人教版七年級數(shù)學下冊《相交線與平行線中的四種幾何模型》專項練習題-附含答案

第頁人教版七年級數(shù)學下冊《相交線與平行線中的四種幾何模型》專項練習題-附含答案類型一、豬腳模型例．問題情境：如圖①直線點EF分別在直線ABCD上．(1)猜想：若試猜想______°；(2)探究：在圖①中探究之間的數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論；(3)拓展：將圖①變?yōu)閳D②若求的度數(shù)．【答案】(1)(2)；證明見詳解(3)【詳解】（1）解：如圖過點作∵∴．∴．∵∴∴．∵∴∠P=80°．故答案為：；（2）解：理由如下：如圖過點作∵∴．∴．∴∵．（3）如圖分別過點、點作、∵∴．∴．∴∵∴∴故答案為：．【變式訓練1】已知直線直線EF分別與直線ab相交于點EF點AB分別在直線ab上且在直線EF的左側(cè)點P是直線EF上一動點（不與點EF重合）設∠PAE＝∠1∠APB＝∠2∠PBF＝∠3．(1)如圖當點在線段上運動時試說明∠1＋∠3＝∠2；(2)當點P在線段EF外運動時有兩種情況．①如圖2寫出∠1∠2∠3之間的關(guān)系并給出證明；②如圖3所示猜想∠1∠2∠3之間的關(guān)系（不要求證明）．【答案】(1)證明見詳解(2)①；證明見詳解；②；證明見詳解【詳解】（1）解：如圖4所示：過點作∵∴∴∵∴；（2）解：①如圖5過點作∵∴∴∵∴；②如圖6過點作∵∴∴∵∴．【變式訓練2】閱讀下面內(nèi)容并解答問題．已知：如圖1直線分別交于點．的平分線與的平分線交于點．(1)求證：；(2)填空并從下列①、②兩題中任選一題說明理由．我選擇題．①在圖1的基礎(chǔ)上分別作的平分線與的平分線交于點得到圖2則的度數(shù)為．②如圖3直線分別交于點．點在直線之間且在直線右側(cè)的平分線與的平分線交于點則與滿足的數(shù)量關(guān)系為．【答案】(1)見解析(2)①；②結(jié)論：【詳解】（1）證明：如圖過作平分平分在中；（2）解：①如圖2中由題意平分平分故答案為：；②結(jié)論：．理由：如圖3中由題意平分平分故答案為：．【變式訓練3】如圖：(1)如圖1直接寫出的度數(shù)．(2)如圖2點為直線間的一點平分平分寫出與之間的關(guān)系并說明理由．(3)如圖3與相交于點點為內(nèi)一點平分平分若直接寫出的度數(shù)．【答案】(1)∠BED=66°；(2)∠BED=2∠F見解析；(3)∠BED的度數(shù)為130°．【詳解】（1）解：（1）如圖作EF∥AB∵直線AB∥CD∴EF∥CD∴∠ABE=∠1=45°∠CDE=∠2=21°∴∠BED=∠1+∠2=66°；（2）解：∠BED=2∠F理由是：過點E作EG∥AB延長DE交BF于點H∵AB∥CD∴AB∥CD∥EG∴∠5=∠1+∠2∠6=∠3+∠4又∵BF平分∠ABEDF平分∠CDE∴∠2=∠1∠3=∠4則∠5=2∠2∠6=2∠3∴∠BED=2(∠2+∠3)又∠F+∠3=∠BHD∠BHD+∠2=∠BED∴∠3+∠2+∠F=∠BED綜上∠BED=∠F+12∠BED即∠BED=2∠F；（3）解：延長DF交AB于點H延長GE到I∵∠BGD=60°∴∠3=∠1+∠BGD=∠1+60°∠BFD=∠2+∠3=∠2+∠1+60°=95°∴∠2+∠1=35°即2(∠2+∠1)=70°∵BF平分∠ABEDF平分∠CDE∴∠ABE=2∠2∠CDE=2∠1∴∠BEI=∠ABE+∠BGE=2∠2+∠BGE∠DEI=∠CDE+∠DGE=2∠1+∠DGE∴∠BED=∠BEI+∠DEI=2(∠2+∠1)+(∠BGE+∠DGE)=70°+60°=130°∴∠BED的度數(shù)為130°．類型二、鉛筆模型例．問題情景：如圖1AB∥CD∠PAB＝140°∠PCD＝135°求∠APC的度數(shù)．