2022高考數(shù)學(xué)考前必刷題：雙曲線選擇題

雙曲線選擇題

一、單選題

1.過點（0,-2）的直線與拋物線丁=也交于48兩點,若線段AB中點的橫坐標(biāo)為2,則|知=

（）

A.2舊B.V17C.2715D.V15

【詳解】

設(shè)直線方程為丫=丘-2,A&,y）,3?,%），

y=kx-2

聯(lián)立方程組整理得/f一4(Z+2)X+4=0,

y2=8x

因為直線與拋物線交于AB兩點，所以A=16（Z+2）2-16公>0,解得火>-1,

因為線段AB中點的橫坐標(biāo)為2,可得上白=等羅=2,所以火=2或Z=—1（舍），

乙K

所以412-16*+4=0,可得%+々=4,苫々=1,

222

則|=>J\+k?卜1-&|=>/1+2?+x2）-4x,x2=《5（4。-4）=2>/15.

故選：C.

2.已知直線/：y=x-l與拋物線C:y2=2px（p>0）相交于A、B兩點，若AB的中點為N,

一一.2___

且拋物線C上存在點M,使得。A+OB=]OM（。為坐標(biāo)原點），則。的值為（）

A.4B.2C.1D.g

【詳解】

解：設(shè)人（西,兇）,8（孫力），聯(lián)立,2r￡得：y2-2py-2p=0,解得：

%,+x2=2p+2,y,+y2=2p,因為N為A8的中點，所以N（p+l,p）,

又因為加+詼=2兩，所以有的=3而，即M（3p+3,3p）,點M在拋物線上，代入可

得9P2=2p（3p+3）,解得：p=2.

故選：B.

3.已知4B,C是橢圓「：攝+%=1（。小0）上不同的三點，且原點。是OZBC的重心，

若點C的坐標(biāo)為[摯直線N8的斜率為-且，則橢圓「的離心率為（）

I22）3

A.1B.偵C.也D.立

3333

【詳解】

設(shè)A8的中點。，

因為原點。是口NBC的重心，所以CO,。三點共線,

所以七口=k0c,

22

t_bb（bb_\版N2>/2

由于自——7=>-7=^----=一一—=￡，所以e=—

ayJ3a3Jaa33

故選：B.

4.已知圓C：/+y2-16y+48=0與雙曲線E：展方=l（a>0為>0）的漸近線相切，則E

的離心率為（）

A.2B.生色C.空D.y/2

93

【詳解】

由/+/-16），+48=0得/+（），-8）2=42,

所以圓心。（。,8）,半徑r=4,

雙曲線E：，一鳥=1（。>0川>0）的一條漸近線為◎-刀=0,

由題意得圓心到漸近線的距離公產(chǎn)L=驗=4,所以〃=1c,

>Ja2+b2。2

所以a=y/c2—b2=c,所以e=￡=2G.

2a3

故答案為：空.

3

22

5.已知橢圓。言+%=1（。>2>0）的左、右焦點分別是耳，尸2，直線丫=丘與橢圓C交于

A,8兩點，H用=3忸制，且4；AK=60。，則橢圓。的離心率是（）

3

D.

4

由橢圓的對稱性，得M閭二|他|.設(shè)|相|二〃2,則|好|二36.由橢圓的定義，知|A用+|4周=2%

即7M+3/〃=2n,解得m=故|4用=弓，|A周=￡.

在心中，由余弦定理，得忻用2=|A用2+|AE「_2|AGA周cosN￡A片，即

21

,29a2a3aa\la...27-Jl

4L=——+-----2x——x—x—=---,貝lje-=-v=——，故6=——.

442224a2164

故選：B.

