2023-2024學(xué)年六年級數(shù)學(xué)下冊重點培優(yōu)第三單元圓柱的體積問題提高部分（原卷版）

2023-2024學(xué)年六年級數(shù)學(xué)下冊重點培優(yōu)第三單元圓柱的體積問題提高部分（原卷版）編者的話：《2023-2024學(xué)年六年級數(shù)學(xué)下冊典型例題系列》是基于教材知識點和常年考點考題總結(jié)與編輯而成的，該系列主要包含典型例題和專項練習(xí)兩大部分。典型例題部分是按照單元順序進(jìn)行編輯，主要分為計算和應(yīng)用兩大部分，其優(yōu)點在于考題典型，考點豐富，變式多樣。專項練習(xí)部分是從常考題和期末真題中選取對應(yīng)練習(xí)，其優(yōu)點在于選題經(jīng)典，題型多樣，題量適中。本專題是第三單元圓柱的體積問題提高部分。本部分內(nèi)容主要選取圓柱體積問題中較復(fù)雜的問題，包括比在圓柱中的三種應(yīng)用方式，圓柱與長方體、正方體的拼切轉(zhuǎn)化和等積轉(zhuǎn)化問題，排水法在圓柱中的三種應(yīng)用，求不規(guī)則圓柱體和組合立體圖形的體積等等，內(nèi)容難度較大，考點較多，共劃分為十四個考點，建議作為本章核心內(nèi)容，根據(jù)學(xué)生掌握情況選擇性進(jìn)行講解，歡迎使用?！究键c一】比在圓柱中的三種應(yīng)用方式?！痉椒c撥】1.當(dāng)圓柱的底面積相等時，已知高之比，求體積之比：高之比就是體積之比。2.當(dāng)圓柱的高相等時，已知底面積之比，求體積之比：底面積之比就是體積之比。3.已知底面積之比和高之比，求體積之比：分別用對應(yīng)的底面積×對應(yīng)的高求得對應(yīng)體積，再求體積之比。【典型例題1】已知兩個圓柱的底面積相等，高的比是1∶2，體積比是（）。【典型例題2】已知兩個圓柱的高相等，底面積比是2∶3，體積比是（）?！镜湫屠}3】兩個圓柱高的比是2∶3，半徑比是1∶2，則體積比是多少?【對應(yīng)練習(xí)1】兩個圓柱的高相等，半徑比是1∶2，則體積比是多少?【對應(yīng)練習(xí)2】兩個等高的圓柱底面半徑的比是4∶3，它們的體積比是多少？【考點二】圓柱表面積的三種增減變化方式在體積中的應(yīng)用。【方法點撥】1.圓柱高的變化引起表面積的變化：由于底面積沒有變，所以實際上發(fā)生變化的是側(cè)面積，由此可以求出底面周長，進(jìn)而求出表面積，即底面周長C=變化的表面積÷變化的高度。2.橫切引起的表面積變化。平行于底面切（橫切）一刀，多出的兩個面是底面，即兩個圓。3.豎切引起的表面積變化。垂直于底面切（豎切），多出的兩個面是長方形，即以底面圓的直徑為長，以圓柱的高為寬的長方形?！镜湫屠}1】一個圓柱，如果把它的高截短3m，它的表面積就會減少，那么這個圓柱的體積減少多少立方米？【典型例題2】把一根長4米的圓柱形鋼材截成兩段，表面積比原來增加15.7平方厘米。這根鋼材的體積是多少立方厘米？【對應(yīng)練習(xí)1】將一根底面直徑是的圓柱形木料，沿高切成形狀、大小完全相同的兩塊后，表面積增加了。這根圓柱形木料的體積是多少立方分米？【對應(yīng)練習(xí)2】把一根長為1.2米的圓柱形鋼材截成3段,表面積增加了6.28平方分米，原來這根鋼材的體積是多少?【對應(yīng)練習(xí)3】一個圓柱高為15厘米，把它的高增加2厘米后表面積增加25.12平方厘米，求原來圓柱的體積。【對應(yīng)練習(xí)4】底面直徑是20厘米的圓鋼，將其截成兩段同樣的圓鋼，兩段表面積的和為7536平方厘米，原來圓鋼的體積是多少立方厘米？【考點三】圓柱與長方體的拼切轉(zhuǎn)化問題?！痉椒c撥】將一個底面半徑為r，高為h的圓柱沿著高切成若干等份，并將其拼成一個近似的長方體，此時這個圓柱和長方體的體積相等，拼成的長方體的表面積比圓柱多2個面積大小為hr的長方形。