第十三章 軸對稱驗收卷-簡單數(shù)學(xué)之2021-2022學(xué)年八年級上冊考點專訓(xùn)（解析版）（人教版）

第十三章軸對稱驗收卷一、選擇題（本大題共14個小題，每題2分，共28分，在每個小題的四個選項中只有一項是符合題目要求的）1．下列防疫標(biāo)志中，是軸對稱圖形的是（）A． B． C．D．【答案】D【分析】如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸，據(jù)此判斷即可．【詳解】解：A．不是軸對稱圖形，故本選項不合題意；B．不是軸對稱圖形，故本選項不合題意；C．不是軸對稱圖形，故本選項不合題意；D．是軸對稱圖形，故本選項符合題意；故選：D．【點睛】本題主要考查了軸對稱圖形，熟記定義是解答本題的關(guān)鍵．2．如圖所示，是將長方形紙片沿折疊得到的，圖中（包括實線、虛線在內(nèi)）共有全等三角形（）對A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】從最簡單的開始找，因為圖形對折，所以首先△CDB≌△C′DB，由于四邊形是長方形所以，△ABD≌△CDB．進(jìn)而可得另有2對，分別為：△ABE≌△C′DE，△ABD≌△C′DB，如此答案可得．【詳解】解：∵△BDC′是將長方形紙片ABCD沿BD折疊得到的，∴C′D=CD，BC′=BC，∵BD=BD，∴△CDB≌△C′DB（SSS），同理可證明：△ABE≌△C′DE，△ABD≌△C′DB，△ABD≌△CDB三對全等．所以，共有4對全等三角形．故選：C．【點睛】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角．做題時要由易到難，循序漸進(jìn)．3．如圖，已知鈍角，依下列步驟尺規(guī)作圖，并保留了作圖痕跡．步驟1：以為圓心，長為半徑畫?、伲徊襟E2：以為圓心，長為半徑畫?、?，交?、儆邳c；步驟3：連接，交的延長線于點．則下列說法不正確的是（）A．是中邊上的高B．C．平分D．作圖依據(jù)是：①兩點確定一條直線；②到線段兩端點距離相等的點在線段的垂直平分線上【答案】C【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的判定解決問題即可．【詳解】解：如圖，連接，，由作圖步驟可知，，，由①兩點確定一條直線，②到線段兩端點距離相等的點在線段的垂直平分線上，可知為的垂直平分線，即，，故選C．【點睛】本題考查作圖－基本作圖，線段的垂直平分線的判定等知識，解題的關(guān)鍵是判定圖示所做為垂直平分線．4．如圖，中，，平分，以下結(jié)論：①線段是線段的垂直平分線②是等腰三角形；③；④為的中點．其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】根據(jù)已知條件證明出△ADB≌△ADC，由全等得到AB=AC，BD=CD，最后得出結(jié)論．【詳解】解：∵，平分，∴∠ADB=∠ADC=90°，∠BAD=∠CAD，在△ADB和△ADC中，，∴△ADB≌△ADC（ASA）∴AB=AC，BD=CD，∵，為的中點，∴線段是線段的垂直平分線，∴①②③④說法正確，故選：D．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的判定與線段垂直平分線的定義，證明出三角形全等是解本題的關(guān)鍵．5．如圖，點是內(nèi)的一點，于點，于點，連接，．若，則下列結(jié)論不一定成立的是（）A． B． C．垂直平分 D．【答案】D【分析】根據(jù)角平線的判定定理可判斷A，證明，可判斷B，根據(jù)，可得OC=OD，進(jìn)而可判斷C，根據(jù)等邊三角形的定義，可判斷D．【詳解】解：∵點是內(nèi)的一點，于點，于點，，∴OP是∠AOB的平分線，即，故A成立，不符合題意；∵OP=OP，，∴（HL），∴，故B成立，不符合題意；∵，∴OC=OD，又∵，∴垂直平分，故C成立，不符合題意；∵不一定是等邊三角形，∴不一定成立，故D符合題意．故選D．【點睛】本題主要考查角平分線的判定，垂直平分線的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)以及等邊三角形的定義，掌握上述定理和定義是解題的關(guān)鍵．6．如圖，在△ABC中，∠C＝60°，AD是BC邊上的高，點E為AD的中點，連接BE并延長交AC于點F．若∠AFB＝90°，EF＝2，則BF長為（）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】D【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠DAC＝30°和∠EBD＝30°，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)得出AE＝2EF，BE＝2DE，代入求出即可．