6.設(shè)百，鳥為雙曲線。:《-1=1（。>0,匕>0）的左、右焦點，過坐標(biāo)原點。的直線依次與雙曲

crb-

線C的左、右支交于P,。兩點，^\PQ\=2\QF2\=2\OF2\,則該雙曲線的離心率為（）

A.包B.1+粗C.2+6D.3+28

3

【詳解】

解：設(shè)雙曲線的半焦距為c,可得|OPROQI=IQEI=|O6l=c,

即有四邊形Q6尸鳥為矩形，

由雙曲線的定義可得IQKI=2a+c,

在直角三角形匹。芻中,16下『=1陰|2+106『,

即有4c2=（2a+c）2+c2,

可得2。+c=>/3c，

即e=￡=-fi—=1+6

aV3-1

故選：B.

22

7.已知F為雙曲線C:三上=i（a>0,6>0）的左焦點，Z點為雙曲線的右頂點，B（0,

7瓦

-6）,尸為雙曲線左支上的動點,若四邊形尸歷IP為平行四邊形，則雙曲線的離心率為（）

B.6+1

8

C.2也一1D.

3

由題意得：A（a,。），尸（-。,0）,設(shè)P（x。,%）,因為四邊形ES/1P為平行四邊形，所以形=麗,

即(/+c,%)=(a,6)可得：x0=a-c,y0=b,故P(4-c,b),代入雙曲線得

(fl~C)Z=2^>e=-j2+\

a2

故選：B.

22

8.已知雙曲線C:二-馬=1(〃>0/>0),直線/過雙曲線的右焦點且斜率為直線/與雙

曲線C的兩條漸近線分別交于M、N兩點(M點在x軸的上方)，且耦=2,則雙曲線C

的離心率為()

A.2B.—>/3C.D.6

【詳解】

如下圖所示：

由題意可知，直線/與漸近線y=垂直，則QN_LMN,

a

\OM\b

又^^=2，則/OMN=30,,故/MON=60"，則NM。尸=30,則上=tan3。=以，

QMa3

所以，該雙曲線的離心率為

故選：B.

22

9.已知產(chǎn)是橢圓工+工=1的一個焦點，為過橢圓中心的一條弦，則ZVlB廠面積的最大

259

值為()

A.6B.15C.20D.12

【詳解】

顯然直線不垂直y軸，橢圓中心為原點O,設(shè)直線N8的方程為：x=〃?y,

[x=my.1,

由，”2”:消去歹得：(9/n2+25)y2=225,設(shè)4%,y),8(/,%)，

\9x~+25y=225

1515

由橢圓對稱性，不妨令蘆=%,，%=~I,，焦點F（4,0）,

+25V9m2+25

△ABF的面積=:|OF|?|%-%|=2?30=/‘°<12,當(dāng)且僅當(dāng)〃?=0時取

2yj9m2+25V9/n2+25

“一,,,

所以△/8F面積的最大值為12.

故選：D

10.已知點F為拋物線C:V=4x的焦點，過點尸的直線/線交拋物線C于AB兩點，且

AB=tFB（t>1）,\AB\=^,則t=（）

A.2B.3C.4D.5

【詳解】

解：由焦點F（l,0）,設(shè)直線/為x=2y+l（八0）,

代入拋物線方程得y2-4/ly-4=0.

4

設(shè)A（Xi，yJ,8（孫必），由韋達(dá)定理得：y,y2=-C.

由喬=/而，即。一%,一%）=/（口一1,%），有y=一明

22

□由□口得:yFy=-2?或％=-萬，y=2〃,

即X=],%=；，

所以|4卻=工]+電+〃=；+/+2=牛,

化簡得3r_10.+3=0,

所以/=3或/=；（舍）.

故選：B.

已知橢圓E:?+y2=L尸為E的長軸上任意一點，過點尸作斜率為3的直線/與E交

于M,N兩點，則IPMF+IPNF的值為（）

A.4B.5C.6D.7

【詳解】

設(shè)0）（-2<m<2）,直線/的方程為y=g（x-機）,M（%,yj,N（々,以），將直線方程代入

tn2-4

橢圓方程并化簡得到2/-2,nx+/-4=0,進而有％+%2=利%工2=

2

所以IMP|2+1PNF=(%-m)2+y；+(芻-“)2+貨

+x)~—2加(％[+x)-2xx+2m2-2rH2-(nv-4)+Inrj=5.

