專訓(xùn)13.3.1.1 應(yīng)用等邊對(duì)等角的計(jì)算+證明-簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)之2021-2022學(xué)年八年級(jí)上冊(cè)考點(diǎn)專訓(xùn)（解析版）（人教版）

專訓(xùn)13.3.1.1應(yīng)用等邊對(duì)等角的計(jì)算+證明一、單選題1．如圖，中，，是邊的垂直平分線，分別交、于點(diǎn)、，連接，若恰好為的平分線，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)出∠B的度數(shù)，然后利用垂直平分線和角平分線的性質(zhì)表示出∠BAC和∠C的度數(shù)，利用三角形內(nèi)角和定理列出方程求解即可．【詳解】解：設(shè)∠B=x°，∵DE是邊AB的垂直平分線，∴DB=DA，∴∠DAB=∠B=x°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAC=2∠BAD=2x°，∵BA=BC，∴∠C=∠BAC=2x°，在△ABC中，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得：x+2x+2x=180，解得：x=36，∴∠B=36°，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及線段的垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是設(shè)出未知數(shù)并列出方程求解．2．如圖，在△ABE中，∠E＝25°，AE的垂直平分線MN交BE于點(diǎn)C，連接AC，若AB＝AC，那么∠BAE的度數(shù)是（）A．100° B．105° C．110° D．120°【答案】B【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到CA＝CE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠CAE＝∠E，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得到∠ACB＝2∠E，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：∵M(jìn)N是AE的垂直平分線，∴CA＝CE，∴∠CAE＝∠E=25°，∴∠ACB＝2∠E＝50°，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝2∠E＝50°，∴∠BAC=180°-50°-50°=80°，∴∠BAE=80°+25°=105°，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．3．如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分線，交AC于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E．已知∠BAC＝5∠BAE，則∠C的度數(shù)為（）A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】B【分析】設(shè)∠BAE＝x°，則∠BAC＝5x°，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出AE＝CE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠C＝∠EAC，求出∠C＝4x°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出∠C＋∠BAC＝90°，求出x即可．【詳解】解：設(shè)∠BAE＝x°，則∠BAC＝5x°，∵ED是AC的垂直平分線，∴AE＝CE，∴∠C＝∠EAC＝5x°?x°＝4x°，∵∠B＝90°，∴∠C＋∠BAC＝90°，∴4x＋5x＝90，解得：x＝10，即∠C＝40°，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，能根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)求出AE＝CE是解此題的關(guān)鍵．4．如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB，F(xiàn)為AB延長(zhǎng)線一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC上，且AE＝CF，∠CAE＝30°，則∠ACF的度數(shù)是（）A．75° B．60° C．55° D．45°【答案】B【分析】由“HL”可證Rt△ABE≌Rt△CBF，可得∠BAE=∠BCF=15°，即可求解．【詳解】解：∵在△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB，∴∠BAC=∠BCA=45°，∵∠CAE=30°，∴∠BAE=15°，在Rt△ABE和Rt△CBF中，，∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）∴∠BAE=∠BCF=15°，∴∠ACF=∠BCA+∠BCF=60°，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，證明Rt△ABE≌Rt△CBF是本題的關(guān)鍵．