第3章 數(shù)據(jù)的集中趨勢和離散程度（十四大題型）（原卷版）

（蘇科版）九年級上冊數(shù)學《第3章數(shù)據(jù)的集中趨勢和離散程度》知識點一知識點一算術平均數(shù)與加權平均數(shù)◆1、算術平均數(shù)算術平均數(shù)：對于n個數(shù)x1，x2，…，xn，則x=1n（x1+x2+…+xn記作：“x”，讀作：“x拔”．◆2、加權平均數(shù)◆(1)加權平均數(shù)：①若n個數(shù)x1，x2，x3，…，xn的權分別是w1，w2，w3，…，wn，則x叫做這n個數(shù)的加權平均數(shù)．②在求n個數(shù)的平均數(shù)時，如果x1出現(xiàn)f1次，x2出現(xiàn)f2次，…，xk出現(xiàn)fk次(這里f1+f2+…+fk=n)，那么這n個數(shù)的加權平均數(shù)為x=x1f1+x2f2+?+xnfnn，其中f1，f2，f3，…，f◆(2)權的表現(xiàn)形式，一種是比的形式，如4：3：2，另一種是百分比的形式，如創(chuàng)新占50%，綜合知識占30%，語言占20%，權的大小直接影響結果．◆(3)數(shù)據(jù)的權能夠反映數(shù)據(jù)的相對“重要程度”，要突出某個數(shù)據(jù)，只需要給它較大的“權”，權的差異對結果會產生直接的影響．◆（4）對于一組不同權重的數(shù)據(jù)，加權平均數(shù)更能反映數(shù)據(jù)的真實信息．◆（5）算術平均數(shù)與加權平均數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系：區(qū)別：①算術平均數(shù)中各數(shù)據(jù)都是同等重要，沒有相互間差異；②加權平均數(shù)中各數(shù)據(jù)都有各自不同的權重地位.聯(lián)系：算術平均數(shù)是加權平均數(shù)的一種特殊情況，加權平均數(shù)包含算術平均數(shù)，當加權平均數(shù)中的權相等時，就是算術平均數(shù)．知識點二知識點二中位數(shù)和眾數(shù)◆1、中位數(shù)◆（1）中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按照從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕?，如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．如果這組數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．◆（2）中位數(shù)代表了這組數(shù)據(jù)值大小的“中點”，不易受極端值影響，但不能充分利用所有數(shù)據(jù)的信息．◆（3）中位數(shù)僅與數(shù)據(jù)的排列位置有關，某些數(shù)據(jù)的移動對中位數(shù)沒有影響，中位數(shù)可能出現(xiàn)在所給數(shù)據(jù)中也可能不在所給的數(shù)據(jù)中出現(xiàn)，當一組數(shù)據(jù)中的個別數(shù)據(jù)變動較大時，可用中位數(shù)描述其趨勢．◆2、眾數(shù)◆眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)稱為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．【注意】：（1）一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)一定出現(xiàn)在這組數(shù)據(jù)中．（2）一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可能不止一個.如1，1，2，3，3，5中眾數(shù)是1和3．（3）眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)而不是數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)，如1，1，1，2，2，5中眾數(shù)是1而不是3．知識點三知識點三方差◆1、方程◆（1）方差：一組數(shù)據(jù)中各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)的差的平方的平均數(shù)，叫做這組數(shù)據(jù)的方差．◆（2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的結果表示一組數(shù)據(jù)偏離平均值的情況，這個結果叫方差，通常用s2來表示，計算公式是：s2=1n[（x1-x）2+（x2-x）2+…+（xn-◆（3）方差是反映一組數(shù)據(jù)的波動大小的一個量．方差越大，則平均值的離散程度越大，穩(wěn)定性也越??；反之，則它與其平均值的離散程度越小，穩(wěn)定性越好．◆2、用樣本估計總體當所要考察的對象較多，或者對考察的對象帶有破壞性時，統(tǒng)計中常常通過抽取樣本，用樣本估計總體的方法來獲得對總體的認識.◆（1）統(tǒng)計的基本思想：用樣本的特征（平均數(shù)和方差）估計總體的特征．◆（2）統(tǒng)計的決策依據(jù)：利用數(shù)據(jù)做決策時，要全面、多角度地去分析已有數(shù)據(jù)，從數(shù)據(jù)的變化中發(fā)現(xiàn)它們的規(guī)律和變化趨勢，減少人為因素的影響．一般來說，用樣本去估計總體時，樣本越具有代表性、容量越大，這時對總體的估計也就越精確．