2212卜汕

故選：B.

12.已知斜率為6的直線/經(jīng)過拋物線y2=2px,（p>0）的焦點F,并與拋物線交于A,B兩

點，且|相|=8,則。的值為（）

A.1B.2C.3D.4

【詳解】

拋物線/=2Px的焦點F（30）,

根據(jù)題意，直線/的方程為y=6（x-g,

與拋物線方程y2=2px聯(lián)立得3（x-y=2px,

整理得3--5川+虹=0,

4

所以％+W=與，

所以IA.=百+電+p=雷+p='=8,

所以p=3,

故選：C.

13.已知產(chǎn)是拋物線C：y=的焦點，。為坐標(biāo)原點，過廠的直線交C于4,8兩點,

4

則三角形。/8面積的最小值為（）

A.--B.—C.~D.2

128322

【詳解】

由C：苫2=4），得尸（0，1）,設(shè)小，升B,今）

由已知直線AB的斜率存在設(shè)為k,

所以直線加：y=區(qū)+1,

fy=Ax+l

聯(lián)立仁?得/一4"-4=0,

[x~=4y

5△砌年回他-x2|=|V16F+16=2x/F7i>2,

當(dāng)％=0時，三角形Q4B面積的最小值為2,

故選：D.

14.設(shè)拋物線C：y2=2pxS>0)的焦點為F,點P(4,〃2)是拋物線C上一點，且回|=5.設(shè)

直線/與拋物線C交于A、B兩點，若。4,03(。為坐標(biāo)原點).則直線/過定點().

A.(1,0)B.(2,0)C.(4,0)D.(3,0)

【詳解】

□P(4,〃。是拋物線C上一點，且|PF|=5.口5+4=5,

解得P=2,即拋物線C的方程為V=4x.

依題意可知直線/的斜率不為0,設(shè)直線/的方程為x="+s,A(±,y),B(x2,y2),

由消去》得,2-4。-4s=0,則弘+丫2=4，>i-=-4.v.

[y=4x

22

因為OAJ_OB,所以占,x,+y,%=0,即+%?%=0.

44

化簡得%、2=-16.由Ts=—16得s=4,所以直線/的方程為x="+4,

所以直線/經(jīng)過定點(4,0).

故選：C

15.過拋物線C：V=2px(p>0)焦點廠的直線與拋物線相交于48兩點，|/用=2怛q，

。為坐標(biāo)原點，且口4。8的面積為6&，則拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為()

A.y2=2xB.y2=4xC.y2=6xD./=8x

【詳解】

由題設(shè)，令A(yù)3為x=6+日，聯(lián)立拋物線方程并整理得)，2-2&外-夕2=0,

□若4(再,％),3(》2，)),則X+%=2切，%為=-/，又|叫=2忸F|易得|%|=2|必1,

2

□X=4kp,y2=-2kp,則-8%”'=-p,即公=L

8

：Iy_%1=+%)2-4必%=2pJ/+l，

又1=6血，而|OF地，

口p2"T=6&,即p2=]6,又p>0,則p=4,故y[=8x.

2

故選：D

16.己知過的直線與拋物線y2=3x(x>0)交于A,B兩點，M為弦AB的中點，0

為坐標(biāo)原點，直線CW與拋物線的另一個交點為N,則兩點N、M縱坐標(biāo)的比值范圍是

()

A.(2,-KO)B.(3,+00)

C.[2,-H?)D.[3,+oo)

【詳解】

3c9

設(shè)直線AB:my=x——(加目0),代入y2=3x(x>0)得y-3my——=0,

44

X+必33323

-'-Zw=~2^=2m，Xm=^+4=2^'+4,

心一二苦,

xM2m+1

，直線OM:y=-^―x,代入V=3x(x>0)得.=生竺卻,

2次+1N2m

.?.也=2+-4>2

%m'

