不確定離散markov跳變系統(tǒng)的魯棒模型預測控制設計

不確定離散markov跳變系統(tǒng)的魯棒模型預測控制設計

0魯棒模型預測控制器設計作為一種隨機混合系統(tǒng)，marov跳躍系統(tǒng)存在于現(xiàn)實生活中，如制造系統(tǒng)、能源系統(tǒng)、通信系統(tǒng)和經(jīng)濟系統(tǒng)。而這些系統(tǒng)的特點是在其運行過程中常常會受到外部環(huán)境變化等隨機突發(fā)因素的影響,從而使得系統(tǒng)的結構和參數(shù)會發(fā)生跳變,而在任意兩次跳變之間,系統(tǒng)將按照線性規(guī)律演化。具體地,上述系統(tǒng)的模型是在各個模態(tài)下用連續(xù)狀態(tài)方程描述,而模態(tài)間的跳變則遵循時間連續(xù)模態(tài)離散的Markov隨機過程。近年來,輸入飽和受限問題越來越引起人們的關注,原因是飽和是一種常見的非線性特性之一,其對系統(tǒng)的性能有很大的影響,如果在控制器設計時沒有考慮飽和,那么系統(tǒng)運行到飽和區(qū)時,系統(tǒng)的穩(wěn)定性就不可再預見。文獻首次將非線性的飽和控制問題轉化為凸包中的一組線性控制對一般的線性系統(tǒng)進行了研究,大大得降低了保守性。最近,文獻用同樣的方法研究了帶有飽和執(zhí)行器的跳變系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題。模型預測控制是處理約束的有效控制策略,已經(jīng)在工業(yè)領域得到廣泛應用?；谔兿到y(tǒng)的模型預測控制也逐漸成為研究的熱點,文獻研究了確定的離散Markov跳變系統(tǒng)的預測控制問題,文獻進而研究了有噪聲輸入的情形,文獻研究了不確定離散Markov跳變系統(tǒng)的魯棒預測控制。但是,具有飽和執(zhí)行器的跳變系統(tǒng)的模型預測控制問題,目前還沒有文獻涉及。本文進一步考慮到工業(yè)過程中往往存在不確定性,對于系統(tǒng)參數(shù)和跳變模態(tài)均存在不確定性的離散飽和跳變系統(tǒng),提出了魯棒模型預測控制器的設計方法。在每一個采樣時刻,將飽和約束轉化為特殊的線性約束,此時的預測控制器的求解是一個正半定規(guī)劃問題,利用線性矩陣不等式的求解工具,可以獲得以狀態(tài)反饋形式描述的預測控制律,最后仿真示例表明采用該方法所得的控制器使得所形成的閉環(huán)系統(tǒng)魯棒均方穩(wěn)定。1dflf型考慮一類離散時間Markov跳變系統(tǒng)xk+1=Aμ(rk)xk+Bμ(rk)ukΡr{rk+1=j|rk=i}=pt(i,j)(1)式中,rk是系統(tǒng)的模態(tài);xk∈Rn是系統(tǒng)的狀態(tài)向量,uk∈Rm是施加到被控對象上的控制輸入向量,μ=[μ1,μ2,…,μL]T∈RL表示不確定參數(shù)向量,Aμ(rk),Bμ(rk)為含參數(shù)不確定性的增益矩陣,屬于如下矩陣凸多面體集合Ω(rk)={L∑l=1μl[Al(rk),Bl(rk)],L∑l=1μl=1,μl≥0}(2)式中,Aμ(rk),Bμ(rk)是依賴模態(tài)rk的適當維數(shù)的矩陣,rk是取值于有限狀態(tài)集S={1,2,3,…,N}的離散時間Markov鏈,其中一步轉移概率陣為P={pt(i,j)},i,j∈S。假設跳變轉移率并不確切已知,屬于如下凸多面體集合。[pt(i,1),pt(i,2),?,pt(i,Ν)]∈Co{[p1(i,1),p1(i,2),?,p1(i,Ν)]?