題型一題型一求算術平均數(shù)【例題1】某中學舉行校園歌手大賽，6位評委給某選手的評分如下表：評委123456得分9.89.59.89.99.69.7計分方法是：去掉一個最高分，去掉一個最低分，以剩余分數(shù)的平均分作為該選手的最后得分，則該選手的最后得分為（保留兩位小數(shù)）（）A．9.72分 B．9.73分 C．9.77分 D．9.79分解題技巧提煉(1)當數(shù)據(jù)信息以表格或圖象的形式呈現(xiàn)時，要結合已知條件讀懂表格或圖象，并能從中獲取有用的信息，求一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，通常用定義法，即用這組數(shù)據(jù)的和除以這組數(shù)據(jù)的總個數(shù).(2)在求較大數(shù)據(jù)的平均數(shù)時，首先要仔細觀察數(shù)據(jù)特點，如果所給數(shù)據(jù)都在某個數(shù)據(jù)附近波動時，可采用新數(shù)據(jù)法求解.【變式1-1】（2023?錦江區(qū)校級模擬）2023年以來，成都創(chuàng)建“文明典范城市”工作中，某校開展“文明伴成長”畫展，其中彩鉛、水墨、水彩、速寫四個類別的幅數(shù)分別為：18，12，18，20，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為（）A．15 B．16 C．17 D．18【變式1-2】在計算100個數(shù)的平均數(shù)時，將其中的一個數(shù)100錯看成了1000，則此時計算出來的平均數(shù)比實際結果多（）A．9 B．10 C．19 D．2【變式1-3】（2023?湖州）某住宅小區(qū)6月1日～6月5日每天用水量情況如圖所示，那么這5天平均每天的用水量是（）A．25立方米 B．30立方米 C．32立方米 D．35立方米【變式1-4】（）A．a B．3a C．3a﹣5 D．3a﹣20【變式1-5】（2023?漳浦縣模擬）某班有48人，在一次數(shù)學測驗中，全班平均分為81分，已知不及格人數(shù)為6人，他們的平均分為46分，則及格學生的平均分是（）A．78分 B．86分 C．80分 D．82分題型二題型二求加權平均數(shù)【例題2】（2023春?平輿縣期末）某超市銷售A，B，C，D四種礦泉水，它們的單價依次是5元、4元、3元、2元．某天的銷售情況如圖所示，則這天銷售的礦泉水的平均單價是（）A．2.8元 B．2.85元 C．3.15元 D．3.55元解題技巧提煉根據(jù)加權平均數(shù)的定義來求平均數(shù)，即若n個數(shù)x1，x2，x3，…，xn的權分別是w1，w2，w3，…，wn，則x=x1【變式2-1】（2023?海門市校級開學）小麗的筆試成績?yōu)?8.5分，面試成績?yōu)?7分，若筆試成績、面試成績按6：4計算平均成績，則小麗的平均成績是分．【變式2-2】（2023春?北京期末）某企業(yè)參加“科技創(chuàng)新企業(yè)百強”評選，創(chuàng)新能力、創(chuàng)新價值、創(chuàng)新影響三項得分分別為8分，9分，7分，若將三項得分依次按5：3：2的比例計算總成績，則該企業(yè)的總成績?yōu)椋ǎ〢．8分 B．8.1分 C．8.2分 D．8.3分【變式2-3】（2021秋?泰山區(qū)期中）某校男子足球隊隊員的年齡分布如下表，則該校男子足球隊隊員的平均年齡是（）年齡/歲12131415人數(shù)23107A．12 B．13 C．14 D．15【變式2-4】（2023?鶴城區(qū)校級開學）小明參加演講比賽的得分情況如表：服裝普通話主題得分908088評總分時，按服裝占15%，普通話占35%，主題占50%，她的總得分是（）A．86 B．85.5 C．86.5 D．88【變式2-5】（2021春?房山區(qū)期末）已知數(shù)據(jù)x1，x2，x3，x4，x5的平均數(shù)為k1；數(shù)據(jù)x6，x7，x8，x9，x10的平均數(shù)為k2；k1與k2的平均數(shù)是k；數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，x8，x9，x10的平均數(shù)為m，那么k與m的關系是（）A．k＞m B．k＝m C．k＜m D．不能確定題型三題型三利用加權平均數(shù)進行決策比較【例題3】（2023?寧波一模）為深入學習貫徹習近平法治思想，推動青少年憲法學習宣傳教育走深走實，教育部組織開展第七屆全國學生“學憲法講憲法”系列活動．某校積極響應教育部的號召，開展了憲法知識在線學習、知識競賽與演講比賽三項活動，表是參加冠亞軍決賽的兩名選手的各項測試成績（單位：分）．選手項目在線學習知識競賽演講比賽甲849690乙899985（1）若將在線學習、知識競賽與演講比賽三項成績的平均分作為最后成績，誰將會獲得冠軍？（2）若將在線學習、知識競賽與演講比賽的成績按2：3：5的比例計算最后成績，誰將會獲得冠軍？解題技巧提煉首先通過計算加權平均數(shù)，然后比較平均數(shù)的大小，最后進行決策.【變式3-1】（2023?永嘉縣校級二模）某?！皵?shù)學之星”評比由小論文、說題比賽、其它榮譽、現(xiàn)場考核四部分組成．每班只推薦一位同學．九（2）班小崇、小德兩位同學得分情況如下．姓名小論文說題比賽其它榮譽現(xiàn)場考核小崇809030100小德100903090（1）若各部分在總分中的占比分別為1：1：1：2，分別計算兩位同學的得分；（2）若其中現(xiàn)場考核在總分中占比為50%，有人認為推薦“小德”同學參加校級“數(shù)學之星”評比，你認為合理嗎？如不合理，請說出你的推薦人選，并說明理由．【變式3-2】（2022春?