全稱量詞命題和存在量詞命題+ 講義 高一上學(xué)期初高中數(shù)學(xué)銜接

1.5全稱量詞命題與存在量詞命題第8講、1.5.1全稱量詞命題與存在量詞命題知識點(diǎn)一、全稱量詞與全稱量詞命題例子：(1)x>3；(2)對所有的x∈R，x>3；(3)2x＋1是整數(shù)；(4)對任意一個(gè)x∈Z,2x＋1是整數(shù)；(5)方程x2＋2x＋a＝0有實(shí)根；(6)任給a＜0，方程x2＋2x＋a＝0有實(shí)根.問題1、回顧命題的概念？并判斷上列例子中，哪些是命題，為什么？問題2、觀察左側(cè)的陳述語句(1)(3)(5)和右側(cè)的陳述語句(1)(3)(5)有什么區(qū)別，是什么導(dǎo)致了問題1的結(jié)論？（定義）問題3、上述全稱量詞有哪些，除此之外你還能說出其他表達(dá)全部的含義的詞嗎？（定義）問題4、我們知道定義我么知道M是x的一個(gè)范圍，可以用集合來表示，那么請問上述例子的中的集合M有多少個(gè)元素？我們能不能斷定M的元素個(gè)數(shù)一定是如之前的結(jié)果，如果能請說明理由，如果不能，請舉出反例.（1）問題5、請問，“平行四邊形的對角線互相平分”是全稱量詞命題嗎？如果是，請指出其量詞，并改寫成含有量詞的形式；如果不是請說明理由（2）問題6、根據(jù)5的結(jié)論，你能舉出其他的例子嗎？（2）知識梳理全稱量詞與全稱量詞命題全稱量詞所有的、任意一個(gè)、一切、每一個(gè)、任給、全部知識梳理全稱量詞與全稱量詞命題全稱量詞所有的、任意一個(gè)、一切、每一個(gè)、任給、全部符號表示?全稱量詞命題含有全稱量詞的命題形式“對M中任意一個(gè)x，p(x)成立”，可用符號簡記為“?x∈M，p(x)”注意點(diǎn)：(1)從集合的觀點(diǎn)看全稱量詞命題是陳述某集合中的所有的元素都具有某種性質(zhì)的命題，全稱量詞表示的數(shù)量可能是有限的，也可能是無限的，由題目而定．(2)有些全稱量詞命題中的全稱量詞是省略的，理解時(shí)需要把它補(bǔ)充出來．（1）對所有的實(shí)數(shù)x，都有x2≥0；（1）所有的素?cái)?shù)都是奇數(shù)；（2）存在實(shí)數(shù)x，滿足x2≥0；（3）至少有一個(gè)實(shí)數(shù)x，使得x2－2＝0成立；（4）?x∈R，｜x｜＋１≥１；（5）存在有理數(shù)x，使得x2－2＝0成立；（6）對于任何自然數(shù)n，有一個(gè)自然數(shù)s使得S=n×n；（8）對任意一個(gè)無理數(shù)x，x2也是無理數(shù)．問題7、回顧命題的的真假的判斷方法？問題8、請判斷命題x∈R，x2－2x≥－1的真假，并證明．問題9、請判斷命題x∈R，x2－2x≥1的真假，并證明．問題10、請思考，如何證明一個(gè)全稱量詞命題的真假？知識梳理知識梳理：全稱量詞與全稱量詞命題的真假判斷(1)要判定全稱量詞命題“?x∈M，p(x)”是真命題，需要對集合M中每個(gè)元素x，證明p(x)成立．(4)要判定全稱量詞命題“?x∈M，p(x)”是假命題，只需舉出一個(gè)反例即可．例2、判斷下列命題是否為全稱量詞命題，并判斷真假．(1)對任意直角三角形的兩銳角A，B，都有sinA＝cosB；(2)自然數(shù)的平方大于或等于零；(3)所有的二次函數(shù)的圖象的開口都向上．【跟蹤訓(xùn)練】判斷下列全稱量詞命題的真假．(1)每個(gè)四邊形的內(nèi)角和都是360°；(2)任何實(shí)數(shù)都有算術(shù)平方根；(3)?x∈{y|y是無理數(shù)}，x2是無理數(shù)．