大慶市讓胡路區(qū)第一中學(xué)高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)（理）試題

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精大慶一中高二年級上學(xué)期第一次月考試題數(shù)學(xué)試卷（理)一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分)1。若集合M＝｛x|log2(x－1)〈1}，N＝｛x|〈(）x〈1}，則M∩N＝（）A.{x|1〈x<2} B。｛x|1〈x<3｝C.{x|0〈x<3｝ D。｛x｜0<x<2}【答案】A【解析】由log2（x－1）〈1，得0<x－1<2，1〈x<3,即M＝｛x｜1<x〈3}；由<（）x<1，得0〈x〈2,即N＝｛x|0<x<2｝，所以M∩N＝｛x｜1〈x<2},選A.2。下列命題中錯誤的是（）A.如果平面α⊥平面β,那么平面α內(nèi)一定存在直線平行于平面βB。如果平面α不垂直于平面β，那么平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于平面βC。如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥平面γD。如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)所有直線都垂直于平面β【答案】D【解析】由題意可知：A、結(jié)合實(shí)物：教室的門面與地面垂直，門面的上棱對應(yīng)的直線就與地面平行，故此命題成立；B、假若平面α內(nèi)存在直線垂直于平面β，根據(jù)面面垂直的判定定理可知兩平面垂直．故此命題成立；C、結(jié)合面面垂直的性質(zhì)可以分別在α、β內(nèi)作異于l的直線垂直于交線，再由線面垂直的性質(zhì)定理可知所作的垂線平行，進(jìn)而得到線面平行再由線面平行的性質(zhì)可知所作的直線與l平行，又∵兩條平行線中的一條垂直于平面那么另一條也垂直于平面，故命題成立；D、舉反例：教室內(nèi)側(cè)墻面與地面垂直，而側(cè)墻面內(nèi)有很多直線是不垂直與地面的．故此命題錯誤．故選D．3.數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上,且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線被后人稱之為三角形的歐拉線．已知△ABC的頂點(diǎn)A(2,0），B（0，4），且AC=BC，則△ABC的歐拉線的方程為（)A。x+2y+3=0 B.2x+y+3=0 C.x﹣2y+3=0 D.2x﹣y+3=0【答案】C【解析】試題分析:由于AC=BC，可得:△ABC的外心、重心、垂心都位于線段AB的垂直平分線上,求出線段AB的垂直平分線，即可得出△ABC的歐拉線的方程．解：線段AB的中點(diǎn)為M(1,2)，kAB=﹣2，∴線段AB的垂直平分線為：y﹣2=(x﹣1），即x﹣2y+3=0．∵AC=BC,∴△ABC的外心、重心、垂心都位于線段AB的垂直平分線上,因此△ABC的歐拉線的方程為：x﹣2y+3=0．故選C．考點(diǎn):待定系數(shù)法求直線方程．4.在△ABC中，D為BC邊上的一點(diǎn)，滿足BD=33，sinB，cos∠ADC，則AD的長為（）A。30 B。35 C。20 D。25【答案】D【解析】分析】判斷角的范圍，根據(jù)兩角差的正弦公式求出,在中根據(jù)正弦定理求解.【詳解】因?yàn)閏os∠ADC,∠ADC為銳角，sin∠ADC,在△ABC中,sinBsin∠ADC,所以B為銳角,，，在中由正弦定理：，所以.故選:D【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)正弦定理求解三角形，其中涉及根據(jù)兩角差的正弦公式求正弦值，在三角形中恰當(dāng)使用正弦定理便于解題.5.在等比數(shù)列中，，2，則的值（）A.±2 B。2 C.±3 D.3【答案】A【解析】【分析】設(shè)出公比q，根據(jù)求和公式分別寫出兩個等式,作商即可得到,即可得解?！驹斀狻咳粼摰缺葦?shù)列公比為1，，，2,不合題意,舍去；所以該等比數(shù)列公比不為1，設(shè)為由題:，兩式作商得:，即，所以．故選：A【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)等比數(shù)列求和公式計算數(shù)列中的項,此類問題不必將首項公比解出來，利用整體法處理。