專題27.5 相似三角形的應(yīng)用【九大題型】（舉一反三）（人教版）（原卷版）

專題27.5相似三角形的應(yīng)用【九大題型】【人教版】 TOC\o"1-3"\h\u【題型1杠桿問題】 1【題型2建筑物問題】 3【題型3樹高問題】 4【題型4河寬問題】 5【題型5影長問題】 6【題型6實(shí)驗(yàn)問題】 8【題型7九章算術(shù)】 10【題型8實(shí)際生活抽象出相似】 11【題型9三角形內(nèi)接矩形問題】 13【題型1杠桿問題】【例1】（2023·吉林白城·校聯(lián)考三模）如圖①是用杠桿撬石頭的示意圖，當(dāng)用力壓杠桿時(shí)，杠桿繞著支點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，另一端會(huì)向上翹起，石頭就被翹動(dòng)了．在圖②中，杠桿的D端被向上翹起的距離BD=9cm，動(dòng)力臂OA與阻力臂OB滿足OA=3OB（AB與CD相交于點(diǎn)O），要把這塊石頭翹起，至少要將杠桿的C點(diǎn)向下壓cm．

【變式1-1】（2023春·河南南陽·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖是用杠桿撬石頭的示意圖，點(diǎn)C是支點(diǎn)，當(dāng)用力壓杠桿的A端時(shí)，杠桿繞C點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，另一端B向上翹起，石頭就被撬動(dòng)．現(xiàn)有一塊石頭，要使其滾動(dòng)，杠桿的B端必須向上翹起5cm，已知AB:BC=10:1，要使這塊石頭滾動(dòng)，至少要將杠桿的A端向下壓cm【變式1-2】（2023春·安徽合肥·九年級(jí)合肥市第四十五中學(xué)校考期中）如圖，以點(diǎn)O為支點(diǎn)的杠桿，在A端用豎直向上的拉力將重為G的物體勻速拉起，當(dāng)杠桿OA水平時(shí)，拉力為F；當(dāng)杠桿被拉至OA1時(shí)，拉力為F1，過點(diǎn)B1作B1C⊥OA，過點(diǎn)A1作A1D⊥OA，垂足分別為點(diǎn)C、D．①△OB1C∽△OA1D；②OA?OC=OB?OD；③OC?G=OD?F1；④F=F1．其中正確的說法有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式1-3】（2023春·江蘇泰州·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖1，在△ABC中，G是BC的中點(diǎn)，E是AG的中點(diǎn)，CE的延長線交AB于D，求AD：BD（1）解：過G作GF∥AB，交CD于F．請(qǐng)繼續(xù)完成解答過程：（2）創(chuàng)新求解：利用“杠桿平衡原理”解答本題：（如圖2）設(shè)G點(diǎn)為杠桿BC的支點(diǎn)，B端所掛物體質(zhì)量為1kg；則C端所掛物體質(zhì)量為1kg，G點(diǎn)承受質(zhì)量為2kg；當(dāng)E點(diǎn)為杠桿AG的支點(diǎn)，則A端所掛物體質(zhì)量為2kg；再以D為杠桿AB的支點(diǎn)時(shí)，AD：BD=1kg：2kg=1：2應(yīng)用：如圖3，在△ABC中，G是BC上一點(diǎn)，E是AG上一點(diǎn)，CE的延長線交AB于D，且=，=2，求AD：BD解：設(shè)G點(diǎn)為杠桿BC的支點(diǎn)，B端所掛物體質(zhì)量為6kg，則C端所掛物體質(zhì)量為kg，G點(diǎn)承受質(zhì)量為kg；當(dāng)E點(diǎn)為杠桿AG的支點(diǎn)，則A端所掛物體質(zhì)量為kg；再以D為杠桿AB的支點(diǎn)時(shí)，AD：BD=．【題型2建筑物問題】【例2】（2023春·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，建筑物BC上有一個(gè)旗桿AB，小芳計(jì)劃用學(xué)過的知識(shí)測(cè)量該建筑物的高度，測(cè)量方法如下：在該建筑物底部所在的平地上有一棵小樹FD，小芳沿CD后退，發(fā)現(xiàn)地面上的點(diǎn)E、樹頂F、旗桿頂端A恰好在一條直線上，繼續(xù)后退，發(fā)現(xiàn)地面上的點(diǎn)G、樹頂F、建筑物頂端B恰好在一條直線上，已知旗桿AB=3米，F(xiàn)D=4米，DE=5米，EG=1.5米，點(diǎn)A、B、C在一條直線上，點(diǎn)C、D、E、G在一條直線上，AC、FD均垂直于CG，請(qǐng)你幫助小芳求出這座建筑物的高BC．【變式2-1】（2023春·山東濟(jì)南·九年級(jí)期末）小軍想出了一個(gè)測(cè)量建筑物高度的方法：在地面上點(diǎn)C處平放一面鏡子，并在鏡子上做一個(gè)標(biāo)記，然后向后退去，直至站在點(diǎn)D處恰好看到建筑物AB的頂端A在鏡子中的像與鏡子上的標(biāo)記重合（如圖）．設(shè)小軍的眼睛距地面1.65m，BC、CD的長分別為60m、3m，求這座建筑物的高度．【變式2-3】（2023春·四川達(dá)州·九年級(jí)?？计谀┤鐖D所示，AD、BC為兩路燈，身高相同的小明、小亮站在兩路燈桿之間，兩人相距6.5m，小明站在P處，小亮站在Q處，小明在路燈C下的影長為2m，已知小明身高1.8m，路燈BC高9m．小明在路燈BC下的影子頂部恰好位于路燈DA的正下方，小亮在路燈AD下的影子頂部恰好位于路燈BC的正下方．①計(jì)算小亮在路燈D下的影長；②計(jì)算建筑物AD的高．【題型3樹高問題】【例3】（2023春·陜西咸陽·九年級(jí)統(tǒng)考期中）小軍想用鏡子測(cè)量一棵古松樹的高度，但因樹旁有一條小河，不能測(cè)量鏡子與樹之間的距離，于是他利用鏡子進(jìn)行兩次測(cè)量，如圖，第一次他把鏡子放在點(diǎn)C處，他在點(diǎn)F處正好在鏡中看到樹尖A的像；第二次他把鏡子放在點(diǎn)C'處，他在點(diǎn)F'處正好在鏡中看到樹尖A的像．已知AB⊥BF'，EF⊥BF'，