【詳解】∵在△ABC中，∠C＝60°，AD是BC邊上的高，∴∠DAC＝180°﹣∠C﹣∠ADC＝180°﹣60°﹣90°＝30°，∵∠AFB＝90°，EF＝2，∴AE＝2EF＝4，∵點E為AD的中點，∴DE＝AE＝4，∵∠C＝60°，∠BFC＝180°﹣90°＝90°，∴∠EBD＝30°，∴BE＝2DE＝8，∴BF＝BE＋EF＝8＋2＝10，故選：D．【點睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理、含30?角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．7．如圖，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分線交AB于E，垂足為D．若ED=2，則CE的長為（）A． B．4 C． D．2【答案】B【分析】先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出BE=CE，故可得出∠B=∠DCE，再由直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分線交AB于E，ED=2，∴BE=CE，∴∠B=∠DCE=30°，在Rt△CDE中，∵∠DCE=30°，ED=2，∴CE=2DE=4．故選：B．【點睛】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)，熟知線段垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等是解答此題的關(guān)鍵．8．如圖，在中，，、、分別是各邊延長線的點，，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義求出，根據(jù)等邊對等角得到，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴，故選：C．【點睛】本題考查鄰補(bǔ)角的定義、等邊對等角、三角形外角的性質(zhì)等內(nèi)容，掌握上述性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．9．如圖，在中，，，，則的度數(shù)為（）A．12° B．13° C．14° D．15°【答案】D【分析】可過C作CE⊥AD于E，過D作DE⊥BC于F，依據(jù)題意可得∠FCD=∠ECD，進(jìn)而得到△CED≌△CFD，得到CF=BF，再利用等腰三角形的判定可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖，過C作CE⊥AD于E，過D作DF⊥BC于F．∵∠CAD=30°，∴∠ACE=60°，且CE=AC，∵AC=AD，∠CAD=30°，∴∠ACD=75°，∴∠FCD=90°-∠ACD=15°，∠ECD=∠ACD-∠ACE=15°，在△CED和△CFD中，，∴△CED≌△CFD（AAS），∴CF=CE=AC=BC，∴CF=BF，∵DF⊥BC，∴BD=CD，∴∠DCB=∠CBD=15°，故選：D．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，能夠熟練運(yùn)用其性質(zhì)進(jìn)行解題是關(guān)鍵．10．如圖，在銳角三角形中，，按以下步驟作圖：①以點為圓心，長為半徑作圓弧，交于點；②分別以點A、為圓心，大于長為半徑作圓弧，計兩弧交于點；③作射線，交于點，若，則的大小為（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)作圖步驟可知BP⊥AC，根據(jù)直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)即可得答案．【詳解】由作圖步驟可知：BP⊥AC，∴∠BPA=90°，∵，∴=90°-∠A=30°，故選：C．【點睛】本題考查尺規(guī)作圖——作垂線，熟練掌握各基本作圖的步驟是解題關(guān)鍵．11．如圖，，，三點在同一直線上，，都是等邊三角形，連接，，：下列結(jié)論中正確的是（）①△ACD≌△BCE；②△CPQ是等邊三角形；③平分；④△BPO≌△EDO．A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④【答案】B【分析】利用等邊三角形的性質(zhì)，三角形的全等，逐一判斷即可．