邊形AEDB為矩形，為二面角的平面角.，面ACE，AE面ACE，所以面ACE，面ACE，故，又四邊形AEDB為矩形，所以AB//ED，所以.在直角三角形CED中，DE=AB=2，，所以.在三角形CEA中，AC=3，AE=4，CE=，由余弦定理得：，又，所以即平面與的夾角是，故答案為：.15.一條光線從點射出，經(jīng)直線反射到圓上，則光線經(jīng)過的最短路徑的長度為_______．【答案】【解析】【分析】求得點關(guān)于直線的對稱點，根據(jù)圓的性質(zhì)得到，可求最短距離.【詳解】由圓，可得圓心坐標(biāo)為，半徑為，如圖所示，設(shè)點關(guān)于直線對稱的點為，可得，解得，，即，點為入射點，光線經(jīng)過的路徑長為，由對稱性和圓的性質(zhì)，可得，當(dāng)共線時取等號，光線經(jīng)過的最短路徑的長度為，又由，可得，即最短路徑的長度為.故答案為：.16.已知橢圓，過點的直線l與橢圓交于不同的兩點A、B，O為坐標(biāo)原點，若點O在以AB為直徑的圓外，則直線l的斜率k的取值范圍為__________．【答案】【解析】【分析】聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運用韋達定理和判別式大于0，由坐標(biāo)原點在以AB為直徑的圓外，即為，運用數(shù)量積的坐標(biāo)表示，解不等式即可得到所求的范圍．【詳解】由題意，直線l斜率存在，設(shè)方程為，，聯(lián)立方程，得，由，得，，．坐標(biāo)原點O在以線段AB為直徑的圓外，即為，即，∴，解得，又∵，可得，即．故答案為：．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知的頂點，邊上的高BH所在直線為，邊上的中線AD所在直線方程為．（1）求頂點A的坐標(biāo)；（2）求直線的方程.（結(jié)果用一般式方程表示）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，求所在直線方程，與AD所在直線方程聯(lián)立方程組求頂點A的坐標(biāo)；（2）設(shè)，則，分別代入BH所在直線和AD所在直線方程，求出，可求直線的方程.【小問1詳解】，所在直線方程為，即，由，得：，所以【小問2詳解】設(shè)，則，分別代入BH所在直線和AD所在直線方程，即，解得：，即，所以，即直線的方程.18.如圖，在正四棱錐中，，，分別是的中點.（1）證明：平面；（2）求平面與平面的夾角.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由線面平行的判定定理證明即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出平面的一個法向量為，求出法向量求解即可.【小問1詳解】證明：取的中點，連分別是的中點且又是的中點且且則四邊形是平行四邊形又平面【小問2詳解】連接，設(shè)，如圖：分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，在正四棱錐中，底面為正方形，，所以，又因為，所以.設(shè)平面的一個法向量為，則，即，令，得又平面的一個法向量為.所以平面與平面的夾角為19.甲、乙兩位同學(xué)進行跳繩比賽，比賽規(guī)則如下：進行兩輪跳繩比賽，每人每輪比賽在規(guī)定時間內(nèi)跳繩200次及以上得1分，跳繩不夠200次得0分，兩輪結(jié)束總得分高的為跳繩王，得分相同則進行加賽直至有一方勝出為止.根據(jù)以往成績分析，已知甲在規(guī)定時間內(nèi)跳繩200次及以上的概率為，乙在規(guī)定時間內(nèi)跳繩200次及以上的概率為，且每輪比賽中甲、乙兩人跳繩的成績互不影響.（1）求兩輪比賽結(jié)束乙得分為1分的概率；（2）求不進行加賽甲就獲得跳繩王的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)互斥事件加法概率公式和相互獨立事件乘法概率公式求解即可；（2）根據(jù)互斥事件加法概率公式和相互獨立事件乘法概率公式求解即可.【小問1詳解】設(shè)“甲第輪得一分”，設(shè)“乙第i輪得一分”，設(shè)“兩輪比賽甲得分”，設(shè)“兩輪比賽乙得分”，則所以兩輪比賽結(jié)束乙得分為1分的概率為；【小問2詳解】設(shè)“不進行加賽甲就獲得跳繩王”.由題意，，，則=++=所以不進行加賽甲就獲得跳繩王的概率為.20.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：過點，且離心率.（1）求橢圓C的方程；（2）已知直線l：與橢圓C交于A，B兩點，若的面積為2，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)離心率和橢圓過的點列式求，即可得橢圓方程；（2）將直線與橢圓聯(lián)立，韋達定理，然后利用弦長公式求底，利用點到直線的距離公式求高，即可求出三角形的面積.【小問1詳解】因為，所以.又橢圓C：過點，所以.所以，.故所求橢圓方程為.【小問2詳解】設(shè)點，，聯(lián)立消去y得.所以，，又直線l與橢圓C相交，所以，解得.則.又點P到直線l距離，所以，所以，所以，滿足，則.21.如圖1，梯形ABCD中，，過A，B分別作，，垂足分別為E，F(xiàn).，，已知，將梯形ABCD沿AE，BF同側(cè)折起，得空間幾何體，如圖2.（1）若，證明：平面；（2）若，，線段AB上存在一點P，滿足CP與平面ACD所成角的正弦值為，求的值.【答案】（1）證明見解析（2）存在；【解析】【分析】（1）先證明，結(jié)合，根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，由題意求出相關(guān)線段長，確定相關(guān)點的坐標(biāo)，設(shè)，根據(jù)空間角的向量求法結(jié)合題意可求得m的值，即可得出結(jié)論，進而求得的值.【小問1詳解】證明：連接，由于，，，，故四邊形為正方形，所以，又，平面，故平面，而平面，故，又，平面，故平面；【小問2詳解】由于，，平面，故平面，，則，，故四邊形為梯形，作，交于M，連接CE，則，，而，則，故，因為，則，則，則，即為正三角形，過點E作交于G，故兩兩垂直，以E為坐標(biāo)原點，以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，設(shè)，則，則，設(shè)CP與平面所成角為，則，解得，即，故線段AB上存在一點P，滿足CP與平面ACD所成角的正弦值為，且.22.已知動點與兩個定點的距離的比為.（1）求動點的軌跡；（2）過點作直線，交曲線于兩點，不在軸上．①過點作與直線垂直的直線，交曲線于兩點，記四邊形的面積為，求的取值范圍：②已知，設(shè)直線相交于點，試討論點是否在定直線上，若是，求出該直線方程；若不是，說明理由．【答案】22.23.①；②是，直線方程；理由見解析【解析】【分析】（1）設(shè)為所求軌跡上的任意一點，結(jié)合，列出方程，即可求解；（2）①設(shè)直線的方程為，求得圓心到直線的距離，得到