故選：A

17.已知直線/與拋物線J/=4x交于AB兩點(點A在第一象限，點8在第四象限)，與不軸

交于點M(肛0),若線段AB的中點的橫坐標(biāo)為3,則加的取值范圍是()

A.(0,3]B.(-00,3]C.(0,6]D.(1,6]

【詳解】

解：設(shè)A(X1,y),8(X2，>2),直線方程為x=)+〃?(〃?>0),

x=ty+mc

,，，消去X,得>2-4"_4m=0,所以X+%=4f,

{y=Ax

所以玉+七=t(yt+y2)+2m=4r+2m,

因為A、B中點橫坐標(biāo)為3,所以不+*2=6,

故機=3-2/43,又加>0,所以川的取值范圍為(0,3].

故選：A.

18.已知拋物線產(chǎn)=公，直線/與拋物線交于/、8兩點，若線段中點的縱坐標(biāo)為2,則

直線的斜率為()

A.2B.V3C.—D.1

3

【詳解】

設(shè)直線/的方程為A(x/,y/),B(必”)，

聯(lián)立直線/與拋物線方程化簡可得，/-4my-4n=0,

[y-=4x

由韋達(dá)定理可得，）〃+72=4〃?，

□^^=2,

2

□4m=4,即機=1,

□直線/的方程為y=x-〃，

k=\.

故選：D

19.已知過拋物線C：V=4x的焦點廠且傾斜角為30。的直線交C于/,8兩點，。為的

中點，P為C上一點，則|PF|+|PQ|的最小值為（）

A.5B.6C.7D.8

【詳解】

如圖所示：

由題意，得尸（1,0）,故直線48的方程為x=GyH,

聯(lián)立卜鄧‘+'得卜4島-4=0,

y=4x

設(shè)N（x/,yi）,B（必”），

貝!1乂+丫2=46，xi+x2—-/i（y/+>2）+2—14,

所以。（7,2上）,

過P作尸，垂直準(zhǔn)線于點H,

由拋物線的定義得：|尸川+『。尸\PH\+\PQ\>\QH\=7+1=8,

當(dāng)Q，RH三點共線時，等號成立，

所以號1+IPQI的最小值為8,

故選：D.

11

20.過x軸上點P?0）的直線與拋物線V=8x交于A,8兩點，若所+所為定值，則

實數(shù)“的值為（).

A.1B.2C.3D.4

【詳解】

設(shè)直線AB的方程為x=my+a,

代入y?=8x,得y2_8m_y-8a=0,

設(shè)8(孫％)，則乂+必=8加,>「必=-8”.

IM=(%-a)?+寸=(陽ij+y；=(>+])#,

同理，忸呼=(病+1)門,

□」-+」-=，[_1+_1)=，.他+宣一2也1

|AP|2|BP|2/+l[y：y1)蘇+1y汶

=_J_64,/_2x（-8a）=4加?+〃=火源+；）,

/+164/4/"+1）4/"+］）

11

口的+所為定值是與機無關(guān)的常數(shù)，

□@=1n〃=4,

4

故選：D.

21.已知斜率不為0的直線/過橢圓C:1+V=l的左焦點尸且交橢圓于A,B兩點，軸上

的點M滿足|M4|=|M8|,則I高FM的|取值范圍為（）

IA⑸

【詳解】

解：很明顯點例為線段A8的垂直平分線與y軸的交點,

設(shè)直線/:x=my-l（"?#0）,4（占，乂），fi（x2,%）,

聯(lián)立直線方程與橢圓方程，可得（利2+2）＞2-2,町，-1=0,

因此弘+必==-T7T，

根+2tn+2

所以線段A3的中點坐標(biāo)為（年—2；,—m；），

加~+2m~+2

IA51=Jl+/n2j（y+y2）2_4y），2=「世，"；"）?,

2+m~

AB的垂直平分線的方程為丫=-機3+一不）+「三，

w+2m~+2

當(dāng)x=0時，y=Y^，則M（O，$）,

療+2m+2

因此|FM|=.

