新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)提升訓(xùn)練6.1 等差數(shù)列（精講）（解析版）

6.1等差數(shù)列（精講）（提升版）思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖考點(diǎn)呈現(xiàn)考點(diǎn)呈現(xiàn)例題剖析例題剖析考點(diǎn)一等差中項(xiàng)【例1】（2022·青海）已知等差數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的兩根，則SKIPIF1<0的前21項(xiàng)的和為（

）A．6 B．30 C．63 D．126【答案】C【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的兩根，由韋達(dá)定理得：SKIPIF1<0，所以等差數(shù)列SKIPIF1<0的前21項(xiàng)的和SKIPIF1<0．故選：C【一隅三反】1．（2022·海南?？凇ざ＃┰O(shè)公差不為0的等差數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】C【解析】因?yàn)镾KIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故選：C.2．（2022·江西）設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．56 B．63 C．67 D．72【答案】B【解析】設(shè)SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：B3．（2022·貴州·貴陽一中高三階段練習(xí)（理））已知數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列，數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列，若SKIPIF1<0則SKIPIF1<0的值是（

）A．SKIPIF1<0 B．1 C．2 D．4【答案】B【解析】由等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得SKIPIF1<0，由等比中項(xiàng)的性質(zhì)可得SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0.故選：B.4.（2022·安徽滁州）已知SKIPIF1<0是公差不為零的等差數(shù)列，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】A【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)得，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0故選:A考點(diǎn)二等差數(shù)列的前n項(xiàng)和性質(zhì)【例2-1】（2022·青海）已知等差數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．－10 B．－20 C．－120 D．－110【答案】C【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.故選：C【例2-2】．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）兩個(gè)等差數(shù)列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】?jī)蓚€(gè)等差數(shù)列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：A【例2-3】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】設(shè)SKIPIF1<0的公差為d，∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，即{SKIPIF1<0}為等差數(shù)列，公差為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0知SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0故選：A﹒【一隅三反】1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．8 B．12 C．14 D．20【答案】D【解析】等差數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0構(gòu)成首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列則SKIPIF1<0SKIPIF1<0+(SKIPIF1<0)+(SKIPIF1<0)+(SKIPIF1<0)=2+4+6+8=20故選：D2．（2022·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)公差不為零的等差數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．-1 C．1 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】在等差數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故選：C.3．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0與等差數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.若對(duì)于任意的正整數(shù)n都有SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：B.4．（2022·廣東習(xí)）等差數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．1011 B．2022 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】數(shù)列SKIPIF1<0公差為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故選：B．考點(diǎn)三等差數(shù)列的最值【例3-1】（2022·北京）設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則當(dāng)SKIPIF1<0取最大值n等于（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解析】設(shè)公差為SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0取最大值故選：B【例3-2】．（2022·陜西）設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則當(dāng)SKIPIF1<0SKIPIF1<0（

）時(shí)，SKIPIF1<0最大.A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)，因?yàn)镾KIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，即SKIPIF1<0；所以得SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以等差數(shù)列SKIPIF1<0為遞減的數(shù)列，所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0最大.故選：B.【例3-3】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））已知等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則下面結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0與SKIPIF1<0均為SKIPIF1<0的最小值【答案】C【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，A選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，當(dāng)SKIPIF1<0且SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0均為SKIPIF1<0的最小值，D選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，B選項(xiàng)正確．故選：C．【一隅三反】1．（2022·內(nèi)蒙古包頭·高一期末）等差數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，公差為d，已知SKIPIF1<0且SKIPIF1<0．則使SKIPIF1<0成立的最小正整數(shù)n的值為（

）A．4 B．5 C．8 D．9【答案】D【解析】因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以使SKIPIF1<0成立的最小正整數(shù)n的值為9.故選：D.2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））在等差數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則無法判斷正負(fù)的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】設(shè)公差為SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，可知：SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不確定正負(fù)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0故選：B3．（2022·河南許昌）已知SKIPIF1<0是等差數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和，若對(duì)任意的SKIPIF1<0，均有SKIPIF1<0．成立，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．2 B．SKIPIF1<0 C．3 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由題意，等差數(shù)列SKIPIF1<0，對(duì)任意的SKIPIF1<0，均有SKIPIF1<0成立，即SKIPIF1<0是等差數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和中的最小值，必有SKIPIF1<0，公差SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是等差數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和中的最小值，此時(shí)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0是等差數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和中的最小值，此時(shí)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，綜合可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0.故選：D.4．（2022·湖北·荊州中學(xué)高三開學(xué)考試）已知等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差不等于0．其前SKIPIF1<0為項(xiàng)和為SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（

）A．18 B．20C．22 D．24【答案】B【解析】設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，顯然SKIPIF1<0，否則SKIPIF1<0，矛盾，于是得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，否則SKIPIF1<0，公差SKIPIF1<0，矛盾，因此，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，則公差SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，于是有等差數(shù)列SKIPIF1<0是遞減數(shù)列，其前5項(xiàng)都是非負(fù)的，從第6項(xiàng)起為負(fù)，當(dāng)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最大值為20.故選：B考點(diǎn)四等差數(shù)列的綜合運(yùn)用【例4】（2022·廣東深圳·高三期末）（多選）已知d為等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差，SKIPIF1<0為其前n項(xiàng)和，若SKIPIF1<0為遞減數(shù)列，則下列結(jié)論正確的為（