（1）麗麗同學看過圖形后立即口答出：∠APC＝85°請補全她的推理依據(jù)．如圖2過點P作PE∥AB因為AB∥CD所以PE∥CD．（）所以∠A+∠APE＝180°∠C+∠CPE＝180°．（）因為∠PAB＝140°∠PCD＝135°所以∠APE＝40°∠CPE＝45°∠APC＝∠APE+∠CPE＝85°．問題遷移：（2）如圖3AD∥BC當點P在A、B兩點之間運動時∠ADP＝∠α∠BCP＝∠β求∠CPD與∠α、∠β之間有什么數(shù)量關(guān)系？請說明理由．（3）在（2）的條件下如果點P在A、B兩點外側(cè)運動時（點P與點A、B、O三點不重合）請直接寫出∠CPD與∠α、∠β之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）平行于同一條直線的兩條直線平行（或平行公理推論）兩直線平行同旁內(nèi)角互補；（2）理由見解析；（3）或【詳解】解：（1）如圖2過點P作PE∥AB因為AB∥CD所以PE∥CD．（平行于同一條直線的兩條直線平行）所以∠A+∠APE＝180°∠C+∠CPE＝180°．（兩直線平行同旁內(nèi)角互補）因為∠PAB＝140°∠PCD＝135°所以∠APE＝40°∠CPE＝45°∠APC＝∠APE+∠CPE＝85°．故答案為：平行于同一條直線的兩條直線平行；兩直線平行同旁內(nèi)角互補；（2）∠CPD=∠α+∠β理由如下：如圖3所示過P作PE∥AD交CD于E∵AD∥BC∴AD∥PE∥BC∴∠α=∠DPE∠β=∠CPE∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；（3）當P在BA延長線時如圖4所示：過P作PE∥AD交CD于E同（2）可知：∠α=∠DPE∠β=∠CPE∴∠CPD=∠β-∠α；當P在AB延長線時如圖5所示：同（2）可知：∠α=∠DPE∠β=∠CPE∴∠CPD=∠α-∠β．綜上所述∠CPD與∠α、∠β之間的數(shù)量關(guān)系為：∠CPD=∠β-∠α或∠CPD=∠α-∠β．【變式訓練1】已知直線AB∥CD（1）如圖（1）點G為AB、CD間的一點聯(lián)結(jié)AG、CG．若∠A=140°∠C=150°則∠AGC的度數(shù)是多少？（2）如圖（2）點G為AB、CD間的一點聯(lián)結(jié)AG、CG．∠A=x°∠C=y°則∠AGC的度數(shù)是多少？（3）如圖（3）寫出∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD之間有何關(guān)系？直接寫出結(jié)論．【答案】（1）70°；（2）∠AGC=（x+y）°；（3）∠BAE+∠EFG+∠GCD=∠AEF+∠FGC．【詳解】解：（1）如圖過點G作GE∥AB∵AB∥GE∴∠A+∠AGE=180°（兩直線平行同旁內(nèi)角互補）．∵∠A=140°∴∠AGE=40°．∵AB∥GEAB∥CD∴GE∥CD．∴∠C+∠CGE=180°（兩直線平行同旁內(nèi)角互補）．∵∠C=150°∴∠CGE=30°．∴∠AGC=∠AGE+∠CGE=40°+30°=70°．（2）如圖過點G作GF∥AB∵AB∥GF∴∠A=AGF（兩直線平行內(nèi)錯角相等）．∵AB∥GFAB∥CD∴GF∥CD．∴∠C=∠CGF．∴∠AGC=∠AGF+∠CGF=∠A+∠C．∵∠A=x°∠C=y°∴∠AGC=（x+y）°．（3）如圖所示過點E作EM∥AB過點F作FN∥AB過點G作GQ∥CD∵AB∥CD∴AB∥EM∥FN∥GQ∥CD．∴∠BAE=∠AEM∠MEF=∠EFN∠NFG=∠FGQ∠QGC=∠GCD（兩直線平行內(nèi)錯角相等）．∴∠AEF=∠BAE+∠EFN∠FGC=∠NFG+GCD．∵∠EFN+∠NFG=∠EFG∴∠BAE+∠EFG+∠GCD=∠AEF+∠FGC．