【詳解】∵△ABC，△CDE都是等邊三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，∴∠ACB+∠PCQ=∠ECD+∠PCQ，∠PCD=60°，∴∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌△BCE，∴①的說法是正確的；∵△ACD≌△BCE，∴∠PDC=∠QEC，∵∠PCD=∠QCE=60°，CD=CE，∴△PCD≌△QCE，∴PC=QC，∴△CPQ是等邊三角形；∴②的說法是正確的；∵△PCD≌△QCE，∴PD=QE，，過點C作CG⊥PD，垂足為G，CH⊥QE，垂足為H，∴，∴CG=CH，∴平分，∴③的說法是正確的；無法證明△BPO≌△EDO．∴④的說法是錯誤的；故答案為①②③，故選B．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，三角形的全等與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，靈活進(jìn)行三角形全等的判定，活用角的平分線性質(zhì)定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．12．如圖，等腰的底邊BC長為4cm，面積為，腰AC的垂直平分線EF交AC于點E，交AB于點F，D為BC的中點，M為直線EF上的動點．則周長的最小值為（）A．6cm B．8cm C．9cm D．10cm【答案】D【分析】連接AD，AM，由于△ABC是等腰三角形，點D是BC邊的中點，故AD⊥BC，再根據(jù)三角形的面積公式求出AD的長，再根據(jù)EF是線段AC的垂直平分線可知，點A關(guān)于直線EF的對稱點為點C，MA＝MC，推出MC+DM＝MA+DM≥AD，故AD的長為BM+MD的最小值，由此即可得出結(jié)論．【詳解】解：連接AD，MA．∵△ABC是等腰三角形，點D是BC邊的中點，∴AD⊥BC，∴S△ABC＝BC?AD＝×4×AD＝16，解得AD＝8cm，∵EF是線段AC的垂直平分線，∴MA＝MC，∴MC+DM＝MA+DM≥AD，∴AD的長為CM+MD的最小值，∴△CDM的周長最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝8+×4＝10（cm）．故選：D．【點睛】本題考查的是軸對稱﹣最短路線問題，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．13．等邊三角形所在平面內(nèi)有一點，且點不與點，，重合，使得，，都是等腰三角形，這樣的點共有（）A．1個 B．4個 C．7個 D．10個【答案】D【分析】當(dāng)點P在三角形的內(nèi)部時，點P到△ABC的三個頂點的距離相等，則點P是三角形的外心，當(dāng)點P在三角形的外部時，只要每條邊的垂直平分線上的點到三角形的各個頂點連接而成的三角形是等腰三角形即可．【詳解】如圖所示：當(dāng)點P在三角形的內(nèi)部時，點P到△ABC的三個頂點的距離相等，則點P是三角形的外心，分別以三角形各頂點為圓心，邊長為半徑，與各邊的垂直平分線的交點就是滿足要求的點，每條垂直平分線上有3個交點，再加上三角形的外心，一共有10個點．故選D．【點睛】本題主要考查等腰三角形的定義，掌握中垂線的性質(zhì)與等邊三角形的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．14．如圖，過邊長為3的等邊的邊上一點，作于，為延長線上一點，當(dāng)時，連接交邊于點，則的長為（）A． B． C． D．2【答案】C【分析】過作交于，得出等邊三角形，推出，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出，證，推出，推出即可．【詳解】解：過作交于，，是等邊三角形，，，，，是等邊三角形，，，，，，，在和中，，，，，，，，故選：C．【點睛】本題綜合考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識點的應(yīng)用，能綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，通過做此題培養(yǎng)了學(xué)生分析問題和解決問題的能力，題型較好，難度適中．二、填空題（本題共4個小題；每個小題3分，共12分，把正確答案填在橫線上）15．若點A（a，4）和點B（－1，b＋5）關(guān)于y軸對稱，則點a－b＝_______________【答案】2【分析】根據(jù)關(guān)于對稱，則橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變，從而確定對稱點的坐標(biāo)，從而求得的值，再代入代數(shù)式求解即可【詳解】點A（a，4）和點B（－1，b＋5）關(guān)于y軸對稱解得：