6。若三棱柱的一個側(cè)面是邊長為2的正方形,另外兩個側(cè)面都是有一個內(nèi)角為的菱形，則該棱柱的體積等于（）A。 B。 C。 D?！敬鸢浮緽【解析】如圖在三棱柱中，設(shè),由條件有,作于點(diǎn)，則∴∴∴故選B【點(diǎn)評】:此題重點(diǎn)考察立體幾何中的最小角定理和柱體體積公式，同時考察空間想象能力；【突破】：具有較強(qiáng)的空間想象能力,準(zhǔn)確地畫出圖形是解決此題的前提，熟悉最小角定理并能準(zhǔn)確應(yīng)用是解決此題的關(guān)鍵；7。已知ab，a，b∈（0，1），則的最小值為（）A.4 B..6 C。 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)代入，變形為，等價處理成，利用基本不等式求最值.【詳解】由題：ab，a，b∈（0,1)，，，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最小值，解得當(dāng)時，取的最小值。故選：D【點(diǎn)睛】此題考查利用基本不等式求最小值,關(guān)鍵在于根據(jù)題目所給條件準(zhǔn)確變形,根據(jù)積為定值求最值,注意考慮等號成立的條件。8。在四面體P﹣ABC中，已知PA,PB，PC兩兩垂直，且PA=PB=PC=3，則在該四面體的表面上與點(diǎn)A距離為2的點(diǎn)形成的曲線段的總長度為()A.2π B。 C。 D?！敬鸢浮緾【解析】【分析】作出幾何體,根據(jù)幾何特征分析出曲線軌跡，分別利用弧長公式求解.【詳解】分別在線段上取點(diǎn)使,PA，PB，PC兩兩垂直,則平面，上任意點(diǎn)到的距離均為，即到的距離均為，根據(jù)勾股定理，，同理可得，易得所以曲線總長度.故選：C【點(diǎn)睛】此題考查求扇形弧長,關(guān)鍵在于根據(jù)幾何體結(jié)合特征分析出圓心角的大小和扇形的半徑。9。已知函數(shù)若對任意的實(shí)數(shù)x1，x2，x3，不等式f(x1）+f（x2）〉f（x3）恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A。[1，4） B。（1，4) C。（） D。［]【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意任意兩個函數(shù)值之和都大于另外一個函數(shù)值,考慮臨界情況即最小值之和的二倍大于最大值即可，注意分析最值取得的情況.【詳解】由題，函數(shù)可變形為：，令,考慮函數(shù)，根據(jù)勾型函數(shù)性質(zhì)，，在遞減，遞增，，所以，原函數(shù)的值域等價于討論:的值域，當(dāng)，恒成立,顯然滿足題意；當(dāng)，單調(diào)遞減，值域?yàn)椋魧θ我獾膶?shí)數(shù)x1，x2,x3，不等式f（x1）+f（x2）>f(x3）恒成立,即，解得:；當(dāng)，單調(diào)遞增,值域?yàn)?，若對任意的?shí)數(shù)x1，x2，x3，不等式f（x1）+f（x2）〉f（x3）恒成立，即，解得:；綜上所述:.故選：D【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍,關(guān)鍵在于求出函數(shù)值域,利用值域區(qū)間端點(diǎn)考慮，其中用到換元法，涉及轉(zhuǎn)化與化歸思想.10。已知函數(shù)=2cos（ωx）(ω>0）滿足：f（)=f(）,且在區(qū)間（，）內(nèi)有最大值但沒有最小值，給出下列四個命題：P1:在[0，2π]上單調(diào)遞減；P2：的最小正周期是4π；P3:的圖象關(guān)于直線x對稱；P4：的圖象關(guān)于點(diǎn)（,0）對稱.其中的真命題是()A。P1，P2 B。P2,P4 C。P1，P3 D.P3，P4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)對稱性和最值求出函數(shù)解析式,即可判定單調(diào)性，周期和對稱性.【詳解】函數(shù)=2cos（ωx）（ω>0)滿足：f(）=f（），即對稱軸，且在區(qū)間（，)內(nèi)有最大值但沒有最小值,，且,即,所以,所以，對于P1：，所以在［0,2π］上不單調(diào)，P1不是真命題;P2：的最小正周期是4π,P2是真命題;P3：不是最值，的圖象不關(guān)于直線x對稱，P3不是真命題；P4：，的圖象關(guān)于點(diǎn)(,0）對稱，P4是真命題.