【變式3-1】（2023春·江蘇鹽城·九年級(jí)校聯(lián)考期末）我國魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽編撰的最早一部測(cè)量數(shù)學(xué)著作《海島算經(jīng)》中有一題：今有望海島，立兩表齊高三丈，前后相去千步，令后表與前表參相直．從前表卻行一百二十三步，人目著地，取望島峰，與表末參合．從后表卻行一百二十七步，人目著地，取望島峰，亦與表末參合．問島高幾何？譯文：今要測(cè)量海島上一座山峰AH的高度，在B處和D處樹立標(biāo)桿BC和DE，標(biāo)桿的高都是3丈，B和D兩處相隔1000步（1丈=10尺，1步=6尺），并且AH，CB和DE在同一平面內(nèi)．從標(biāo)桿BC后退123步的F處可以看到頂峰A和標(biāo)桿頂端C在同一直線上；從標(biāo)桿ED后退127步的G處可以看到頂峰A和標(biāo)桿頂端E在同一直線上．則山峰AH的高度是．【變式3-2】（2023春·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖所示，在離某建筑物4m處有一棵樹，在某時(shí)刻，1.2m長的竹竿垂直地面，影長為2m，此時(shí)，樹的影子有一部分映在地面上，還有一部分影子映在建筑物的墻上，墻上的影高為2m，則這棵樹高約有多少米(

