專題11.9 三角形章末十大題型總結(jié)（培優(yōu)篇）（人教版）（原卷版）

專題11.9三角形章末十大題型總結(jié)（培優(yōu)篇）【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1確定第三邊的取值范圍】 1【題型2三角形的三邊關(guān)系的應(yīng)用】 1【題型3利用三角形的中線求長度】 2【題型4三角形的高與面積有關(guān)的計算】 3【題型5三角形的穩(wěn)定性】 4【題型6三角形中的角平分線、中線、高有關(guān)的綜合計算】 5【題型7三角形的內(nèi)角和與外角有關(guān)的計算】 6【題型8多邊形內(nèi)角和、外角和有關(guān)的計算】 8【題型9多邊形截角、少（多）算一個角問題】 9【題型10多邊形外角和的實際應(yīng)用】 10【題型1確定第三邊的取值范圍】【例1】（2023春·江蘇無錫·八年級統(tǒng)考期末）一個三角形的3邊長分別是xcm、3x-3cm，x+2cm，它的周長不超過39cm．則x的取值范圍是（

）A．53<x<5 B．5<x≤8 C．53【變式1-1】（2023春·江蘇鹽城·八年級統(tǒng)考期中）已知a，b，c為△ABC的三邊長，b，c滿足b-2+(c-3)2=0，且a為方程a-5=1【變式1-2】（2023春·河南鄭州·八年級鄭州中學(xué)校聯(lián)考期中）有長度分別是4cm、5cm、8cm和9cm的小棒各一根，任選其中三根首尾相接圍成三角形，可以圍成不同形狀的三角形的個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【變式1-3】（2023春·河南周口·八年級統(tǒng)考期末）三角形的三邊長分別為2，2x-1，5，則x的取值范圍是．【題型2三角形的三邊關(guān)系的應(yīng)用】【例2】（2023春·廣東深圳·八年級深圳中學(xué)?？计谀┤鐖D，用五個螺絲將五條不可彎曲的木條圍成一個木框，不計螺絲大小，其中相鄰兩螺絲的距離依次為1、2、3、4、5，且相鄰兩木條的夾角均可調(diào)整．若調(diào)整木條的夾角時不破壞此木框，則任兩螺絲的距離之最大值為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【變式2-1】（2023春·山東濟(jì)南·八年級統(tǒng)考期末）小明家和小亮家到學(xué)校的直線距離分別是5km和3km，那么小明到小亮家的直線距離不可能是（）A．1km B．2km C．3km D．8km【變式2-2】（2023秋·新疆和田·八年級統(tǒng)考期末）已經(jīng)有兩根木條，長分別是2cm和6cm，現(xiàn)要用3根木條組成三角形，還要從下面4根木條中選一根，可以是（

）A．4cm B．7cm C．8cm D．9cm【變式2-3】（2023春·北京西城·八年級統(tǒng)考期末）以某公園西門O為原點建立平面直角坐標(biāo)系，東門A和景點B的坐標(biāo)分別是(6,0)和(4,4)．如圖1，甲的游覽路線是：O→B→A，其折線段的路程總長記為l1．如圖2，景點C和D分別在線段OB,BA上，乙的游覽路線是：O→C→D→A，其折線段的路程總長記為l2．如圖3，景點E和G分別在線段OB,BA上，景點F在線段OA上，丙的游覽路線是：O→E→F→G→A，其折線段的路程總長記為l3．下列l(wèi)1，l2

A．l1=l2=l3 B．l1<l【題型3利用三角形的中線求長度】【例3】（2023春·云南·八年級云南師大附中?？计谀┮阎阎BC的周長為33cm，AD是BC邊上的中線，AB=3（1）如圖，當(dāng)AC=10cm時，求BD的長．（2）若AC=12cm，能否求出DC的長？為什么？【變式3-1】（2023秋·全國·八年級期中）在△ABC中，AD是BC邊上的中線，△ADC的周長比△ABD的周長多3，AB與AC的和為13，則AC的長為（）A．7 B．8 C．9 D．10【變式3-2】（2023秋·山東德州·八年級?？计谥校┤鐖D，△ABC的周長為24cm，AD，BE分別是BC，AC邊上的中線，AD，BE相交于點O，CO的延長線交AB于點F，且BD＝4cm，AE＝3.5cm，求AF的長．【變式3-3】（2023秋·黑龍江大慶·八年級校考期中）如圖，已知AD、AE分別是△ABC的高和中線AB=9cm,AC=12cm，BC=15(1)△ABE的面積；(2)AD的長度；(3)△ACE與△ABE的周長的差．【題型4三角形的高與面積有關(guān)的計算】【例4】（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱市虹橋初級中學(xué)校?？计谀┰凇鰽BC中，AD是高，AD=6，CD=1，若△ABC的面積為12，則線段BD的長度為．【變式4-1】（2023春·江蘇常州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，已知△ABC．(1)畫出△ABC的三條高AD、(2)在（1）的條件下，若AB=6，BC=3，CF=2，則AD=______．【變式4-2】（2023春·上海寶山·八年級?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，按下列要求畫圖并填空：