故答案為：2【點睛】本題考查了平面直角坐標(biāo)系的定義，關(guān)于坐標(biāo)對稱，代數(shù)式求值，理解關(guān)于軸對稱的點的坐標(biāo)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．16．如圖，將四邊形紙片ABCD沿MN折疊，點A、D分別落在點A1、D1處．若∠1＋∠2＝130°，則∠B＋∠C＝___°．【答案】115【分析】先根據(jù)∠1+∠2=130°得出∠AMN+∠DNM的度數(shù)，再由四邊形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵∠1+∠2=130°，∴∠AMN+∠DNM==115°．∵∠A+∠D+（∠AMN+∠DNM）=360°，∠A+∠D+（∠B+∠C）=360°，∴∠B+∠C=∠AMN+∠DNM=115°．故答案為：115．【點睛】本題考查的是翻折變換，熟知圖形翻折不變性的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．17．如圖．在中，，．若，則______．【答案】54°【分析】首先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠A=∠AEF，再根據(jù)三角形的外角和定理得出∠A+∠AEF=∠CFE，求出∠A的度數(shù)，最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠B的度數(shù)即可．【詳解】∵AF=EF，∴∠A=∠AEF，∵∠A+∠AEF=∠CFE=72°，∴∠A=36°，∵∠C=90°，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠B=180°-∠A-∠C=54°．故答案為：54°．【點睛】本題考查了三角形的外角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，掌握相關(guān)定理和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．如圖，已知等邊△AOC的邊長為1，作OD⊥AC于點D，在x軸上取點C1，使CC1＝DC，以CC1為邊作等邊△A1CC1；作CD1⊥A1C1于點D1，在x軸上取點C2，使C1C2＝D1C1，以C1C2為邊作等邊△A2C1C2；作C1D2⊥A2C2于點D2，在x軸上取點C3，使C2C3＝D2C2，以C2C3為邊作等邊△A3C2C3；…，且點A，A1，A2，A3，…都在第一象限，如此下去，則等邊△A2021C2020C2021的邊A2021C2021中點D2021橫坐標(biāo)為_________．【答案】【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)分別求出C1C2，C2C3，C3C4，…，C2020C2021的邊長，即刻求出OC2021邊長，進(jìn)而求出點C2021、點A2021的橫坐標(biāo)，即可求出點D2021橫坐標(biāo)．即可解決問題．【詳解】解：∵等邊△AOC的邊長為1，作OD⊥AC于點D，∴OC＝1，C1C2＝CD＝OC＝∴OC，CC1，C1C2，C2C3，…，C2020C2021的長分別為OC2021＝OC+CC1+C1C2+C2C3，…+C2020C2021＝，∴點C2021的橫坐標(biāo)為，∴等邊△A2021C2020C2021頂點A2021的橫坐標(biāo)為，∴等邊△A2021C2020C2021的邊A2021C2021中點D2021橫坐標(biāo)為．故答案為：．【點睛】本題為坐標(biāo)規(guī)律題，考查了點的坐標(biāo)和等邊三角形的性質(zhì)，有理數(shù)的運(yùn)算等知識，綜合性強(qiáng)，難度大，熟知等邊三角形性質(zhì)，準(zhǔn)確找出An點的橫坐標(biāo)變化規(guī)律并熟練運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．三、解答題（本題共8道題，19-21每題6分，22-25每題8分，26題10分，滿分60分）19．已知：如圖，∠CAE是△ABC的外角，AD∥BC且∠1＝∠2，求證：AB＝AC．【答案】見解析【分析】先由平行線的性質(zhì)得∠1=∠B，∠2=∠C，再由角平分線定義得∠1=∠2，則∠B=∠C，然后由等角對等邊即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵AD∥BC，∴∠1=∠B，∠2=∠C，∵∠1=∠2，∴∠B=∠C，∴AB=AC．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定、平行線的性質(zhì)以及角平分線定義等知識；熟練掌握等腰三角形的判定和平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20．下列正方形網(wǎng)格圖中，部分方格涂上了陰影，請按照不同要求作圖．（1）如圖①，整個圖形是軸對稱圖形，畫出它的對稱軸；（2）如圖②，將某一個方格涂上陰影，使整個圖形有兩條對稱軸；（3）如圖③，將某一個方格涂上陰影，使整個圖形有四條對稱軸．