[pΜ(i,1),pΜ(i,2),?,pΜ(i,Ν)]}(3)式中,[pη(i,1),pη(i,2),…,pη(i,N)](η=1,2,…,M)是凸多面體的所有頂點,Co表示凸包。定義1稱Markov跳變系統(tǒng)(1)是均方穩(wěn)定的,如果對于任意初始模態(tài)r0和初始狀態(tài)x0滿足式(4)E{xΤkxk|x0,r0}→0(k→∞)(4)定義對稱多面體?(Hi)={xk∈Rn:|hiqxk|≤1,q=1,2,…,m}其中hiq表示矩陣Hi的第q行。另定義依賴于模態(tài)的橢圓Ω(Pi)={xk∈Rn∶xTkPixk≤1},其中Pi為正定對稱矩陣。引理1給定矩陣Gk(i)∈Rm×n和Hk(i)∈Rm×n,如果xk∈?(Hk(i)),則σ(Gk(i)xk)可以表示為σ(Gk(i)xk)=2m∑f=1θf(DfGk(i)+D-fΗk(i))xk式中,函數(shù)σ是標準的飽和函數(shù),即σ(Gk(i)xk)=[σ(Gk1(i)xk),σ(Gk2(i)xk),?,σ(Gkm(i)xk)]Τ其中σ(Gkq(i)xk)=sign(Gkq(i)xk)min{1,|Gkq(i)xk|}sign(·)為符號函數(shù),0≤θf≤1,2m∑f=1θf=1。令v為m×m的對角矩陣的全體,其對角線上的元素為1或者0。對v中的每個矩陣記作Df,f=1,2,…,2m,而D-f=(I-Df)顯然如果Df∈v,則有D-f∈v。Df的作用在于取出Gk(i)的某幾行加入約束,D-f保證了Hk(i)中對應的行不會起作用。根據(jù)排列組合的原理,v中總共有2m個元素。引理2設P∈Rm×m為正定對稱陣,矩陣Ms∈Rm×n,s=1,2,…,r。如果r∑s=1ps=1且0≤ps≤1則有(r∑s=1psΜs)ΤΡ(r∑s=1psΜs)≤r∑s=1psΜΤsΡΜs(5)本文的目的是通過求解下式的無窮時域二次目標函數(shù)的最優(yōu)解來獲得控制量。mUkinmaxAl(i),Bl(i),pη(i,j),l,η≥0,i,j∈SJ∞(k)(6)式中,Uk=[uk|k,uk+1|k,…,u∞|k]為控制輸入,J∞(k)=E{∞∑n=0[xΤk+n|kQ(rk+n)xk+n|k+uΤk+n|kR(rk+n)uk+n|k]|x0,r0}其中xk+n|k,uk+n|k表示在k時刻對k+n時刻狀態(tài)和輸入的預測值,矩陣Q(rk+n),R(rk+n)為正定對稱陣。由于不易直接求解min-max問題(6),因此通過先得到J∞(k)的上界,然后最小化此上界來求得控制變量Uk。2i,ki+dfyki+ki+d-1fki+ki考慮以下在每個采樣時刻k對帶有飽和執(zhí)行器的跳變系統(tǒng)(1)的min-max問題minUkmaxAl(i),Bl(i),pη(i,j),l,η≥0,i,j∈SJ∞(k)(7)s.t.E{V(xk+n+1|k)|x0,r0}-E{V(xk+n|k)|x0,r0}≤-E{xΤk+n|kQ(rk+n)xk+n|k+uΤk+n|kR(rk+n)uk+n|k|x0,r0}(8)式中,Vk(xk,rk)=xTkP(rk)xk為離散的隨機李亞普諾夫函數(shù)。約束(8)的引入保證了系統(tǒng)存在一個魯棒性能上界,并且其性能上界為Vk(xk,rk),這在引理3中將給出證明。引理3最優(yōu)問題(7)等價于下面的SDP問題minγ,Τk(i),Yk(i),Ζk(i)γ(9)s.t.