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A．6.4米 B．5.4米 C．4.4米 D．3.4米【題型4河寬問題】【例4】（2023春·安徽安慶·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖所示，一條河流的兩岸互相平行，沿南岸有一排大樹，每隔4米一棵，沿北岸有一排電線桿，每兩根電線桿之間的距離為80米，一同學(xué)站在距南岸9米的點(diǎn)P處，正好北岸相鄰的兩根電線桿被南岸的5棵樹遮擋住，那么這條河流的寬度是米．【變式4-1】（2023春·江蘇蘇州·九年級(jí)蘇州市振華中學(xué)校?？计谀┤鐖D，小斌想用學(xué)過的知識(shí)測(cè)算河的寬度EF．在河對(duì)岸有一棵高4米的樹GF，樹GF在河里的倒影為HF，GF=HF，小斌在岸邊調(diào)整自己的位置，當(dāng)恰好站在點(diǎn)B處時(shí)看到岸邊點(diǎn)C和倒影頂點(diǎn)H在一條直線上，點(diǎn)C到水面EF的距離CE=0.8米，AB=1.6米，BC=2.4米，AB⊥BC，CE⊥EF，F(xiàn)H⊥EF，GF⊥EF，BC∥EF，視線AH與水面EF的交點(diǎn)為D，請(qǐng)你根據(jù)以上測(cè)量方法及數(shù)據(jù)求河的寬度EF．【變式4-2】（2023春·河南南陽·九年級(jí)統(tǒng)考期中）學(xué)習(xí)相似三角形相關(guān)知識(shí)后，善于思考的小明和小穎兩位同學(xué)想通過所學(xué)計(jì)算橋AF的長．如圖，該橋兩側(cè)河岸平行，他們?cè)诤拥膶?duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)作為點(diǎn)A，再在河岸的這一邊選出點(diǎn)B和點(diǎn)C，分別在AB、AC的延長線上取點(diǎn)D、E，使得DE∥BC．經(jīng)測(cè)量，BC=120米，DE=200米，且點(diǎn)E到河岸BC的距離為60米．已知AF⊥BC于點(diǎn)F，請(qǐng)你根據(jù)提供的數(shù)據(jù)，幫助他們計(jì)算橋【變式4-3】（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，為了估算河面的寬度，即EP的長，在離河岸D點(diǎn)2米遠(yuǎn)的B點(diǎn)，立一根長為1米的標(biāo)桿AB，在河對(duì)岸的岸邊有一塊高為2.5米的安全警示牌MF，警示牌的頂端M在河里的倒影為點(diǎn)N，即PM=PN，兩岸均高出水平面1.25米，即DE=FP=1.25米，經(jīng)測(cè)量此時(shí)A、D、N三點(diǎn)在同一直線上，并且點(diǎn)M、F、P、N共線，點(diǎn)B、D、F共線，若AB、DE、MF均垂直于河面EP，求河寬EP是多少米？【題型5影長問題】【例5】（2023春·安徽蚌埠·九年級(jí)統(tǒng)考期中）在陽光下，一名同學(xué)測(cè)得一根長為1米的垂直地面的竹竿的影長為0.6米，同時(shí)另一名同學(xué)測(cè)量樹的高度時(shí)，發(fā)現(xiàn)樹的影子不全落在地面上，有一部分落在教學(xué)樓的第一級(jí)臺(tái)階上，測(cè)得此影子長為0.2米，一級(jí)臺(tái)階高為0.3米，如圖所示，若此時(shí)落在地面上的影長為4.42米，則樹高為（）A．6.93米 B．8米 C．11.8米 D．12米【變式5-1】（2023春·安徽安慶·九年級(jí)安慶市第四中學(xué)校考期中）為了測(cè)量學(xué)校旗桿的高度AB，數(shù)學(xué)興趣小組帶著標(biāo)桿和皮尺來到操場(chǎng)進(jìn)行測(cè)量，測(cè)量方案如下：如圖，首先，小紅在C處放置一平面鏡，她從點(diǎn)C沿BC后退，當(dāng)退行1.8米到D處時(shí)，恰好在鏡子中看到旗桿頂點(diǎn)A的像，此時(shí)測(cè)得小紅眼睛到地面的距離ED為1.5米；然后，小明在F

處豎立了一根高1.6米的標(biāo)桿FG，發(fā)現(xiàn)地面上的點(diǎn)H、標(biāo)桿頂點(diǎn)G和旗桿頂點(diǎn)A在一條直線上，此時(shí)測(cè)得FH為2.4米，DF為3.3米，已知AB⊥BH，ED⊥BH，GF⊥BH，點(diǎn)B、C、D、F、H在一條直線上．（1）直接寫出ABBC=（2）請(qǐng)根據(jù)以上所測(cè)數(shù)據(jù)，計(jì)算學(xué)校旗桿AB的高度．【變式5-2】（2023春·安徽亳州·九年級(jí)蒙城縣第六中學(xué)階段練習(xí)）如圖所示，AD、BC為兩路燈，身高相同的小明、小亮站在兩路燈桿之間，兩人相距6.5m，小明站在P處，小亮站在Q處，小明在路燈C下的影長為2m，已知小明身高1.8m，路燈BC高9m．①計(jì)算小亮在路燈D下的影長；②計(jì)算建筑物AD的高．【變式5-3】（2023春·江蘇南通·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）閱讀以下文字并解答問題：在“測(cè)量物體的高度”活動(dòng)中，某數(shù)學(xué)興趣小組的3名同學(xué)選擇了測(cè)量學(xué)校里的三棵樹的高度，在同一時(shí)刻的陽光下，他們分別做了以下工作：小芳：測(cè)得一根長為1米的竹竿的影長為0.8米，甲樹的影長為4.08米（如1圖）．小華：發(fā)現(xiàn)乙樹的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教學(xué)樓的墻壁上（如2圖），墻壁上的影長為1.2米，落在地面上的影長為2.4米．小明：測(cè)得丙樹落在地面上的影長為2.4米，落在坡面上影長為3.2米（如3圖）．身高是1.6米的小明站在坡面上，影子也都落坡面上，小芳測(cè)得他的影長為2米．（1）在橫線上直接填寫甲樹的高度為______米，乙樹的高度為________米﹔（2）請(qǐng)求出丙樹的高度．【題型6實(shí)驗(yàn)問題】【例6】（2023春·江西景德鎮(zhèn)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）兩千多年前，我國學(xué)者墨子和他的學(xué)生做了小孔成像的實(shí)驗(yàn)．他們的做法是：在一間黑暗的屋子里，一面墻上開一個(gè)小孔，小孔對(duì)面的墻上就會(huì)出現(xiàn)外面景物的倒像．小宇在學(xué)習(xí)了小孔成像的原理后，利用如圖所示裝置來觀察小孔成像的現(xiàn)象．已知一根點(diǎn)燃的蠟燭距小孔（P）20cm，光屏在距小孔30cm處，小宇測(cè)得蠟燭的火焰高度為4cm