5．如圖，若，則下列結(jié)論中不一定成立的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)翻三角形全等的性質(zhì)一一判斷即可．【詳解】解：∵△ABC≌△ADE，∴AD=AB，AE=AC，BC=DE，∠ABC=∠ADE，∴∠BAD=∠CAE，∵AD=AB，∴∠ABD=∠ADB，∴∠BAD=180°-∠ABD-∠ADB，∴∠CDE=180°-∠ADB-ADE，∵∠ABD=∠ADE，∴∠BAD=∠CDE故B、C、D選項(xiàng)不符合題意，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考了三角形全等的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是三角形全等的性質(zhì)．6．如圖，△ABC中，邊AB，BC的垂直平分線相交于點(diǎn)P．以下結(jié)論：①PA＝PC；②∠BPC＝90°＋∠BAC；③∠ABP＋∠BCP＋∠CAP＝90°；④∠APC＝2∠ABC．一定正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到PA＝PB＝PC，根據(jù)線段垂直平分線的判定定理、等腰三角形的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可求解．【詳解】解：∵邊AB、BC的垂直平分線交于點(diǎn)P，∴PA＝PB，PB＝PC，∴PA＝PC，故①正確；∵PA＝PB，PA＝PC，∴∠PAB＝∠PBA，∠PAC＝∠PCA，∵∠BPC＝∠PAB+∠PBA+∠PAC+∠PCA，∴∠BPC＝2∠BAC，故②錯(cuò)誤；同理：∠APC＝2∠ABC，故④正確；∵PB＝PC，∴∠PCB＝∠PBC，∵∠BPC+∠PCB+∠PBC＝180°，∴2∠BAC+2∠PCB＝180°，∴∠ABP+∠BCP+∠CAP＝90°，故③正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)證明PA＝PB＝PC是解題關(guān)鍵．7．如圖，為的中線，將沿著翻折得到，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E，與相交于點(diǎn)F，連接，則下列結(jié)論一定正確的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)翻折的性質(zhì)進(jìn)行分析即可；【詳解】由翻折可知，，∵為的中線，∴D是BC的中點(diǎn)，∴，∴，∴，故一定正確的選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了翻折的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，準(zhǔn)確分析判斷是解題的關(guān)鍵．二、填空題8．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以點(diǎn)B為圓心、以BC的長(zhǎng)為半徑畫弧，交AB于點(diǎn)D，連接CD，則∠ADC的度數(shù)為________；【答案】109°【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角的關(guān)系求出∠B，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出∠BCD，最后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可求出∠ADC．【詳解】解：在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∠A=52°，∴∠B=90°-∠A=90°-52°=38°，∵BC=BD，∠BCD+∠BDC+∠B=180°，∴∠BCD=∠BDC=（180°-∠B）=（180°-38°）=71°，∴∠ADC=∠BCD+∠B=71°+38°=109°，故答案為：109°．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠BCD是解決問題的關(guān)鍵．9．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，BD為∠ABC的平分線，則∠ABD＝_______°．【答案】32.5【分析】由已知根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)易得兩底角的度數(shù)，結(jié)合角平分線的定義即可求解．【詳解】解：∵AB=AC，∠A=50°，∴∠ABC=∠C=65°，又BD為∠ABC的平分線，∴∠ABD=32.5°．故答案為：32.5．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的定義；正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．10．