【變式訓練2】問題情境：如圖1AB∥CD∠PAB＝130°∠PCD＝120°求∠APC度數(shù)．思路點撥：小明的思路是：如圖2過P作PE∥AB通過平行線性質(zhì)可分別求出∠APE、∠CPE的度數(shù)從而可求出∠APC的度數(shù)；小麗的思路是：如圖3連接AC通過平行線性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和的知識可求出∠APC的度數(shù)；小芳的思路是：如圖4延長AP交DC的延長線于E通過平行線性質(zhì)以及三角形外角的相關(guān)知識可求出∠APC的度數(shù)．問題解決：請從小明、小麗、小芳的思路中任選一種思路進行推理計算你求得的∠APC的度數(shù)為°；問題遷移：（1）如圖5AD∥BC點P在射線OM上運動當點P在A、B兩點之間運動時∠ADP＝∠α∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由；（2）在（1）的條件下如果點P在A、B兩點外側(cè)運動時（點P與點A、B、O三點不重合）請你直接寫出∠CPD、∠α、∠β間的數(shù)量關(guān)系．【答案】問題解決：110°；問題遷移：（1）∠CPD＝∠α+∠β理由見解析；（2）∠CPD＝∠β﹣∠α理由見解析【詳解】解：小明的思路：如圖2過P作PE∥AB∵AB∥CD∴PE∥AB∥CD∴∠APE＝180°﹣∠A＝50°∠CPE＝180°﹣∠C＝60°∴∠APC＝50°+60°＝110°故答案為：110；（1）∠CPD＝∠α+∠β理由如下：如圖5過P作PE∥AD交CD于E∵AD∥BC∴AD∥PE∥BC∴∠α＝∠DPE∠β＝∠CPE∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；（2）當P在BA延長線時∠CPD＝∠β﹣∠α；理由：如圖6過P作PE∥AD交CD于E∵AD∥BC∴AD∥PE∥BC∴∠α＝∠DPE∠β＝∠CPE∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α；當P在BO之間時∠CPD＝∠α﹣∠β．理由：如圖7過P作PE∥AD交CD于E∵AD∥BC∴AD∥PE∥BC∴∠α＝∠DPE∠β＝∠CPE∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β．類型三、鋤頭模型例．已知AB∥CD．點M在AB上點N在CD上．（1）如圖1中∠BME、∠E、∠END的數(shù)量關(guān)系為：；（不需要證明）如圖2中∠BMF、∠F、∠FND的數(shù)量關(guān)系為：；（不需要證明）（2）如圖3中NE平分∠FNDMB平分∠FME且2∠E＋∠F＝180°求∠FME的度數(shù)；（3）如圖4中∠BME＝60°EF平分∠MENNP平分∠END且EQ∥NP則∠FEQ的大小是否發(fā)生變化若變化請說明理由若不變化求出∠FEQ的度數(shù)．【答案】（1）∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND；（2）120°；（3）不變30°【詳解】解：（1）過E作EH∥AB如圖1∴∠BME＝∠MEH∵AB∥CD∴HE∥CD∴∠END＝∠HEN∴∠MEN＝∠MEH＋∠HEN＝∠BME＋∠END即∠BME＝∠MEN﹣∠END．如圖2過F作FH∥AB∴∠BMF＝∠MFK∵AB∥CD∴FH∥CD∴∠FND＝∠KFN∴∠MFN＝∠MFK﹣∠KFN＝∠BMF﹣∠FND即：∠BMF＝∠MFN＋∠FND．故答案為∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．（2）由（1）得∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．