A．8cm B．6cm C．5cm【變式6-1】（2023春·陜西西安·九年級(jí)?？奸_學(xué)考試）如圖，嘉嘉同學(xué)正在使用手電筒進(jìn)行物理光學(xué)實(shí)驗(yàn)，地面上從左往右依次是墻、木板和平面鏡．手電筒的燈泡在點(diǎn)G處，手電筒的光從平面鏡上點(diǎn)B處反射后，恰好經(jīng)過木板的邊緣點(diǎn)F，落在墻上的點(diǎn)E處，點(diǎn)E到地面的高度DE=3.5m，點(diǎn)F到地面的高度CF=1.5m，燈泡到木板的水平距離AC=5.4m，墻到木板的水平距離為CD=4m．已知光在鏡面反射中的入射角等于反射角，圖中點(diǎn)A、B、C、

【變式6-2】（2023·陜西西安·?？家荒＃緦W(xué)科融合】如圖1，在反射現(xiàn)象中，反射光線、入射光線和法線都在同一個(gè)平面內(nèi)，反射光線和入射光線分別位于法線兩側(cè)：入射角i等于反射角r，這就是光的反射定律．【問題解決】如圖2，小紅同學(xué)正在使用手電筒進(jìn)行物理光學(xué)實(shí)驗(yàn)，地面上從左往右依次是墻，木板和平面鏡，手電筒的燈泡在點(diǎn)G處，手電筒的光從平面鏡上點(diǎn)B處反射后，恰好經(jīng)過木板的邊緣點(diǎn)F，落在墻上的點(diǎn)E處，點(diǎn)E到地面的高度DE=3.5m，點(diǎn)FE到地面的高度CF=1.5m，燈泡到木板的水平距離AC=5.4m，木板到墻的水平距離為CD=4m．圖中A，B，C，【變式6-3】（2023春·河北唐山·九年級(jí)?？计谀┠承＞拍昙?jí)一班的一節(jié)數(shù)學(xué)活動(dòng)課安排了測(cè)量操場(chǎng)上豎直的懸掛國旗的旗桿的高度．甲、乙、丙三個(gè)學(xué)習(xí)小組設(shè)計(jì)的測(cè)量方案如圖所示：甲組測(cè)得圖中BO=60米，OD=3.4米，CD=1.7米；乙組測(cè)得圖中，CD=1.5米，同一時(shí)刻影長FD=0.9米，EB=18米；丙組測(cè)得圖中，CD∥EF∥AB，l∥AD，AD=90米，EF=0.2米，人的臂長【題型7九章算術(shù)】【例7】（2023·河北·統(tǒng)考二模）《九章算術(shù)》的“勾股”章中有這樣一個(gè)問題：“今有邑方不知大小，各中開門．出北門二十步有木，出南門十四步，折而西行一千七百七十五步見木．問邑方幾何？”大意是：如圖，四邊形EFGH是一座正方形小城，北門A位于FG的中點(diǎn)，南門B位于EH的中點(diǎn)．從北門出去正北方向20步遠(yuǎn)的C處有一樹木，從南門出去向南行走14步，再向西行走1775步，恰好能看見C處的樹木，則正方形小城的邊長為（