鹽池縣期末）某校學生會要在甲、乙兩位候選人中選擇一人擔任文藝部干事，對他們進行了文化水平、藝術水平、組織能力的測試，根據(jù)綜合成績擇優(yōu)錄?。麄兊母黜棾煽儯▎雾棟M分100分）如表所示：（1）如果把各項成績的平均數(shù)作為綜合成績，應該錄取誰？（2）如果想錄取一名組織能力較強的候選人，把文化水平、藝術水平、組織能力三項成績分別按照20%，20%，60%的比例計入綜合成績，應該錄取誰？候選人文化水平藝術水平組織能力甲80分87分82分乙80分96分76分【變式3-3】（2022秋?紫金縣期末）某校在一次廣播操比賽中，初二（1）班、初二（2）班、初二（3）班的各項得分如下：服裝統(tǒng)一動作整齊動作準確初二（1）班808487初二（2）班977880初二（3）班907885（1）填空：根據(jù)表中提供的信息，在服裝統(tǒng)一方面，三個班得分的平均數(shù)是；在動作整齊方面三個班得分的眾數(shù)是；在動作準確方面最有優(yōu)勢的是班．（2）如果服裝統(tǒng)一、動作整齊、動作準確三個方面的重要性之比為2：3：5，那么這三個班的排名順序怎樣？為什么？（3）在（2）的條件下，你對三個班級中排名最靠后的班級有何建議？【變式3-4】（2022春?辛集市期末）某公司欲招聘一名銷售人員，按1：3的比例入圍的甲、乙、丙（筆試成績沒有相同的，按從高到低排列，）三位入圍者的成績（百分制，成績都是整數(shù)）如下表：入圍者筆試成績面試成績甲9086乙xx丙8492（1）若公司認為筆試成績與面試成績同等重要，結果乙被錄取，求x的值；（2）若公司認為筆試成績與面試成績按4：6的權重，結果乙排第二，丙被錄取，求x的值；（3）若公司認為筆試成績與面試成績按a：（10﹣a）（a為1～9的整數(shù)）的權重，為確保甲被錄取，求a的最小值．題型四題型四利用組中值求加權平均數(shù)【例題4】（2022春?思明區(qū)校級期中）已知某外賣平臺設置送餐距離超過5千米無法配送，由于給送餐員的費用與送餐距離有關，為更合理設置送餐費用，該平臺隨機抽取80名點外賣的用戶進行統(tǒng)計，按送餐距離分類統(tǒng)計結果如表：送餐距離x（千米）0＜x≤11＜x≤22＜x≤33＜x≤44＜x≤5數(shù)量122024168估計利用該平臺點外賣用戶的平均送餐距離為（）A．3千米 B．2.85千米 C．2.35千米 D．1.85千米解題技巧提煉根據(jù)頻數(shù)分布表或頻數(shù)分布直方圖計算加權平均數(shù)的方法：先計算各組數(shù)據(jù)的組中值，用各組數(shù)據(jù)的組中值代表各組的實際數(shù)據(jù)，再把各組中的頻數(shù)看成是相應組中值的權來進行計算.【變式4-1】對一組數(shù)據(jù)整理如下表，估計這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為．分組頻數(shù)頻數(shù)0≤x＜10810≤x＜201220≤x＜3020【變式4-2】為了解植物園內某種花卉的生長情況，在一片約有3000株此類花卉的園地內，隨機抽測了200株該花卉的高度作為樣本，統(tǒng)計結果整理后列表如下（每組包含最低值，不包含最高值），則該園地內此類花卉的平均高度約為cm．高度（cm）40～5050～6060～7070～8080～9090～100頻數(shù)（株）304020205040【變式4-3】某市中小學舉行了一場課本劇表演比賽，組委會規(guī)定：任何一個參賽選手的成績x滿足：60≤x＜100，賽后統(tǒng)計整理了150個選手的成績，成績如表：分數(shù)段頻數(shù)60≤x＜703070≤x＜80m80≤x＜906090≤x＜10020根據(jù)表提供的信息得到m＝，利用組中值估計這些選手的平均成績大約是．（結果精確到0.1）【變式4-4】某校為了了解該校學生在家做家務的情況，隨機調查了50名學生，得到他們在一周內做家務所用時間的情況如下表所示時間/（小時）0≤t＜11≤t＜22≤t＜33≤t＜44≤t＜5人數(shù)8142062則可以估計該校學生平均每人在一周內做家務所用時間是小時．（同一組中的數(shù)據(jù)用這組數(shù)據(jù)的組中值作代表．）【變式4-5】一個班有50名學生，一次考試成績（單位：分）的分布情況如下表所示：成績組中值頻數(shù)（人數(shù)）49.5～59.5459.5～69.5869.5～79.51479.5～89.51889.5～99.56（1）填寫表中“組中值”一欄的空白；（2）求該班本次考試的平均成績．題型五題型五利用樣本平均數(shù)估計總體平均數(shù)【例題5】李大伯有一片果林，共80棵果樹，某日，李大伯開始采摘今年第一批成熟的果子，他隨機選取2棵果樹共摘得果子，質量分別為（單位：kg）：0.28，0.26，0.24，0.23，0.25，0.24，0.26，0.26，0.25，0.23，以此計算，李大伯收獲的這批果子的單個質量和總質量分別約為（）A．0.25kg，200kg B．2.5kg，100kg C．0.25kg，100kg D．2.5kg，200kg解題技巧提煉用樣本估計總體時，樣本的容量越大，樣本對總體的估計越準確，用樣本的平均數(shù)可以估計總體的平均數(shù).【變式5-1】某班為調查每個學生用于課外作業(yè)的平均時間，從該班學生中隨機抽取了10名學生進行調查，得到他們用于課外作業(yè)的時間（單位：min）如下：75，80，85，65，95，80，85，85，80，90．由此估計該班的學生用于課外作業(yè)的平均時間是（）A．80 B．81 C．82 D．83【變式5-2】某校開展“節(jié)約每一滴水”活動，為了了解開展活動一個月以來節(jié)約用水的情況，從八年級的400名同學中選取20名同學統(tǒng)計了各自家庭一個月節(jié)約水情況．