[1xΤkxkΤk(rk)]≥0(10)[1zkq(i)zΤkq(i)Τk(i)]≥0(11)[Τk(i)***Τk(i)γQ-1(i)**DfYk(i)+D-1fΖk(i)0γR-1(i)*Λk00Φk]η=1,2,?,Μ,l=1,2,?,L(12)式中,zkq(i)表示Zk(i)的第q行,Λk=[√pη(i,1)(Al(i)Τk(i)+Bl(i)(DfYk(i)+D-1fΖk(i))Τ,?,√pη(i,Ν)(Al(i)Τk(i)+Bl(i)(DfYk(i)+D-1fΖk(i))Τ]Τ,Φk=diag{Τk(1),?,Τk(Ν)}證明為了保證maxAl(i),Bl(i),pη(i,j),l,η,≥j∈SJ∞(k)有界,則有E{xT∞x∞|x0,r0}=0,進而可知E{V(x∞,∞)|x0,r0}=0。對式(8)從n=0到n=∞求和,可得maxAl(i)Bl(i),pη(i,j),l,η≥0,i,j∈SE{∞∑n=0[xΤk+n|kQ(rk+n)xk+n|k+uΤk+n|kR(rk+n)uk+n|k]|x0,r0}≤xΤkΡk(rk)xk,因此優(yōu)化問題(7)等價于最小化xTkPk(rk)xk?？紤]飽和反饋控制律uk+n|k=σ(Gk(rk+n)xk+n|k)(13)將其代入不等式(8),可得E{[(Al(rk+n)xk+n|k+Bl(rk+n)σ(Gk(rk+n)xk+n|k))TPk+1(rk+n+1)×(Al(rk+n)xk+n|k+Bl(rk+n)σ(Gk(rk+n)xk+n|k))-XTk+n|kPk(rk+n|k)xk+n|k+xTk+n|kQ(rk+n)xk+n|k+σ(Gk(rk+n)xk+n|k)T×R(rk+n)σ(Gk(rk+n)xk+n|k)]|x0,r0}≤0(14)假設xk+n|k∈Ω(Ρk(rk+n)γ),且Ω(Ρk(rk+n)γ)??(Ηk(rk+n))(15)則有引理1可知,uk+n|k=2m∑f=1θf(DfGk(rk+n)+D-fΗk(rk+n))xk+n|k(16)將式(16)代入式(14)可得E{xΤk+n|k[ΞΤfkl(rk+n)Ν∑j=1pη(rk+n,j)Ρk+1(j)Ξfkl(rk+n)-Ρk(rk+n)+Q(rk+n)+ΨΤfk(rk+n)R(rk+n)Ψfk(rk+n)]xk+n|k|x0,r0}≤0其中Ψfk(rk+n)=2m∑f=1θf(DfGk(rk+n)+D-fΗk(rk+n))Ξfkl(rk+n)=Al(rk+n)+Bl(rk+n)Ψfk(rk+n)由引理2可知,下式成立[Al(rk+n)+Bl(rk+n)(DfGk(rk+n)+D-fΗk(rk+n))]Τ×Ν∑j=1pη(rk+n,j)Ρk+1(j)×[Al(rk+n)+Bl(rk+n)(DfGk(rk+n)+D-fΗk(rk+n))]-Ρk(rk+n)+Q(rk+n)+[DfGR(rR+n)+D-fΗk(rk+n)]ΤR(rk+n)×[DfGk(rk+n)+D-fΗk(rk+n)]≤0(17)令Τk(rk+n)=γkΡ-1k(rk+n)Yk(rk+n)=Gk(rk+n)Τk(rk+n)Ζk(rk+n)=Ηk(rk+n)Τk(rk+n)并對式(17)兩邊同乘Tk(rk+n),并假設rk+n=i,i∈S,利用Schur補可得式(12)。令xTkPk(rk)xk≤γ,從而通過最小化γ達到最小化xTkPk(rk)xk的目的,由Schur補很容易得到式(10)。滿足式(15)的一個充分條件為hq(i)[Ρk(i)γ]-1hΤq(i)≤1(18)對式(18)利用Schur補可得[1γhq(i)Ρ-1k(i)(γhq(i)Ρ-1k(i))ΤγΡ-1k(i)]≥0(19)即得式(11),從而引理得證。