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析【分析】（1）直接利用軸對稱圖形的性質(zhì)得出答案；（2）直接利用軸對稱圖形的性質(zhì)得出答案；（3）直接利用軸對稱圖形的性質(zhì)得出答案．【詳解】解：（1）如圖①所示：（2）如圖②所示：（3）如圖③所示：

【點睛】此題主要考查了利用軸對稱設(shè)計圖案，解題的關(guān)鍵是：正確掌握軸對稱圖形的性質(zhì)．21．如圖，在中，．（1）請用尺規(guī)作圖：作的平分線，交于點；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）（2）若點恰好在線段的垂直平分線上，求的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）60°【分析】（1）以點A為圓心，以任意長為半徑畫弧交AC，AB于兩點，分別以這兩點為圓心，以大于這兩點距離的一半長為半徑畫弧，連結(jié)點A與這兩弧交點交BC于點D．（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得，結(jié)合角平分線的性質(zhì)可得，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可求出的度數(shù)．【詳解】解：（1）如答題20圖，即為所求．（2）∵點恰好在線段的垂直平分線上，∴；∴．∵，∴∴．【點睛】本題主要考查了基本作圖，角平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)．正確掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點坐標(biāo)分別是A（0，0），B（5，1），C（2，4）．（1）在平面直角坐標(biāo)系中描出點A，B，C，并作出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A1B1C1；（2）如果將△ABC向下平移3個單位長度，再向左平移4個單位長度，得到△A2B2C2，直接寫出，B2，C2的坐標(biāo)，（3）求△A2B2C2的面積；【答案】（1）見解析；（2）；（3）9【分析】（1）根據(jù)A、B、C三點坐標(biāo)描出各點即可；依據(jù)軸對稱的性質(zhì)，作出對稱點，順次連接各點即可得出△A1B1C1；（2）依據(jù)平移性質(zhì)，可得到△A2B2C2，進(jìn)而可得到，B2，C2的坐標(biāo)；（3）依據(jù)網(wǎng)格特點，利用割補(bǔ)法和三角形面積公式求解即可．【詳解】（1）如圖所示；（2）作出△A2B2C2，如圖所示，則；（3）由圖象可知，△A2B2C2的面積．【點睛】本題考查坐標(biāo)與圖形變換-軸對稱、坐標(biāo)與圖形變換-平移、三角形的面積公式，作圖時找到圖形的關(guān)鍵點是解答的關(guān)鍵．23．如圖1，三角形中，，，．點D是邊上的定點，點E在邊上運(yùn)動，沿折疊三角形，點C落在點G處．（1）如圖2，若，求的度數(shù)．（2）如圖3，若，求的度數(shù)．（3）當(dāng)三角形的三邊與三角形的三邊有一組邊平行時，直接寫出其他所有情況下的度數(shù)．【答案】（1）52°；（2）142°；（3）116°或26°或38°或64°【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)得到∠CDE=∠A=∠GDE=64°，即可求出∠ADG；（2）根據(jù)GE∥AB，得到∠BEG=90°，算出∠BFD，利用四邊形內(nèi)角和即可求出∠ADG；（3）找出其他所有情況，畫出圖形，利用平行線的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：（1）由折疊可知：∠C=∠DGE=26°，∠CDE=∠GDE，∵DE∥AB，AB⊥BC，∴DE⊥BC，則G在BC上，∴∠CDE=∠A=∠GDE=64°，∴∠ADG=180°-64°×2=52°；（2）由折疊可知：∠C=∠DGE=26°，∠CDE=∠GDE，∠DEC=∠DEG，∵GE∥AB，∴∠B=∠CEG=∠BEG=90°，∴∠EFG=90°-26°=64°，∵∠A=64°，∠B=90°，∴∠ADG=360°-64°-90°-64°=142°；（3）如圖，DG∥AB，則∠ADG=180°-∠A=116°；如圖，DG∥BC，∠ADG=∠C=26°；如圖，EG∥AC，∠ADG=∠G=∠C=26°；如圖，EG∥AB，∴∠A=∠CFE=64°，∠B=∠CEG=90°，由折疊可知：∠DEG=∠DEC=45°，∴∠CDE=180°-45°-26°=109°=∠EDG，∴∠EDF=180°-109°=71°，∴∠ADG=109°-71°=38°；如圖，DG∥AB，∴∠ADG=∠A=64°；綜上：其他所有情況下∠ADG的度數(shù)為116°或26°或38°或64°．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，折疊問題，解題的難點在于找出所有符合題意的情況，得到角的關(guān)系．24．（1）如圖1，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分線交于點O，過點O作EF∥BC分別交AB，AC于點E，F(xiàn)．直接寫出線段EF與BE，CF之間的數(shù)量關(guān)系：．（2）如圖2，若△ABC外角平分線BO和CO交于點O，過點O作OE∥BC分別交邊AB和AC的延長線于點E和F．線段EF與BE，CF之間的數(shù)量關(guān)系是否依然成立？若成立，請說明理由；若不成立，請寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系．（3）如圖3，若△ABC中∠ABC的平分線BO與三角形外角平分線CO交于點O，過O點作OE∥BC交AB于點E，交AC于點F．則EF與BE，CF之間的數(shù)量關(guān)系又如何？說明你的理由．【答案】（1）EF＝BE＋CF；（2）成立，理由見解析；（3）EF＝BE－CF，理由見解析【分析】（1）等腰三角形有△BEO和△CFO，根據(jù)角平分線性質(zhì)和平行線性質(zhì)推出∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，根據(jù)等角對等邊推出即可；根據(jù)BE=OE，CF=OF即可得出EF與BE、CF之間的關(guān)系；（2）根據(jù)角平分線性質(zhì)和平行線性質(zhì)和平行線的性質(zhì)即可推出；（3）等腰三角形有△BEO和△CFO，根據(jù)角平分線性質(zhì)和平行線性質(zhì)推出∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，根據(jù)等角對等邊推出即可；根據(jù)BE=OE，CF=OF即可得出EF與BE、CF之間的關(guān)系．【詳解】解：（1）EF＝BE＋CF；理由如下：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，