見表：節(jié)水量/m30.20.250.30.40.5家庭數(shù)/個24671請你估計這400名同學的家庭一個月節(jié)約用水的總量大約是（）A．130m3 B．135m3 C．6.5m3 D．260m3【變式5-3】有4萬個不小于70的兩位數(shù)，從中隨機抽取了3000個數(shù)據(jù)，統(tǒng)計如下：數(shù)據(jù)x70＜x＜7980＜x＜8990＜x＜99個數(shù)8001300900平均數(shù)78.18591.9請根據(jù)表格中的信息，估計這4萬個數(shù)據(jù)的平均數(shù)約為（）A．92.16 B．85.23 C．84.73 D．77.97【變式5-4】彭山的枇杷大又甜，在今年5月18日“彭山枇杷節(jié)”期間，從山上5棵枇杷樹上采摘到了200千克枇杷，請估計彭山近600棵枇杷樹今年一共收獲了枇杷千克．【變式5-5】（2022秋?南通期末）為了解南遷到某濕地的A種候鳥的情況，從中捕捉30只，戴上識別卡并放回．經過一段時間后觀察發(fā)現(xiàn)，200只A種候鳥中有10只佩有識別卡，由此可以估計該濕地A種候鳥約有只．【變式5-6】（2023?亭湖區(qū)校級三模）某學校為響應“雙減”政策，向學生提供晚餐服務，已知該校共有500名學生，為了做好學生們的取餐、用餐工作，學校首先調查了全體學生的晚餐意向，調查結果如圖1所示．為避免就餐擁堵，隨機邀請了100名有意向在食堂就餐的學生進行了用餐模擬演練，用餐時間（含用餐與回收餐具）如圖2所示．（1）食堂每天需要準備多少份晚餐？?（2）請你根據(jù)圖2，估計該校學生就餐時間不超過17分鐘的人數(shù)；（3）根據(jù)抽取100名學生用餐時間統(tǒng)計表，請你估計該校學生在食堂就餐的平均用餐時間．題型六題型六求中位數(shù)【例題6】2023?深圳模擬）某高速（限速120km/h）某路段的車速監(jiān)測儀監(jiān)測到連續(xù)6輛車的車速分別為：118，106，105，120，118，112（單位：km/h），則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為（）A．115 B．116 C．118 D．120解題技巧提煉將一組數(shù)據(jù)按照從小到大（或從大到小）的順序排列，如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．如果這組數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．【變式6-1】（2023?南山區(qū)一模）疫情以后，為了保證大家的健康，學校對所有進入校園的師生進行體溫檢測，其中7名學生的體溫（單位：℃）如下：36.5，36.3，36.8，36.5，36.3，36.7，36.3．這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）A．36.3 B．36.5 C．36.7 D．36.8【變式6-2】（2023?錦江區(qū)校級模擬）九（5）班學生為本班一位患重病同學捐款，捐款情況如下表：捐款金額（元）5102050人數(shù)（人）1114916則學生捐款金額的中位數(shù)是（）A．15元 B．14元 C．10元 D．20元【變式6-3】（2023?惠來縣模擬）在一次中學生田徑運動會上，參加男子跳高的15名運動員的成績如圖所示，則這些運動員成績的中位數(shù)為（）A．160 B．165 C．170 D．175【變式6-4】某排球隊6名場上隊員的身高（單位：cm）是：180，184，188，190，192，194．現(xiàn)用一名身高為186cm的隊員換下場上身高為192cm的隊員，與換人前相比，場上隊員的身高（）A．平均數(shù)變小，中位數(shù)變小 B．平均數(shù)變小，中位數(shù)變大 C．平均數(shù)變大，中位數(shù)變小 D．平均數(shù)變大，中位數(shù)變大【變式6-5】某電腦公司銷售部對20位銷售員本月的銷售量統(tǒng)計如下表：銷售量（臺）12142030人數(shù)4583則這20位銷售人員本月銷售量的平均數(shù)和中位數(shù)分別是（）A．19，20 B．19，25 C．18.4，20 D．18.4，25題型七題型七求眾數(shù)【例題7】（2023?周口二模）某校八年級（3）班50名學生自發(fā)組織獻愛心捐款活動．班長將捐款情況進行了統(tǒng)計，并繪制成了如圖所示的統(tǒng)計圖（不完整）．根據(jù)圖中提供的信息，捐款金額的眾數(shù)是（）A．20元 B．30元 C．50元 D．100元解題技巧提煉確定一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)，首先要找出這組數(shù)據(jù)中各數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)，其中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)就是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．【變式7-1】（2023?潮陽區(qū)一模）某高速（限速120km/h）某路段的車速監(jiān)測儀監(jiān)測到連續(xù)6輛車的車速分別為：118，107，109，120，118，116（單位：km/h），則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為（）A．107 B．109 C．116 D．118【變式7-2】（2023?