Vm2+2m2+2

22

JM+5m2+42+m_"（1+加2）（4+）

所以也=m

22

|A8|m+220（1+機2）一2x/2（l+m）

故選：B.

22.已知尸-B是橢圓C：《+*=1的兩個焦點，左頂點為/,過點6的直線交橢圓C于

43

M,N兩點，若4N//MB則可圖=()

A.1B.工C.§D.H

4234

【詳解】

由題可知4-2,0),耳(-1,0),6(1,0),根據(jù)題意可知直線MN的斜率不為0,可設(shè)直線方程為

x=my-lfM(x，y)4(私力)，不妨設(shè),〉。，如圖,

6m

y+〉2=-7

3"+4

□〈

-9

y%=2,

3Q"z+4A

由./g可得耨二照T*如

6m

+4ATJZQ24

3>ITT解得"=￡

5

3m2+4

3石3石2A/5

7必2=---8--，'必力=--4--,m=---5---

□百=g,即Me汽

□阿瑪=出-1）2+（乎-0）2=（?

故選：A.

23.已知點尸在拋物線C：y23nx（〃件0）上，過點P作拋物線/=2），的切線4，4，切點

分別為“，N,若G（l,l）,S.GP+GM+GN=0,則C的準(zhǔn)線方程為（）

A.x=—B.x=—C.x———■D.x=———-

4422

【詳解】

設(shè)M（X［，3"）,N（X2，5-）,由》2=2>,得y=g%2,則y'=x,

22

則尸M：y_z|：=x"x_xj,即y=xtx-^-

同理直線PN的方程為

聯(lián)立PM,PN的方程可得x=y=竽，則竽）,

又由喬+訴+函=6，得G為三角形MVP的重心，

22

則西+々+^1^=3,工+土+中=3,得占+電=2//2=-2,

則又P拋物線C：V=〃優(yōu)（加工0）上，得〃?=1,即。：丁二工，

準(zhǔn)線方程為X=-2

4

故選：A.

24.已知點P（—1,0）,設(shè)不垂直于x軸的直線/與拋物線f=2x交于不同的兩點，、B,

若x軸是口/尸5的角平分線，則直線/一定過點

A.（J,0）B.（1,0）C.（2,0）D.（-2,0）

【詳解】

根據(jù)題意，直線的斜率不等于零，并且直線過的定點應(yīng)該在x軸上，

設(shè)直線的方程為x=》+機，與拋物線方程聯(lián)立，消元得丁-2江-2,”=0,

設(shè)4（%,%）,,%）,因為x軸是口月尸8的角平分線，

所以AP、BP的斜率互為相反數(shù)，所以言+告7=°,

結(jié)合根與系數(shù)之間的關(guān)系，整理得出2a名+（機+1）（乂+、2）=。，

即力（-2㈤+2加+2f=0,2r（w-l）=0,解得加=1,所以過定點（1,0）,

故選B.

25.已知巴，乃分別為雙曲線［-4=1的左，右焦點，過心且傾斜角為銳角。的直線與雙

曲線的右支交于A,8兩點，記的內(nèi)切圓半徑為｛，片6的內(nèi)切圓半徑為弓，若

上=3,則a的值為（）

r2

A.75°B.30°C.45°D.60°

【詳解】

如圖，記△AGE的內(nèi)切圓圓心為C,

內(nèi)切圓在邊Af；、4E、耳用上的切點分別為V、N、E,

易知C、E兩點橫坐標(biāo)相等，|AM|=|AN|,閨例|=|月可，優(yōu)N|=優(yōu)同，

由M-網(wǎng)=2a,ap\AM\+\FtM\-（|?W|+|^^V|）=2a,

得忻MT月M=2a，即忻E|-怩E|=2a,

記C點的橫坐標(biāo)為%,則E（%,0）,

則%+c—（c—x。）=2a,得x0=a.