∴∠EBO=∠OBC，∠FCO=∠OCB，

∵EF∥BC，

∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，

∴∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，

∴BE=OE，CF=OF，

∴△BEO和△CFO是等腰三角形

即圖中等腰三角形有△BEO，△CFO；

EF與BE、CF之間的關(guān)系是EF=BE+CF，（2）結(jié)論依然成立．理由：∵BO平分∠CBE∴∠CBO＝∠EBO∵EF∥BC∴∠CBO＝∠EOB∴∠EBO＝∠EOB∴BE＝OE同理可證：CF＝OF∵EF＝OE＋OF∴EF＝BE＋CF（3）EF＝BE－CF理由如下：∵BO平分∠ABC∴∠ABO＝∠CBO∵EF∥BC∴∠EOB＝∠CBO∴∠ABO＝∠EOB∴BE＝OE同理可證：CF＝OF∵EF＝OE－OF∴EF＝BE－CF【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定等知識點，掌握三者的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵25．如圖，△ABC中，∠ABC＝60°，分別以AB，AC為邊向三角形外作等邊△ABD和等邊△ACE，解答下列各題，并要求標(biāo)注推導(dǎo)理由：（1）如圖1，求證：AD∥BC；（2）如圖2，連接CD、BE，求證：DC＝BE；（3）如圖3，若∠ACB=90°，連接DE，交AB于點F，求證：DF＝EF．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析【分析】（1）根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行證明即可；（2）由等邊三角形的性質(zhì)得∠DAB=∠EAC=60°,AD=AB，AE=AC，運(yùn)用SAS證明△ADC≌△ABE即可得到結(jié)論；（3）作DG//AE，證明得DG=AC，再根據(jù)AAS證明即可得到．【詳解】解：（1）證明：∵△ABD是等邊三角形（已知）∴∠ADB=∠ABD=60°(等邊三角形每個內(nèi)角都相等，都等于60°)∵∠ABC=60°(已知)∴∠ABD+∠ABC=120°∴∠ADB+∠DBC=180°∴AD//BC(同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行)（2）∵△ABD，△ACE是等邊三角形（已知）∴∠DAB=∠EAC=60°(等邊三角形每個內(nèi)角都相等，都等于60°)AD=AB，AC=AE（等邊三角形，三條邊相等）∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠CAB（等式的性質(zhì)）∴∠BAC=∠EAD∴△ADC≌△ABE(SAS)∴DC=BE（全等三角形對應(yīng)邊相等）（3）如圖，作DG//AE，交AB于點G，∵∠ABC=60°,∠ACB=90°（已知）∴∠BAC=30°(直角三角形兩銳角互余)∴∴∠DGA=∠FAE=90°(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)∴∠DGB=90°（補(bǔ)角的定義）在△DBG和△ABC中∴△DBG≌△ABC(AAS)∴DG=AC∵△AEC是等邊三角形（已知）∴AE=CE（等邊三角形的性質(zhì)）∴DG=AE（等量代換）∵∠DFG=∠EFA(對頂角相等)又∠DGF=∠EAF(已證)∴△DGF≌△EAF(AAS)∴DF＝EF(全等三角形對應(yīng)邊相等)．【點睛】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，以及等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形和全等三角形的性質(zhì)和判定是關(guān)鍵．26．如圖，在等邊△ABC中，點D，E分別是AC，AB上的動點，且AE＝CD，BD交CE于點P．（1）如圖1，求證：∠BPC＝120°；（2）點M是邊BC的中點，連接PA，PM，延長BP到點F，使PF＝PC，連接CF，①如圖2，若點A，P，M三點共線，則