駐馬店模擬）某校踐行“五育并舉”，期末時李梅的五育得分如表所示，則該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為（）項目德智體美勞得分108798A．8 B．7.8 C．9 D．8.4【變式7-3】（2023?河南三模）某校為了解同學們某季度參與“青年大學習”的時長，從中隨機抽取5位同學，統(tǒng)計他們的學習時長（單位：分鐘）分別為：75，80，85，90，▲（被污損）．若該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為82，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為（）A．75 B．80 C．85 D．90【變式7-4】（2023春?朝陽區(qū)校級期中）學校為了解“陽光體育”活動開展情況，隨機調查了50名學生一周參加體育鍛煉的時間，數(shù)據(jù)如表格所示，這些學生一周參加體育鍛煉時間的眾數(shù)是．人數(shù)（人）9141611時間（小時）78910【變式7-5】（2022秋?濱?？h期中）如圖所示的扇形統(tǒng)計圖描述了某校學生對課后延時服務的打分情況（滿分5分），則所打分數(shù)的眾數(shù)為（）A．5分 B．4分 C．3分 D．2分題型八題型八中位數(shù)和眾數(shù)【例題8】（2023?盤錦）為了解全市中學生的視力情況，隨機抽取某校50名學生的視力情況作為其中一個樣本，整理樣本數(shù)據(jù)如圖．則這50名學生視力情況的中位數(shù)和眾數(shù)分別是（）A．4.8，4.8 B．13，13 C．4.7，13 D．13，4.8解題技巧提煉中位數(shù)和眾數(shù)的綜合運用，要根據(jù)各自的定義來求解即可.【變式8-1】（2022?安徽一模）某中學為了提高學生的跳遠成績進行了強化鍛煉，鍛煉一個月后，學校對九年級一班的45名學生進行測試，成績如表：跳遠成績（cm）160170180190200220人數(shù)3969153這些學生跳遠成績的中位數(shù)和眾數(shù)分別是（）A．15，9 B．9，9 C．190，200 D．185，200【變式8-2】在一次中學生田徑運動會上，參加跳遠的15名運動員的成績如下表所示：成績（m）4.504.604.654.704.754.80人數(shù)232341則這些運動員成績的中位數(shù)、眾數(shù)分別是（）A．4.664.70 B．4.654.75 C．4.704.75 D．4.704.70【變式8-3】某中學的學生對本校學生的每周零花錢使用情況進行抽樣調查，得到了一組學生平均一周用出的零花錢的數(shù)據(jù)．如圖是根據(jù)這組數(shù)據(jù)繪制的統(tǒng)計圖，圖中從左到右各長方形的高度之比為3：4：5：8：6，又知此次調查中平均一周用出零花錢是25元和30元的學生一共42人．那么，這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是、中位數(shù)是．【變式8-4】（2023春?西湖區(qū)校級月考）五名同學捐款數(shù)分別是5，3，6，5，10（單位：元），捐10元的同學后來又追加了10元，追加后的5個數(shù)據(jù)與之前的5個數(shù)據(jù)相比，下列判斷正確的是（）A．只有平均數(shù)相同 B．只有中位數(shù)相同 C．只有眾數(shù)相同 D．中位數(shù)和眾數(shù)都相同【變式8-5】一組數(shù)據(jù)1，x，5，7的中位數(shù)與眾數(shù)相等，則該組的平均數(shù)是（）A．3.5 B．4.5 C．5.5 D．6題型九題型九中位數(shù)、眾數(shù)與統(tǒng)計圖表的綜合【例題9】空氣質量狀況已引起全社會的廣泛關注，某市統(tǒng)計了2013年每月空氣質量達到良好以上的天數(shù)，整理后制成如下折線統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖．根據(jù)以上信息解答下列問題：（1）該市2013年每月空氣質量達到良好以上天數(shù)的中位數(shù)是天，眾數(shù)是天；（2）求扇形統(tǒng)計圖中扇形A的圓心角的度數(shù)；（3）根據(jù)以上統(tǒng)計圖提供的信息，請你簡要分析該市的空氣質量狀況（字數(shù)不超過30字）．解題技巧提煉中考題和教材原題型都考查了幾種特征數(shù)與統(tǒng)計圖的知識，從不同的角度來分析，理由合理即可.【變式9-1】（2023?白云區(qū)二模）電信詐騙，嚴重危害著人民群眾的財產安全，為提高大家的防范意識，某校舉行了主題為“防電信詐騙，保財產安全”的知識測試．七、八年級各有600名學生，現(xiàn)從這兩個年級各隨機抽取50名學生參加測試，為了解本次測試成績的分布情況，將兩個年級的測試成績x按A：90≤x≤100，B：80≤x＜90，C：70≤x＜80，D：60≤x＜70四個評價等級進行整理，得到了不完整的統(tǒng)計圖表．七年級成績統(tǒng)計表：評價等級成績x/分頻數(shù)頻率A90≤x≤100200.4B80≤x＜90b0.22C70≤x＜80150.3D60≤x＜7040.08八年級測試成績評價等級為B的全部分數(shù)（單位分）如下：80，81，82，82，84，86，86，87，88，88，89，89，89．（1）表格中，b＝；（2）八年級測試成績的中位數(shù)是；（3）若測試成績不低于80分，則認為該學生對防電信詐騙意識較強，請估計該校七、八兩個年級對防電信詐騙意識較強的學生一共有多少人？【變式9-2】（2023?