如圖，AD是∠BAC的平分線，EF垂直平分AD交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，若∠FAC＝65°，則∠B的度數(shù)為______．【答案】65°【分析】根據(jù)角平分線的定義得出∠CAD＝∠BAD，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出FA＝FD，推出∠FDA＝∠FAD，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得出∠FDA＝∠B+∠BAD，代入求出即可．【詳解】解：∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠BAD，設(shè)∠CAD＝∠BAD＝x°，∵EF垂直平分AD，∴FA＝FD，∴∠FDA＝∠FAD，∵∠FAC＝65°，∴∠FAD＝∠FAC+∠CAD＝65°+x°，∵∠FDA＝∠B+∠BAD＝∠B+x°，∴65°+x°＝∠B+x°，∴∠B＝65°，故答案為：65°．【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，能求出∠FDA＝∠FAD是解此題的關(guān)鍵．11．如圖，等腰中，，，邊的垂直平分線交于點(diǎn)，連接，則的度數(shù)是______．【答案】60°【分析】由于AB=AC，∠B=40°，根據(jù)等邊對(duì)等角可以得到∠C=40°，又AC邊的垂直平分線交BC于點(diǎn)E，根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到AE=CE，再根據(jù)等邊對(duì)等角得到∠C=40°=∠CAE，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和求出∠BAC即可求出∠BAE的度數(shù)．【詳解】解：∵AB=AC，∠B=40°，∴∠B=∠C=40°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=100°，又∵AC邊的垂直平分線交BC于點(diǎn)E，∴AE=CE，∴∠CAE=∠C=40°，∴∠BAE=∠BAE-∠CAE=60°．故答案為：60°【點(diǎn)睛】此題考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)；利用角的等量代換是正確解答本題的關(guān)鍵．12．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB邊的垂直平分線DE交BC于點(diǎn)E，垂足為D．若∠CAE=42°，則∠B的度數(shù)是_________．【答案】24°【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得出AE=BE，再利用直角三角形的性質(zhì)求解．【詳解】解：∵DE是線段AB的垂直平分線，∴AE=BE，∠ADE=90°，∴∠EAB=∠B．在Rt△ABC中，∵∠C=90°，∴∠CAE+∠EAB+∠B=90°．∵∠CAE=42°，∴2∠B=90°-42°=48°∴∠B=24°．故答案為：24°．【點(diǎn)睛】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線的定義和直角三角形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．13．如圖，是正五邊形的一條對(duì)角線，以為圓心，為半徑畫弧交于點(diǎn)，連接，則__________．【答案】72【分析】先根據(jù)正多邊形求得一個(gè)內(nèi)角，根據(jù)求得，由題意，即可求得【詳解】五邊形是正五邊形，，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形的性質(zhì)，正多邊形的內(nèi)角和，等腰三角形的性質(zhì)，熟練以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．14．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＜∠B，點(diǎn)D為AB邊上一點(diǎn)且不與A、B重合，將△ACD沿CD翻折得到△ECD，直線CE與直線AB相交于點(diǎn)F．若∠A＝40°，當(dāng)△DEF為等腰三角形時(shí)，∠ACD＝__________________．【答案】30°或15°或60°【分析】若△DEF為等腰三角形，分EF=DF，ED=EF，DE=EF三種情況，利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理分別求解．【詳解】解：由翻折的性質(zhì)可知∠E=∠A=α，∠CDE=∠ADC，如圖1，當(dāng)EF=DF時(shí)，則∠EDF=∠E=α，∵∠EDF=∠CDE-∠CDB，∠CDB=∠A+∠ACD，∴α=∠ADC-（∠A+∠ACD）=180°-2（∠A+∠ACD）=180°-2（α+∠ACD），∴∠ACD=90°-×40°=30°，∴當(dāng)∠ACD=30°時(shí)，△DEF為等腰三角形，當(dāng)ED=EF時(shí)，∠EDF=∠EFD==70°，∴2∠ADC=180°+∠EDF=250°，∴∠ADC=125°，∴∠ACD=180°-∠A-∠ADC=180°-∠A-125°=15°，∵∠DFE=∠A+∠ACF，∴∠DFE≠∠DEF，如圖2，當(dāng)DE=EF時(shí)，∠EDF=∠EFD=∠A=20°；∴∠ACF=180°-∠A-∠EFD=120°，∴∠ACD=∠ACF=60°；綜上：當(dāng)∠ACD=30°或15°或60°時(shí)，△DEF為等腰三角形，故答案為：30°或15°或60°．