）A．?dāng)?shù)列SKIPIF1<0為遞減數(shù)列 B．?dāng)?shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0依次成等差數(shù)列 D．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0【答案】BD【解析】由題意可知數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列，且遞減，則SKIPIF1<0，不妨舉例如：SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，這三項(xiàng)不構(gòu)成遞減數(shù)列，故A錯(cuò)；而SKIPIF1<0,這三項(xiàng)不構(gòu)成等差數(shù)列，說明C錯(cuò)；對(duì)于B，SKIPIF1<0，是關(guān)于n的一次函數(shù)，因此SKIPIF1<0是等差數(shù)列，故B正確；對(duì)于D，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故D正確，故選：BD.【一隅三反】1．（2022·湖北·華中師大一附中模擬預(yù)測(cè)）（多選）記數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列，下列結(jié)論中不恒成立的是（

）A．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0【答案】ACD【解析】設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的首項(xiàng)為SKIPIF1<0，公差為SKIPIF1<0，則對(duì)于A，由數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列及SKIPIF1<0，所以可取SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0不成立，故A正確；對(duì)于B，由數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0恒成立，故B不正確；對(duì)于C,由數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列，SKIPIF1<0可取SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0不成立，故C正確；對(duì)于D，由數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列，得SKIPIF1<0，無論SKIPIF1<0為何值，均有SKIPIF1<0所以若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0恒不成立，故D正確.故選：ACD.2．（2022·廣東湛江·高三階段練習(xí)）（多選）設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則下列結(jié)論正確的是（

）A．?dāng)?shù)列SKIPIF1<0是遞增數(shù)列 B．SKIPIF1<0C．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BC【解析】等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，可得B正確；SKIPIF1<0SKIPIF1<0故數(shù)列為遞減數(shù)列，故A錯(cuò)誤；因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，因?yàn)閿?shù)列是遞減數(shù)列，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，故當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，C是正確的；SKIPIF1<0，故D錯(cuò)誤；故選：BC3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（多選）在等差數(shù)列SKIPIF1<0中，其前SKIPIF1<0的和是SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0是遞增數(shù)列 B．其通項(xiàng)公式是SKIPIF1<0C．當(dāng)SKIPIF1<0取最小值時(shí)，SKIPIF1<0的值只能是SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0【答案】ABD【解析】由SKIPIF1<0，可知等差數(shù)列SKIPIF1<0為遞增數(shù)列，A正確；由題設(shè)，SKIPIF1<0，B正確；SKIPIF1<0，故當(dāng)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0取最小值且為SKIPIF1<0，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：ABD4．（2022·福建漳州·三模）（多選）已知數(shù)列{SKIPIF1<0}的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，則下列說法正確的是（

）．A．SKIPIF1<0是遞增數(shù)列 B．SKIPIF1<0是遞減數(shù)列C．SKIPIF1<0 D．?dāng)?shù)列SKIPIF1<0的最大項(xiàng)為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0【答案】BCD【解析】因?yàn)镾KIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0的最大項(xiàng)為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，故D正確；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，兩式相減得：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，適合上式，所以SKIPIF1<0，故C正確；因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是遞減數(shù)列，故A錯(cuò)誤，B正確；故選：BCD考點(diǎn)五等差數(shù)列的實(shí)際運(yùn)用【例5-1】（2022·湖北·模擬預(yù)測(cè)）（多選）在新加坡舉行的2020世界大學(xué)生辯論賽中，中國(guó)選手以總分230.51分獲得冠軍．辯論賽有7位評(píng)委進(jìn)行評(píng)分，首先7位評(píng)委各給出某隊(duì)選手一個(gè)原始分?jǐn)?shù)，評(píng)定該隊(duì)選手的成績(jī)時(shí)從7個(gè)原始分?jǐn)?shù)中去掉一個(gè)最高分、去掉一個(gè)最低分，得到5個(gè)有效評(píng)分．若某隊(duì)選手得到的7個(gè)原始分成等差數(shù)列，且公差不為零，則5個(gè)有效評(píng)分與7個(gè)原始評(píng)分相比，不變的數(shù)字特征是（

）A．中位數(shù) B．平均數(shù) C．方差 D．極差【答案】AB【解析】7個(gè)原始分成公差SKIPIF1<0的等差數(shù)列，設(shè)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則中位數(shù)及平均數(shù)均為a，方差為SKIPIF1<0，極差為SKIPIF1<0則5個(gè)有效分為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，中位數(shù)及平均數(shù)均為a，方差為SKIPIF1<0，極差為SKIPIF1<0∴A、B正確，C、D錯(cuò)誤．故選：AB．【例5-2】（2021·全國(guó)·高二單元測(cè)試）數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有這樣一個(gè)問題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二(除以3余2)，五五數(shù)之剩三(除以5余3)，問物幾何？”現(xiàn)將同時(shí)滿足“三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三”的正整數(shù)按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列SKIPIF1<0，則滿足SKIPIF1<0的正整數(shù)SKIPIF1<0的最小值為（

）A．132 B．135 C．136 D．138【答案】C【解析】由題意歸納可知，數(shù)列為8，23，38，…，即所求數(shù)列是首項(xiàng)為8公差為