義烏市校級開學）全縣有500名學生同時參加了數(shù)學和科學知識競賽，從中隨機抽取25名學生的成績進行統(tǒng)計整理，分為四個等級（成績用x表示）：A（x≥90）、B（80≤x≤90）、C（70＜x＜80）、D（x＜70）．根據(jù)以上信息，回答下列問題：（1）被抽取的25名學生數(shù)學成績的中位數(shù)在等級（填寫“A”、“B”、“C”或“D”）．估計全縣參賽的500人中科學成績不低于90分的有人．（2）已知被抽取25名學生數(shù)學成績的中位數(shù)為85分．如果小張同學的數(shù)學成績?yōu)?4分，科學成績81分，你認為他哪一科的排名更靠前一些？請說明理由．【變式9-3】（2023?呈貢區(qū)校級三模）數(shù)學運算是數(shù)學核心素養(yǎng)的重要部分，為了了解九年級學生的數(shù)學運算能力，某校對全體九年級同學進行了數(shù)學運算水平測試，并隨機抽取50名學生的測試成績（滿分100分）進行整理和分析．（成績共分成四組：D：60＜x≤70，C：70＜x≤80，B：80＜x≤90，A：90＜x≤100）①成績頻數(shù)分布表：成績等級D等C等B等A等分數(shù)（單位：分）60＜x≤7070＜x≤8080＜x≤9090＜x≤100學生數(shù)9a1216②成績在80＜x≤90這一組的是（單位：分）：81，82，85，85，85，86，87，89，90，90，90，90．根據(jù)以上信息，回答下列問題：（1）上述表中a＝，成績達到A等級的人數(shù)占測試人數(shù)的百分比是，本次測試成績的中位數(shù)是，其中在80＜x≤90這一組成績的眾數(shù)是．（2）如年級400名學生中測試成績?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)．【變式9-4】（2023?云南模擬）為弘揚紅色文化，傳頌紅色故事，贛南革命老區(qū)某學校特在九年級開展了紅色文化知識競賽活動，并隨機抽取了20名參賽選手的成績（競賽成績均為正數(shù)，滿分100分）進行統(tǒng)計分析．隨機抽取的成績如下：77，86，80，76，70，100，95，80，75，90，94，86，68，95，88，78，90，82，86，100，整理數(shù)據(jù)：分數(shù)60＜x≤7070＜x≤8080＜x≤9090＜x≤100人數(shù)2ab5根據(jù)以上信息回答下列問題：（1）填空：a＝，b＝；（2）這20名參賽人員成績的眾數(shù)為，中位數(shù)為；（3）小李的參賽成績?yōu)?7分，你認為他的成績屬于“中上”水平嗎？請說明理由；（4）該學校九年級共有460名學生參加了競賽，若成績在90分（包含90分）以上為優(yōu)秀，請你估計此次知識競賽中優(yōu)秀的人數(shù)．【變式9-5】某公司銷售部統(tǒng)計了每個銷售員在某月的銷售額，繪制了不完整的折線統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖．設銷售員的月銷售額為x（單位：萬元）．銷售部規(guī)定：當x＜16時為“不稱職”，當16≤x＜20時為“基本稱職”，當20≤x＜25時為“稱職”，當x≥25時為“優(yōu)秀”．根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）填空：該銷售部共有銷售員人，d＝；（2）所有銷售員月銷售額的中位數(shù)為；眾數(shù)為；（3）為了調動銷售員的積極性，銷售部決定根據(jù)本月的銷售情況制定一個月銷售額獎勵標準，凡月銷售額達到或超過這個標準的銷售員將獲得獎勵．如果要使得本月所有“稱職”和“優(yōu)秀”的銷售員中不少于一半人員能獲獎，月銷售額獎勵標準最高可定為萬元（結果取整數(shù)）．題型十題型十利用平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)解決實際問題【例題10】（2023春?仙居縣期末）某校為加強對防溺水安全知識的宣傳，組織全校學生進行“防溺水安全知識”測試，測試結束后，隨機抽取50名學生的成績，整理如下：a．成績的頻數(shù)分布表：成績x/分50≤x＜6060≤x＜7070≤x＜8080≤x＜9090≤x＜100頻數(shù)3416720組中值5565758595b．成績在80≤x＜90這一組的是（單位：分）：84，86，87，87，87，89，89．根據(jù)以上信息回答下列問題：（1）求在這次測試中的平均成績；（2）如果本校1000名學生同時參加本次測試，請估計成績不低于80分的人數(shù)；（3）甲在這次測試中的成績是88分，結合上面的數(shù)據(jù)信息，他認為自己的成績應該屬于中等偏上水平，你認為他的判斷是否正確？請說明理由．解題技巧提煉平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)它們從不同的角度反映數(shù)據(jù)的集中趨勢，在實際應用中，需要分析具體問題的情況，選擇適當?shù)奶卣鲾?shù)來描述數(shù)據(jù).【變式10-1】（2023?閻良區(qū)一模）2022年3月25日，教育部印發(fā)《義務教育課程方案和課程標準（2022年版）》，優(yōu)化了課程設置，將勞動從綜合實踐活動課程中獨立出來．某校為了解該校學生一周的課外勞動情況，隨機抽取部分學生調查了他們一周的課外勞動時間，將數(shù)據(jù)進行整理并制成如下統(tǒng)計圖．請根據(jù)圖中提供的信息，解答下面的問題：（1）求圖1中的m＝，本次調查數(shù)據(jù)的中位數(shù)是h，本次調查數(shù)據(jù)的眾數(shù)是h；（2）該校此次抽查的這些學生一周平均的課外勞動時間是多少？