故選：B【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)函數(shù)圖像性質(zhì)求參數(shù)的取值得函數(shù)解析式，再討論函數(shù)的單調(diào)性，周期性和對稱性，綜合性強(qiáng)。11。已知函數(shù),則關(guān)于的方程的實(shí)根個數(shù)不可能為()A.5個 B.6個 C.7個 D。8個【答案】A【解析】【分析】以f(x）＝1的特殊情形為突破口，解出x＝1或3或或﹣4，將x+﹣2看作整體，利用換元的思想方法進(jìn)一步討論．【詳解】∵函數(shù),即f（x）＝，因?yàn)楫?dāng)f（x）＝1時，x＝1或3或或﹣4,則當(dāng)a＝1時，x+﹣2＝1或3或或﹣4,又因?yàn)閤+﹣2≥0或x+﹣2≤﹣4，所以，當(dāng)x+﹣2＝﹣4時只有一個x＝﹣2與之對應(yīng)．其它情況都有2個x值與之對應(yīng),故此時所求方程有7個根，當(dāng)1＜a＜2時，y＝f（x）與y＝a有4個交點(diǎn)，故有8個根；當(dāng)a＝2時,y＝f（x）與y＝a有3個交點(diǎn)，故有6個根；綜上：不可能有5個根，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)、函數(shù)的零點(diǎn)等知識,屬于中檔題．12。已知數(shù)列,滿足a1=1，|an﹣an﹣1｜（n∈N，n2)，且是遞減數(shù)列,是遞增數(shù)列，則6a10=()A。 B. C。 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)單調(diào)性分別求出，，通過處理，，分組求和即可得解。詳解】，，是遞減數(shù)列，是遞增數(shù)列,，，，所以,，所以，即,同理可得:，，所以，.故選：C【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)數(shù)列單調(diào)性處理遞推公式的符號，求出遞推公式，進(jìn)行分組求和，考查數(shù)列性質(zhì)的綜合應(yīng)用問題.二、填空題（本大題共4小題,每小題5分，共20分）13.若不等式組表示的平面區(qū)域是一個三角形，，則的取值范圍是_____．【答案】【解析】【分析】畫出前三個不等式構(gòu)成的不等式組表示的平面區(qū)域，求出A，B的坐標(biāo)，得到當(dāng)直線x+y=a過A,B時的a值，再由題意可得a的取值范圍．【詳解】如圖，聯(lián)立解得A當(dāng)x+y=a過B（1，0）時，a=1；當(dāng)x+y=a過A時，a=∴若不等式組表示的平面區(qū)域是一個三角形,則0＜a≤1或a≥.故答案為0＜a≤1或a≥.【點(diǎn)睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．14.某幾何體的三視圖如圖所示，且三個三角形均為直角三角形，則xy的最大值為_____.【答案】64【解析】【分析】根據(jù)三視圖設(shè)錐體的高為，建立等量關(guān)系，整理得,利用基本不等式即可求解?！驹斀狻扛鶕?jù)三視圖,設(shè)錐體的高為，有，兩式相減，整理得：，由基本不等式可得:，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得等號.所以xy最大值為64。故答案為:64【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)三視圖特征，根據(jù)幾何體關(guān)系建立等量關(guān)系，利用基本不等式求解最值,需要注意等號成立的條件.15.點(diǎn)M是棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱切球(切于正方體各條棱的球）上的一點(diǎn)，點(diǎn)N是△ACD1的外接圓上一點(diǎn),則線段MN長度的取值范圍是_____.【答案】【解析】【分析】根據(jù)正方體棱切球的特點(diǎn)，求出球心到三角形外接圓周上的點(diǎn)的距離是一個定值，根據(jù)球的幾何特征即可求解.【詳解】根據(jù)正方體的幾何特征，其棱切球的球心就是體對角線的中點(diǎn)，且到△ACD1所在平面距離為△ACD1的邊長為,根據(jù)正弦定理，其外接圓的半徑為,所以球心到△ACD1的外接圓上任意一點(diǎn)的距離都為，正方體棱長為2，該棱切球的半徑為，所以線段MN長度的取值范圍是。