第04講 解題技巧專題：勾股定理與面積問題、方程思想（原卷版）

第04講解題技巧專題：勾股定理與面積問題、方程思想目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一三角形中，利用面積求斜邊上的高】 1【考點(diǎn)二結(jié)合乘法公式巧求面積或長(zhǎng)度】 7【考點(diǎn)三巧妙割補(bǔ)求面積】 9【考點(diǎn)四“勾股樹”及其拓展類型求面積】 12【考點(diǎn)五幾何圖形中的方程思想—折疊問題（利用等邊建立方程）】 18【考點(diǎn)六幾何圖形中的方程思想—公邊問題（利用公邊建立方程）】 22【考點(diǎn)七實(shí)際問題中的方程思想】 25【考點(diǎn)一三角形中，利用面積求斜邊上的高】例題：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，則點(diǎn)C到AB的距離是________．【變式訓(xùn)練】1．一個(gè)直角三角形的兩條直角邊邊長(zhǎng)分別為6和8，則斜邊上的高為（

）A．4.5 B．4.6 C．4.8 D．52．（2022·黑龍江牡丹江·八年級(jí)期中）在由邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成網(wǎng)格中的位置如圖所示，則邊上的高是（

）A．5 B． C．6 D．3．（2022·全國·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1．點(diǎn)A、B，C都在格點(diǎn)上，若BD是△ABC的高，則BD的長(zhǎng)為__________．4．如圖，在中，，，是的邊上的高，且，，，求的邊上的高．5．如圖，在中，，，在中，是邊上的高，，．(1)求的長(zhǎng)．(2)求斜邊邊上的高．6．我們新定義一種三角形：若一個(gè)三角形中存在兩邊的平方差等于第三邊上高的平方，則稱這個(gè)三角形為勾股高三角形，這兩邊交點(diǎn)為勾股頂點(diǎn)．（1）特例感知如圖1，已知△ABC為勾股高三角形，其中A為勾股頂點(diǎn)，AD是BC邊上的高．若BD＝3，CD＝1，試求線段AD的長(zhǎng)度．（2）深入探究如圖2，已知△ABC為勾股高三角形，其中A為勾股頂點(diǎn)且AC＞AB，AD是BC邊上的高．試探究線段CD與AB的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．【考點(diǎn)二結(jié)合乘法公式巧求面積或長(zhǎng)度】例題：已知在中，所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，則的面積為（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．在中，AD是BC邊上的高，，則的面積為（

）A．18 B．24 C．18或24 D．18或303．直角三邊長(zhǎng)分別是x，和5，則的面積為__________．【考點(diǎn)三巧妙割補(bǔ)求面積】例題：如圖，是一塊草坪，已知AD=12m，CD=9m，∠ADC=90°，AB=39m，BC=36m，求這塊草坪的面積．【變式訓(xùn)練】1．如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝90°，AB＝6，AD＝8，BC＝24，DC＝26，求四邊形ABCD的面積．2．如圖，在5×5的方格紙中，每一個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1（1）線段BC＝，線段CD＝；（2）求四邊形ABCD的面積．（可以根據(jù)需要添加字母）3．）如圖，方格紙中小正方形的邊長(zhǎng)為1，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形格點(diǎn)上，（1）邊AC、AB、BC的長(zhǎng)；（2）求△ABC的面積；（3）點(diǎn)C到AB邊的距離【考點(diǎn)四“勾股樹”及其拓展類型求面積】例題：（2023秋·重慶渝中·八年級(jí)重慶巴蜀中學(xué)?？计谀┤鐖D，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面積分別是6、10、4、6，則最大正方形E的面積是（