（3）若該校共有2000名學生，請根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)，估計該校學生一周的課外勞動時間不小于3h的人數(shù)．【變式10-2】（2023?南岸區(qū)校級開學）為了加快推進農村電子商務發(fā)展，積極助力脫貧攻堅工作，A，B兩村的村民把特產“小土豆”在某電商平臺進行銷售（每箱小土豆規(guī)格一致），該電商平臺從A，B兩村各抽取15戶進行了抽樣調查，并對每戶每月銷售的土豆箱數(shù)（用x表示）進行了數(shù)據(jù)整理、描述和分析，下面給出了部分信息：A村賣出的土豆箱數(shù)為40≤x＜50的數(shù)據(jù)有：40，49，42，42，43B村賣出的土豆箱數(shù)為40≤x＜50的數(shù)據(jù)有：40，43，48，46土豆箱數(shù)＜3030≤x＜4040≤x＜5050≤x＜60≥60A村03552B村1a45b平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如表所示村名平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)A村48.8m59B村48.84656根據(jù)以上信息，回答下列問題：（1）表中a＝；b＝；m＝；（2）你認為A，B兩村中哪個村的小土豆賣得更好？請選擇一個方面說明理由；（3）在該電商平臺進行銷售的A，B兩村村民各有225戶，若該電商平臺把每月的小土豆銷售量x在45＜x＜60范圍內的村民列為重點培養(yǎng)對象，估計兩村共有多少戶村民會被列為重點培養(yǎng)對象？【變式10-3】（2022秋?遵義期末）遵義市某中學德育處利用班會課對全校學生進行了一次安全知識測試活動，現(xiàn)從八、九兩個年級各隨機抽取10名學生的測試成績（得分用x表示），現(xiàn)將20名學生的成績分為四組（A：60≤x＜70，B：70≤x＜80，C：80≤x＜90，D：90≤x≤100）進行整理，部分信息如下：九年級的測試成績：76，100，87，100，92，94，91，100，94，86．八年級的測試成績在C組中的數(shù)據(jù)為：83，84，86，88．年級平均數(shù)中位數(shù)最高分眾數(shù)八年級83a9876九年級b93100c根據(jù)以上信息，解答下列問題：．（1）a＝，b＝，c＝；（2）若該中學八年級與九年級共有1400名學生，請估計此次測試成績達到90分及以上的學生有多少人？（3）通過以上數(shù)據(jù)分析，你認為八、九年級中哪個年級學生對安全知識掌握得更好？請寫出一條理由．【變式10-4】（2023春?敘州區(qū)期末）為落實“五育并舉”，某市教體局開展全面了解學生體質健康工作，從某校八年級學生中隨機抽取20%的學生進行體質監(jiān)測．《中學生體質健康標準》規(guī)定學生體質健康等級標準：90分及以上為優(yōu)秀；80分～89分為良好；60分～79分為及格；60分以下為不及格，并將統(tǒng)計結果制成如表：等級頻數(shù)頻率不及格30.06及格140.28良好a0.34優(yōu)秀16b請根據(jù)圖表中的信息解答下列問題：（1）填空：a＝，b＝；（2）求參加本次測試學生的平均成績；（3）請估計該校八年級學生體質未達到“良好”及以上等級的學生人數(shù)．題型十一題型十一方差的計算【例題11】一組數(shù)據(jù)為：31，30，35，29，30，則這組數(shù)據(jù)的方差是（）A．22 B．18 C．3.6 D．4.4解題技巧提煉用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的結果表示一組數(shù)據(jù)偏離平均值的情況，這個結果叫方差，通常用s2來表示，計算公式是：s2=1n[（x1-x）2+（x2-x）2+…+（xn【變式11-1】（2023?天寧區(qū)校級模擬）一組數(shù)據(jù)5、2、7、2、4，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)與方差分別是（）A．4、3.4 B．4、3.6 C．7、3.4 D．7、3.6【變式11-2】若一組數(shù)據(jù)2，3，4，5，x的方差與另一組數(shù)據(jù)25，26，27，28，29的方差相等，則x的值為（）A．1 B．6 C．1或6 D．5或6【變式11-3】（2023?淮南一模）如圖，在“經典誦讀”比賽活動中，某校10名學生參賽成績如圖所示，對于這10名學生的參賽成績，下列說法錯誤的是（）A．眾數(shù)是90分 B．方差是10 C．平均數(shù)是91分 D．中位數(shù)是90分【變式11-4】（2023?定遠縣二模）若樣本x1，x2，x3，…xn的平均數(shù)為18，方差為2，則對于樣本x1+3，x2+3，x3+3，…xn+3，下列結論正確的是（）A．平均數(shù)為21，方差為2 B．平均數(shù)為21，方差為4 C．平均數(shù)為18，方差為2 D．平均數(shù)為18，方差為4【變式11-5】如果一組數(shù)據(jù)a1，a2，……，an的方差是2，那么一組新數(shù)據(jù)2a1+1，2a2+1，……，2an+1的方差是（）A．3 B．8 C．2 D．4題型十二題型十二利用平均數(shù)、方差作決策【例題12】（2023?衢州二模）甲、乙、丙、丁四人各進行了10次射擊測試，他們的平均成績相同．方差分別是S甲2＝0.6，S乙2＝1.1，S丙2＝1.2，S丁2＝0.9．