【典型例題】把一個底面半徑是的圓柱切拼成一個近似的長方體后（如圖），表面積增加了，原來圓柱的體積是多少立方厘米？【對應(yīng)練習(xí)1】把一個高為1米的圓柱體切成底面是許多相等的扇形，再拼成一個近似的長方體，已知拼成后長方體表面積比原來圓柱表面積增加了40平方分米，原來圓柱體的體積是多少立方分米？【對應(yīng)練習(xí)2】把高5厘米的圓柱底面分成若干等份，把圓柱切開拼成一個近似的長方體，長方體表面積比圓柱增加20平方厘米。求原來圓柱的體積?！緦?yīng)練習(xí)3】如圖所示，把底面直徑為8厘米的圓柱切成若干等份，拼成一個近似的長方體。這個長方體的表面積比原來增加80平方厘米。（1）同學(xué)們回憶圓柱體積計算公式的推導(dǎo)過程，用自己喜歡的方式將它記錄下來。（2）那么圓柱的高是多少厘米？長方體的體積是多少立方厘米？【考點四】圓柱與長方體、正方體的等積轉(zhuǎn)化問題其一?！痉椒c撥】等積轉(zhuǎn)化問題，關(guān)鍵在于找到題目中的體積不變量，再根據(jù)體積不變解決問題?！镜湫屠}】把一個長、寬、高分別是9厘米、7厘米、3厘米的長方體鉛塊和一個棱長是5厘米的正方體鉛塊，鑄成一個圓柱。這個圓柱的底面直徑是20厘米，高是多少厘米？【對應(yīng)練習(xí)1】把一個底面積為，高為6cm的圓柱形鐵塊熔鑄成一個長為5cm、寬為4cm的長方體鐵塊，鑄成的長方體鐵塊高多少cm？【對應(yīng)練習(xí)2】下圖中的圓柱與長方體的體積相等。這個圓柱的高是多少分米？（單位：）【對應(yīng)練習(xí)3】如下圖所示，要在實驗室鑄造出一個無蓋的青銅盒子，盒子的外形是一個長方體，內(nèi)部挖空，外部尺寸長為，寬為，高為，壁和底部的厚度都為?，F(xiàn)有一份形狀為圓柱的實心青銅材料，其底面直徑為，高為。若熔化該青銅材料，能鑄造出這樣的青銅盒子嗎？通過計算說明。【考點五】圓柱與長方體、正方體的等積轉(zhuǎn)化問題其二?！痉椒c撥】等積轉(zhuǎn)化問題，關(guān)鍵在于找到題目中的體積不變量，再根據(jù)體積不變解決問題?！镜湫屠}】甲圓柱形瓶子中有2厘米深的水。乙長方體瓶子里水深6.28厘米。將乙瓶中的水全部倒入甲瓶，這時甲瓶的水深多少厘米？（如圖）【對應(yīng)練習(xí)1】甲圓柱體容器是空的，乙長方體容器中水深6.28厘米，要將容器乙中的水全部倒入甲容器，這時水深多少厘米？【對應(yīng)練習(xí)2】下圖中，圓柱形（甲）瓶子里有2厘米深的水。長方體（乙）瓶子有水深6.28厘米。如果將乙瓶中的水倒入甲瓶，這時甲瓶的水深多少厘米？【對應(yīng)練習(xí)3】將一個底面周長是18.84厘米、高是10厘米的圓柱形量杯里裝滿水，再倒入一個長12厘米、寬5厘米的長方體容器中，水面高是多少厘米？【考點六】不規(guī)則圓柱體的等積轉(zhuǎn)化問題?！痉椒c撥】等積轉(zhuǎn)化問題，關(guān)鍵在于找到題目中的體積不變量，再根據(jù)體積不變解決問題?！镜湫屠}1】小軍有一個密封的瓶子（圖A）。里面裝了250毫升的果汁，如果把它倒過來（圖B），空白部分的容量是50毫升假如把瓶里裝滿果汁，那么一共能裝多少毫升？【典型例題2】一個高的酒瓶中盛有酒，如果把它倒置在桌面上（如圖所示），求酒瓶的容積是多少？（單位：）【對應(yīng)練習(xí)1】如圖，一個飲料瓶內(nèi)直徑是9cm，瓶里飲料的高度是15cm，把瓶蓋擰緊后，使其瓶口向下倒立，無飲料部分的高度是5cm，這個飲料瓶的容積是多少？【對應(yīng)練習(xí)2】如圖所示，一個內(nèi)直徑為6的飲料瓶，它的容積是多少？【對應(yīng)練習(xí)3】一個內(nèi)半徑是4cm的膠水瓶里，膠水的高度是8cm，把瓶蓋擰緊倒置放平，沒有膠水的部分高2cm。