(1)畫△ABC邊AB上的高CD；(2)E在CD上，連接BE，使得S△ABC=S(3)已知BD=3，CD=4，DE=1，那么點C到直線AB的距離為_______，△ADC的面積為_______．【變式4-3】（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱市蕭紅中學(xué)?？计谥校┤鐖D是由邊長都是1的小正方形組成的網(wǎng)格．圖中各點均在格點上，請按以下要求畫圖．①所畫頂點必須在格點上；②標(biāo)清指定的字母；③不得出格．(1)在圖甲中面出△ABC中BC邊上的高AD；(2)在圖乙中畫出一個Rt△EBC，且△EBC的面積是圖甲中△ABC面積的2(3)在圖丙中畫出一個銳角三角形△MBC，且面積為15．【題型5三角形的穩(wěn)定性】【例5】（2023秋·北京·八年級?？计谥校┫铝袌D形中不具備穩(wěn)定性的是（

）A． B．C． D．【變式5-1】（2023秋·四川瀘州·八年級四川省瀘縣第四中學(xué)校考期末）如圖，某中學(xué)的電動伸縮校門利用的數(shù)學(xué)原理是（）A．三角形的穩(wěn)定性 B．兩點之間，線段最短C．三角形兩邊之和大于第三邊 D．四邊形的不穩(wěn)定性【變式5-2】（2023秋·廣西南寧·八年級南寧市天桃實驗學(xué)校?？计谥校┮顾倪呅文炯懿蛔冃?，至少要再釘幾根木條（

）A．4 B．2 C．1 D．3【變式5-3】（2023春·廣東惠州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，是一個用六根竹條連接而成的凸六邊形風(fēng)箏骨架，考慮到骨架的穩(wěn)固性、美觀性、實用性等因素，需再加竹條與其頂點連接．要求：（1）在圖（1）、（2）中分別加適當(dāng)根竹條，設(shè)計出兩種不同的連接方案．（2）通過上面的設(shè)計，可以看出至少需再加根竹條，才能保證風(fēng)箏骨架穩(wěn)固、美觀和實用．（3）在上面的方案設(shè)計過程中，你所應(yīng)用的數(shù)學(xué)道理是．【題型6三角形中的角平分線、中線、高有關(guān)的綜合計算】【例6】（2023秋·湖北十堰·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，BC＝10，AD是高，BE是中線，CF是角平分線，CF交AD于點G，交BE于點H，下面結(jié)論：①△ABE的面積＝A．①② B．①②④ C．①②③ D．①②③④【變式6-2】（2023春·陜西商洛·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在三角形ABC中，AH⊥BC，BF平分∠ABC，BE⊥BF，EF∥BC，以下四個結(jié)論：①AH⊥EF；②∠ABF=∠EFB；③AC∥BE；④A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【變式6-3】（2023春·河南南陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在ΔABC中，CD是AB邊上的高，CE是∠ACB的平分線.（1）若∠A=40°，∠B=76（2）若∠A=α，∠B=β，求∠DCE的度數(shù)（用含α，β的式子表示）（3）當(dāng)線段CD沿DA方向平移時，平移后的線段與線段CE交于G點，與AB交于H點，若∠A=α，∠B=β，求∠HGE與α、β的數(shù)量關(guān)系.【題型7三角形的內(nèi)角和與外角有關(guān)的計算】【例7】（2023春·江蘇南京·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC和△FBC中，∠A≤∠F．點F與A位于線段BC所在直線的兩側(cè)，分別延長AB、AC至點D、E．

【特殊化思考】若∠A=∠F時，請嘗試探究：（1）當(dāng)F在∠A內(nèi)部時，請直接寫出∠ECF、∠DBF與∠A的數(shù)量關(guān)系為__________；（2）當(dāng)F在∠A外部時，請直接寫出∠ECF、∠DBF與∠A的數(shù)量關(guān)系為__________；（3）若CG平分∠ECF，BH平分∠FBD．無論點F在∠A內(nèi)部（如圖③）還是∠A外部（如圖④）時，都有CG∥BH，請選擇一幅圖進(jìn)行證明；

【一般化探究】若∠A<∠F時，請嘗試探究：（4）若射線CG、BH分別是∠ECF，∠DBF的n等分線（n為大于2的正整數(shù)），且∠ECG=1n∠ECF，∠HBD=1n∠DBF．當(dāng)CG∥BH時，直接寫出【變式7-1】（2023秋·遼寧沈陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知，CD∥AB，點E在BD延長線上，且∠BEF=70°，點H在AB上，HF交BD于G點．

(1)求證：∠AHF>∠CDE；(2)若∠AHF-∠CDE=30°，求∠F的度數(shù)【變式7-2】（2023春·江蘇蘇州·八年級蘇州中學(xué)?？计谥校┮阎?，在△ABC中，∠ACB=∠CDB=m°0<m<180，AE是角平分線，D是AB上的點，AE、CD相交于點F