則射擊成績最穩(wěn)定的是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁解題技巧提煉在生活中運用方差判斷數(shù)據(jù)穩(wěn)定性的依據(jù)：方差刻畫數(shù)據(jù)的波動程度，方差越大，數(shù)據(jù)的波動越大，越不穩(wěn)定；方差越小，數(shù)據(jù)的波動程度越小，越穩(wěn)定，比較方差的大小即可.【變式12-1】（2022春?大連期末）為從甲乙兩名射擊運動員中選出一人參加競標賽，特統(tǒng)計了他們最近10次射擊訓練的成績，其中，他們射擊的平均成績?yōu)?.9環(huán)，方差分別是S甲2＝0.8，S乙2＝13，從穩(wěn)定性的角度看的成績更穩(wěn)定（填“甲”或“乙”）【變式12-2】某學校要從甲乙兩名射擊運動員中挑選一人參加全市比賽，在選拔賽中，每人進行了5次射擊，甲的成績（環(huán)）為：9.7，10，9.6，9.8，9.9乙的成績的平均數(shù)為9.8，方差為0.032（1）甲的射擊成績的平均數(shù)和方差分別是多少？（2）據(jù)估計，如果成績的平均數(shù)達到9.8環(huán)就可能奪得金牌，為了奪得金牌，應選誰參加比賽？【變式12-3】甲、乙兩人加工同一種直徑為100mm的零件，現(xiàn)從它們加工好的零件中隨機各抽取6個，量得它們的直徑如下（單位：mm）甲：98，102，100，100，101，99乙：100，103，101，97，100，99（1）分別求出上述兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差；（2）結合（1）中的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，請你評價兩人的加工質量．【變式12-4】某學校為選拔數(shù)學能力突出的學生參加中學生數(shù)學競賽，組織了多次測試，其中甲乙兩位同學成績較為優(yōu)秀，他們在六次賽前測試中的成績（單位：分）如表所示甲807590648895乙848088767985如果根據(jù)這六次成績選拔其中一人參加比賽，請你根據(jù)數(shù)據(jù)的波動大小，認為選派哪一位同學參賽比較合適？為什么？【變式12-5】為了從甲乙兩人中選拔一人參加初中物理實驗操作能力競賽，每個月對他們的實驗水平進行一次測試，如圖繪出了兩個人賽前5次測驗成績（每次測驗成績都是5的倍數(shù)）（1）分別求出甲、乙兩名學生5次測驗成績的平均數(shù)與方差；（2）如果你是他們的輔導老師，應該被哪位學生參加這次競賽，請結合圖形簡要說明理由．題型十三題型十三用樣本方差估計總體方差【例題13】市農科所為了考察甲、乙兩種水稻秧苗的長勢，從中分別抽取了10株水稻，測得它們的株高如下（單位：cm）甲：9，14，12，16，13，16，10，10，15，15；乙：11，11，15，16，13，10，12，15，13，14．試計算這兩個樣本的平均數(shù)、方差，并估計哪種水稻秧苗的長勢比較整齊．解題技巧提煉可以利用樣本的平均數(shù)估計總體的平均數(shù)，也可以用樣本的方差來估計總體的方差.【變式13-1】為考察甲、乙兩種農作物的長勢，研究人員分別抽取了6株苗，測得它們的高度（單位：cm）如下：甲：98，102，100，100，101，99；乙：100，103，101，97，100，99．（1）你認為哪種農作物長得高一些？說明理由；（2）你認為哪種農作物長得更整齊一些？說明理由．【變式13-2】（2023?天寧區(qū)校級模擬）2023年2月，C市從甲、乙兩校各抽取10名學生參加全市數(shù)學素養(yǎng)水平監(jiān)測．樣本學生數(shù)學測試成績（滿分100分）如表：樣本學生成績平均數(shù)方差中位數(shù)眾數(shù)甲校5066666678808182839474.6141.04a66乙校6465697476767681828374.640.8476b（1）表中a＝；b＝；（2）請結合平均數(shù)、方差、中位數(shù)、眾數(shù)這幾個統(tǒng)計量，評判甲、乙兩校樣本學生的數(shù)學測試成績；（3）若甲、乙兩校學生都超過2000人，按照C市的抽樣方法，用樣本學生數(shù)據(jù)估計甲、乙兩?？傮w數(shù)學素養(yǎng)水平可行嗎？為什么？【變式13-3】（2022秋?惠山區(qū)期末）為助力新冠肺炎疫情后經濟的復蘇，天天快餐公司積極投入到復工復產中．現(xiàn)有A、B兩家農副產品加工廠到該公司推銷雞腿，兩家雞腿的價格相同，品質相近．該公司決定通過檢查質量來確定選購哪家的雞腿．檢查人員從兩家分別抽取100個雞腿，然后再從中隨機各抽取10個，記錄它們的質量（單位：克）如表：A：74，75，75，75，73，77，78，72，76，75；B：78，74，78，73，74，75，74，74，75，75．（1）整理數(shù)據(jù)，得到如下表：平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差A7575752.8B75ab?其中：a＝，b＝；（2）估計B加工廠這100個雞腿中，質量為75克的雞腿有多少個？（3）根據(jù)雞腿質量的穩(wěn)定性，該快餐公司應選購哪家加工廠的雞腿？題型十四題型十四數(shù)據(jù)分析的綜合應用【例題14】（2023秋?沙坪壩區(qū)校級月考）每年的4月15日是我國全民國家安全教育日．某校組織了“國家安全法”知識問答活動，問答活動共10道題．現(xiàn)從該校七、八年級中各隨機抽取10名學生的答題正確數(shù)（道）進行整理、描述和分析如下：七年級：1，2，3，5，5，5，7，7，9，10．八年級的10名學生答題正確數(shù)在“5～6道”中的數(shù)據(jù)是：5，6，6，6．七、八年級抽取學生答題正確數(shù)統(tǒng)計表班級平均數(shù)