這個瓶子的容積是多少？【對應(yīng)練習(xí)4】一個內(nèi)直徑是10cm的瓶子里，水的高度是7cm，把瓶蓋擰緊倒置放平，無水部分是圓柱形，高度是18cm。這個瓶子的容積是多少毫升？【考點七】求長方體削成最大圓柱體的體積。【方法點撥】在長a厘米，寬b厘米，高c厘米的長方體中切出一個體積最大的圓柱，求這個圓柱的體積是多少立方厘米，要以中間長度的邊作為圓柱底面圓的直徑，再根據(jù)情況選擇圓柱的高來計算圓柱的體積?！镜湫屠}】在一個長、寬、高分別是2dm、2dm、5dm的長方體盒子中，正好能放下一個圓柱形物體（如圖）。這個圓柱形物體的體積最大是多少立方分米？盒子中空余的空間是多少立方分米？【對應(yīng)練習(xí)1】在長12厘米，寬10厘米，高8厘米的長方體中切出一個體積最大的圓柱，這個圓柱的體積是多少立方厘米？【對應(yīng)練習(xí)2】把一個長8厘米、寬6厘米、高4厘米的長方體木塊削成一個最大的圓柱體積木，這個圓柱體積木的體積是多少立方厘米？【對應(yīng)練習(xí)4】把下面的長方體削成一個最大的圓柱，這個圓柱的體積是多少？【考點八】求正方體削成最大圓柱體的體積?！痉椒c撥】把正方體加工成一個最大的圓柱，圓柱的底面直徑等于正方體的棱長，圓柱的高也等于正方體的棱長，再利用圓柱的體積公式V柱＝πr2h求圓柱的體積?！镜湫屠}】為豐富校園文化生活，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實踐能力，學(xué)校要舉辦2021年度的大型科技文化節(jié)?？萍冀M在制作過程中需要將一塊正方體木料加工成一個最大的圓柱（如下圖），已知它的棱長是8dm，求這個圓柱的體積是多少？【對應(yīng)練習(xí)1】有塊正方體的木料，它的棱長是4dm，把這塊木料加工成一個最大的圓柱。這個圓柱體積比原來正方體體積少了百分之幾？【對應(yīng)練習(xí)2】有塊正方體的木料，它的棱長是4dm．把這塊木料加工成一個最大的圓柱，這個圓柱的體積是多少？【對應(yīng)練習(xí)3】麗麗和媽媽學(xué)做蛋糕，做出一個棱長為10cm的正方體蛋糕，現(xiàn)在要把它削成一個最大的圓柱形蛋糕。你能算出這個圓柱形蛋糕的體積是多少立方厘米嗎？【考點九】排水法在圓柱中的三種應(yīng)用方式：求不規(guī)則物體的體積?！痉椒c撥】形狀不規(guī)則的物體可以用排水法求體積，排水法的公式：①V物體=V現(xiàn)在－V原來②V物體=S×(h現(xiàn)在-h原來)③V物體=S×h升高【典型例題】在一個底面直徑是6dm的圓柱形容器內(nèi)裝了一部分水，水中完全浸沒著一個高4dm的圓錐形鐵塊，當(dāng)鐵塊從水中取出時，水面下降了5cm，這個圓錐形鐵塊的體積是多少？【對應(yīng)練習(xí)1】爸爸拿出一個鋼球，對小潔說：“你能求出這個鋼球的體積嗎？”小潔說：“當(dāng)然能。”于是，小潔將家中一個底面直徑是20cm的圓柱形玻璃杯裝一部分水，量得水深10cm，然后把鋼球完全浸沒在水中，這時又量得水面高度是12cm。你知道這個鋼球的體積是多少嗎？【對應(yīng)練習(xí)2】有一個底面內(nèi)直徑為20cm，裝有一些水的圓柱形玻璃容器，已知容器內(nèi)的水面高度為5cm。現(xiàn)將一個圓錐形鉛錘完全浸入容器中，此時容器內(nèi)的水面高度上升到7cm。求這個鉛錘的體積。【對應(yīng)練習(xí)3】在一個底面直徑是10cm的圓柱形容器里加入若干水，水深8cm。把一個蘋果完全浸沒在水中，水沒有溢出，這時水深增加到10cm。這個蘋果的體積是多少立方厘米？【對應(yīng)練習(xí)4】從一個底面半徑為10分米的圓柱形水桶里取出一塊底面積是6.28平方分米完全浸泡在水中的圓錐形鋼材，取出后水面下降5厘米，求圓錐形鋼材的體積?！