）A．105步 B．200步 C．250步 D．305步【變式7-1】（2023春·福建泉州·九年級(jí)晉江市第一中學(xué)?？计谥校毒耪滤阈g(shù)》中記載了一種測(cè)量古井水面以上部分深度的方法．如圖所示，在井口A處立一根垂直于井口的木桿AB，從木桿的頂端B觀察井水水岸D，視線BD與井口的直徑AC交于點(diǎn)E，如果測(cè)得AB=1米，AC=1.6米，AE=0.4米，那么CD為（

）米．A．5 B．4 C．3 D．2【變式7-2】（2023春·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）《九章算術(shù)》中有這樣一道題：如圖，今有山AB位于樹的西面，山高AB為未知數(shù)，山與樹相距53里，樹高9丈5尺，人站在離樹3里的地方，觀察到樹梢C恰好與山峰A處在同一斜線上，人眼離地7尺，則山AB的高為（保留到整數(shù)，1丈=10尺）（

）A．162丈 B．163丈 C．164丈 D．165丈【變式7-3】（2023春·九年級(jí)單元測(cè)試）《九章算術(shù)》中記載了一種測(cè)距的方法．如圖，有座塔在河流北岸的點(diǎn)E處，一棵樹位于河流南岸的點(diǎn)A處，從點(diǎn)A處開始，在河流南岸立4根標(biāo)桿，以這4根標(biāo)桿為頂點(diǎn)，組成邊長為10米的正方形ABCD，且A，D，E三點(diǎn)在一條直線上，在標(biāo)桿B處觀察塔E，視線BE與邊DC相交于點(diǎn)F，如果測(cè)得FC=4米，那么塔與樹的距離AE為米．【題型8實(shí)際生活抽象出相似】【例8】（2023春·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）圖1是一種手機(jī)托架，使用該手機(jī)托架示意圖如圖3所示，底部放置手機(jī)處寬AB1.2厘米，托架斜面長BD6厘米，它有C到F共4個(gè)檔位調(diào)節(jié)角度，相鄰兩個(gè)檔位間的距離為0.8厘米，檔位C到B的距離為2.4厘米．將某型號(hào)手機(jī)置于托架上（圖2)，手機(jī)屏幕長AG是15厘米，O是支點(diǎn)且OBOE2.5厘米（支架的厚度忽略不計(jì)）．當(dāng)支架調(diào)到E檔時(shí)，點(diǎn)G離水平面的距離GH為cm．【變式8-1】（2023春·浙江溫州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）一種燕尾夾如圖1所示，圖2是在閉合狀態(tài)時(shí)的示意圖，圖3是在打開狀態(tài)時(shí)的示意圖（數(shù)據(jù)如圖，單位：mm），則從閉合到打開B，D之間的距離減少了（）A．25mm B．20mm C．15mm D．8mm【變式8-2】（2023春·浙江湖州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1是一個(gè)家用折疊梯子，使用時(shí)四個(gè)踏板都是平行于地面且全等的矩形，已知踏板寬BF=20cm，BC=CD=DE=EL=25cm，將踏板往上收起時(shí)（如圖2），點(diǎn)A與點(diǎn)F重合，此時(shí)，踏板可以看作與支架AL重合，將梯子垂直擺放時(shí)，點(diǎn)A離地面的高度AL為cm．圖3是圖1的簡略視圖，若點(diǎn)H恰好在點(diǎn)A的正下方，此時(shí)點(diǎn)A到地面LM的高度是【變式8-3】（2023·九年級(jí)單元測(cè)試）將一本高為17cm（即EF=17cm）的詞典放入高（AB）為16cm的收納盒中（如圖1）．恰好能蓋上盒蓋時(shí)，測(cè)得底部F離收納盒最左端B處8cm，若此時(shí)將詞典無滑動(dòng)向右倒，書角H的對(duì)應(yīng)點(diǎn)H'恰為CD（1）收納盒的長BC=；（2）現(xiàn)將若干本同樣的詞典放入此有蓋的收納盒中，如圖2放置，則最多有本書可與邊BC有公共點(diǎn)．【題型9三角形內(nèi)接矩形問題】【例9】（2023春·河南平頂山·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，EB為駕駛員的盲區(qū)，駕駛員的眼睛點(diǎn)P處與地面BE的距離為1.6米，車頭FACD近似看成一個(gè)矩形，且滿足3FD=2FA，若盲區(qū)EB的長度是6米，求車寬FA的長度．【變式9-1】（2023春·河北邯鄲·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖1，課本中有一道例題：有一塊三角形余料ABC，它的邊BC=120mm，高AD=80mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB，AC上