遼寧省部分學(xué)校2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期12月考試數(shù)學(xué)試題（含答案）

遼寧省部分學(xué)校2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期12月考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4.本試卷主要考試內(nèi)容：集合與常用邏輯用語(yǔ)，復(fù)數(shù)，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)，三角函數(shù)，解三角形，平面向量，數(shù)列，不等式，立體幾何。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.A. B. C. D.2.已知集合，，則A. B. C. D.3.“”是“”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.若為奇函數(shù)，則A.2 B. C.1 D.5.如圖，在由九個(gè)相同的正方形組成的九宮格中，A. B. C. D.6.在等比數(shù)列中，已知，，則A. B.42 C. D.7.已知圓錐的底面半徑為4，母線長(zhǎng)為5，其頂點(diǎn)和底面圓周均在同一個(gè)球的球面上，則該球的表面積為A. B. C. D.8.已知實(shí)數(shù)，滿足，則A. B. C. D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.如圖，在四面體中，，，兩兩垂直，，則A.向量在向量上的投影向量為B.向量在向量上的投影向量為C.向量D.向量10.下列函數(shù)中，存在兩個(gè)極值點(diǎn)的是A. B.C. D.11.若函數(shù)在上恰有10個(gè)零點(diǎn)，則的值可能為A.50 B.54 C.51 D.5812.已知函數(shù)的值域?yàn)椋?，，，則下列函數(shù)的最大值為的是A. B.C. D.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.13.已知，均為單位向量，且，則_____.14.如圖，在直三棱柱中，，，是的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為_(kāi)____.15.若，當(dāng)時(shí)，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____.16.某景區(qū)的平面圖如圖所示，其中，為兩條公路，，為景點(diǎn)，，，現(xiàn)需要修建一條經(jīng)過(guò)景點(diǎn)的觀光路線，，分別為，上的點(diǎn)，則面積的最小值為_(kāi)____.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.（10分）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求的最小值.18.（12分）的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，.已知.（1）求；（2）若，，，成等比數(shù)列，求.19.（12分）已知函數(shù).（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求在上的最值.20.（12分）如圖，在四棱錐中，，，與均為正三角形.（1）證明：平面.（2）證明：平面.（3）設(shè)平面平面，平面平面，若直線與確定的平面為平面，線段的中點(diǎn)為，求點(diǎn)到平面的距離.21.（12分）已知數(shù)列滿足.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.22.（12分）已知，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，且.（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）證明：.數(shù)學(xué)試卷參考答案1.D.2.A因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，，則.3.A若，則.當(dāng)，時(shí)，，但，故“”是“”的充分不必要條件.4.D因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，即，解得.5.B由圖可知，，則.6.C設(shè)的公比為，則，解得，所以，解得，所以.7.C因?yàn)閳A錐的底面半徑為4，母線長(zhǎng)為5，所以圓錐的高，故球心在圓錐外部.設(shè)球心到圓錐底面圓心的距離為，則，解得，則球的半徑，表面積.8.B由題可知，則，則，則解得故選B.9.AD連接（圖略）.因?yàn)椋?，兩兩垂直，，所以向量在向量上的投影向量為?10.BC由，得恒成立，則無(wú)極值，A不正確.由，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，有兩個(gè)極值點(diǎn)，B正確.由，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，有兩個(gè)極值點(diǎn)，C正確.由，得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，D不正確.11.BD當(dāng)時(shí)，，令，得，要使在上恰有10個(gè)零點(diǎn)，則需滿足，解得.12.AC因?yàn)椋?，?dāng)?shù)娜≈捣秶鸀闀r(shí)，的取值范圍為，所以的最大值與的最大值相等，均為，A正確.因?yàn)椋缘淖畲笾禐?，B錯(cuò)誤.因?yàn)椋?，?dāng)?shù)娜≈捣秶鸀闀r(shí)，的取值范圍為，所以的最大值與的最大值相等，均為，所以的最大值為，C正確.，因?yàn)椋?，，所以，所以的最大值一定不是，D錯(cuò)誤.13.，則.14.取的中點(diǎn)，連接，，.因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以.又，，三棱柱為直三棱柱，所以，，，，故異面直線與所成角的余弦值為.15.等價(jià)于，即等價(jià)于，即等價(jià)于.令，則本題可轉(zhuǎn)化為，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，即，，則.又，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.16.200設(shè)，，由，可得，即.由，解得，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)取得最小值.故面積的最小值為.17.解：（1）設(shè)的公差為，則解得則.（2）由（1）可知為遞增數(shù)列，且，則，故的最小值為.18.解：（1）因?yàn)椋杂?，所以，即又，所以?）因?yàn)椋?，成等比?shù)列，所以又，所以故19.解：（1）因?yàn)椋?，則，，故曲線在點(diǎn)處的切線方程為（2）因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.又，，，所以在上的最大值為，最小值為.20.（1）證明：因?yàn)椋?，，所以因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（2）證明：取的中點(diǎn)，連接，則四邊形為正方形.過(guò)作平面，垂足為.連接，，，.由和均為正三角形，得，所以，即點(diǎn)為正方形對(duì)角線的交點(diǎn)，則.因?yàn)槠矫?，所以，又，所以平面，所?因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，是的中點(diǎn)，所以，因此.因?yàn)?，所以，又，所以平?（3）解：設(shè)，連接，則直線為直線，因?yàn)?，平面平面，所?由（1）知，，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，所以取，得.又，所以點(diǎn)到平面的距離.21.（1）解：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，由，得，則，則，又，所以.（2）證明：由（1）可知，，當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，，則，所以.綜上，.22.（1）解：令，則.令，則.因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減