究键c十】排水法在圓柱中的三種應(yīng)用方式：求不規(guī)則物體的高?！痉椒c撥】形狀不規(guī)則的物體可以用排水法求體積，排水法的公式：①V物體=V現(xiàn)在－V原來②V物體=S×(h現(xiàn)在-h原來)③V物體=S×h升高【典型例題】有一只底面半徑為3dm的圓柱形水桶，桶內(nèi)盛滿水，并浸有一塊底面為正方形邊長為2dm的長方體鐵塊（完全浸沒水中）。當(dāng)鐵塊從水中完全取出時，桶內(nèi)的水面下降了5cm，求這塊長方體鐵塊的高。（得數(shù)保留一位小數(shù)）【對應(yīng)練習(xí)1】將石塊放入A容器中（全部淹沒水中），水位上升2.5厘米，如果將其放入B容器中（全部淹沒水中），水位會上升多少厘米？（水沒有溢出）

【對應(yīng)練習(xí)2】在一個長方體容器內(nèi)盛滿水，從里面量測得它的長是10cm、寬10cm、高20cm，容器內(nèi)完全浸沒了一個底面半徑是4cm，高5cm的圓柱體鐵塊，如果把鐵塊完全取出，容器內(nèi)的水面會下降多少cm？【對應(yīng)練習(xí)3】在一個底面半徑為的圓柱形水桶里，有一段底面半徑為的圓柱形鋼材浸沒在水中。把鋼材從水桶中取出后，桶里水的高度下降了，這段鋼材有多長？【考點十一】排水法在圓柱中的三種應(yīng)用方式：溢水問題。【方法點撥】溢水問題，由于物體放入容器中有水溢出，所以物體的體積應(yīng)由水上升部分的體積加上水溢出部分的體積，即：V物體=V上升部分+V溢出部分?！镜湫屠}】在一個裝有部分水的圓柱形容器中（如圖）放入一塊石頭，結(jié)果溢出了的水。這塊石頭的體積是多少立方厘米？【對應(yīng)練習(xí)1】把一個鐵圓錐放入底面半徑是10cm的盛滿水的圓柱形容器里，溢出了150.72cm3的水，如果取出這個圓錐，容器里的水面將下降多少？【對應(yīng)練習(xí)2】一個盛有水的圓柱形容器的底面直徑是10厘米，水深12厘米，放入一塊石頭，從容器中溢出50毫升水，這個容器的高是22厘米，石頭的體積是多少？【對應(yīng)練習(xí)3】一個底面直徑是6dm、高7dm的圓柱形玻璃器皿里裝有5dm深的水，現(xiàn)將一塊棱長為4dm的正方體鐵塊放入水中，鐵塊沉入水底。容器里會溢出多少升的水？【考點十二】求較簡單的不規(guī)則圓柱體的體積。【方法點撥】求不規(guī)則圓柱體的體積，注意分析圖形，尋找底面半徑和高，再根據(jù)公式求體積?！镜湫屠}】如圖，一根長1m，橫截面直徑為10cm的圓柱形木頭浮在水面上，東東發(fā)現(xiàn)它正好是一半露出水面，露出水面的木頭的體積是多少立方厘米？【對應(yīng)練習(xí)1】求下面?zhèn)€圓柱的體積和表面積。（單位：）【對應(yīng)練習(xí)2】計算下面圖形的和體積。半圓柱的底面直徑是10cm【考點十三】求較復(fù)雜的不規(guī)則圓柱體的體積。【方法點撥】求不規(guī)則圓柱體的體積，注意分析圖形，尋找底面半徑和高，再根據(jù)公式求體積。【典型例題】一個底面積是20平方厘米的圓柱，斜著截去了一段后，剩下的圖形如圖，截后剩下的圖形的體積是多少立方厘米？【對應(yīng)練習(xí)1】紀(jì)念品店加工一種藝術(shù)節(jié)比賽獎杯（如圖）。加工時，一個有機(jī)玻璃圓柱正好可以截成兩個這樣的獎杯。求一個獎杯的體積?！緦?yīng)練習(xí)2】如圖是圓木沿某一平面截去一部分后的剩余部分，請計算剩余部分的體積。（單位：厘米）【對應(yīng)練習(xí)3】右圖是一個底面半徑為3厘米的圓柱木塊被削去一半后的形狀，請你計算出它的體積?！究键c十四】求組合立體圖形的體積。【方法點撥】求組合立體圖形的體積，注意分析該圖是由些立體圖形組合而成的，再分別求出各圖形的體積，最后相加或相減?！镜湫屠}】工地運來了一根水泥管（如