2023年高考數(shù)學(xué)第11講 指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的交匯與綜合

第11講指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的交匯與綜合

一、知識(shí)聚焦

對(duì)數(shù)函數(shù)y=log“M%>0）是指數(shù)函數(shù)y=的反函數(shù)，在教材上，對(duì)數(shù)函數(shù)是作為指數(shù)函

數(shù)的反函數(shù)引人的，兩類函數(shù)的關(guān)系相當(dāng)密切，它們的交匯與綜合歷來是高考命題的熱點(diǎn).

解決指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的綜合問題時(shí)，要注意運(yùn)用指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)等知識(shí)和

研究函數(shù)的性質(zhì)的思想方法來分析解決問題，緊緊抓住兩類函數(shù)圖像之間關(guān)于直線y=x對(duì)

稱的關(guān)系.

指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)相結(jié)合的復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)考查是極其重要的題型.

二、精講與訓(xùn)練

【核心例題1］已知函數(shù)/（x）=log〃（8—2”）（a〉0Jaa/l）.

（1）若函數(shù)/（x）的反函數(shù)是其本身，求a的值；

⑵當(dāng)。>1時(shí)，求函數(shù)>=〃x）+/（-x）的最大值.

【解題策略】第⑴問，求出尸（x）,由題設(shè)f-'（x）=/（x），用待定系數(shù)法求出a的值;第⑵

問，函數(shù)式化簡后運(yùn)用基本不等式結(jié)合復(fù)合函數(shù)相關(guān)性質(zhì)求函數(shù)的最大值.

【解:】⑴函數(shù)“X）的反函數(shù)尸（x）=log,（8-?'）-

由題意可得log“（8—2*）=log2（8—/）,a=2.

⑵由題意可知8-2、>0,解得x<3,則y=/（x）+〃—x）的定義域?yàn)椋ㄒ?,3）.

/（x）+/（-x）=log.（8-2r）+log?（8-27）=log.［65-8（2'+2-'）］.2r+2-'>2,

當(dāng)尤=0時(shí)等號(hào)成立,.?.0<65-8（2'+2-'）449.

當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)y=f（x）+f（-x）在x=0處取得最大值log049.

【變式訓(xùn)練1】已知定義在R上的函數(shù)“力=22時(shí)一1(〃?為實(shí)數(shù))為偶函數(shù),記

a=〃log()53),0=/(log25),c=/(2/")J"a、b、c的大小關(guān)系為().

K.a<b<c

B.a<c<b

C.c<a<b

D.c<b<a

【變式訓(xùn)練2】設(shè)函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?。，若函?shù)/(x)滿足條件:存在［a,b］^。，使

“X)在［a,目上的值域是p|，則稱/(x)為“半縮函數(shù)”，若函數(shù)/(x)=log2(2，+f)為

“半縮函數(shù)”，則實(shí)數(shù)f的取值范圍是.

(核心例題2】已知函數(shù)/(x)滿足"log/)='其中a>0,a片L

⑴對(duì)于函數(shù)/(x),當(dāng)1,1)時(shí),“1一機(jī))+/)<0,求實(shí)數(shù)加的集合；

⑵當(dāng)XW(-8,2)時(shí),/(x)-4的值恒為負(fù)數(shù)，求a的取值范圍.

【解題策略】本題是對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的綜合.首先由換元法求出/(x)的解析式,進(jìn)而研

究/(x)的性質(zhì)，特別是奇偶性與單調(diào)性，這是解決本題的關(guān)鍵.函數(shù)的概念、性質(zhì)的應(yīng)用始終

在起作用.

【解:】令log“x=/(feR),則x=a',:.=

，/(x)=黃木優(yōu)一「)

■./(一x)=^^(ar_優(yōu))=_/(x),.?./(x)是R上的奇函數(shù).

當(dāng)a>1時(shí),。一>0,"是增函數(shù),—a-*是增函數(shù).

a-1

???/(同是R上的增函數(shù).

當(dāng)0<a<l時(shí),W—<0,優(yōu)是減函數(shù)，一。一,是減函數(shù)，

CT—1

.?./(%)是R上的增函數(shù).