由引理3可知,Gk(rk+n)=Yk(rk+n)T-1k(rk+n)為狀態(tài)反饋控制器增益,且當η=1時,引理3就演變?yōu)橹痪哂胁淮_定系統(tǒng)參數(shù)的飽和跳變系統(tǒng)的魯棒預測控制問題,同樣,當L=1時,將演變?yōu)橹缓胁淮_定跳變轉移模態(tài)的飽和跳變系統(tǒng)的魯棒預測控制問題。更一般的情況,當η=L=1時,即引理3退化為一般的飽和跳變系統(tǒng)的預測控制問題,以上三種情形至今也還沒有文獻涉及。下面來分析魯棒模型預測控制方法的穩(wěn)定性。定理1設xk,rk是系統(tǒng)(1)在采樣時刻k的狀態(tài)和模態(tài),則控制輸入uk=σ(G*k(rk)xk)作用于跳變系統(tǒng)(1)所形成的閉環(huán)系統(tǒng)是魯棒均方穩(wěn)定的,G*k(rk)其中為從SDP問題(9)在采樣時刻k求得的控制器增益。證明假設在k采樣時刻,SDP(9)的解為γ*k,Y*k(rk),Ζ*k(rk),Τ*k(rk)從而有G*k(rk)=Y*k(rk)[Τ*k(rk)]-1Η*k(rk)=Ζ*k(rk)[Τ*k(rk)]-1Ρ*k(rk)=(γ*k)-1Τ*k(rk)Ψ*fk(rk)=2m∑f=1θf(DfG*k(rk)+D-fΗ*k(rk))Ξ*fkl(rk)=Al(rk)+Bl(rk)Ψ*fk(rk)從式(12)可知xΤkΡ*k(rk)xk≥xΤk[Ξ*fkl(rk)]Τ×Ν∑j=1pη(rk,j)Ρk+1(j)Ξ*fkl(rk)xk+xΤkQ(rk)xk+xΤk[Ψ*fk(rk)]ΤR(rk)Ψ*fk(rk)xk即E{xΤkΡ*k(rk)xk|x0,r0}≥E{xΤk+1Ρ*k(rk+1)xk+1+xΤkQ(rk)xk+xΤk[Ψ*fk(rk)]ΤR(rk)Ψ*fk(rk)xk|x0,r0}(20)因為P*k+1(rk+1)是k+1時刻的最優(yōu)解,所以有xΤk+1Ρ*k+1(rk+1)xk+1≤xΤk+1Ρ*k(rk+1)xk+1(21)由式(20)、式(21)式可知E{xΤkΡ*k(rk)xk|x0,r0}≥E{xΤk+1Ρ*k+1(rk+1)xk+1+xΤkQ(rk)xk+xΤk[Ψ*fk(rk)]ΤR(rk)Ψ*fk(rk)xk|x0,r0}(22)從而,可知E{xTkP*k(rk)xk|x0,r0}是隨時間非增的函數(shù),考慮到R(rk)為正定的,當時k→∞,可得E{xΤkQ(rk)xk|x0,r0}→0(23)又由于βE{xΤkxk|x0,r0}≤E{xΤkQ(rk)xk|x0,r0}(24)式中,β=minj∈Sλmin(Q(j)),由式(23)式(24)可得當k→∞時,E{xTkxk|x0,r0}→0,從而定理得證。由定理1的證明可知,E{xΤkΡ*k(rk)xk|x0,r0}≥E{xΤk+1Ρ*k(rk+1)xk|x0,r0}≥E{xΤk+1Ρ*k+1(rk+1)xk+1|x0,r0}即橢圓Ω(Ρ*k(rk)γ*k)={xk∶xΤkΡ*k(rk)xk≤γ*k}為k時刻的閉環(huán)系統(tǒng)的不變集。具有飽和執(zhí)行器的跳變系統(tǒng)的魯棒模型預測控制具體算法如下。(1)在k時刻,測量xk,用Matlab中的線性矩陣不等式(LMI)工具箱中的mincx求解器來求解優(yōu)化問題(9),從而得到G*k(rk)=Y*k(rk)[T*k(rk)]-1的值;(2)施加k時刻的控制作用uk=σ(G*k(rk)xk);(3)在k+1采樣時刻,令k=k+1,重復步驟(1)、(2)。3[1.2.5]功能模型考慮文獻中的跳變模型xk+