【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換、等腰三角形的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形外角的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理．15．如圖，在中，，，點(diǎn)D是邊AB上一點(diǎn)，點(diǎn)B關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，則的度數(shù)為________．【答案】【分析】如圖，連接，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)可得，，并由平行線的性質(zhì)可推出，最后由等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理即可求得結(jié)果．【詳解】解：如圖，連接∵點(diǎn)B關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)為，∴，．∵，∴．∴，．∵，∴．∵，∴．∴．∵．∴．∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱、等腰三角形及平行線的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握軸對(duì)稱、等腰三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．如圖，△ABC和△DEF是兩個(gè)等腰直角三角形，∠BAC＝∠DFE＝90°，AB＝AC，F(xiàn)D＝FE，△DEF的頂點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng)，在移動(dòng)過程中，線段DE與線段AB相交于點(diǎn)P，線段EF與線段CA相交于點(diǎn)Q，當(dāng)E為BC中點(diǎn)，連接AE、PQ，若AP＝3，AQ＝4，PQ＝5，則AC的長(zhǎng)＝________．【答案】12【分析】在CQ上截取CH，使得CH=AP，連接EH，證明△CHE≌△APE（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出HE=PE，∠CEH=∠AEP，證明△HEQ≌△PEQ（SAS），得出HQ=PQ，則可求出答案．【詳解】解：在CQ上截取CH，使得CH=AP，連接EH，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=∠C=∠EAP=45°，AB=AC，∵E是BC的中點(diǎn)，∴AE=CE，∵在△CHE與△APE中：，∴△CHE≌△APE（SAS），∴HE=PE，∠CEH=∠AEP，∴∠HEQ=∠AEC-∠CEH-∠AEQ=∠AEC-∠AEP-∠AEQ=∠AEC-∠PEF=90°-45°=45°，∴∠HEQ=∠PEQ=45°，∵在△HEQ與△PEQ中，，∴△HEQ≌△PEQ（SAS），∴HQ=PQ，∴AC=AQ+QH+CH=AQ+PQ+AP=4+5+3=12，故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三、解答題17．已知在等腰中，，，求的度數(shù)．【答案】【分析】根據(jù)等腰三角形兩底角相等可得，再根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°列方程即可得解．【詳解】解：∵（已知），∴（等邊對(duì)等角）.∵（已知），∴（等式性質(zhì)）.∵（三角形的內(nèi)角和等于180°），∴，∴，∴.【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，主要利用了等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)．18．如圖，在中，，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，，作，交邊于點(diǎn)．求證：．【答案】證明見解析【分析】通過等邊對(duì)等角、三角形外角的性質(zhì)可得，利用ASA得到≌，即可得證．【詳解】證明：∵，，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，在和中，，∴≌，∴．【點(diǎn)睛】本題考查等邊對(duì)等角、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)，掌握上述性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．19．已知：如圖，GB＝FC，AB=AC，D、E是BC上兩點(diǎn)，作GE⊥BC，F(xiàn)D⊥BC，求證：GE＝FD．【答案】見詳解【分析】由等邊對(duì)等角得到∠B＝∠C，由AAS證得△BEG≌△CDF得GE＝FD．