）A．20 B．26 C．30 D．52【變式訓(xùn)練】1．（2023·廣西柳州·?？家荒＃┤鐖D，，正方形和正方形的面積分別是289和225，則以為直徑的半圓的面積是（）A． B． C． D．2．（2023春·新疆阿克蘇·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，三個(gè)正方形中的兩個(gè)的面積，，則另一個(gè)的正方形的面積為_____________3．（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，以的三邊向外作正方形，其面積分別為且，則___________；以的三邊向外作等邊三角形，其面積分別為，則三者之間的關(guān)系為___________．4．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知：在中，，、、所對(duì)的邊分別記作a、b、c．如圖1，分別以的三條邊為邊長(zhǎng)向外作正方形，其正方形的面積由小到大分別記作、、，則有，(1)如圖2，分別以的三條邊為直徑向外作半圓，其半圓的面積由小到大分、、，請(qǐng)問與有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)分別以直角三角形的三條邊為直徑作半圓，如圖3所示，其面積由小到大分別記作S1、S2Sa，根據(jù)（2）中的探索，直接回答與有怎樣的數(shù)量關(guān)系；(3)若中，，，求出圖4中陰影部分的面積．5．（2023春·江西南昌·八年級(jí)南昌市第三中學(xué)?？计谥校┕垂啥ɡ硎侨祟愖顐ゴ蟮氖畟€(gè)科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國家稱之為畢達(dá)哥拉斯定理．在我國古書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖1），后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．(1)①如圖2，3，4，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，面積分別為，，，利用勾股定理，判斷這3個(gè)圖形中面積關(guān)系滿足的有________個(gè)．②如圖5，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設(shè)圖中兩個(gè)月牙形圖案（圖中陰影部分）的面積分別為，，直角三角形面積為，也滿足嗎？若滿足，請(qǐng)證明；若不滿足，請(qǐng)求出，，的數(shù)量關(guān)系．(2)如果以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復(fù)這一過程就可以得到如圖6所示的“勾股樹”．在如圖7所示的“勾股樹”的某部分圖形中，設(shè)大正方形M的邊長(zhǎng)為定值m，四個(gè)小正方形A，B，C，D的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，d，則__________．【考點(diǎn)五幾何圖形中的方程思想—折疊問題（利用等邊建立方程）】例題：如圖，將直角三角形紙片沿AD折疊，使點(diǎn)B落在AC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)E處．若AC＝3，BC=4，則圖中陰影部分的面積是（）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，按圖中所示方法將△BCD沿BD折疊，使點(diǎn)C落在AB邊的C′點(diǎn)，那么△ADC′的面積是________cm2．2．如圖，三角形紙片中，，，．是邊上一點(diǎn)，連接，把沿翻折，點(diǎn)恰好落在延長(zhǎng)線上的點(diǎn)處，則的長(zhǎng)為__________．3．在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝8，BC＝10，P是邊AD上一點(diǎn)，將△ABP沿著直線BP翻折得到△A'BP．(1)如圖1，當(dāng)A'在BC上時(shí)，連接AA'，求AA'的長(zhǎng)；(2)如圖2，當(dāng)AP＝6時(shí)，連接A'D，求A'D的長(zhǎng)．【考點(diǎn)六幾何圖形中的方程思想—公邊問題（利用公邊建立方程）】例題：如圖，在△ABC中，AB＝10，BC＝9，AC＝17，則BC邊上的高為_______．【變式訓(xùn)練】1．已知：如圖，在中，是的角平分線，，則____．

2．如圖，在和中，，，，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)．

(1)求證：點(diǎn)A在的平分線上；(2)若，，，求的長(zhǎng)．【考點(diǎn)七實(shí)際問題中的方程思想】例題：（2022·全國·八年級(jí)）明朝數(shù)學(xué)家程大位在他的著作《算法統(tǒng)宗》中寫了一首計(jì)算秋千繩索長(zhǎng)度的詞《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺離地，送行二步恰竿齊，五尺板高離地……”翻譯成現(xiàn)代文為：如圖，秋千繩索OA懸掛于O點(diǎn)，靜止時(shí)豎直下垂，A點(diǎn)為踏板位置，踏板離地高度為一尺（AC＝1尺）．將它往前推進(jìn)兩步（EB⊥OC于點(diǎn)E，且EB＝10尺），踏板升高到點(diǎn)B位置，此時(shí)踏板離地五尺（BD＝CE＝5尺），則秋千繩索（OA或OB）長(zhǎng)______尺．【變式訓(xùn)練】1．（2022·全國·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖1、2（圖2為圖1的平面示意圖），推開雙門，雙門間隙CD的距離為2寸，點(diǎn)C和點(diǎn)D距離門檻AB都為1尺（1尺＝10寸），則AB的長(zhǎng)是（）A．50.5寸 B．52寸 C．101寸 D．104寸2．（2022·河南·金明中小學(xué)八年級(jí)期中）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，有題譯文如下：今有門，不知其高寬；有竿，不知其長(zhǎng)短．橫放，竿比門寬長(zhǎng)出4尺；豎放，竿比門高短2尺；斜放，門對(duì)角線長(zhǎng)恰好是竿長(zhǎng)的倍．問門高、門寬各為多少？3．（2022·重慶市求精中學(xué)校八年級(jí)期中）在一條東西走向的河的一側(cè)有一村莊C，河邊原有兩個(gè)取水點(diǎn)A，B，其中，由于某種原由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，某村為方便村民取水決定在河邊新建一個(gè)取水點(diǎn)H（A、H、B在一條直線上），并新修一條路CH，測(cè)得千米，千米，千米．(1)問CH是否為從村莊C到河邊的最近路？請(qǐng)通過計(jì)算加以說明．(2)求原來的路線AC的長(zhǎng)．4．（2022·浙江·浦江縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期中）圖1是一張可以