(1)若m=90時，如圖所示，求證：∠CFE=∠CEF；(2)若m≠90時，試問∠CFE=∠CEF還成立嗎？若成立說明理由；若不成立，請比較∠CFE和∠CEF的大小，并說明理由．【變式7-3】（2023春·江蘇無錫·八年級統(tǒng)考期中）在△ABC中，∠BAC=90°，點D是BC上一點，將△ABD沿AD翻折后得到△AED，邊AE交射線BC于點F．

(1)如圖1，當(dāng)DE∥AC時，求證：AE⊥BC(2)若∠C=∠B+10°，∠BAD=x°（0<x<50）①如圖2，當(dāng)DE⊥BC時，求x的值．②是否存在這樣的x的值，使得△DEF中有兩個角相等．若存在，求x的值；若不存在，請說明理由．【題型8多邊形內(nèi)角和、外角和有關(guān)的計算】【例8】（2023秋·河北邢臺·八年級?？计谥校┮阎粋€多邊形的內(nèi)角和與外角和的差為1440°．(1)求這個多邊形的邊數(shù)；(2)如這個多邊形是正多邊形，則它的每一個內(nèi)角是___________．【變式8-1】（2023秋·遼寧葫蘆島·八年級校聯(lián)考期中）一個多邊形的內(nèi)角和比它的外角和的3倍少180°．（1）求這個多邊形的邊數(shù)和內(nèi)角和；（2）從該多邊形的一個頂點作對角線，則所作的對角線條數(shù)為，此時多邊形中有個三角形．【變式8-2】（2023春·安徽滁州·八年級校聯(lián)考期中）按要求完成下列各小題．(1)一個多邊形的內(nèi)角和比它的外角和多900°，求這個多邊形的邊數(shù)．(2)如圖，若正五邊形ABCDE和長方形AFCG按如圖方式疊放在一起，求∠EAF的度數(shù)．【變式8-3】（2023春·山東聊城·八年級統(tǒng)考期末）在五邊形ABCDE中，∠A=130°，∠B=110(1)如圖①，畫出五邊形ABCDE的所有對角線；(2)如圖②，若∠C比∠D小40°，求出∠D的度數(shù)；(3)如圖③，若CP，DP分別平分∠BCD與∠CDE的外角，試求出∠CPD的度數(shù)．【題型9多邊形截角、少（多）算一個角問題】【例9】（2023秋·河南周口·八年級校聯(lián)考期中）解決多邊形問題：(1)一個多邊形的內(nèi)角和是外角和的3倍，它是幾邊形？(2)小華在求一個多邊形的內(nèi)角和時，重復(fù)加了一個角的度數(shù)，計算結(jié)果是1170°，這個多邊形是幾邊形？【變式9-1】（2023·山西陽泉·八年級陽泉市第三中學(xué)校校考期中）某同學(xué)在進(jìn)行多邊形內(nèi)角和計算時，求得內(nèi)角和為2750°，當(dāng)發(fā)現(xiàn)了之后重新檢查，發(fā)現(xiàn)少加了一個內(nèi)角，問這個內(nèi)角是多少度?并求這個多邊形是幾邊形．【變式9-2】（2023春·河南開封·八年級統(tǒng)考期末）在一個各內(nèi)角都相等的多邊形中，每一個內(nèi)角都比相鄰?fù)饨堑?倍還大20°．（1）求這個多邊形的邊數(shù)；（2）若將這個多邊形剪去一個角，剩下多邊形的內(nèi)角和是多少？【變式9-3】（2023春·四川遂寧·八年級統(tǒng)考期末）如圖，將六邊形紙片ABCDEF沿虛線剪去一個角（∠BCD）后，得到∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝470°．(1)求六邊形ABCDEF的內(nèi)角和；(2)求∠BGD的度數(shù)．【題型10多邊形外角和的實際應(yīng)用】【例10】（2023春·山東濟(jì)南·八年級統(tǒng)考期末）如圖1，小紅沿一個五邊形廣場周圍的小路，按逆時針方向跑步，小紅每從一條小路轉(zhuǎn)到下一條小路時，跑步的方向改變一定的角度．

(1)該五邊形廣場ABCDE的內(nèi)角和是度；(2)她跑完一圈，跑步方向改變的角度的和是度；(3)如圖2，小紅參加“全民健身，共筑健康中國”活動，從點A起跑，繞湖周圍的小路跑至終點E，若MA∥EN，且∠1+∠2=200°，求行程中小紅身體轉(zhuǎn)過的角度的和（圖【變式10-1】（2023春·河北保定·八年級保定市第十七中學(xué)校聯(lián)考期末）在學(xué)習(xí)多邊形的內(nèi)角和外角知識以后，2班的小朋友們在操場做了一個實驗，如圖，張梓佑從A點出發(fā)沿直線前進(jìn)8米到達(dá)B點后向左旋轉(zhuǎn)α度，再沿直線前進(jìn)8米，到達(dá)點C后，又向左旋轉(zhuǎn)α度，照這樣走下去，第一次回到出發(fā)地點時，她