【詳解】證明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．∵GE⊥BC，F(xiàn)D⊥BC，∴∠GEB＝∠FDC＝90°，又∵GB＝FC，∴△BEG≌△CDF（AAS），∴GE＝FD．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握AAS證三角形全等，是解題的關(guān)鍵．20．如圖，已知在等腰中，點(diǎn)D，點(diǎn)E和點(diǎn)F分別是，和邊上的點(diǎn)，且，，試說明．【答案】見解析．【分析】由等腰三角形的性質(zhì)可知，由三角形外角的性質(zhì)和等式的性質(zhì)可證，然后根據(jù)“ASA”證明即可．【詳解】解：∵（已知），∴（等邊對(duì)等角）．∵（三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和），（已知），∴（等量代換）．∵（已知），∴（等式性質(zhì)）．在與中，，∴（ASA），∴（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）．【點(diǎn)睛】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．21．如圖，中是鈍角，點(diǎn)在邊的垂直平分線上．

（1）如圖1，若點(diǎn)也在邊的垂直平分線上，且，求的度數(shù)：（2）如圖2，若點(diǎn)也在的外角平分線上，過點(diǎn)作于，試找出線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）；（2），見解析【分析】（1）先由垂直平分線的性質(zhì)得到PB=PC、PA=PC，于是可和∠BPD=∠CPD和∠APE=∠CPE，由四邊形內(nèi)角和是求出∠DPE的度數(shù)，再用∠BPA=2∠DPE即可求出的度數(shù)；（2）過點(diǎn)P作PFAC于F，連接PC，證明可得AH=AF，然后再證明，得到BH=CF，再變形可得到AB、AH、AC之間的數(shù)量關(guān)系．【詳解】證明：（1）如圖1，PD是BC的垂直平分線，PE是AC的垂直平分線，連接，∵點(diǎn)在邊的垂直平分線上，，PD⊥BC，BD=CD，，∠PDC=90°∵點(diǎn)在邊的垂直平分線上，，PE⊥AC，AE=CE，，∠PEC=90°∵，∴∠BPA=2∠DPC+2∠EPC=2∠DPE=2×70°=140°；（2）線段、、之間的數(shù)量關(guān)系是；理由如下：如圖2，過點(diǎn)作于F，連接，∵點(diǎn)在的平分線上，，，∴PH=PF，在Rt△PAH和Rt△PAF中，（HL），，∵點(diǎn)P在邊的垂直平分線PD上，，在Rt△PBH和Rt△PCF中，（HL），，，．【點(diǎn)睛】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、直角三角形全等的判定和性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．22．如圖1，點(diǎn)D在線段AB上，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，DE＝DA，DE∥AC．（1）求證：BC∥AE；（2）若D為AB中點(diǎn)，請(qǐng)用無刻度的直尺在圖2中作∠BAC的平分線AF．（保留畫圖痕跡，不寫畫法）【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）由DE∥AC可得∠CAB=∠ADE，又AB=AC，DE=DA，根據(jù)三角形內(nèi)角和公式可得∠ABC=∠DAE，從而證明BC∥AE；（2）延長(zhǎng)ED交BC于點(diǎn)F，則易得CF=AE=BF，則根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得AF平分∠BAC．【詳解】解：（1）證明：∵DE∥AC，∴∠CAB=∠ADE，又AB=AC，DE=DA，∴∠ABC=∠ACB=(180°?∠CAB)，同理可得：∠DAE=∠DEA=(180°?∠ADE)，∴∠ABC=∠DAE，∴BC∥AE．（2）如圖3所示，AF為所作．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-基本作圖，平行線的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是熟悉幾何圖形基本性質(zhì)．23．如圖，已知．（1）作的平分線，交邊于點(diǎn)D；作的垂直平分線，交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，連接；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）所作的圖中，連接．