(4)每一個(gè)末位是０的整數(shù)都是５的倍數(shù)；(5)線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；(6)對任意負(fù)數(shù)x，x２的平方是正數(shù)；(7)梯形的對角線相等知識點(diǎn)二、存在量詞與存在量詞命題例子：(1)2x＋1＝3；(2)存在一個(gè)x∈R，使2x＋1＝3；(3)x能被2和3整除；(4)至少有一個(gè)x∈Z，x能被2和3整除．(5)|x－1|＜1；(6)有些x∈R，使|x－1|＜1.問題11、回顧命題的概念？并判斷上列例子中，哪些是命題，為什么？問題12、觀察左側(cè)的陳述語句(1)(3)(5)和右側(cè)的陳述語句(1)(3)(5)有什么區(qū)別，是什么導(dǎo)致了問題1的結(jié)論？（定義）問題13、上述存在量詞有哪些，除此之外你還能說出其他表達(dá)存在的含義的詞嗎，這個(gè)部分放在從集合的角度該如何理解？（定義）知識梳理知識梳理存在量詞與存在量詞命題存在量詞存在一個(gè)、至少有一個(gè)、有一個(gè)、有些、有的、對某些符號表示?存在量詞命題含有存在量詞的命題形式“存在M中的元素x，p(x)成立”可用符號簡記為“?x∈M，p(x)”注意點(diǎn)：(1)從集合的角度看，存在量詞命題是陳述某集合中有或存在一些或至少一個(gè)元素具有某種性質(zhì)的命題．(2)有些命題可能沒有寫出存在量詞，但其意義具備“存在”“有一個(gè)”等特征的命題都是存在量詞命題．問題8、請判斷命題?x∈R，x2－2x＜2的真假，并證明．問題9、請判斷命題?x∈R，x2－2x＜－2的真假，并證明．知識梳理：全稱量詞與全稱量詞命題的真假判斷(3)要判斷存在量詞命題“知識梳理：全稱量詞與全稱量詞命題的真假判斷(3)要判斷存在量詞命題“?x∈M，p(x)”是真命題，只需要在集合M中找到一個(gè)元素x，使p(x)成立即可．(4)要判斷一個(gè)存在量詞命題是假命題，需對集合M中的任意一個(gè)元素x，證明p(x)都不成立．例3、判斷下列命題是否為存在量詞命題，并判斷真假．(1)有些整數(shù)既能被2整除，又能被3整除；(2)某個(gè)四邊形不是平行四邊形；(3)方程3x－2y＝10有整數(shù)解；(4)有一個(gè)實(shí)數(shù)x，使x2＋2x＋4＝0.【跟蹤訓(xùn)練】判斷下列存在量詞命題的真假．(1)存在一個(gè)四邊形，它的兩條對角線互相垂直；(2)至少有一個(gè)整數(shù)n，使得n2＋n為奇數(shù)；(3)?x∈{y|y是無理數(shù)}，x2是無理數(shù)．(4)有些實(shí)數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)；(5)存在一個(gè)三角形不是等腰三角形；(6)有些菱形是正方形；(7)至少有一個(gè)整數(shù)x，x２＋１是４的倍數(shù)．知識點(diǎn)三、依據(jù)含量詞命題的真假求參數(shù)的取值范圍例3已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠?，若命題p：“?x∈B，x∈A”是真命題，求m的取值范圍．延伸探究1．把本例中命題p改為“?x∈A，x∈B”，求m的取值范圍．2．把本例中的命題p改為“?x∈A，x∈B”，是否存在實(shí)數(shù)m，使命題p是真命題？若存在，求出實(shí)數(shù)m的取值范圍；若不存在，說明理由．跟蹤訓(xùn)練3若命題“?x∈R，x2－4x＋a＝0”為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．1．(多選)下列命題是全稱量詞命題的是()A．任意一個(gè)自然數(shù)都是正整數(shù)B．有的菱形是正方形C．梯形有兩邊平行D．?x∈R，x2＋1＝02．下列命題中是存在量詞命題的是()A．