記耳用的內(nèi)切圓圓心為。，同理得內(nèi)心。的橫坐標(biāo)也為。，則C￡＞，x軸,

由題意知/。凡。=1,NCAO=W-W，

222

在ACEF2中,tanZCF2O=tan

在△QEg中，tanZDF,O=tany=^_,

?冗一a

tan

所以衛(wèi)=—=3,即tan-=,

ra23

2tan—

2

所以a=60。,

故選：D.

26.已知雙曲線C：二—21=1的左焦點為尸，過原點的直線/與雙曲線C的左、右兩支分

97

14

別交于A,B兩點，則向商的取值范圍是（

]_33

一,+8

65~6,16

【詳解】

設(shè)|E4|=不，則r2c—a=1.

設(shè)雙曲線的右焦點為F,由對稱性可知怛尸1=|E4|=r,則忻邳=r+2。=〃+6,

所以同廠畫2一77??令/⑺=；

3(尸-4-12)3(r+2)(r-6)

,令八，”0得r=6,

(r2+6r)(r2+6r)2

當(dāng)xe（l,6）時，/（r）＜0,/⑺單調(diào)遞減；當(dāng)》《（6,欣）時，f（r）＞0,/⑺單調(diào)遞增.

13

所以〃r）mM=f（6）=-：，又當(dāng)xe（6,”）時，（，）＜0,所以/⑺皿=〃1）=：.

67

3

的取值范圍是一

617

故選：B

■y2cc

27.若橢圓（::￡+}=1（“＞%＞0）上的點（2,學(xué)到右準(zhǔn)線的距離為過點M（0,l）的直線/

——?2——?

與C交于兩點43,且貝卜的斜率為

A.—B.±—C.±—D.—

3329

【詳解】

'4251

----7=]

a-9b

解：由題意可得/=尸+《2,解得〃2=9/2=5]=%

22

所以橢圓c：5+方=1,

設(shè)/：y=fcr+l,設(shè)4（再,兇）,8（彳2，＞2）

___2—.

因為所以2々=-3為

y=kx+\

由口v2得（9r+5?2+18日-36=0

—+—=1

95

一18左

…=赤？1

則J結(jié)合2々=-3x,,聯(lián)立消去超，3解得Z=士：

S際-303

故選：B.

22

28.已知門，鳥為雙曲線￡=1（。＞0力＞0）的左、右焦點，以耳鳥為直徑的圓與雙曲

線右支的一個交點為P，PE與雙曲線相交于點。，且|P2|=3|。6則該雙曲線的離心率為

（）

A.跑B.叵C.-D.好

3322

【詳解】

設(shè)IQ耳l=r,則|PQI=3t,而I。瑪|-|QMH0KI—|PEI=2a,

[J\QF2\=2a+t,\PF2|=4r-2a,

由Nf；尸瑪=],則|PQF+|pg『=|Qg|2,|/>"2+|尸弱|2=402,

9產(chǎn)+（4"2ay=（2a+f）2

,解得高,則沁

-16r+（4/-2a）2=4c2

故選：B

29.已知點尸為拋物線y2=4x的焦點，A（-1,0）,點M為拋物線上一動點，當(dāng)隅最小時,

點/恰好在以4尸為焦點的雙曲線C上，則雙曲線C的漸近線斜率的平方是（）

非+1

A.B.2+20C.3+2且D.

2

【詳解】

由拋物線的對稱性，不妨設(shè)M為拋物線第一象限內(nèi)點，如圖所示:

故點M作MB垂直于拋物線的準(zhǔn)線于點8,由拋物線的定義知易知例8〃x軸,

可得=

\MF\_\MB\

=cos/BMA=cosZ.MAF

\AM\~\AM\

\MF\,

當(dāng)NM4F取得最大值時，扁取得最小值，此時40與拋物線y2=4x相切,

設(shè)直線AM方程為：y=k（x+l）,

y2=4x

聯(lián)立<整理得公產(chǎn)+（2公一4卜+公=0,

y=k(x+l)

其中△=-16/+16=0,解得：k=±1,

由加為拋物線第一象限內(nèi)