∵NE平分∠FNDMB平分∠FME∴∠FME＝∠BME＋∠BMF∠FND＝∠FNE＋∠END∵2∠MEN＋∠MFN＝180°∴2（∠BME＋∠END）＋∠BMF﹣∠FND＝180°∴2∠BME＋2∠END＋∠BMF﹣∠FND＝180°即2∠BMF＋∠FND＋∠BMF﹣∠FND＝180°解得∠BMF＝60°∴∠FME＝2∠BMF＝120°；（3）∠FEQ的大小沒發(fā)生變化∠FEQ＝30°．由（1）知：∠MEN＝∠BME＋∠END∵EF平分∠MENNP平分∠END∴∠FEN＝∠MEN＝（∠BME＋∠END）∠ENP＝∠END∵EQ∥NP∴∠NEQ＝∠ENP∴∠FEQ＝∠FEN﹣∠NEQ＝（∠BME＋∠END）﹣∠END＝∠BME∵∠BME＝60°∴∠FEQ＝×60°＝30°．【變式訓練1】（1）如圖（1）AB∥CD猜想∠BPD與∠B、∠D的關(guān)系說出理由．（2）觀察圖（2）已知AB∥CD猜想圖中的∠BPD與∠B、∠D的關(guān)系并說明理由．（3）觀察圖（3）和（4）已知AB∥CD猜想圖中的∠BPD與∠B、∠D的關(guān)系不需要說明理由．【答案】（1）∠B+∠BPD+∠D=360°理由見解析；（2）∠BPD=∠B+∠D理由見解析；（3）∠BPD=∠D-∠B或∠BPD=∠B-∠D理由見解析【詳解】解：（1）如圖（1）過點P作EF∥AB∴∠B+∠BPE=180°∵AB∥CDEF∥AB∴EF∥CD∴∠EPD+∠D=180°∴∠B+∠BPE+∠EPD+∠D=360°∴∠B+∠BPD+∠D=360°．（2）∠BPD=∠B+∠D．理由：如圖2過點P作PE∥AB∵AB∥CD∴PE∥AB∥CD∴∠1=∠B∠2=∠D∴∠BPD=∠1+∠2=∠B+∠D．（3）如圖（3）∠BPD=∠D-∠B．理由：∵AB∥CD∴∠1=∠D∵∠1=∠B+∠BPD∴∠D=∠B+∠BPD即∠BPD=∠D-∠B；如圖（4）∠BPD=∠B-∠D．理由：∵AB∥CD∴∠1=∠B∵∠1=∠D+∠BPD∴∠B=∠D+∠BPD即∠BPD=∠B-∠D．【變式訓練2】已知點為平面內(nèi)一點于．（1）如圖1點在兩條平行線外則與之間的數(shù)量關(guān)系為______；（2）點在兩條平行線之間過點作于點．①如圖2說明成立的理由；②如圖3平分交于點平分交于點．若求的度數(shù)．【答案】（1）∠A+∠C=90°；（2）①見解析；②105°【詳解】解：（1）如圖1AM與BC的交點記作點O∵AM∥CN∴∠C=∠AOB∵AB⊥BC∴∠A+∠AOB=90°∴∠A+∠C=90°；（2）①如圖2過點B作BG∥DM∵BD⊥AM∴DB⊥BG∴∠DBG=90°∴∠ABD+∠ABG=90°∵AB⊥BC∴∠CBG+∠ABG=90°∴∠ABD=∠CBG∵AM∥CNBG∥DM∴∠C=∠CBG∠ABD=∠C；②如圖3過點B作BG∥DM∵BF平分∠DBCBE平分∠ABD∴∠DBF=∠CBF∠DBE=∠ABE由（2）知∠ABD=∠CBG∴∠ABF=∠GBF設∠DBE=α∠ABF=β則∠ABE=α∠ABD=2α=∠CBG∠GBF=∠AFB=β∠BFC=3∠DBE=3α∴∠AFC=3α+β∵∠AFC+∠NCF=180°∠FCB+∠NCF=180°∴∠FCB=∠AFC=3α+β△BCF中由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°得：2α+β+3α+3α+β=180°∵AB⊥BC∴β+β+2α=90°∴α=15°∴∠ABE=15°∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．類型四、齒距模型例．如圖AB∥EF設∠C＝90°那么xyz的關(guān)系式為______．【答案】y=90°-x+z．【詳解】解：作CG//ABDH//EF∵AB//EF∴AB//CG//HD//EF∴∠x=∠1∠CDH=∠2∠HDE=∠