綜上所述,。〉0且awl時(shí),/(%)是R上的增函數(shù).

(1)由/(1—6)+/(1—加2)<0有/(I—m)<—/(1—加2)=f(m?—1).

r2

1-m<m"—\

1,卻吊得me(1,0)

-1<m2-1<1

⑵/(x)是R上的增函數(shù).???/(x)—4也是R上的增函數(shù).

由尤<2,得J(x)</(2),;./(x)—4</(2)—4

要使/(力―4的值恒為負(fù)數(shù)，只需“2)—4W0,即工%(。2_/2)一440,

解得2-百+

a的取值范圍是[2—6,1)D(1,2+6].

【變式訓(xùn)練1】已知函數(shù)"x)=log“(a—

(1)求“X)的定義域、值域.

(2)判定/(x)的單調(diào)性,并給予證明.

(3)解不等式/(%).

【變式訓(xùn)練2】設(shè)函數(shù)/(力=1。8“(1一?！逼渲?。>1.

⑴求函數(shù)/(X)的定義域、值域.

(2)判斷/(x)的單調(diào)性.

(3)證明:y=/(x)的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱.

(4)設(shè)方程/(x)+x+4=0有兩個(gè)實(shí)根，求%+%2.

vv

【核心例題3】解方程:log5(3'+4')=log4(5-3).

【解題策略】本例是指對(duì)數(shù)混合型方程,通常利用指、對(duì)數(shù)互化的方法并結(jié)合函數(shù)單調(diào)性來

解方程是一個(gè)很好的策略，本題中容易發(fā)現(xiàn)原方程通過恒等變形轉(zhuǎn)化為3、+4'=5'型的指

數(shù)方程，可用先猜后證的方法解之.

Av

解:令I(lǐng)og5(3+4,)=log4(5-3')=?.

則有3、+4*=5"和5*—3*=4".

兩式相力口可得5'+4*=5"+4".

由單調(diào)性可知x=。,故3,+4*=5'.

觀察知x=2是方程的一個(gè)根.

MY(4丫

又3*+4'=5'可化為三=1.

$

?函數(shù)y=1|）與y(4丫

=-均為減函數(shù),

原方程有唯一解，故方程只有一個(gè)解x=2.

【變式訓(xùn)練】已知函數(shù)/(x)=log2(2'+l).

⑴證明:函數(shù)/(X)在(—8,+8)內(nèi)單調(diào)遞增.

⑵若g(x)=log2(2'-l)(x>0)，且關(guān)于X的方程g(x)=“X)在［1,2］上有解，求m

的取值范圍.

i?_i_4Xa

【核心例題4】設(shè)/(x)=lg------------二,如果當(dāng)xe(—8,l］時(shí)〃x)有意義，求實(shí)數(shù)a的

取值范圍.

【解題策略】本題的實(shí)質(zhì)是當(dāng)xw(-8,1］時(shí)1+2*+4'?a>0恒成立，可以通過換元,構(gòu)造二

次函數(shù)，利用函數(shù)的圖像和單調(diào)性解決問題，也可以實(shí)施“參變分離''求a的取值范圍.

II_i_4va

【解法一】當(dāng)XG(-8,1］時(shí),〃X)=1g------------二有意義的函數(shù)問題，可轉(zhuǎn)化為

1+2「+4Ja>0在XG(—8,1］上恒成立的不等式問題.

/［、2x

+出+a>0在

由題設(shè)可知,不等式1+2"+4、?a>0在］￡(-8,1］上恒成立，即-

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xe(一。/］上恒成立.

設(shè)f=(g),則/2g,又設(shè)g(。=『+［+。，其對(duì)稱軸為r=-1.

故/+/+a=0在5，+勿]上無實(shí)根，即g[g]=+g+a>0,得a>—j.

(3

a的取值范圍是—,+°°

(4

(1Y*

【解法二】由【解法一】得原問題等價(jià)于不等式+a>0在-8,1]上恒

成立.

設(shè)1=(；)，d;，則。>一