故答案為:【點(diǎn)睛】此題考查球面上的點(diǎn)到某點(diǎn)距離的最值問題，關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化為球心到點(diǎn)的距離關(guān)系求解，此題需要熟練掌握正方體的內(nèi)切球，外接球，棱切球的幾何關(guān)系。16。若點(diǎn)A（x,y）滿足C：（x+3)2+（y+4）225,點(diǎn)B是直線3x+4y=12上的動點(diǎn)，則對定點(diǎn)P(6,1）而言,|｜的最小值為_____.【答案】【解析】【分析】設(shè)B關(guān)于P點(diǎn)對稱點(diǎn)為B′，，將模長最值問題轉(zhuǎn)化為求圓心到直線3x+4y﹣32=0的距離問題求解?！驹斀狻咳鐖D所示：設(shè)B關(guān)于P點(diǎn)對稱點(diǎn)為B′(x，y)，B(x0，y0），由題意可知，解得，由B在直線3x0+4y0=12，代入整理得3x+4y﹣32=0,所以,若點(diǎn)A滿足C：（x+3）2+（y+4)225，點(diǎn)A在圓C內(nèi)或圓上,則所以|｜最小值為圓C圓心到直線3x+4y﹣32=0的距離減去半徑,所以||min5，所以｜|的最小值故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查求距離的最值問題，以向量為背景，通過幾何關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為求圓及其內(nèi)部的點(diǎn)到直線距離的最值問題，涉及數(shù)形結(jié)合思想.三、解答題（解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17。函數(shù)y=x2+ax+b的圖象與坐標(biāo)軸交于三個不同的點(diǎn)A、B、C,已知△ABC的外心在直線y=x上,求a+b的值.【答案】【解析】【分析】根據(jù)外心的幾何意義可得，外心在直線x上，由題可得知△ABC的外心在直線y=x上，外出外心坐標(biāo),根據(jù)幾何意義建立方程求解.【詳解】設(shè)外心為點(diǎn)P，由y=x2+ax+b，可得函數(shù)的對稱軸為x，∴△ABC的外心在直線x上，∵△ABC的外心在直線y=x上，∴外心P的坐標(biāo)為（,），對于y=x2+ax+b，令x=0，則y=b，∴C（0，b），設(shè)A（m，0）（m＜0），B（n，0），（n＞0)則m+n=﹣a，mn=b∵|PA｜2=(m）2a2=(m）2a2,｜PB｜2=(n）2a2=（n）2a2,｜PC|2=（b）2a2=(b）2a2,∴（m）2a2=（b）2a2=(n）2a2，整理可得m=b，n=﹣a﹣b，∴mn=m=b，∴n=1，∴a+b=?！军c(diǎn)睛】此題考查根據(jù)二次函數(shù)和三角形外接圓的幾何特征求參數(shù)的值,涉及韋達(dá)定理與距離公式的綜合應(yīng)用.18。△ABC的內(nèi)角的對邊分別為,已知△ABC的面積為（1）求;（2）若求△ABC的周長.【答案】（1）（2）.【解析】試題分析：（1)由三角形面積公式建立等式，再利用正弦定理將邊化成角，從而得出的值；（2）由和計算出,從而求出角，根據(jù)題設(shè)和余弦定理可以求出和的值，從而求出的周長為.試題解析：(1）由題設(shè)得，即。由正弦定理得.故。（2）由題設(shè)及(1）得,即.所以，故.由題設(shè)得,即。由余弦定理得，即,得。故的周長為.點(diǎn)睛：在處理解三角形問題時，要注意抓住題目所給的條件,當(dāng)題設(shè)中給定三角形的面積，可以使用面積公式建立等式，再將所有邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系,有時需將角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系；解三角形問題常見的一種考題是“已知一條邊的長度和它所對的角，求面積或周長的取值范圍”或者“已知一條邊的長度和它所對的角，再有另外一個條件，求面積或周長的值”，這類問題的通法思路是：全部轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式，如，從而求出范圍,或利用余弦定理以及基本不等式求范圍；求具體的值直接利用余弦定理和給定條件即可.19.在平行四邊形ABCD中，AB=1,AD，且∠BAD=45°，以BD為折線,把△ABD折起，使AB⊥DC，連接AC，得到三棱錐A﹣BCD.