如果，猜想并說明與存在的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）見解析；（2），證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意在圖中作出角平分線和垂直平分線即可；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)和等邊對(duì)等角即可求證【詳解】（1）如圖：以點(diǎn)為圓心，任意長(zhǎng)度為半徑作弧，分別交于點(diǎn)，分別以為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)；以大于的長(zhǎng)為半徑，分別在兩側(cè)作弧交于點(diǎn)，則即為的垂直平分線，分別交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，連接（2）證明如下：平分為的垂直平分線【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖，角平分線的作圖，垂直平分線的作圖，角平分線的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，熟練掌握以上性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．24．如圖，在中，，，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)，重合），連接，作，交線段于點(diǎn)．（1）當(dāng)時(shí)，______，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，逐漸變______（填“大或“小”）．（2）當(dāng)?shù)扔诙嗌贂r(shí)，？請(qǐng)說明理由．【答案】（1），??；（2）當(dāng)時(shí)，．【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算，得到答案；（2）當(dāng)時(shí)，利用，，得到，根據(jù)，證明．【詳解】（1），，，由圖形可知，逐漸變小；故答案為：，??；（2）當(dāng)時(shí)，，理由：，，，，，在和中，，．【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．25．如圖，在中，，在邊上取一點(diǎn)D，使得，過B作的平行線，過D作的垂線與交于點(diǎn)E，連結(jié)．（1）求證：．（2）若，求的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）17°【分析】（1）由平行線的性質(zhì)得出∠BAC=∠EBD，可證明△ABC≌△BED（ASA）；（2）由（1）可知AB=BE，則∠EAB=∠AEB，求出∠EAB的度數(shù)，則可求出答案．【詳解】解：（1）證明：∵BE∥AC，∴∠BAC=∠EBD，∵DE⊥AB，∴∠EDB=90°，∴∠EDB=∠C，又∵BD=AC，∴△ABC≌△BED（ASA）．（2）∵△ABC≌△BED，∴AB=BE，∴∠EAB=∠AEB，∵∠BAC=34°，∴∠EBD=34°，∴∠EAB==73°，∴∠AED=90°-∠EAB=90°-73°=17°．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．26．如圖，已知在中，．（1）求證：．（2）求的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）70°【分析】（1）由條件可得出∠B=∠C，則結(jié)合已知可證明△BDE≌△CFD；（2）由（1）可知△BDE≌△CFD，則有∠BED=∠CDF，從而可求得∠BDE+∠CDF=110°，可求得∠EDF的度數(shù)．【詳解】解：（1）證明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△BDE和△CFD中，，∴△BDE≌△CFD（SAS）；（2）由（1）可知△BDE≌△CFD（SAS），∴∠BED=∠CDF，∴∠BDE+∠CDF=∠BDE+∠BED=180°-∠B=110°，∴∠EDF=180°-110°=70°．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定方法，掌握全等三角形的證明方法，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL是解題的關(guān)鍵．27．如圖1，以AB為腰向兩側(cè)分別作全等的等腰△ABC和△ABD，過頂角的頂點(diǎn)A作∠MAN，使∠MAN＝∠BAC＝α（0°＜α＜60°），將∠MAN的邊AM與AC疊合，繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，與射線CB、BD分別交于點(diǎn)E、F．設(shè)旋轉(zhuǎn)角度為β．（1）如圖1，當(dāng)0°＜β＜α?xí)r，說明線段BE＝DF的理由；（2）當(dāng)α＜β＜2α?xí)r，在圖2中畫出符合題意的圖形井寫出此時(shí)線段CE、FD與線段BD的數(shù)量關(guān)系是．（直接寫出答案）（3）聯(lián)結(jié)EF，在∠MAN繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)過程中（0°＜β＜2α），當(dāng)線段AD⊥EF時(shí)，用含α的代數(shù)式表示∠CEA＝（直接寫出答案）．【答案】（1）證明見解析，（2）CE﹣FD＝BD，（3）90°﹣α．