任何一個(gè)實(shí)數(shù)乘以0都等于0B．任意一個(gè)負(fù)數(shù)都比零小C．每一個(gè)正方形都是矩形D．存在沒有最大值的二次函數(shù)3．下列命題中是全稱量詞命題并且是真命題的是()A．?a∈N，方程ax＋1＝0有實(shí)數(shù)根B．存在一條直線與已知直線不平行C．對任意實(shí)數(shù)a，b，若a－b≤0，則a≤bD．存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，使等式x2－2x＋1＝0成立4．命題p：?x，y∈R，x2＋y2≤1是________(填“全稱量詞命題”或“存在量詞命題”)，它是________1．下列命題是“?x∈R，x2>3”的另一種表述方式的是()A．有一個(gè)x∈R，使得x2>3B．對有些x∈R，使得x2>3C．任選一個(gè)x∈R，使得x2>3D．至少有一個(gè)x∈R，使得x2>32．下列命題中既是全稱量詞命題又是真命題的是()A．?x∈R,2x＋1>0B．若2x為偶數(shù)，則x∈NC．菱形的四條邊都相等D．π是無理數(shù)3．下列命題中的假命題是()A．?x∈R，|x|＝0 B．?x∈R,2x－10＝1C．?x∈R，x3>0 D．?x∈R，x2＋1>04．下列存在量詞命題是假命題的是()A．存在x∈Q，使4－x2＝0B．存在x∈R，使x2＋x＋1＝0C．至少有一個(gè)正整數(shù)是偶數(shù)D．有的有理數(shù)沒有倒數(shù)5．下列命題中形式不同于其他三個(gè)的是()A．?x∈Z，x2－9<x2B．?x∈R，x2－2x＋1≠0C．每一個(gè)正數(shù)的倒數(shù)都大于0D．?x<2，x－3<06．(多選)下列命題中是存在量詞命題的是()A．有些自然數(shù)是13的約數(shù)B．正方形是菱形C．能被6整除的數(shù)也能被3整除D．存在x∈R，使得|x|≤07．命題“有些負(fù)數(shù)滿足不等式(1＋x)(1－9x)2>0”用“?”寫成存在量詞命題為______________________________．8．若命題“二次函數(shù)y＝x2－3x＋9a的圖象恒在x軸上方”為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．9．判斷下列命題哪些是全稱量詞命題，哪些是存在量詞命題，并判斷其真假性．(1)對所有的正實(shí)數(shù)t，eq\r(t)>0且eq\r(t)<t；(2)存在實(shí)數(shù)x，使得x2－3x－4＝0；(3)存在實(shí)數(shù)對(x，y)，使得3x－4y－5>0；(4)角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等．10．已知命題“?－3≤x≤2,3a＋x－2＝0”為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．11．以下四個(gè)命題既是存在量詞命題又是真命題的是()A．銳角三角形的內(nèi)角是銳角或鈍角B．至少有一個(gè)實(shí)數(shù)x，使x2≤0C．兩個(gè)無理數(shù)的和必是無理數(shù)D．存在一個(gè)負(fù)數(shù)x，使eq\f(1,x)>212．(多選)下列命題中是真命題的是()A．?x∈R，x≤0B．至少有一個(gè)整數(shù)，它既不是合數(shù)也不是質(zhì)數(shù)C．?x∈{x|x是無理數(shù)}，x＋5是無理數(shù)D．?a，b∈R，使得a2＋b2－2a－2b＋2<013．已知命題p：?x∈R，x2＋2x－a＝0，若p為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A