（1）求證：平面ABD⊥平面BCD；(2)求二面角B﹣AC﹣D的大小.【答案】（1）證明見解析；(2)60°.【解析】【分析】（1)通過證明AB⊥平面BCD，得面面垂直；（2）取BC中點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥AC交AC于點(diǎn)F，連接DE，DF，EF，證明∠DFE為所求二面角，即可計算求解?！驹斀狻浚?)證明：∵AB=1,AD,且∠BAD=45°，∴BD=1，則AD2=AB2+BD2，即AB⊥BD，又AB⊥DC,BD∩DC=D，且都在平面BCD內(nèi),∴AB⊥平面BCD，∵AB在平面ABD內(nèi)，∴平面ABD⊥平面BCD；（2)取BC中點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥AC交AC于點(diǎn)F,連接DE，DF，EF，∵BD=CD=1,∴DE⊥BC，∵AB⊥平面BCD，DE?平面BCD，∴AB⊥DE，∵AB∩BC=B，且都在平面ABC內(nèi),∴DE⊥平面ABC，∵AC?平面ABC，∴AC⊥DE，又EF⊥AC，DE∩EF=E，且都在平面DEF內(nèi)，∴AC⊥平面DEF，∴∠DFE為所求二面角，在Rt△DEF中，∠DEF=90°,，，∴，∴∠DFE=60°，即二面角B﹣AC﹣D的大小為60°?！军c(diǎn)睛】此題考查折疊問題中的證明與計算，考查證明面面垂直的方法，求二面角需要注意口訣“一作二證三計算”。20。已知數(shù)列{an｝是等差數(shù)列，Sn為{an}的前n項和，且a10=19，S10=100;數(shù)列｛bn}對任意n∈N＊，總有b1b2b3…bn﹣1bn=an+2成立.（1）求數(shù)列{an｝和{bn}的通項公式；(2）記cn=（﹣1）n，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn。【答案】（1)an=2n﹣1,；（2）。【解析】【分析】（1)列方程組解等差數(shù)列的首項和公差,再求{bn｝的通項公式；（2）裂項，分奇偶討論求和.【詳解】(1）設(shè){an}的公差為d，則a10=a1+9d=19,,解得a1=1，d=2，所以an=2n﹣1,所以b1b2b3…bn﹣1bn=2n+1…①當(dāng)n=1時,b1=3，當(dāng)n2時,b1b2b3…bn﹣1=2n﹣1…②①②兩式相除得因?yàn)楫?dāng)n=1時，b1=3適合上式,所以.(2）由已知,得則Tn=c1+c2+c3+…+cn，當(dāng)n為偶數(shù)時，，當(dāng)n為奇數(shù)時,.綜上:?！军c(diǎn)睛】此題考查求等差等比數(shù)列的通項公式，根據(jù)數(shù)列關(guān)系求和，涉及裂項求和,分奇偶討論，綜合性較強(qiáng).21.如圖，AB是圓O的直徑,點(diǎn)C是圓O上異于A，B的點(diǎn)，直線PC⊥平面ABC，E，F(xiàn)分別是PA,PC的中點(diǎn)．（1）記平面BEF與平面ABC的交線為l，試判斷直線l與平面PAC的位置關(guān)系，并加以證明；（2）設(shè)（1)中的直線l與圓O的另一個交點(diǎn)為D，且點(diǎn)Q滿足．記直線PQ與平面ABC所成的角為θ,異面直線PQ與EF所成的角為α,二面角E﹣l﹣C的大小為β．求證:sinθ=sinαsinβ．【答案】（1）l∥平面PAC,見解析（2）見解析【解析】（1)直線l∥平面PAC,證明如下：連接EF，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是PA，PC的中點(diǎn)，所以EF∥AC，又EF?平面ABC,且AC?平面ABC，所以EF∥平面ABC．而EF?平面BEF，且平面BEF∩平面ABC=l，所以EF∥l．因?yàn)閘?平面PAC，EF?平面PAC，所以直線l∥平面PAC．（2）（綜合法）如圖1,連接BD,由（1)可知交線l即為直線BD，且l∥AC．因?yàn)锳B是⊙O的直徑，所以AC⊥BC，于是l⊥BC．已知PC⊥平面ABC，而l?平面ABC，所以PC⊥l．而PC∩BC=C，所以l⊥平面PBC．連接BE，BF，因?yàn)锽F?平面PBC，所以l⊥BF．故∠CBF就是二面角E﹣l﹣C的平面角，即∠CBF=β．由，作DQ∥CP，且．連接PQ，DF，因?yàn)镕是CP的中點(diǎn),CP=2PF，所以DQ=PF，從而四邊形DQPF是平行四邊形，PQ∥FD．連接CD,因?yàn)镻C⊥平面ABC,所以CD是FD在平面ABC內(nèi)