【分析】（1）由“ASA”可證△AEB≌△AFD，可得BE＝DF；（2）根據(jù)題意即可作出圖形，由“ASA”可證△AEB≌△AFD，得BE＝DF，即可得結(jié)論；（3）由（2）可得AE＝AF，可得∠AFE＝∠AEF，由角的數(shù)量關(guān)系可求解．【詳解】解：（1）如圖1中，∵等腰△ABC和△ABD全等，∴AB＝AC＝AD，∠C＝∠ABC＝∠ABD＝∠D，∠BAC＝∠BAD，∵∠MAN＝∠BAC＝α，∴∠MAN＝∠BAD＝α，∴∠EAB＝∠FAD，在△AEB和△AFD中，，∴△AEB≌△AFD（ASA），∴BE＝DF．（2）畫圖如圖所示，線段CE、FD與線段BD的數(shù)量關(guān)系是CE﹣FD＝BD，理由如下：∵∠MAN＝∠BAD，∴∠DAF＝∠BAE，∵∠ABC＝∠ADB，∴∠ABE＝∠ADF，在△ABE和△ADF中，，∴△AEB≌△AFD（ASA），∴BE＝DF，∵BC＝BD，∴CE﹣FD＝CE﹣BE＝BC＝BD，故答案為：CE﹣FD＝BD；（3）如圖3中，設(shè)AE交BD于點(diǎn)O，連接EF．由（2）得，△ABE≌△ADF（ASA），∴AE＝AF，∴∠AFE＝∠AEF，∵∠BAD＝∠EAF，∠ABD＝∠ADB，∴∠ABD＝∠AFE，∵AD⊥EF，∴∠DAF+∠AFE＝90°，∵∠DAF＝∠BAE，∠ABD＝∠AFE，∴∠OAB+∠OBA＝90°，∴∠AOB＝∠AOF＝90°，∴∠AFD＝90°﹣∠EAF＝90°﹣α，∵∠CEA＝∠AFD，∴∠CEA＝90°﹣α，故答案為：90°﹣α．【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是證明△AEB≌△AFD．28．如圖，在中，，，，延長(zhǎng)交于點(diǎn)E．求證：（1）．（2）平分．（3）若，，，求線段的長(zhǎng)度．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）8【分析】（1）易證AD=BD，即可證明△ACD≌△BCD，即可解題；（2）由（1）結(jié)論和∠ACB=90°，可得∠ACD=∠BCD=45°，即可求得∠BDC=∠ADC=120°，可得∠CDE=60°，即可解題；（3）易證△CDE≌△MDE，可得CE=EM，∠DEM=∠AEC=75°，即可求得∠MEF=30°，即可求得MF=BF，即可解題．【詳解】解：（1）證明：∵AC=BC，∴∠CAB=∠CBA，∵∠CAD=∠CBD，∴∠DAB=∠DBA，∴AD=BD，在△ACD和△BCD中，，∴△ACD≌△BCD（SAS）；（2）∵△ACD≌△BCD，∠ACB=90°，∴∠ACD=∠BCD=45°∴∠BDC=∠ADC=120°，∴∠CDE=60°，∴DE平分∠CDB；（3）∵在△CDE和△MDE中，，∴△CDE≌△MDE（SAS），∴CE=EM，∠DEM=∠AEC=75°，∴∠MEF=30°，∵EM=FM，∴∠MFE=30°，∵∠CBD=15°，∴∠FMB=15°，∴MF=BF，∴BF=MF=EM=CE=8．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證△ACD≌△BCD和△CDE≌△MDE是解題的關(guān)鍵．29．如圖，在△ABC中，∠BAC＝45°，CD⊥AB，垂足為D，AE平分∠BAC，且AE交CD于點(diǎn)E，（1）如圖1，若AE＝BC；①求證：△ADE≌△CDB；②求證：AB＝AC；（2）如圖2，若AE≠BC，延長(zhǎng)AE交BC于點(diǎn)H，過C作CG⊥AH分別交AH、AB于F、G兩點(diǎn)，當(dāng)DB＝DE+CH時(shí)，求∠ACB的度數(shù)．【答案】（1）①見解析；②見解析；（2）∠ACB＝90°．【分析】（1）①由“HL”可證Rt△ADE≌Rt△CDB；②由全等三角形的性質(zhì)可得∠AED＝∠B＝67.5°，∠DAE＝∠DCB＝22.5°，可證∠B＝∠ACB，進(jìn)而可得AB＝AC；（2）連接GH，由“ASA”可證△AFG≌△AFC，可得AG＝AC，等腰三角形的性質(zhì)可得AH是GC的垂直平分線，可證GH＝HC，由“ASA”可證△ADE≌△CDG，可得DE＝DG，由線段關(guān)系可證BG＝CH＝GH，由外角的性質(zhì)可求∠BCG＝22.5°，即可求解．【詳解】解：（1）①證明：∵∠BAC＝45°，CD⊥AB，∴∠BAC＝∠ACD＝45°，∴AD＝CD，在Rt△ADE和Rt△CDB中，，∴Rt△ADE≌Rt△CDB（HL）；②證明：∵AE平分∠BAC，∴∠DAE＝∠CAE＝22.5°，∴∠AED＝67.5°∵Rt△ADE≌Rt△CDB，∴∠AED＝∠B＝67.5°，∠DAE＝∠DCB＝22.5°，∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝67.5°＝∠B，∴AB＝AC；（2）如圖2，連接GH，∵AE平分∠BAC，∴∠DAE＝∠CAE＝22.5°，又∵AF＝AF，∠AFC＝∠AFG＝90°，∴△AFG≌△AFC（ASA），∴AG＝AC，∴∠AGC＝∠ACG＝67.5°，∵AG＝AC，AH⊥GC，∴AH是GC的垂直平分線，∴GH＝HC，∴∠GCH＝∠CGH，∴∠GHB＝∠GCH+∠CGH＝2∠GCH，∵∠BAC＝45°，∠ADC＝90°，∴∠ACD＝∠DAC＝45°，∴AD＝AC，∠DCG＝∠ACG﹣∠ACD＝22.5°＝∠DAE在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（ASA），∴DE＝DG，∵DB＝DE+CH＝DG+CH，DB＝DG+BG，∴BG＝CH，∴∠B＝∠G